函數的最大值和最小值

1、函數的最大值和最小值任小粉【教材分析】1本節(jié)教材的地位與作用本節(jié)主要研究閉區(qū)間上的連續(xù)函數最大值和最小值的求法和實際應用，分兩課時，這里是第一課時，它是在學生已經會求某些函數的最值，并且已經掌握了性質：“如果f(x)是閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數，那么f(x)在閉區(qū)間a，b上有最大值和最小值” ，以及會求可導函數的極值之后進行學習的，學好這一節(jié)，學生將會求更多的函數的最值，運用本節(jié)知識可以解決科技、經濟、社會中的一些如何使成本最低、產量最高、效益最大等實際問題這節(jié)課集中體現了數形結合、理論聯系實際等重要的數學思想方法，學好本節(jié)，對于進一步完善學生的知識結構，培養(yǎng)學生用數學的意識都具有極為重要的意義

2、2教學重點 會求閉區(qū)間上連續(xù)開區(qū)間上可導的函數的最值3教學難點高三年級學生雖然已經具有一定的知識基礎，但由于對求函數極值還不熟練，特別是對優(yōu)化解題過程依據的理解會有較大的困難，所以這節(jié)課的難點是理解確定函數最值的方法4教學關鍵本節(jié)課突破難點的關鍵是：理解方程f(x)=0的解，包含有指定區(qū)間內全部可能的極值點【教學目標】根據本節(jié)教材在高中數學知識體系中的地位和作用，結合學生已有的認知水平，制定本節(jié)如下的教學目標：1知識和技能目標（1）理解函數的最值與極值的區(qū)別和聯系（2）進一步明確閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數f(x)，在a，b上必有最大、最小值（3）掌握用導數法求上述函數的最大值與最小值的方法和步驟

3、2過程和方法目標（1）了解開區(qū)間內的連續(xù)函數或閉區(qū)間上的不連續(xù)函數不一定有最大、最小值（2）理解閉區(qū)間上的連續(xù)函數最值存在的可能位置：極值點處或區(qū)間端點處（3）會求閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內可導的函數的最大、最小值3情感和價值目標（1）認識事物之間的的區(qū)別和聯系（2）培養(yǎng)學生觀察事物的能力，能夠自己發(fā)現問題，分析問題并最終解決問題（3）提高學生的數學能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、實踐能力和理性精神【教法選擇】根據皮亞杰的建構主義認識論，知識是個體在與環(huán)境相互作用的過程中逐漸建構的結果，而認識則是起源于主客體之間的相互作用本節(jié)課在幫助學生回顧肯定了閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定存在最大值和最小值之后，引導學生通

4、過觀察閉區(qū)間內的連續(xù)函數的幾個圖象，自己歸納、總結出函數最大值、最小值存在的可能位置，進而探索出函數最大值、最小值求解的方法與步驟，并優(yōu)化解題過程，讓學生主動地獲得知識，老師只是進行適當的引導，而不進行全部的灌輸為突出重點，突破難點，這節(jié)課主要選擇以合作探究式教學法組織教學【學法指導】對于求函數的最值，高三學生已經具備了良好的知識基礎，剩下的問題就是有沒有一種更一般的方法，能運用于更多更復雜函數的求最值問題？教學設計中注意激發(fā)起學生強烈的求知欲望，使得他們能積極主動地觀察、分析、歸納，以形成認識，參與到課堂活動中，充分發(fā)揮他們作為認知主體的作用本節(jié)課的教學，大致按照“創(chuàng)設情境，鋪墊導入合作學習

5、，探索新知指導應用，鼓勵創(chuàng)新歸納小結，反饋回授”四個環(huán)節(jié)進行組織教學環(huán)節(jié)教 學 內 容設 計 意 圖一、創(chuàng) 設 情 境，鋪 墊 導 入1問題情境：在日常生活、生產和科研中，常常會遇到求什么條件下可以使成本最低、產量最大、效益最高等問題，這往往可以歸結為求函數的最大值與最小值如圖,有一長80cm,寬60cm的矩形不銹鋼薄板,用此薄板折成一個長方體無蓋容器,要分別過矩形四個頂點處各挖去一個全等的小正方形，按加工要求,長方體的高不小于10cm且不大于20cm設長方體的高為xcm,體積為Vcm3問x為多大時,V最大?并求這個最大值解：由長方體的高為xcm，可知其底面兩邊長分別是（802x）cm，（60

6、2x）cm,(10x20).所以體積V與高x有以下函數關系V=（802x）（602x）x=4（40x）（30x）x.2引出課題：分析函數關系可以看出，以前學過的方法在這個問題中較難湊效，這節(jié)課我們將學習一種很重要的方法，來求某些函數的最值 以實例引發(fā)思考，有利于學生感受到數學來源于現實生活，培養(yǎng)學生用數學的意識，同時營造出寬松、和諧、積極主動的課堂氛圍，在新舊知識的矛盾沖突中，激發(fā)起學生的探究熱情實際問題中，函數和自變量x范圍的設置，都緊扣本節(jié)課的核心：確定閉區(qū)間上的連續(xù)函數的最（大）值 通過運用幾何畫板演示,增強直觀性,幫助學生迅速準確地發(fā)現相關的數量關系提出問題后,引導學生發(fā)現,求所列函數

7、的最大值是以前學習過的方法不能解決的,由此引出新課,使學生深感繼續(xù)學習新知識的必要性,為進一步的研究作好鋪墊.二、合 作 學 習，探 索 新 知求a，b上的連續(xù)函數f(x)的最大值和最小值的步驟：（1）求函數f(x)在開區(qū)間（a，b）內的極值；（2）將f(x)的各極值與f(a)、 f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值例1 求函數y= x42 x25在區(qū)間2，2上的最大值與最小值解： y=4 x34x，令y=0，有4 x34x=0，解得：x=1,0,1當x變化時，y，y的變化情況如下表：x2(-2,-1)1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y000y1345413從上表可

8、知，最大值是13，最小值是4思考：求函數f(x)在a,b上最值過程中，判斷極值往往比較麻煩，我們有沒有辦法簡化解題步驟？設函數f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內可導，求f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟可以改為：（1）求f(x)在(a,b)內導函數為零的點，并計算出其函數值；（2）將f(x)的各導數值為零的點的函數值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值解法2：y=4 x34x令y=0，有4x34x=0，解得：x=1,0,1x=1時，y=4,x=0時，y=5, x=1時，y=4又 x=2時，y=13，x=2時，y=13所求最大值是13，最小值是4課堂練習

9、：求下列函數在所給區(qū)間上的最大值與最小值：（1）y=xx3,x0,2（2）y=x3x2x，x2,1探索出最大值和最小值存在的可能位置后，求法邊呼之欲出，這時可以讓學生給出求解步驟，既鍛煉了他們的表達能力，更培養(yǎng)了他們的數學思維能力解決例1的方法并不唯一，還可以通過換元轉化為學生熟知的二次函數問題；而這里利用新學的導數法求解，這種方法更具一般性，是本節(jié)課學習的重點“問起于疑，疑源于思”，數學最積極的成分是問題，提出問題并解決問題是數學教學的靈魂思考題的目的是優(yōu)化導數法求最大、最小值的解題過程，使得問題的解決更簡單明快，更易于操作這一環(huán)節(jié)旨在培養(yǎng)學生的探究意識及創(chuàng)新精神，提高學生分析和解決問題的能

10、力 對例題1用簡化后的方法求解，便于學生將它與第一種解法形成對照，更容易被學生所接受 課堂練習的目的在于及時鞏固重點內容，使學生在課堂上就能掌握同時強調規(guī)范的書寫和準確的運算，培養(yǎng)學生嚴謹認真的數學學習習慣對學生完成聯系情況進行評價，使所有學生都體驗到成功或得到鼓勵，并據此調控教學教學環(huán)節(jié)教 學 內 容設 計 意 圖三、指 導 應 用，鼓 勵 創(chuàng) 新例2如圖,有一長80cm,寬60cm的矩形不銹鋼薄板,用此薄板折成一個長方體無蓋容器,要分別過矩形四個頂點處各挖去一個全等的小正方形，按加工要求,長方體的高不小于10cm不大于20cm,設長方體的高為xcm,體積為Vcm3問x為多大時,V最大?并求

11、這個最大值分析：建立V與x的函數的關系后，問題相當于求x為何值時，V最小，可用本節(jié)課學習的導數法加以解決例題2的解決與本課的引例前后呼應，繼續(xù)鞏固用導數法求閉區(qū)間上連續(xù)函數的最值，同時也讓學生體會到現實生活中蘊含著大量的數學信息，培養(yǎng)他們用數學的意識和能力四、歸納小結，反饋回授課堂小結：1在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數f(x)在 a,b上必有最大值與最小值;2求閉區(qū)間上連續(xù)函數的最值的方法與步驟;3利用導數求函數最值的關鍵是對可導函數使導數為零的點的判定.作業(yè)布置：P139 1、2、3通過課堂小結，深化對知識理解，完善認識結構，領悟思想方法，強化情感體驗，提高認識能力課外作業(yè)有利于教師發(fā)現教學中的

12、不足，及時反饋調節(jié)函數的單調性教學設計丁齊燕一、教材分析1、教材內容本節(jié)課是蘇教版第二章函數概念和基本初等函數§213函數簡單性質的第一課時，該課時主要學習增函數、減函數的定義，以及應用定義解決一些簡單問題2、教材所處地位、作用函數的性質是研究函數的基石，函數的單調性是首先研究的一個性質通過對本節(jié)課的學習，讓學生領會函數單調性的概念、掌握證明函數單調性的步驟，并能運用單調性知識解決一些簡單的實際問題通過上述活動，加深對函數本質的認識函數的單調性既是學生學過的函數概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數函數、對數函數、三角函數的單調性的基礎此外在比較數的大小、函數的定性分析以及相關的數學綜合

13、問題中也有廣泛的應用，它是整個高中數學中起著承上啟下作用的核心知識之一從方法論的角度分析，本節(jié)教學過程中還滲透了探索發(fā)現、數形結合、歸納轉化等數學思想方法3、教學目標（1）知識與技能：使學生理解函數單調性的概念，掌握判別函數單調性的方法；（2）過程與方法：從實際生活問題出發(fā)，引導學生自主探索函數單調性的概念，應用圖象和單調性的定義解決函數單調性問題，讓學生領會數形結合的數學思想方法，培養(yǎng)學生發(fā)現問題、分析問題、解決問題的能力（3）情感態(tài)度價值觀：讓學生體驗數學的科學功能、符號功能和工具功能，培養(yǎng)學生直覺觀察、探索發(fā)現、科學論證的良好的數學思維品質 4、重點與難點教學重點（1）函數單調性的概念；

14、（2）運用函數單調性的定義判斷一些函數的單調性 教學難點（1）函數單調性的知識形成；（2）利用函數圖象、單調性的定義判斷和證明函數的單調性二、教法分析與學法指導本節(jié)課是一節(jié)較為抽象的數學概念課，因此，教法上要注意：1、通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，為概念學習創(chuàng)設情境，拉近數學與現實的距離，激發(fā)了學生求知欲，調動了學生主體參與的積極性2、在運用定義解題的過程中，緊扣定義中的關鍵語句，通過學生的主體參與，逐個完成對各個難點的突破，以獲得各類問題的解決3、在鼓勵學生主體參與的同時，不可忽視教師的主導作用具體體現在設問、講評和規(guī)范書寫等方面，要教會學生清晰的思維、嚴謹的推理，并成功地完成書面表達

15、4、采用投影儀、多媒體等現代教學手段，增大教學容量和直觀性在學法上：1、讓學生從問題中質疑、嘗試、歸納、總結、運用，培養(yǎng)學生發(fā)現問題、研究問題和解決問題的能力2、讓學生利用圖形直觀啟迪思維，并通過正、反例的構造，來完成從感性認識到理性思維的一個飛躍三、 教學過程教學環(huán)節(jié)教 學 過 程設 計 意 圖 問題情境（播放中央電視臺天氣預報的音樂） 如圖為宿遷市2006年元旦這一天24小時內的氣溫變化圖，觀察這張氣溫變化圖：問題1 怎樣描述氣溫隨時間增大的變化情況？問題2 怎樣用數學語言來刻畫上述時段內“隨著時間的增大氣溫逐漸升高”這一特征？問題3 在區(qū)間4，16上，氣溫是否隨時間增大而增大？ 連續(xù)提出

16、三個相關聯的問題，包括問題3這樣讓人警覺的反例，使學生在解決問題的過程中，形成對函數單調性的認識從學生熟悉的生活情境引入，讓學生對函數單調性產生感性認識，為引出單調性的定義打好基礎，有利于定義的自然生成，也揭示了單調性最本質的東西定義形成通過對以上問題的分析，從正、反兩方面領會函數單調性師生共同總結出單調增函數的定義，并解讀定義中的關鍵詞，如：區(qū)間內，任意，當<時，都有<仿照單調增函數定義，由學生說出單調減函數的定義教師介紹單調性和單調區(qū)間的定義函數單調性定義產生是本節(jié)課的難點，難在：如何使學生從描述性語言過渡到嚴謹的數學語言通過問題的分解，引導學生步步深入，直至找到最準確的數學語

17、言來描述定義這里體現以學生為主體，師生互動合作的教學新理念定義運用1、回到問題情境，提出問題：你能找出氣溫圖中的單調區(qū)間嗎？2、根據你列舉的函數，運用函數單調性的定義，證明你判斷的結論（1）；（2）；（3）運用實物投影，投影學生的證明，糾正出現的問題，規(guī)范證明的格式請學生歸納運用定義法探求并證明函數單調性的步驟，投影演示：取值；作差變形；定號；判斷問題1利用函數的圖象判斷函數的單調性和單調區(qū)間，即圖象法. 問題2先從“形”上去判斷單調區(qū)間和單調性，再回歸定義去，從“數”的角度證明單調性，使學生認識到“形”可幫助我們探索解題思路，而定義是最終解決問題的基礎規(guī)范解題過程、總結解題步驟是知識和方法的

18、提煉，也是對學生學習的指導.問題討論問題 討論函數的單調性實際問題 在一碗水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜你能運用所學過的數學知識來解說這一現象嗎？ 由圖象探索函數的單調區(qū)間，再運用定義嚴密證明函數的單調性“糖水問題”實際上是函數的一個實際背景 從定向性的證明，到自我探索單調區(qū)間完成證明，是一個很大的跨越，但在此探索過程中，學生體會到數學中“數形”的聯系和互相驗證，體會到成功解決問題的快樂生活實際問題的提供體現了數學來源于生活，也用于解決生活中的問題課堂小結1、函數單調性的定義2、判斷、證明函數單調性的方法：圖象、定義函數的單調性是函數的局部性質，它反映了函數定義域內某個區(qū)間上函數值

19、的增減變化和圖象的升降趨勢我們將繼續(xù)學習運用函數的單調性解決數學問題及生活實際問題通過學生的主體參與，使學生深切體會到本節(jié)課的主要內容和思想方法，從而實現對函數單調性認識的再次深化.作業(yè)布置（1）閱讀課本P3435例2（2）書面作業(yè)：教材 p43 1、7、11課后嘗試1、若定義在R上的單調減函數滿足，你知道的取值范圍嗎？2、二次函數在0，）是增函數，你能確定字母的值嗎？通過三個方面的作業(yè)，使學生養(yǎng)成先看書，后做作業(yè)的習慣課后嘗試是對課堂知識的深化理解一元二次不等式的解法教學設計曹鈺一.教材內容分析：1.本節(jié)課內容在整個教材中的地位和作用。概括地講，本節(jié)課內容的地位體現在它的基礎性，作用體現在它

20、的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續(xù)和深化，對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用，也與后面的函數、數列、三角函數、線形規(guī)劃、直線與圓錐曲線以及導數等內容密切相關。許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法。因此，一元二次不等式的解法在整個高中數學教學中具有很強的基礎性，體現出很大的工具作用。2.教學目標定位。根據教學大綱要求、高考考試大綱說明、新課程標準精神、高一學生已有的知識儲備狀況和學生心理認知特征，我確定了四個層面的教學目標。第一層面是面向全體學生的知識目標：熟練掌握一元二次不等式的兩種解法，正確理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數三

21、者的關系。第二層面是能力目標，培養(yǎng)學生運用數形結合與等價轉化等數學思想方法解決問題的能力，提高運算和作圖能力。第三層面是德育目標，通過對解不等式過程中等與不等對立統一關系的認識，向學生逐步滲透辨證唯物主義思想。第四層面是情感目標，在教師的啟發(fā)引導下，學生自主探究，交流討論，培養(yǎng)學生的合作意識和創(chuàng)新精神。3.教學重點、難點確定。本節(jié)課是在復習了一次不等式的解法之后，利用二次函數的圖象研究一元二次不等式的解法。只要學生能夠理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數三者的關系，并利用其關系解不等式即可。因此，我確定本節(jié)課的教學重點為一元二次不等式的解法，關鍵是一元二次方程、一元二次不等式和二次函數三

22、者的關系。二.教法學法分析：數學是發(fā)展學生思維、培養(yǎng)學生良好意志品質和美好情感的重要學科，在教學中，我們不僅要使學生獲得知識、提高解題能力，還要讓學生在教師的啟發(fā)引導下學會學習、樂于學習，感受數學學科的人文思想，使學生在學習中培養(yǎng)堅強的意志品質、形成良好的道德情感。為了更好地體現課堂教學中“教師為主導，學生為主體”的教學關系和“以人為本，以學定教”的教學理念，在本節(jié)課的教學過程中，我將緊緊圍繞教師組織啟發(fā)引導，學生探究交流發(fā)現，組織開展教學活動。我設計了創(chuàng)設情景引入新課，交流探究發(fā)現規(guī)律，啟發(fā)引導形成結論，練習小結深化鞏固，思維拓展提高能力,五個環(huán)環(huán)相扣、層層深入的教學環(huán)節(jié)，在教學中注意關注整

23、個過程和全體學生，充分調動學生積極參與教學過程的每個環(huán)節(jié)。三.教學過程分析：1創(chuàng)設情景引入新課。我們常說“興趣是最好的老師”，長期以來，學生對學習數學缺乏興趣，甚至失去信心，一個重要的原因，是老師在教學中不重視學生對學習的情感體驗，教學應該充分考慮學生的情感和需要，想方設法讓學生在學習中樹立信心，感受學習的樂趣。根據教材內容的安排，我以學生熟悉的畫一次函數圖象、求一次方程和一次不等式的解為背景知識切入，設置一個練習題組，一方面讓學生總結復習已有知識，為后面學習二次不等式的解法打下基礎，做好鋪墊，另一方面，使學生在自己熟悉的問題中首先獲得解題成功的快樂體驗，然后以2004年江蘇省的一道高考試題為

24、引子，引入本節(jié)課的新授內容。對于本題，引導學生，利用上面解練習題組1的方法，畫出二次函數圖象來解答。二次函數是初中數學的重要內容，本題又給出了函數圖象上許多點，相信學生畫出圖象應該不成問題，只要教師適當點撥，學生不難得到正確答案。以高考試題為背景引入新課，可以提高學生興趣，抓住學生眼球，吸引學生注意力，還可以讓學生實實在在感受到，高考題就在我們的課本中，就在我們平常的練習中。2探究交流發(fā)現規(guī)律。從特殊到一般是我們發(fā)現問題、尋求規(guī)律、揭示問題本質最常用的方法之一。我把課本例題1、2編為練習題組（一）,交由學生用上面解高考題的方法圖象法去解，學生由于熟知二次函數圖象，求解應該不會有太大的問題。在這

25、個過程中，教師要啟發(fā)引導學生注意對比兩題的異同，組織引導學生展開交流討論，探討第（2）題能不能先把二次項系數化正以后再構造函數畫圖求解。然后達成共識，如果二次項系數為負數時，先做等價轉化，把二次項系數化為正數再解，課本19頁例3、例4作為題組（二），繼續(xù)讓學生用上面的圖象法，由學生自己求解，這時我及時提示學生注意這兩題與題組（一）中兩題的不同（例1、例2對應方程都有兩個不等實根，例3對應方程有兩相等實根，例4對應方程無實根）。兩個題組的練習之后，可以尋求解二次不等式的一般規(guī)律。3啟發(fā)引導形成結論。前面兩個題組的四個小題，基本涵蓋了一般一元二次不等式解的各種情況，進一步啟發(fā)引導學生將特殊、具體題

26、目的結論做一般化總結，與學生一起就 0,0,0 的三種情況，總結二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0 （a0）的解的情況應該水到渠成。至此，學生可以感受到，解二次不等式只須將二次項系數化為正數，求解二次方程 ax2+bx+c=0 的根。根據后的二次不等式的符號寫出解集即可，必要時也可以結合圖象寫解集。這樣我們就得到了二次不等式的另外一種解法(可稱為“三步曲”法)。4訓練小結鞏固深化。為了鞏固和加深二次不等式的兩種解法，接下來及時組織學生進行課堂練習，完成課本21頁練習1-4題。本環(huán)節(jié)請不同層次的學生在黑板上書寫解題過程，之后師生共同糾正問題，規(guī)范解題過程的書寫。5延伸拓寬提高能力。

27、課堂教學既要面向全體學生，又應關注學生的個體差異。體現分類推進，分層教學的原則。為此，我又設計了一個提高練習題組，共有三道備選題目，以供程度較好學有余力的學生能夠更好的展示自己的解題能力，取得更進一步的提高。函數的圖象教學設計趙永芳1、教學目標：知識目標：理解三個參數A、對函數圖象的影響；揭示函數的圖象與正弦曲線的變換關系。能力目標：增強學生的作圖能力；通過探究變換過程，使學生了解由簡單到復雜，由特殊到一般的化歸思想；在難點突破環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學生全面分析、抽象、概括的能力。情感目標：在自主探究的過程中，培養(yǎng)學生勇于探索的精神和善于合作的意識。2、教學重點、難點：重點：由正弦曲線變換得到函數的圖象。

28、難點：當時，函數與函數的圖象關系。關鍵：理解三個參數A、對函數圖象的影響。3、教學方法與手段：教學方法：開放式探究、啟發(fā)式引導、互動式討論、反饋式評價學習方法：自主探究、觀察發(fā)現、合作交流、歸納總結。教學手段：運用多媒體網絡教學平臺，構建學生自主探究的教學環(huán)境。4、教學過程：整個教學過程是“以問題為載體，以學生活動為主線”進行的。（一）創(chuàng)設情境動畫演示： 用沙擺演示簡諧運動的圖象【設計意圖】采用用沙擺演示簡諧運動的圖象引出函數的圖象，體現該函數圖象與生活實際的緊密聯系；通過展示函數圖象在四個方面的用途，體現函數圖象在物理學上的重要性，激發(fā)學生研究該函數圖象的興趣。同時，引出本節(jié)課的研究問題函數

29、的圖象與正弦曲線有什么關系呢？（二）建構數學1、復習鞏固；評講作業(yè)作出函數在一個周期內的簡圖?！驹O計意圖】以作業(yè)講評的方式復習鞏固五點作圖法，并以函數作為具體研究對象，那么這個函數圖象，恰可作為后面變換結果的檢驗依據。2、自主探究；由正弦曲線如何變化得到函數的圖象？【設計意圖】觀察函數解析式學生容易發(fā)現三個參數、都發(fā)生了變化，根據已有的知識基礎，他們很清楚需要進行怎樣的三種變換。自然恰當地提出本節(jié)的核心問題三種變換能否任意排序呢？ 問題提出：三種變換能否任意排序？ 實驗探究通過精心制作的課件，結合我校數學活動室多媒體網絡教學環(huán)境，我為學生提供了這樣的探究平臺，在這個平臺中我給出了正弦曲線一個周

30、期內的圖象，并用五點作圖法繪出了函數在一個周期內的圖象；同時提供了三種變換的6種不同排列方式；學生可以選擇不同變換方式進行探究，觀察所選變換方式得到的圖象與五點作圖法繪出的圖象是否重合，以此檢驗所選變換方式的正確性。A、自主實驗，形成初步結論. 經過嘗試、觀察，有些學生所選變換方式得到的圖象與五點作圖法繪出圖象重合；有些學生所選變換方式得到的圖象與五點作圖法繪出圖象不重合；形成初步結論：“三種變換不可以任意排列”、“有的排列方式得到的圖象與五點法繪出圖象不重合”。B、深入探究，討論分析；請學生結合教學平臺討論以下兩個問題：問題1：得到不重合的圖象的變換方式有什么共同點？（共同點是先進行周期變換

31、后進行平移變換，而且平移量過大。）問題2：得到不重合圖象的原因是三種變換順序錯了？還是變換中某個量錯了？（這與順序無關，只要將平移量由改為即可得到重合的圖象。）C、實驗小結，形成結論；順序可任意改變；需要注意不同順序中平移量的不同。先平移變換后周期變換時，需向左平移個單位；先周期變換后平移變換時，需向左平移個單位而不是個單位。規(guī)律探究問題3 ：先周期變換后平移變換時，平移量為什么不是，而是？（平移量變成的主要原因在于。）（請學生繼續(xù)嘗試和的情況。鑒于教材不要求證明，由不完全歸納法得出規(guī)律：先進行周期變換后進行平移變換時應該平移個單位。平移量是由的改變量確定的。）問題4 ：為避免繁瑣，直接平移個

32、單位，采用怎樣的順序較好？（先進行平移變換后進行周期變換比較好。）3、規(guī)律總結由正弦曲線變換到函數的圖象需要進行三種變換，順序可任意改變；先平移變換后周期變換時平移個單位，先周期變換后平移變換時平移個單位。常用變換順序先平移變換再周期變換后振幅變換（平移的量只與有關）。（三）知識運用鞏固強化：請準確敘述由正弦曲線變換得到下列函數圖象的過程？ 1、 2、變式訓練：1、已知函數的圖象為C，為了得到函數的圖象，只需把C的所有點（ ）A、橫坐標伸長到原來的10倍，縱坐標不變。 B、橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變。C、縱坐標伸長到原來的10倍，橫坐標不變。 D、縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變。2、已

33、知函數的圖象為C，為了得到函數的圖象，只需把C的所有點（ ）A、橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變。 B、橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變。C、縱坐標伸長到原來的4倍，橫坐標不變。 D、縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變。3、已知函數的圖象為C，為了得到函數的圖象，只需把C的所有點（ ）A、向左平移個單位長度 B、向右平移個單位長度C、向左平移個單位長度 D、向右平移個單位長度4、將正弦曲線上各點向左平移個單位，再把橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，則所得圖象解析式為（ ）A、 B、 C、 D、（四）歸納總結（師生共同歸納）1、正弦曲線變換得到函數的圖象順序可任意，平移要注意；常常是平移、周期

34、再振幅；2、余弦曲線變換得到函數的圖象作法全相同。任意角的三角函數三角函數線劉陽教學背景： 1教材地位分析：三角函數是中學數學的重要內容之一，而三角函數線的概念及其應用不僅體現了數形結合的數學思想，又貫穿整個三角函數的教學.借助三角函數線可以推出三角函數公式，求解三角函數不等式，探索三角函數的圖像和性質，可以說,三角函數線是研究三角函數的有利工具. 2學生現實分析：學習本節(jié)前,學生已經掌握任意角三角函數的定義,三角函數值在各象限的符號,以及誘導公式一,為三角函數線的尋找做好了知識準備.高一上學期研究指、對數函數圖像時,已帶領學生學習了幾何畫板的基礎知識，現在他們已經具備初步的幾何畫板應用能力，

35、能夠制作簡單的動畫，開展數學實驗.教學目標：1知識目標: 使學生掌握如何利用單位圓中的有向線段分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數值,并能利用三角函數線解決一些簡單的三角函數問題.2能力目標: 借助幾何畫板讓學生經歷概念的形成過程，提高學生觀察、發(fā)現、類比、猜想和實驗探索的能力；在論壇上開展研究性學習，讓學生借助所學知識自己去發(fā)現新問題，并加以解決，提高學生抽象概括、分析歸納、數學表述等基本數學思維能力.3情感目標：激發(fā)學生對數學研究的熱情，培養(yǎng)學生勇于發(fā)現、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過學生之間、師生之間的交流合作，實現共同探究、教學相長的教學情境.教學重點難點：1重點：三角函數線的作法及其

36、簡單應用.2難點：利用與單位圓有關的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數值分別用它們的幾何形式表示出來.教學方法與教學手段：1教法選擇：“設置問題，探索辨析，歸納應用，延伸拓展”科研式教學.2學法指導：類比、聯想，產生知識遷移；觀察、實驗，體驗知識的形成過程；猜想、求證，達到知識的延展.3教學手段：本節(jié)課地點選在多媒體網絡教室，學生利用幾何畫板軟件探討數學問題，做數學實驗; 借助網絡論壇交流各自的觀點,展示自己的才能.教學過程：一、設置疑問,實驗探索（17分鐘）教學環(huán)節(jié)教學過程設計意圖設置疑問,點明主題前面我們學習了角的弧度制，角弧度數的絕對值，其中是以角作為圓心角時所對弧的長，r是圓的半

37、徑.特別地, 當r =1時，,此時的圓稱為單位圓，這樣就可以用單位圓中弧的長度表示所對圓心角弧度數的絕對值，那么能否用幾何圖形來表示任意角的正弦、余弦、正切函數值呢？這就是我們今天一起要研究的問題.既可以引出單位圓，又可以使學生通過類比聯想主動、快速的探索出三角函數值的幾何形式.概念學習,分散難點有向線段：帶有方向的線段.（1）方向：按書寫順序，前者為起點，后者為終點，由起點指向終點.如：有向線段OM,O為起點，M為終點，由O點指向M點.OM （動態(tài)演示）(2) 數值：（只考慮在坐標軸上或與坐標軸平行的有向線段）絕對值等于線段的長度，若方向與坐標軸同向，取正值;與坐標軸反向，取負值.如： OM

38、= 1, ON= -1, AP = 相關概念的學習分散了教學難點,使學生能夠更多的圍繞重點展開探索和研究.實驗探 索,辨析研討1.(復習提問)任意角的正弦如何定義?角的終邊上任意一點P(除端點外)的坐標是（），它與原點的距離是r, 比值叫做的正弦.思考:能否用幾何圖形表示出角的正弦呢?學生聯想角的弧度數與弧長的轉化, 類比猜測:若令r=1，則.取角的終邊與單位圓的交點為P,過點P作軸的垂線，設垂足為M，則有向線段MP=.(學生分析的同時,教師用幾何畫板演示)請學生利用幾何畫板作出垂線段MP,并改變角的終邊位置,觀察終邊在各個位置的情形,注意有向線段的方向和正弦值正負的對應.特別地,當角的終邊在

39、軸上時,有向線段MP變成一個點,記數值為0.這條與單位圓有關的有向線段MP叫做角的正弦線.2.思考:用哪條有向線段表示角的余弦比較合適?并說明理由.請學生用幾何畫板演示說明.有向線段OM叫做角的余弦線.3. 如何用有向線段表示？討論焦點：的終邊MPOxyT的終邊AT A-11(T)若令=1, 則=AT，但是第二、三象限角的終邊上沒有橫坐標為1的點，若此時取=-1的點T，tan=-=TA,有向線段的表示方法又不能統一.引導觀察：當角的終邊互為反向延長線時，它們的正切值有什么關系？統一認識：方案1：在象限角的終邊或其反向延長線上取=1的點T，則tan=AT；方案2：借助正弦線、余弦線以及相似三角形

40、知識得到=.幾何畫板演示驗證:當角的終邊落在坐標軸上時，tan與有向線段AT的對應.這條與單位圓有關的有向線段AT叫做角的正切線.美國華盛頓一所大學有句名言:“我聽見了,就忘記了;我看見了,就記住了;我做過了,就理解了.”要想讓學生深刻理解三角函數線的概念，就應該讓學生主動去探索，大膽去實踐，親身體驗知識的發(fā)生和發(fā)展過程.教學已經不再是把教師或學生看成孤立的個體，而是把他們的教和學看成是相互影響的辯證發(fā)展過程.在和諧的氛圍中，教師和學生都處在自由狀態(tài)，可以不受框框的束縛，充分表達各自的意見，在自己積極思維的同時又能感受他人不同的思維方式，從而打破自己的封閉狀態(tài)，進入更加廣闊的領域.二、作法總結

41、,變式演練（13分鐘）教學環(huán)節(jié)教學過程設計意圖作法總結正弦線、余弦線、正切線統稱為三角函數線.請大家總結這三種三角函數線的作法,并用幾何畫板演示(一學生描述,同時用電腦演示)：第一步：作出角的終邊，與單位圓交于點P；第二步：過點P作軸的垂線，設垂足為M，得正弦線MP、余弦線OM；第三步：過點A(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線的交點設為T，得角的正切線AT.特別注意：三角函數線是有向線段，在用字母表示這些線段時，要注意它們的方向，分清起點和終點，書寫順序不能顛倒.余弦線以原點為起點，正弦線和正切線以此線段與坐標軸的公共點為起點，其中點A為定點（1，0）.及時歸納總結，加深知識

42、的理解和記憶.變式演練,提高能力練習：利用幾何畫板畫出下列各角的正弦線、余弦線、正切線： （1）; （2）.學生先做,然后投影展示一學生的作品,并強調三角函數線的位置和方向.例1 利用幾何畫板畫出適合下列條件的角的終邊：（1）； （2）； （3）.共同分析（1），設角的終邊與單位圓交于P(),則=,所以要作出滿足的角的終邊，只要在單位圓上找出縱坐標為的點P，則射線OP即為的終邊.（幾何畫板動態(tài)演示）請學生分析（2）、(3),同時用幾何畫板演示. 例2 利用幾何畫板畫出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合：（1） ; （2）- . 分析：先作出滿足 ，的角的終邊(例1已做)，然后根據

43、已知條件確定角終邊的范圍.（幾何畫板動態(tài)演示）答案：（1）.（2）.延伸：通過（1）、（2）兩圖形的復合又可以得出不等式組的解集：. 鞏固練習,準確掌握三角函數線的作法.逆向思維,靈活運用三角函數線,并為利用三角函數線求解三角函數不等式(組)作鋪墊.數形結合思想表現在由數到形和由形到數兩方面.將任意角的正弦、余弦、正切值分別用有向線段表示出來體現了由數到形的轉化；借助三角函數線求解三角函數方程和不等式又發(fā)揮了由形到數的巨大作用.三、思維拓展,論壇交流（10分鐘）教學環(huán)節(jié)教學過程設計意圖思維拓展,論壇交流觀察角的終邊在各位置的情形,結合三角函數線和已學知識，你能發(fā)現什么規(guī)律,得出哪些結論？請說明

44、你的觀點和理由,并發(fā)表于焦作一中教育論壇 ().學生得出的結論有以下幾種：(1) sin2 + cos2 = 1;(2)sin + cos 1;(3) -1sin1, -1cos1, tanR;(4) 若兩角終邊互為反向延長線，則兩角的正切值相等,正弦、余弦值互為相反數;(5) 當角的終邊在第一象限逆時針旋轉時，正弦、正切值逐漸增大，余弦值逐漸減小;(6) 當角的終邊在直線的右下方時, sincos ;當角的終邊在直線的左上方時, sincos ;給學生建設一個開放的、有活力、有個性的數學學習環(huán)境.論壇交流既能展示個人才華,又能照顧到各個層次的學生.來自他人的信息為自己所吸收，自己的既有知識又

45、被他人的視點喚起，產生新的思想.這樣的學習過程使學生在輕松達成一個個階段目標之后，順利到達數學學習的新境界.四、歸納小結,課堂延展（5分鐘）教學環(huán)節(jié)教學過程設計意圖歸納小結1.回顧三角函數線作法.2.三角函數線是利用數形結合思想解決有關問題的重要工具，自從著名數學家歐拉提出三角函數與三角函數線的對應關系，使得對三角函數的研究大為簡化，現在仍然是我們解三角不等式、比較大小、以及今后研究三角函數圖像與性質的基礎.回顧三角函數線作法,再次加深理解和記憶.點明三角函數線在其他方面的應用,以及數形結合思想,便于學生在后續(xù)學習中更深入的思考,更廣泛的研究.鞏固創(chuàng)新,課堂延展鞏固作業(yè):習題4.3 1,2提升

46、練習：1. 已知：，那么下列命題成立的是（ ）A若、是第一象限的角，則cos>cos.B. 若、是第二象限的角，則tan>tan.C. 若、是第三象限的角，則cos>cos.D. 若、是第四象限的角，則tan>tan.2求下列函數的定義域：（1） y = ; (2) y = lg(34sin2x) .延展作業(yè):1. 類比正切線的作法，你能作出余切線嗎？2.結合三角函數線我們已經發(fā)現了一些很有價值的結論,你還能得出哪些結論？請大家繼續(xù)在論壇上交流.3.查閱數學家歐拉的生平事跡,了解他在數學方面的突出貢獻,談談你的學習感受,并發(fā)表于論壇交流. 既能保證全體學生的鞏固應用，又

47、兼顧學有余力的學生，同時將探究的空間由課堂延伸到課外.指數函數教學設計曹鈺一、教材分析（一）教材的地位和作用人民教育出版社普通高中課程標準實驗教科書$2.1.2“指數函數”是在學生系統地學習了函數概念及性質,掌握了指數與指數冪的運算性質的基礎上展開研究的。作為重要的基本初等函數之一,指數函數既是函數近代定義及性質的第一次應用,也為今后研究其他函數提供了方法和模式,為后續(xù)的學習奠定基礎.指數函數在知識體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用，因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材，所以指數函數應重點研究.（二）課時劃分指數函數的教學在大綱中共分兩個課時完成?！爸笖岛瘮怠?/p>

48、的教學共分兩個課時完成。按照大綱的教學意圖第一課時為指數函數的定義，圖像及性質；第二課時為指數函數的應用。“指數函數”第一課時是在學習了指數與指數冪的運算基礎上學習指數函數的概念和性質，通過學習指數函數的定義，圖像及性質，可以進一步深化學生對函數概念的理解與認識，使學生得到較系統的函數知識和研究函數的方法，并且為學習對數函數作好準備。二、學情分析通過前一階段的教學，學生對函數和圖象的認識已有了一定的認知結構，主要體現在三個層面：知識層面：學生在已初步掌握了函數的基本性質和簡單的指數運算技能。能力層面：學生在初中已經掌握了用描點法描繪函數圖象的方法，通過第一章集合與函數的概念后初步具備了數形結合

49、的思想。情感層面：學生對數學新內容的學習有相當的興趣和積極性。但探究問題的能力以及合作交流等方面發(fā)展不夠均衡. 三、教學目標：1、知識技能目標：使學生理解指數函數的定義，掌握指數函數的圖象和性質，初步學會運用指數函數解決問題 2、過程方法目標：引入，剖析、定義指數函數的過程，啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動，培養(yǎng)學生的思維能力，體會數學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索指數函數性質，體會學習數學規(guī)律的方法，體驗成功的樂趣. 3、情感態(tài)度，價值觀目標：通過本節(jié)課的學習，使學生獲得研究函數的規(guī)律和方法，提高學生的學習能力養(yǎng)成積極主動，勇于探索，不斷創(chuàng)新的學習習

50、慣和品質，樹立學科學，愛科學，用科學的精神. 四、教學重點，難點 1、重點：指數函數的定義、圖象、性質. 2、難點：指數函數的定義理解，指數函數的圖象特征及指數函數的性質。五、教法選擇：、本節(jié)課采用的教學方法有 ：啟發(fā)發(fā)現法、課堂討論法 、采用這些方法的理論根據： 新課程標準要求我們在教學中應充分體現 “教師為主導，學生為主體”這一教學原則。 為了調動學生學習的積極性，使學生變被動學習為主動愉快的學習。采用數學實驗法讓學生對指數函數的圖象有直觀認識。采用小組討論法使學生概括出指數函數的性質，采用點撥啟發(fā)讓學生會用指數函數的性質。六、教學過程六教學環(huán)節(jié)教學程序及設計設計意圖新 課 引 入復習提問

51、：1.計算下列各式的值：（1）4-3 （2）(1/2)0 （3）16-3/4. 2.某種電腦病毒傳播時，由1 個自我復制成2 個，2個復制成4個，.,一個這樣的病毒復制 x 次后，得到的病毒個數y與x有怎樣的函數關系？由題2，我們得出病毒個數y 與x的函數關系式是y=2x,在這個函數里，自變量x出現在指數的位置上，而底數2是一個大于0且不等于1的常量。我們把這樣的函數叫做指數函數。（2分鐘）問題1是復習上堂課的內容，問題2從事例引入新課內容。新授課1指數函數的定義：一般地，形如y=ax(a>0且a1)的函數叫做指數函數。對定義中規(guī)定a>0,且a1進行分析：假設a=0,那么當x>

52、;0時，ax=0，當x0時，ax無意義；假設a<0,那么ax對某些x值可能沒有意義，如a=-1 時，（-1）x對于x=1/4,x=1/2,.無意義；假設a=1,那么y=1x=1對任意x 都是常數。為了避免出現上述情況，所以規(guī)定a>0且a1。在這個規(guī)定下，指數函數的定義域是R。例1:下列函數是否是指數函數：（1）y=0.2x (2)y=(-2)x (3)y=ex(4)y=(1/3)x (5)y=1x(5分鐘)新課引入后，板書課題，提出指數函數的概念。簡單的討論一下的取值增強學生思維的嚴謹性例1讓學生正確理解指數函數的定義。任意角的三角函數任小粉1教學目標：一、 借助單位圓理解任意角的

53、三角函數的定義。一、 根據三角函數的定義，能夠判斷三角函數值的符號。一、 通過學生積極參與知識的“發(fā)現”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力，從中感悟數學概念的嚴謹性與科學性。一、 讓學生在任意角三角函數概念的形成過程中，體會函數思想，體會數形 結合思想。2教學重點與難點：重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義；三角函數值的符號。難點：任意角的三角函數概念的建構過程。授課過程：一、 引入在我們的現實世界中的許多運動變化都有循環(huán)往復、周而復始的現象，這種變化規(guī)律稱為周期性。如何用數學的方法來刻畫這種變化？從這節(jié)課開始，我們要來學習刻畫這種規(guī)律的數學模型之一三角函數。二、創(chuàng)設情境三角函數是與角有關的函數，在學習