大學(xué)物理第五章機(jī)械振動(dòng)

1、 振動(dòng)分類振動(dòng)分類非線性振動(dòng)非線性振動(dòng)線性振動(dòng)線性振動(dòng)受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng)本章介紹人們易感知的本章介紹人們易感知的機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)。廣義振動(dòng)：廣義振動(dòng)：任一物理量任一物理量( (如位移、電流等如位移、電流等) )在某一在某一 數(shù)值附近反復(fù)變化。數(shù)值附近反復(fù)變化。機(jī)械振動(dòng)：機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。物體在一定位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。如：如：物體在搖擺、顛簸、打擊、發(fā)聲之處均有振動(dòng)。物體在搖擺、顛簸、打擊、發(fā)聲之處均有振動(dòng)。5.1簡諧振動(dòng)的描述簡諧振動(dòng)的描述5.2 簡諧振動(dòng)的合成簡諧振動(dòng)的合成5.3 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)5.4 非線性振動(dòng)簡介非線性振

2、動(dòng)簡介 本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：一、簡諧振動(dòng)一、簡諧振動(dòng) 彈簧振子：彈簧彈簧振子：彈簧 物體系統(tǒng)物體系統(tǒng) 平衡位置：平衡位置：彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置輕彈簧輕彈簧質(zhì)量忽略不計(jì)質(zhì)量忽略不計(jì)物體物體可看作質(zhì)點(diǎn)可看作質(zhì)點(diǎn) kxOmkxF5.1 簡諧振動(dòng)的描述簡諧振動(dòng)的描述1. 受力特點(diǎn)受力特點(diǎn)2. 動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程makxF0dd222xtx常微分方程常微分方程mk 式中式中 為為 固有頻率固有頻率,是一個(gè)表征系統(tǒng)性質(zhì)的物理量是一個(gè)表征系統(tǒng)性質(zhì)的物理量3. .簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程0dd222xtx由于簡諧振動(dòng)的微分方程為由于簡諧振動(dòng)的微分方程為該方程的

3、其通解為該方程的其通解為)cos(tAx上式為簡諧振動(dòng)的位移方程上式為簡諧振動(dòng)的位移方程根據(jù)速度與位移的關(guān)系根據(jù)速度與位移的關(guān)系, ,其速度方程其速度方程)sin(ddtAtxv)cos(dd2tAtav加速度方程加速度方程2 2、平衡位置是指、平衡位置是指合外力為零的位置合外力為零的位置。1 1、物體發(fā)生振動(dòng)的條件：物體受到始終指向平衡位置、物體發(fā)生振動(dòng)的條件：物體受到始終指向平衡位置 的的回復(fù)力回復(fù)力；物體具有；物體具有慣性慣性。說明：說明：3 3、判斷物體是否作簡諧振動(dòng)的依據(jù)、判斷物體是否作簡諧振動(dòng)的依據(jù): :（1 1）物體所受的合外力與位移物體所受的合外力與位移正比但反向正比但反向；

4、（2 2）滿足位移與時(shí)間有）滿足位移與時(shí)間有余弦余弦（或正弦）關(guān)系。（或正弦）關(guān)系。4 4、簡諧振動(dòng)位移、速度、加速度都隨時(shí)間、簡諧振動(dòng)位移、速度、加速度都隨時(shí)間t做周期性變化。做周期性變化。5 5、任何振動(dòng)都可看成若干不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成。、任何振動(dòng)都可看成若干不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成。二、簡諧振動(dòng)的參量二、簡諧振動(dòng)的參量振幅振幅 A: 簡諧振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位移（或角位簡諧振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對(duì)值。移）的絕對(duì)值。周期周期T T ： 物體完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間。物體完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間。頻率頻率 ：(Hz)21T)(cos)cos(TtAtA2T單位時(shí)

5、間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。角頻率角頻率 :22T對(duì)于彈簧振子對(duì)于彈簧振子, ,有有kmT 2 mk 21 mk 對(duì)于單擺對(duì)于單擺,擺球?qū)[球?qū)?C 點(diǎn)的力矩點(diǎn)的力矩有有sinsinmglMmglM根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律,有有：gmfCOT當(dāng)單擺的擺角當(dāng)單擺的擺角5 5o o時(shí)時(shí), ,有有mgltml222dd0dd222t結(jié)論：結(jié)論：單擺的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。單擺的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。l/g 2 令令則則比較彈簧振子與單擺的共同特征：比較彈簧振子與單擺的共同特征： 力或力矩的大小與質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)或角坐標(biāo)成力或力矩的大小與質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)或角坐標(biāo)成正比正比并反向并反向。所

6、以單擺的固有所以單擺的固有周期周期、固有、固有頻率頻率、固有、固有角頻率依次為角頻率依次為glT 2 lg 21 lg 相位：相位：(1) ( t + + ) 是是 t 時(shí)刻的時(shí)刻的相位相位 (2) 是是 t =0 時(shí)刻的相位時(shí)刻的相位 初相初相相位的意義相位的意義: 1.相位確定了振動(dòng)的狀態(tài)相位確定了振動(dòng)的狀態(tài)2.2.相位每改變相位每改變 2 振動(dòng)重復(fù)一次振動(dòng)重復(fù)一次, ,相位在相位在 2 范圍范圍內(nèi)變化內(nèi)變化, ,狀態(tài)不重復(fù)狀態(tài)不重復(fù). .) cos()(tAtx)cos(2tAa)sin(tAv3.3.兩個(gè)振動(dòng)的相位差兩個(gè)振動(dòng)的相位差 )cos(1111tAx)cos(2222tAx12

7、時(shí)）（當(dāng)12)()(1122tt4.4.同頻率振動(dòng)的同相和反相同頻率振動(dòng)的同相和反相當(dāng)當(dāng) = 2k 兩振動(dòng)步調(diào)相同兩振動(dòng)步調(diào)相同, ,稱稱同同相相。xto同相同相Tx1A1x2A2xto反相反相Tx1A1x2 A2當(dāng)當(dāng) = (2k+1) 兩振動(dòng)步調(diào)相反兩振動(dòng)步調(diào)相反 , , 稱稱反相反相。 5.超前和落后超前和落后若若 = 2- - 1 0 , 則則 稱稱 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后 )。 t xOA1-A1x1- A2A2x2相位差相位差 小結(jié)：小結(jié)：121.1.當(dāng)當(dāng)=2 2k , ,k =0,=0,1,1,2 2, ,兩振動(dòng)步調(diào)相同兩振動(dòng)步調(diào)相同, ,稱

8、稱同相同相2.2.當(dāng)當(dāng) = = (2(2k+1)+1) , , k = 0,= 0,1,1,2.2. 兩振動(dòng)步調(diào)相反兩振動(dòng)步調(diào)相反, ,稱稱反相反相. .2 超前于超前于1 或或 1滯后于滯后于 2 相位差反映了兩個(gè)振動(dòng)不同程度的參差錯(cuò)落。相位差反映了兩個(gè)振動(dòng)不同程度的參差錯(cuò)落。 03.) cos()(tAtxcos0Ax ) sin( tAvsin 0Av22020v xA)arctan(00 x-v根據(jù)初始條件根據(jù)初始條件( (t =0=0時(shí)時(shí), ,有有v0及及x0) )求振幅和初相位求振幅和初相位底面積為底面積為S的長方體木塊的長方體木塊m浮于水面，水面下浮于水面，水面下a，用手按下，用

9、手按下x 后釋放，證明木塊運(yùn)動(dòng)為諧振動(dòng)，后釋放，證明木塊運(yùn)動(dòng)為諧振動(dòng)，并計(jì)算其振動(dòng)并計(jì)算其振動(dòng)周期周期。浮Fmg gaS任意位置任意位置x處處，合力，合力浮FmgF例例axxoS證明：證明：木塊平衡時(shí)木塊平衡時(shí)gSxagaS)( gxSkx此合力為回復(fù)力：此合力為回復(fù)力：gSkagmk2Tga2例例)cos(tAx一物體沿一物體沿x軸作簡諧振動(dòng)，振幅為軸作簡諧振動(dòng)，振幅為0.12m，周期為，周期為2s。當(dāng)。當(dāng)t = 0時(shí)，位移為時(shí)，位移為0.06m，且，且向向x軸正方向運(yùn)動(dòng)軸正方向運(yùn)動(dòng)。求求(2) t = 0.5s時(shí)，物體的位置、速度和加速度；時(shí)，物體的位置、速度和加速度；解解（1）設(shè)其運(yùn)動(dòng)方

10、程為設(shè)其運(yùn)動(dòng)方程為(3)(3)在在x = - 0.06m處，且向處，且向x軸負(fù)方向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。物體從這一狀運(yùn)動(dòng)。物體從這一狀態(tài)回到平衡位置的最短時(shí)間。態(tài)回到平衡位置的最短時(shí)間。(1)初相位；初相位；)cos()sin(2tAatAv則速度和加速度分別為則速度和加速度分別為1s2T已知已知A=0.12m，T=2s，所以所以當(dāng)當(dāng)t =0時(shí)，有時(shí)，有cos12. 006. 00 x21cos0sin00即v3由于由于所以，有所以，有（2）當(dāng)當(dāng)t = 0.5s時(shí)時(shí))35 . 0cos(12. 0 xm104. 06cos12. 0)35 . 0sin(12. 0v1sm19. 006. 0)35 .

11、 0cos(12. 02a22sm03. 1306. 0（3）由于三角函數(shù)具有周期性，取第一個(gè)周期即可。設(shè)當(dāng)由于三角函數(shù)具有周期性，取第一個(gè)周期即可。設(shè)當(dāng)物體在物體在0.06m，且向，且向x軸負(fù)向方向運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為軸負(fù)向方向運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為t1，平衡位置對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為平衡位置對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為t2，則則)3cos(12. 006. 01t3231 t0)3sin(1t0)3cos(2t0)3sin(2t2332 t)3()3(12tt)(12tt 3223s65t兩式相減得兩式相減得如圖如圖 m = 210-2 kg ,彈簧的靜止形變?yōu)閺椈傻撵o止形變?yōu)?l = 9.8cm；t = 0時(shí)，時(shí)，x0=

12、9.8cm， v0= 0 確定平衡位置：確定平衡位置： mg=k l 取為原點(diǎn)取為原點(diǎn) 令向下有位移令向下有位移 x, 則回復(fù)力則回復(fù)力)cos(tAx1srad10098.08 .9lgmkXOxm例例求求 （1）取開始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程；）取開始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程；（2）若?。┤羧?x0=0，v0 0為計(jì)時(shí)零點(diǎn)為計(jì)時(shí)零點(diǎn),寫出振動(dòng)方寫出振動(dòng)方 程，并計(jì)算振動(dòng)頻率。程，并計(jì)算振動(dòng)頻率。解解該振動(dòng)為簡諧振動(dòng)，則該振動(dòng)為簡諧振動(dòng)，則lmgk)(xlkmgFkx由初始條件得由初始條件得或, 0)arctan(00 xvm098. 0)(2020vxA由由x0=0.098m知

13、知srad/10振動(dòng)方程為振動(dòng)方程為：(2)按題意按題意 t = 0 時(shí)時(shí) x0 = 0，v0 0對(duì)同一諧振動(dòng)計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同對(duì)同一諧振動(dòng)計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同, 不同，但不同，但 、A不變不變Hz6 . 1212lg固有頻率固有頻率0sin0cos 1cosm)10cos(108 . 92tx2m)210cos(108 . 92txXOxm(1)試證明物體試證明物體m的運(yùn)動(dòng)是諧振動(dòng)；的運(yùn)動(dòng)是諧振動(dòng)；(2)求此振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期；求此振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期；(3)寫出振動(dòng)方程。寫出振動(dòng)方程。輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端系一輕繩，繩過定滑輪掛一系一輕繩，繩過定滑輪掛一質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體。彈簧

14、的勁度的物體。彈簧的勁度系數(shù)為系數(shù)為k，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，半徑為，半徑為R。若物體。若物體m在其在其初始位置時(shí)彈簧無伸長，然初始位置時(shí)彈簧無伸長，然后由靜止釋放。后由靜止釋放。(1)設(shè)設(shè)物體物體m離開初始位置的距離為離開初始位置的距離為b時(shí)受力平衡，則此時(shí)有時(shí)受力平衡，則此時(shí)有例例求求解解kbmg kmgb 以此平衡位置以此平衡位置O為坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn)，豎直向下為，豎直向下為x軸正軸正向，當(dāng)物體向，當(dāng)物體m在坐標(biāo)在坐標(biāo)x處處時(shí)時(shí)，由，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律牛頓運(yùn)動(dòng)定律和和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律有有maTmg1JRTRT21)(2bxkTRa 2211TTTT和聯(lián)立式聯(lián)立式解得解

15、得所以，此振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是諧振動(dòng)所以，此振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是諧振動(dòng). .即即(2)由上面的表達(dá)式知，此振動(dòng)系統(tǒng)的角頻率由上面的表達(dá)式知，此振動(dòng)系統(tǒng)的角頻率故振動(dòng)周期為故振動(dòng)周期為 0dd222kxtxRJm）（0)(dd222xRJmkxtx)(2RJmkkRJmT)(222振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)方程為振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)方程為，bx0(3)依題意知依題意知t0時(shí)時(shí)， ，可求出00vkmgbvxA22020)arctan(000 xvtRJmkkmgtAx)(cos)cos(20三、簡諧振動(dòng)的三、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法 t = 0Ax t+ t = tA)cos(tAxox在在y軸上的投影描述軸

16、上的投影描述電振動(dòng)電振動(dòng)。A在在x軸上投影描述軸上投影描述機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)；A習(xí)慣上習(xí)慣上2A用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系x1A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相)cos()cos(2tatAam)cos(tAx)2cos()sin(ttAmvv諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的相位關(guān)系諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的相位關(guān)系a vTxto. axvT/4T/4)2cos(tmxvv)2cos(tA由圖可見：由圖可見：x t+ o Amvma 090090v2A超前超前a2v超前超前)cos(taam)cos(2tA例例由圖可知由圖可知3求求一物體沿一物體沿 X 軸作簡諧

17、振動(dòng)，振幅為軸作簡諧振動(dòng)，振幅為0.12m，周期為，周期為2s。當(dāng)。當(dāng)t = 0時(shí)，位移為時(shí)，位移為 0.06m，且向，且向 x 軸正方向運(yùn)動(dòng)。軸正方向運(yùn)動(dòng)。（2）在）在x = - 0.06m處，且向處，且向 x 軸負(fù)向軸負(fù)向方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體從方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體從 這一位置回到平衡位置所需的最短時(shí)間這一位置回到平衡位置所需的最短時(shí)間 （1）初相；）初相； 2A xo2Ao(1) 根據(jù)題義作圖如下根據(jù)題義作圖如下解解(2)所轉(zhuǎn)角度所轉(zhuǎn)角度MONs6522656532tMN例例如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，在一個(gè)周期內(nèi)相繼通過距如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，在一個(gè)周期內(nèi)相繼通過距離為離為12cm的兩點(diǎn)的

18、兩點(diǎn)E和和F，歷時(shí)，歷時(shí)2s，并且在，并且在E，F(xiàn)兩點(diǎn)處具有兩點(diǎn)處具有相同的速率相同的速率；再經(jīng)過；再經(jīng)過2s后，質(zhì)點(diǎn)又從另一方向通過后，質(zhì)點(diǎn)又從另一方向通過F點(diǎn)。點(diǎn)。解解EFOx質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期和振幅。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期和振幅。求求由題意可知，由題意可知，EF的中點(diǎn)為平衡位置的中點(diǎn)為平衡位置，周期為，周期為T = 4 2 = 8 (s)cm6Excm6Fx設(shè)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則設(shè)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則設(shè)設(shè) t = 0 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置，且向時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置，且向 x 軸正方向運(yùn)動(dòng)，軸正方向運(yùn)動(dòng)，則由旋轉(zhuǎn)矢量可知：則由旋轉(zhuǎn)矢量可知：t = 1 時(shí)時(shí), 質(zhì)點(diǎn)位于質(zhì)點(diǎn)位于F點(diǎn)點(diǎn), 所以所以 )

19、 282cos(6 Acm 26A2已知某簡諧振動(dòng)的速度與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖所示已知某簡諧振動(dòng)的速度與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖所示. .431.431. 715. 715.10)(st)(1scmv例例求求 振動(dòng)方程。振動(dòng)方程。解解 用旋轉(zhuǎn)矢量法輔助求解用旋轉(zhuǎn)矢量法輔助求解:)cos(tAx)sin(tAv1scm4 .31mv)2cos(tmv0 tst1 2 vov的旋轉(zhuǎn)矢量與的旋轉(zhuǎn)矢量與v軸夾角表示軸夾角表示t 時(shí)刻相位時(shí)刻相位2 t由圖知由圖知3226 35211scm1014. 34 .31mAvcm)6cos(10tx以彈簧振子為例以彈簧振子為例某一時(shí)刻，諧振子速度為某一時(shí)刻，諧振子速度

20、為v，位移為位移為x)sin(tAv)cos(tAx221vmEk)(sin2122tkA221kxEp )(cos2122tkA四、簡諧振動(dòng)的能量四、簡諧振動(dòng)的能量機(jī)械能機(jī)械能221kAEEEpk（簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒）（簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒）2 41d1kAtETETttkk一個(gè)與時(shí)間有關(guān)的物理量一個(gè)與時(shí)間有關(guān)的物理量F(t)在時(shí)間間隔在時(shí)間間隔T 內(nèi)的平均值內(nèi)的平均值F定義為定義為： TttFTF0d1則：則：諧振動(dòng)在一周期內(nèi)的平均動(dòng)能和平均勢能相等。諧振動(dòng)在一周期內(nèi)的平均動(dòng)能和平均勢能相等。2Tt41d1kAtETEtPPkEkEA022 由起始能量求振幅由起始能量求振幅221kA

21、E EpkpEE toETxotEk221kA動(dòng)動(dòng)能能221mvEk)(sin21022tkA勢勢能能)(cos21022tkA情況同動(dòng)能情況同動(dòng)能0minkE2max21kAEk機(jī)機(jī)械械能能簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒221kxEp241d1kAtETETttkkpppEEE，minmax221kAEEEpk（1 1）E1 1/4/4；（2 2）E1 1/2/2；（3 3）2 2E1 1；（4 4）4 4E1 1。 一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為E1 1，如果諧振動(dòng)的，如果諧振動(dòng)的振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增加為原來的振幅增加為原來的兩倍，

22、重物的質(zhì)量增加為原來的4倍，倍，則其總能量將變?yōu)閯t其總能量將變?yōu)檎n堂練習(xí)：課堂練習(xí)： 一、同頻率同方向簡諧振動(dòng)的合成一、同頻率同方向簡諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)分振動(dòng) : 合振動(dòng)合振動(dòng) :)cos()cos(2211tAtA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(111tAx)cos(222tAx21xxx結(jié)論：結(jié)論：合振動(dòng)合振動(dòng) x 仍是簡諧振動(dòng)仍是簡諧振動(dòng)5.2 簡諧振動(dòng)的合成簡諧振動(dòng)的合成tAAtAA sin)sinsin( cos)coscos(22112211 cosA sinA) cos( sinsincoscostAtAtAx

23、合振動(dòng)是簡諧振動(dòng)合振動(dòng)是簡諧振動(dòng), ,其頻率仍為其頻率仍為 )cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx合振動(dòng)合振動(dòng) ：2A1AA21 x1x1M2x2M旋轉(zhuǎn)矢量法處理諧振動(dòng)的合成旋轉(zhuǎn)矢量法處理諧振動(dòng)的合成Mx若若 A1=A2 , 則則 A=0, 2 , 1 , 0212kk21AAA , 2 , 1 , 0) 12(12kk21AAA 討論：討論：若兩分振動(dòng)同相：若兩分振動(dòng)同相：若兩分振動(dòng)反相若兩分振動(dòng)反相: :)cos(212212221AAAAA合振動(dòng)加強(qiáng)合振動(dòng)加強(qiáng)1A2A合振動(dòng)減弱合

24、振動(dòng)減弱1A2A（1 1）0 0 ；（2 2）4cm4cm；（4 4）8 8 cmcm。 兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)，振動(dòng)方程分別為兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)，振動(dòng)方程分別為則其合振動(dòng)的振幅為諧振動(dòng)則其合振動(dòng)的振幅為諧振動(dòng), ,振幅為：振幅為：課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： ，m)25cos(10621txm)5sin(10222tx（3 3） ；cm254二、同方向不同頻率諧振動(dòng)的合成二、同方向不同頻率諧振動(dòng)的合成 1. 分振動(dòng)分振動(dòng) :tAx cos111tAx222cost11 A2 At2Ax2x1x21xxxO21 2. 合振動(dòng)合振動(dòng) :21xxx當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，合振動(dòng)振幅的頻率為

25、合振動(dòng)振幅的頻率為: :21AAA21AAA2 )(12kt ) 12( )(12ktA 有最大值有最大值A(chǔ)有最小值有最小值t )(122 )(1212122vvv結(jié)論：結(jié)論：tAAAAA)cos(212212221)2cos()2cos(21212ttAx合振動(dòng)可看作合振動(dòng)可看作振幅緩變的簡諧振動(dòng)振幅緩變的簡諧振動(dòng)拍拍: : 合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象拍頻拍頻: : 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù) = =| | 2 2- - 1 1| | xt tx2t tx1t t12 拍拍122T3. 拍的現(xiàn)象：拍的現(xiàn)象： 2.當(dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)：消去參數(shù)消去參數(shù) t 得軌跡方

26、程得軌跡方程)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx分振動(dòng)分振動(dòng))cos(11tAx)cos(22tAy三、同頻率互相垂直的簡諧振動(dòng)的合成三、同頻率互相垂直的簡諧振動(dòng)的合成012xAAy12 討論：討論：yx2A1A1.當(dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)：12xAAy12yx2A1A21212212 AyAx)cos(11tAx質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針順時(shí)針的。的。)2cos(12tAyyx2A1A3.當(dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)：4.當(dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)： 2,2312質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是逆時(shí)針逆時(shí)針的。的。yx2A1A = 0 = /2 = 3 /4 = /4

27、= 5 /4 = 3 /2 = 7 /40 時(shí)，逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)，逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。 0時(shí)，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。 = 相互垂直、相互垂直、頻率相同頻率相同的兩列諧振的合振動(dòng)軌跡有如下規(guī)律的兩列諧振的合振動(dòng)軌跡有如下規(guī)律: : (1) (1)一般情況下軌跡為一般情況下軌跡為橢圓橢圓; ; (2) (2) 時(shí)時(shí), ,退化為退化為直線直線; ; (3) (3) 時(shí)時(shí), ,為正橢圓為正橢圓, ,若若A A1 1= =A A2 2, ,則退化則退化 為為圓圓. . ( (4) )橢圓軌跡橢圓軌跡內(nèi)切于內(nèi)切于邊長為邊長為2 2A A1 1和和2 2A A2 2的的矩形矩形; ; (5) (

28、5) 時(shí)時(shí), ,橢圓橢圓順時(shí)針方向轉(zhuǎn)順時(shí)針方向轉(zhuǎn); ; 橢圓橢圓逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)逆時(shí)針方向轉(zhuǎn). .)(2 , 0或)2(23,2或0)2(0或 當(dāng)兩列相互垂直、頻率成整數(shù)比關(guān)系的簡諧當(dāng)兩列相互垂直、頻率成整數(shù)比關(guān)系的簡諧振動(dòng)合成時(shí)，合振動(dòng)的軌跡是閉合的，運(yùn)動(dòng)是周振動(dòng)合成時(shí)，合振動(dòng)的軌跡是閉合的，運(yùn)動(dòng)是周期性的，這些圖形稱為期性的，這些圖形稱為李薩如（李薩如（J. A. LissajousJ. A. Lissajous 1822-1880 1822-1880 法國）圖形法國）圖形。xyyxNN相互垂直但頻率不同的簡諧振動(dòng)的合成相互垂直但頻率不同的簡諧振動(dòng)的合成 x y2 13 13 2 x = 0：

29、 y = 08 y 4 y 83 y 2 y y x0振幅隨時(shí)間減小的振動(dòng)叫振幅隨時(shí)間減小的振動(dòng)叫阻尼振動(dòng)。阻尼振動(dòng)。 5.3 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)一、一、 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)形成阻尼振動(dòng)的原因：形成阻尼振動(dòng)的原因：振動(dòng)系統(tǒng)受摩擦、粘滯等阻力作用，造成熱損耗；振動(dòng)系統(tǒng)受摩擦、粘滯等阻力作用，造成熱損耗；振動(dòng)能量轉(zhuǎn)變?yōu)椴ǖ哪芰肯蛑車鷤鞑セ蜉椛?。振?dòng)能量轉(zhuǎn)變?yōu)椴ǖ哪芰肯蛑車鷤鞑セ蜉椛洹?. 阻尼振動(dòng)的微分方程阻尼振動(dòng)的微分方程 粘滯阻力粘滯阻力彈性力彈性力xv( (以液體中的水平彈簧振子為例以液體中的水平彈簧振子為例) )vCFrmaCkxFfrv）（令2/,/20mCmk彈性力彈性力

30、: :kxf粘滯阻力粘滯阻力: :牛頓第二定律：牛頓第二定律：0dddd22kxtxCtxm0dd2dd2022xtxtxmk0（固有頻率）（固有頻率）mC2（阻尼系數(shù)）（阻尼系數(shù)） （阻尼振動(dòng)的微分方程）（阻尼振動(dòng)的微分方程） （方程的解及其物理意義）（方程的解及其物理意義） 2. 幾種阻尼振動(dòng)模式幾種阻尼振動(dòng)模式 （1）小阻尼）小阻尼（3）大阻尼）大阻尼（2）臨界阻尼）臨界阻尼)(202)cos(220tAextXtOtAe)(202)(202XtO大阻尼大阻尼臨界阻尼臨界阻尼t(yī)eccx)(21常用于靈敏儀器的回零裝置。常用于靈敏儀器的回零裝置。ttececx)(2)(1202202與大阻

31、尼相比，臨界阻尼一般將更快回到平衡位置與大阻尼相比，臨界阻尼一般將更快回到平衡位置 。幅幅 值值0F二、受迫振動(dòng)二、受迫振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下所作的系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下所作的等幅振動(dòng)稱為等幅振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)。示意示意周期性外力周期性外力（強(qiáng)迫力強(qiáng)迫力）tFFpcos0角頻率角頻率pvCFr彈性力彈性力kxf牛頓第二定律：牛頓第二定律：matFCkxpcos0vtfxtxtxpcosdd2dd2022fmFmCmk/,2/,/020令令則則)cos()cos(00tAteAxpt此方程的解為：此方程的解為：1、受迫振動(dòng)的微分方程、受迫振動(dòng)的微分方程（以彈簧振子為例）（以

32、彈簧振子為例）)cos()cos(00tAteAxpt等幅振動(dòng)等幅振動(dòng)阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)2、方程解的物理意義、方程解的物理意義 開始振動(dòng)開始振動(dòng)比較復(fù)雜比較復(fù)雜經(jīng)過一段時(shí)間后，受迫經(jīng)過一段時(shí)間后，受迫振動(dòng)進(jìn)入穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)。振動(dòng)進(jìn)入穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)。+ +自由振動(dòng)的能量是外界一次性輸入自由振動(dòng)的能量是外界一次性輸入 受迫振動(dòng)過程中，外界在不斷地向振動(dòng)系統(tǒng)補(bǔ)充能量受迫振動(dòng)過程中，外界在不斷地向振動(dòng)系統(tǒng)補(bǔ)充能量無阻尼：能量守恒，等幅振動(dòng)無阻尼：能量守恒，等幅振動(dòng)有阻尼：有能量損耗，減幅振動(dòng)有阻尼：有能量損耗，減幅振動(dòng))cos(tAp由諧和策動(dòng)力所維持的穩(wěn)定受迫振動(dòng)。由諧和策動(dòng)力所維持的穩(wěn)定受迫振動(dòng)。 由初

33、始能量所維持的固有項(xiàng)，由初始能量所維持的固有項(xiàng)， 當(dāng)其衰減完畢時(shí)，與初始條件相關(guān)的當(dāng)其衰減完畢時(shí)，與初始條件相關(guān)的 也就不存在了。也就不存在了。)cos(00teAt00，A3 3、穩(wěn)定的受迫振動(dòng)、穩(wěn)定的受迫振動(dòng) )cos(tAxp a.說明此時(shí)振動(dòng)方程的位相說明此時(shí)振動(dòng)方程的位相 與初始條件無關(guān)，其表示與初始條件無關(guān)，其表示振動(dòng)位移的位相與策動(dòng)力位相的位相差；振動(dòng)位移的位相與策動(dòng)力位相的位相差； b.說明振幅是策動(dòng)力的函數(shù)，因此存在極值的問題說明振幅是策動(dòng)力的函數(shù)，因此存在極值的問題, ,與與此對(duì)應(yīng)的極值現(xiàn)象，稱為位移共振。此對(duì)應(yīng)的極值現(xiàn)象，稱為位移共振。穩(wěn)定受迫振動(dòng)的頻率等于策動(dòng)力的頻率穩(wěn)

34、定受迫振動(dòng)的頻率等于策動(dòng)力的頻率 穩(wěn)定受迫振動(dòng)的振幅穩(wěn)定受迫振動(dòng)的振幅A和位相和位相 （用待定系數(shù)法可得）（用待定系數(shù)法可得）2222204)(ppfA2202arctanpp三、共振三、共振（受迫振動(dòng)的振幅出現(xiàn)極大值的現(xiàn)象稱為共振。）（受迫振動(dòng)的振幅出現(xiàn)極大值的現(xiàn)象稱為共振。）1 1、位移共振、位移共振( (振幅取極值振幅取極值) )共振頻率共振頻率 : :2202r共振振幅共振振幅 : :2202fAr2 2、速度共振、速度共振( (速度振幅取極值速度振幅取極值) )共振頻率共振頻率 : :0共振速度振幅共振速度振幅 : :2fvm2222024)(fvmA阻尼阻尼0 0阻尼較小阻尼較小阻

35、尼較大阻尼較大O0p位移共振曲線位移共振曲線3 3、 共振的利用與防止共振的利用與防止(1)(1)位移共振位移共振 (2) 速度共振速度共振調(diào)諧（能量輸入處于最佳狀態(tài)）調(diào)諧（能量輸入處于最佳狀態(tài)）防止防止過橋、機(jī)床、海堤過橋、機(jī)床、海堤利用利用振動(dòng)篩、打夯、核磁共振振動(dòng)篩、打夯、核磁共振5.4 非線性振動(dòng)簡論非線性振動(dòng)簡論 一、非線性振動(dòng)的原因一、非線性振動(dòng)的原因由非線性微分方程所描述的振動(dòng)由非線性微分方程所描述的振動(dòng)，稱其為，稱其為非線性振動(dòng)非線性振動(dòng)。從動(dòng)力學(xué)角度來看，發(fā)生非線性振動(dòng)的原因有兩個(gè)方面：從動(dòng)力學(xué)角度來看，發(fā)生非線性振動(dòng)的原因有兩個(gè)方面：2、系統(tǒng)外部的非線性影響：、系統(tǒng)外部的非

36、線性影響：如受迫振動(dòng)中，驅(qū)動(dòng)力如受迫振動(dòng)中，驅(qū)動(dòng)力F為為位移或速度的非線性函數(shù)時(shí)，引起非線性振動(dòng)位移或速度的非線性函數(shù)時(shí)，引起非線性振動(dòng) 。 1、系統(tǒng)內(nèi)在的非線性因素：、系統(tǒng)內(nèi)在的非線性因素：如不限制擺角的單擺或復(fù)擺如不限制擺角的單擺或復(fù)擺二、自激振動(dòng)二、自激振動(dòng)以單方向的力激勵(lì)的振動(dòng)稱為以單方向的力激勵(lì)的振動(dòng)稱為自激振動(dòng)自激振動(dòng)或或自振。自振。 例如：例如：樹梢在狂風(fēng)中呼嘯，提琴奏出悠揚(yáng)的樂聲，樹梢在狂風(fēng)中呼嘯，提琴奏出悠揚(yáng)的樂聲， 自來水管突如其來的喘振。自來水管突如其來的喘振。 1 1、廣義坐標(biāo)、廣義坐標(biāo) 廣義速度廣義速度 在經(jīng)典力學(xué)中，一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用在經(jīng)典力學(xué)中，一個(gè)自由

37、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用6 6個(gè)變量個(gè)變量（x，y，z，vx ，vy ，vz）描述描述，一般來講，一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以用一般來講，一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以用n個(gè)個(gè)廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)qi 和和n個(gè)相應(yīng)的個(gè)相應(yīng)的廣義速度廣義速度pi 共共2n 個(gè)變量描述。個(gè)變量描述。2 2、相平面、相平面 相空間相空間以以(qi，pi)為坐標(biāo)，可以構(gòu)建一個(gè)為坐標(biāo)，可以構(gòu)建一個(gè)2n（n 為力學(xué)系統(tǒng)為力學(xué)系統(tǒng)的獨(dú)立變量的數(shù)目）維的狀態(tài)空間。的獨(dú)立變量的數(shù)目）維的狀態(tài)空間。這個(gè)狀態(tài)空間這個(gè)狀態(tài)空間稱為稱為相空間相空間.相空間相空間:三、相圖三、相圖 相平面相平面當(dāng)然如果力學(xué)系統(tǒng)只有兩個(gè)變量，相空間就簡化為當(dāng)然如果

38、力學(xué)系統(tǒng)只有兩個(gè)變量，相空間就簡化為相平面相平面。相平面相平面:相平面、相空間中的相平面、相空間中的“相相”是指是指物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。相空間的每相空間的每一點(diǎn)稱為相點(diǎn)，對(duì)應(yīng)力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)；狀態(tài)空間的每一曲一點(diǎn)稱為相點(diǎn)，對(duì)應(yīng)力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)；狀態(tài)空間的每一曲線稱為線稱為相軌跡相軌跡或或相圖相圖，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)力學(xué)系統(tǒng)一種可能的狀態(tài)變化過程。力學(xué)系統(tǒng)一種可能的狀態(tài)變化過程。以以位置位置和和速度速度作為坐標(biāo)參量構(gòu)建的平面或新的空間，是最簡作為坐標(biāo)參量構(gòu)建的平面或新的空間，是最簡單的相平面或相空間。單的相平面或相空間。如某質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其坐標(biāo)為如某質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其坐標(biāo)為x、速度、速度

39、vy為坐標(biāo)為坐標(biāo),建立一個(gè)平面坐標(biāo)系建立一個(gè)平面坐標(biāo)系Oxy,就是最簡單的相平面就是最簡單的相平面以以（x，y ）相平面中的一個(gè)點(diǎn)相平面中的一個(gè)點(diǎn)M（x,y ），對(duì)應(yīng)），對(duì)應(yīng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，M 稱為稱為相點(diǎn)相點(diǎn)。在相平面中相點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是在相平面中相點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是相相圖圖，一般是一條光滑的曲線。，一般是一條光滑的曲線。M相點(diǎn)相點(diǎn)相軌跡相軌跡例：例：以以簡諧振子簡諧振子為例，來分析討論相圖的實(shí)際應(yīng)用。為例，來分析討論相圖的實(shí)際應(yīng)用。簡諧振子的位移、速度和加速度分別為簡諧振子的位移、速度和加速度分別為)cos(tAx)sin(ddtAtxyv)cos(222ttxaAddxyo22

40、22Cyx常數(shù)常數(shù)C由初始條件決定。由初始條件決定。以以x和和y為軸，可建立相平面為軸，可建立相平面Oxy。簡諧振子的相圖簡諧振子的相圖研究諧振子的位移、速度隨時(shí)間的變化，就可以得到一系列研究諧振子的位移、速度隨時(shí)間的變化，就可以得到一系列點(diǎn)，繼而可描繪出一條曲線點(diǎn)，繼而可描繪出一條曲線相軌跡相軌跡。對(duì)于一定的對(duì)于一定的C值，值，相軌跡是一個(gè)橢圓相軌跡是一個(gè)橢圓，如圖所示。，如圖所示。從位移、速度公式中消去時(shí)間從位移、速度公式中消去時(shí)間t ，得，得yxo按按C值的不同，可得到一族大小不值的不同，可得到一族大小不同的橢圓。同的橢圓。從相軌跡中，可以看出：從相軌跡中，可以看出：簡諧振子的所有相軌跡

41、都是閉合曲線。相點(diǎn)沿閉合曲線運(yùn)行簡諧振子的所有相軌跡都是閉合曲線。相點(diǎn)沿閉合曲線運(yùn)行了一周，又回到原先的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)了一周，又回到原先的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)因此可以斷定，因此可以斷定，所有的橢圓相軌跡都對(duì)應(yīng)著一個(gè)所有的橢圓相軌跡都對(duì)應(yīng)著一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)周期運(yùn)動(dòng)，其周期是一個(gè)有限值。其周期是一個(gè)有限值。在在相平面上的相平面上的O點(diǎn)點(diǎn)處，物體運(yùn)動(dòng)的速度和加速度均為零，處，物體運(yùn)動(dòng)的速度和加速度均為零，相平面上這樣的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)平衡狀態(tài)。若沒有任何擾動(dòng)相平面上這樣的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)平衡狀態(tài)。若沒有任何擾動(dòng)使系統(tǒng)偏離使系統(tǒng)偏離O點(diǎn)，它將一直停留在該點(diǎn)。點(diǎn)，它將一直停留在該點(diǎn)。yxo3 3、奇點(diǎn)、奇點(diǎn)相圖上速度和加速度同時(shí)為零

42、的那些點(diǎn)稱為相圖上速度和加速度同時(shí)為零的那些點(diǎn)稱為奇點(diǎn)奇點(diǎn)，奇點(diǎn)對(duì)奇點(diǎn)對(duì)應(yīng)著動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，因此應(yīng)著動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，因此奇點(diǎn)也稱為平衡點(diǎn)奇點(diǎn)也稱為平衡點(diǎn)。奇點(diǎn)的分類奇點(diǎn)的分類yxoyxoyxoyxo中心中心焦點(diǎn)焦點(diǎn)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)單擺的線性振動(dòng)：單擺的線性振動(dòng)：mmg單擺單擺例：例：以以單擺的振動(dòng)單擺的振動(dòng)為例，來分析討論相圖。為例，來分析討論相圖。小角度小角度下單擺的運(yùn)動(dòng)是下單擺的運(yùn)動(dòng)是gLT2單擺的非線性振動(dòng)單擺的非線性振動(dòng): :簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)，其，其周期周期為為隨著隨著的增大，單擺的周期變的增大，單擺的周期變?yōu)闉?2sin6492sin411 (242mmgLT兩邊積分得兩

43、邊積分得1222)dd(Ct單擺線性振動(dòng)的相圖單擺線性振動(dòng)的相圖sindd22Lgt6323265012mTT1/)dd(21212CCt即即T/T隨擺幅隨擺幅m變化關(guān)系變化關(guān)系tddo單擺無阻尼線性振動(dòng)的相圖單擺無阻尼線性振動(dòng)的相圖可見，線性振動(dòng)的相軌跡為可見，線性振動(dòng)的相軌跡為橢圓橢圓, ,中心點(diǎn)是穩(wěn)定的中心點(diǎn)是穩(wěn)定的奇點(diǎn)。奇點(diǎn)。初始條件確初始條件確定后，單擺運(yùn)動(dòng)過程就對(duì)應(yīng)于其中定后，單擺運(yùn)動(dòng)過程就對(duì)應(yīng)于其中一個(gè)橢圓，一個(gè)橢圓，單擺的運(yùn)動(dòng)是一系列的單擺的運(yùn)動(dòng)是一系列的同周期運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全確定。同周期運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全確定。當(dāng)擺幅增大當(dāng)擺幅增大到時(shí)，相跡線上出現(xiàn)了兩個(gè)分支點(diǎn)，我們稱到

44、時(shí)，相跡線上出現(xiàn)了兩個(gè)分支點(diǎn)，我們稱之為之為鞍點(diǎn)鞍點(diǎn), ,如上圖。如上圖。tddo單擺無阻尼非線性振動(dòng)的相圖單擺無阻尼非線性振動(dòng)的相圖單擺非線性振動(dòng)的相圖單擺非線性振動(dòng)的相圖 如果對(duì)擺角不加限制，如果對(duì)擺角不加限制，微分方程變成非線性微分微分方程變成非線性微分方程，可以證明方程，可以證明其相圖不其相圖不再是一橢圓，再是一橢圓，相軌跡兩端相軌跡兩端凸出略呈尖角狀，但仍是凸出略呈尖角狀，但仍是封閉曲線，封閉曲線，表示運(yùn)動(dòng)表示運(yùn)動(dòng)仍是仍是周期性往復(fù)擺動(dòng)周期性往復(fù)擺動(dòng)。鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)和中心點(diǎn)一樣也是一個(gè)和中心點(diǎn)一樣也是一個(gè)奇點(diǎn)奇點(diǎn)，但是在鞍點(diǎn)上但是在鞍點(diǎn)上 m0ddt0dd22t說明說明鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)是不穩(wěn)定的平

45、衡點(diǎn)，是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，因?yàn)榕c之相連的四條相軌跡中因?yàn)榕c之相連的四條相軌跡中兩條指向它，兩條背離它，而兩條指向它，兩條背離它，而附近相軌跡呈雙曲線狀。附近相軌跡呈雙曲線狀。tddopEo從勢能曲線和相圖上可知從勢能曲線和相圖上可知處勢能最大，處勢能最大，勢能曲線、相圖、鞍點(diǎn)勢能曲線、相圖、鞍點(diǎn)雙曲點(diǎn)的存在，預(yù)示著混沌運(yùn)動(dòng)的可能雙曲點(diǎn)的存在，預(yù)示著混沌運(yùn)動(dòng)的可能假定存在阻尼和驅(qū)動(dòng)力，讓擺作受迫振動(dòng)這樣一來，假定存在阻尼和驅(qū)動(dòng)力，讓擺作受迫振動(dòng)這樣一來，雙曲點(diǎn)就成了雙曲點(diǎn)就成了敏感區(qū)敏感區(qū)能量稍大，單擺就會(huì)越過勢壘的能量稍大，單擺就會(huì)越過勢壘的頂峰，跨到它的另一側(cè)；能量稍小，則為勢壘所阻，滑頂峰，

46、跨到它的另一側(cè)；能量稍小，則為勢壘所阻，滑回原來的一側(cè)單擺向回?cái)[動(dòng)?；卦瓉淼囊粋?cè)單擺向回?cái)[動(dòng)。四、四、非線性振動(dòng)系統(tǒng)的混沌行為非線性振動(dòng)系統(tǒng)的混沌行為仍以單擺為例仍以單擺為例, 前面已經(jīng)討論過它的自由振動(dòng)前面已經(jīng)討論過它的自由振動(dòng),下面分析下面分析其阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)其阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)有阻尼、無策動(dòng)力的振動(dòng)有阻尼、無策動(dòng)力的振動(dòng)小擺幅時(shí)運(yùn)動(dòng)方程為小擺幅時(shí)運(yùn)動(dòng)方程為0sindd2dd2022ttyxo單擺阻尼振動(dòng)的相圖單擺阻尼振動(dòng)的相圖(小擺幅小擺幅) 取取0.25，01，用軟，用軟件件MathLab給出數(shù)值解。給出數(shù)值解。有阻尼、并有策動(dòng)力的振動(dòng)有阻尼、并有策動(dòng)力的振動(dòng)大擺幅時(shí)運(yùn)動(dòng)方程是非線

47、性的大擺幅時(shí)運(yùn)動(dòng)方程是非線性的yxo單擺阻尼振動(dòng)的相圖單擺阻尼振動(dòng)的相圖(大擺幅大擺幅)此時(shí)此時(shí),從其相圖上可以看出從其相圖上可以看出,相平面被分成不同的區(qū)域相平面被分成不同的區(qū)域,相軌跡都收斂與該區(qū)域中心相軌跡都收斂與該區(qū)域中心的的吸引子吸引子.振動(dòng)方程為振動(dòng)方程為tfttDcossindd2dd2022 這是非線性微分方程這是非線性微分方程,此時(shí)單擺的運(yùn)動(dòng)情況變得非常此時(shí)單擺的運(yùn)動(dòng)情況變得非常復(fù)雜復(fù)雜,可以對(duì)三個(gè)參量在不同組合情況下進(jìn)行數(shù)值計(jì)算可以對(duì)三個(gè)參量在不同組合情況下進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,畫畫出相圖來分析出相圖來分析. 取取0.25，01， D2/3，f的變化范圍為的變化范圍為0.5,1.98,每一個(gè)相圖相差每一個(gè)相圖相差0.02，用軟件，用軟件MathLab給出數(shù)給出數(shù)值解。值解。 (1)f=0.