微積分必考題

1、微積分 (b) 上冊(cè)必考題微積分的必考可能難題是：求極限，求積分，微分方程，證明等式和不等式，應(yīng)用題（相關(guān)變化率，微分方程，元素法求平面圖形體積面積弧長(zhǎng)和一些物理問(wèn)題，此處難點(diǎn)在積分和微分方程的求解）一、極限求極限的幾個(gè)原則:a. 能先求的先求，能化簡(jiǎn)的化簡(jiǎn)，能等價(jià)無(wú)窮小替換就替換b. 洛必達(dá)法則c. 泰勒公式無(wú)敵后面兩種方法要把式子變?yōu)榉质剑刹捎玫勾鷵Q）1. 用四則運(yùn)算求極限limx? 0 x2+3x+4limx? 0(x+13lg(2+ x2)(1- x)2+cosx)對(duì)于非未定式，考試有可能表達(dá)式看起來(lái)很難，但實(shí)際上直接帶入求極限，別犯傻！2. 用兩個(gè)重要極限，這里只講冪指函數(shù)極限li

2、mx?p4(tan x)tan2 x冪指函數(shù)，且里面極限是1，就可以湊一個(gè)“1+” ，在用兩個(gè)重要極限求極限時(shí)，若底數(shù)化成e 指數(shù)出現(xiàn)了帶有極限變量的乘積項(xiàng)，則可用倒代換化成分式。limx?￥(cosax+ksinax)xelimx?￥x(cosax+ksinax- 1)此時(shí)，令x =at, 就elimt? 0a(cost +ksint - 1)t, 用泰勒公式展開(kāi)即可。3. 等價(jià)無(wú)窮小的替換，實(shí)際上是泰勒公式的特殊情況，只不過(guò)就展開(kāi)了一項(xiàng)。4. 能求出的極限先求出來(lái)（其實(shí)也是泰勒公式的展開(kāi)，只不過(guò)就展開(kāi)了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)而已）limx? 0(1+ tan x -1+sin xx 1+sin2x -

3、 x)limx? 0( 1+tan x -1+sin x)(1+tan x + 1+sinx)(x 1+sin2x - x)(1+tan x +1+sin x)limx? 0(tan x(1- cosx)(x 1+sin2x - x)(1+tanx + 1+sinx)上面兩個(gè)等價(jià)無(wú)窮小替換，下面有一項(xiàng)能先求出來(lái)。* 先求出來(lái)的向在極限過(guò)程中與等價(jià)無(wú)窮小替換一樣，必須是一個(gè)乘積項(xiàng)5. 洛必達(dá)法則* 用之前，判斷未定式！ ！ ！上下項(xiàng)數(shù)不多，導(dǎo)數(shù)好求。缺點(diǎn)：比如sinx等等永遠(yuǎn)無(wú)法用多項(xiàng)式表示， 若遇到上下冪次很高，求導(dǎo)將變得十分復(fù)雜。如：limx? 0(1+12x2-1+ x2(cosx - e

4、x)sin( x2)00,￥0,1￥三種類型對(duì)于0￥，直接就能看出來(lái)6. 泰勒公式把非多項(xiàng)式函數(shù)近似成多項(xiàng)式函數(shù), 用泰勒公式之前，先想想是否可以等價(jià)無(wú)窮小替換。缺點(diǎn)：展開(kāi)式可能復(fù)雜，需要記憶如：limx? 0(ex3- 1- x3sin62x)下面顯然可以用等價(jià)無(wú)窮小替換，而上面只需要第一項(xiàng)的局部麥克勞林公式即可，需要記住這些：ex,ln(1+x),(1+x)a,sinx,cos x,11- x有關(guān)泰勒公式的幾個(gè)問(wèn)題：1. o(x2- x) o(x2) 2. o(x+1)o(x)(2x)o(x)4.x*o(x2)=o(x3)5. o(x2)* o(x3)=o(x5)6. 小心：o(x)x要在

5、x ? 0時(shí)才 =0！想x?￥時(shí)的分式函數(shù)能用泰勒公式展開(kāi)嗎二、求積分求某函數(shù)的原函數(shù)后，原函數(shù)必須在與這個(gè)函數(shù)的同定義區(qū)間內(nèi)可微。如f(x)=sgn(x)沒(méi)有原函數(shù)（假設(shè)有，在x=0 不可微），因此有：每一個(gè)有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒(méi)有原函數(shù)。求積分的幾個(gè)原則：1. 基本類型;)(.11dxxxfnn;)(.2dxxxf;)(ln.3dxxxf;)1(.42dxxxf;cos)(sin.5xdxxf;)(.6dxaafxx;sec)(tan.72xdxxf2. 照方抓藥型 (相差一個(gè)線性函數(shù))3. sin2xcos5xdx 型有 sin 找 cos，沒(méi)有現(xiàn)成的 cos 用半角公式，如：1sin

6、 xdx, 用半角公式：=1sinx2cosx2d(x2)=1tanx2cos2x2d(x2)=1tanx2d(tanx2)4. 第二類換元法，一般換：根號(hào)下的，角頻率中的，重復(fù)項(xiàng)，換元后回帶第二類換元法開(kāi)方出來(lái)小心絕對(duì)值根式代換：x51+ x2dx，11+exdx.倒代換（分母階數(shù)較高）1x(x7+2)dx，.1124dxxx最小公倍數(shù)根式代換.11632dxeeexxxex6=t.)1(13dxxxx6=t角頻率代換：1+sinxn0npdx x=nt5. 分?jǐn)?shù)乘積化為部分分式代數(shù)和二次質(zhì)因式配方首先，假分式可以化為真分式6. 使用分部積分三個(gè)典型的分部積分若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正( 余)

7、弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積 , 就考慮設(shè)冪函數(shù)為u。若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為uexsin xdx與.)sin(lndxx出現(xiàn)循環(huán)序（每次要把相同的東西往微分符號(hào)中湊）除典型分部積分以外，還有這些要分部：e3xdx如果換元變成2 te3tdt(t =x), 變?yōu)榱说湫偷姆植糠e分xearctan x(1 + x2)23dx有一大部分都可以往微分符號(hào)中放，如此題中的earctan xarctan xdx,sin(ln x)dx別無(wú)選擇，只能分部 7.觀察f(x)g( f(x)dx直接湊微分 8.積化和差公式定積分：幾個(gè)常用定積分公式*

8、 觀察積分區(qū)間和函數(shù)奇偶如2x2+xcosx1+1- x2dx- 11.，可以分出一個(gè)偶函數(shù)，剩一個(gè)奇函數(shù)* 直接利用圖形面積:1- x201, 半個(gè)單位圓xf (sin x)dx =p20pf (sin x)dx0pf (sin x)dx0p2=f (cos x)dx0p2sinnxdx =cosnxdx =0p20p2n- 1n*n- 3n- 2*.*34*12*p2(n =2k)n- 1n*n- 3n- 2*.*45*23(n =2k +1)* 把極限式化為積分式：s=limn?￥f (xi)* xii=1n?s=limn?￥f (xi)* xii=1n?(xi= xi)如果插入分點(diǎn)平均

9、：s= limn?￥f (a +b- ani)*b- ani=1n?=f (x)dxab*最常用：當(dāng)a=0: s= limn?￥f (bni)*bn=f (x)dx0bi=1n?再特殊的， b=1，就有它表示曲邊梯形面積的代數(shù)和，如果求曲邊梯形的面積，那么要討論f(x) 與 0 的關(guān)系！以后看到類似的題，可以先把上面的通式寫下來(lái)，對(duì)號(hào)入座找f 。例：，乘法變代數(shù)和架在e 肩膀上！弄出b- an.廣義積分：極限符號(hào)一定要標(biāo)出左右才不會(huì)出錯(cuò)！看清瑕點(diǎn)（鄰域內(nèi)無(wú)界的點(diǎn)），是否為廣義積分一些代數(shù)恒等變形：積化和差：角頻率不同的函數(shù)的積倍角化為平方，一般湊(sec x)2，及 d(tanx)如：sin

10、xsin2xsin3xdx三、微分方程這里主要看微分方程的類型判斷：a. 一階微分方程先可化為dydx= f (x,y), 通過(guò)上下同除， 或湊微分， 看看是不是齊次方程齊次方程dydx= f (yx)把dydx放到左邊去， 再找 y 的一次項(xiàng)。 看是否是一階線性齊次或非其次方程，或伯努利方程。如果不行，把自變量與函數(shù)，重復(fù)以上方法試試。如果需要換元，前面積分的換元方法是一種思想。記住，換元是一種工具，不是求解特定題（積分）的套路。例：xdy- y+xy3(1+ln x)dx =0dydx=y+xy3(1+ln x)x (步驟 )dydx-yx=(1 +ln x)y3 (步驟第一句話)變成伯努

11、利方程，判型成功dydx=1xsin2(xy)-yx利用角頻率代換，令xy=u.那么對(duì)于 ln 等利用湊微分解微分方程dydx=(x+ y)2，把 x+y 放到左邊分子的微分符號(hào)中，因?yàn)椋篸(x+ y)dx=1+dydx， 所以有了：d(x+ y)dx- 1 =(x + y)2, 然后把 (x+y)當(dāng)做整體b. 可降階的高階微分方程, 觀察即可判型：不顯含 x，就別添 x，令y=p( y)=p不顯含 y，就別添 y，令y=p(x)= pc. 高階常系數(shù)微分方程（齊次，非齊次）齊次，求特征方程的根，一項(xiàng)一項(xiàng)寫：有一個(gè)單實(shí)根r ：cerx有一個(gè) k 重實(shí)根 r ：(c1+c2x+.+ckxk- 1

12、)erx有一對(duì) k 重共軛復(fù)根：eax(c1+c2x +.+ckxk- 1)cosbx+(d1+d2x+.+ dkxk- 1)sinbx)非齊次，一般，我們只會(huì)求二階的特解：類型一：elxpm(x) ,則y* = xkelxpm(x)k 取決于l是特征方程的幾重根類型二：elx(pl(x)coswx+pm(x)sinwx)，則y* = xkelx(r1n(x)coswx+r2n(x)sinwx)n=max(l,m)k 取決于lwi是否為特征方程的根四、相關(guān)變化率應(yīng)用題如何列方程 找所求，找已知，用微分形式表達(dá)，再找微分變量之間的關(guān)系。例題：?,20,120,4000,/803水面每小時(shí)上升幾米

13、米時(shí)問(wèn)水深的水槽頂角為米形狀是長(zhǎng)為水庫(kù)秒的體流量流入水庫(kù)中米河水以分析，求dhdt, 已知dvdt，而v =4000 3h2, 這樣，有了：dvdt=d(40003h2)dt=4000 3*2 hdhdt, 發(fā)現(xiàn) h 與 dv/dt 都已知了。五、等式與不等式的證明幾大方法：中值定理，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的凸凹性羅爾定理三條件，閉區(qū)間連續(xù)，開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)羅爾定理：兩端函數(shù)值相等，則必有一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值為0拉格朗日中值定理：兩點(diǎn)割線斜率等于某一點(diǎn)切線斜率柯西中值定理：函數(shù)值的增量比等于某位置導(dǎo)數(shù)的比（兩個(gè)函數(shù)）函數(shù)的單調(diào)性證明不等式：高中方法，較為簡(jiǎn)單函數(shù)的凸凹性證明不等式：注重凸凹性的定義f (x1+ x

14、22)與f(x1)+ f(x2)2的關(guān)系在不等式中，可以采用如下放縮，估計(jì)積分大致范圍：(b- a)mf (x)dxab (b- a)m,m 是區(qū)間上的最小值，m最大值* 如果證明函數(shù)是具體的，如：試用拉格朗日中值定理證明當(dāng)時(shí):,ln().xxxx0212左右直接相減，用拉格朗日定理后放縮再與0 比即可積分中值定理證明設(shè))(xf可導(dǎo)，且1)(limxfx求。解法：令x?x,x+2. 直接用積分中值定理六、圖形應(yīng)用題弧微分ds=(dx)2+(dy)2=1+ y2dx =1+(dxdy)2dy曲率k =y(1+ y2)23曲率半徑r=1k1. 求平面圖形面積：直角坐標(biāo)，參數(shù)方程：以小矩形近似代替，

15、積分變量x,y 都可以極坐標(biāo)方程：以圓扇形近似代替常見(jiàn)的直角坐標(biāo)方程：x23+ y23=a23星型線幾個(gè)常見(jiàn)的極坐標(biāo)方程：r2= a2cos2q雙紐線，啞鈴型r=a(1+cosq)心臟線常見(jiàn)的參數(shù)方程：擺線x = a(t - sint )y = a(1- cost )星型線x =acos3ty =asin3t?2. 求體積* 星型線與其他已經(jīng)有對(duì)稱性的線求旋轉(zhuǎn)體時(shí)只用求半個(gè)部分。如：星型線繞x 軸，體積元素為py2dx柱殼法：擺線繞y 軸，原方法積分限比較易錯(cuò)，此時(shí)用柱殼法即可，柱殼法小心絕對(duì)值。柱殼法避免了相減的問(wèn)題，最后與原方法表達(dá)式等價(jià)。 （相當(dāng)于底面積為ydx 或 xdy，高為2pr的

16、薄的柱殼）3. 弧長(zhǎng)直角坐標(biāo)：ds=1+ y2dxds=(dx)2+(dy)2參數(shù)方程：ds=f2(t )+y2(t )dt極坐標(biāo)方程：ds=r2(q)+ r2(q)dq七、元素法對(duì)物理的應(yīng)用怎么建系好一般地，下述規(guī)律適用：對(duì)于運(yùn)動(dòng)，順著運(yùn)動(dòng)方向建系，選擇開(kāi)始有力的地方作為原點(diǎn)。如：抽水做功，水從上往下走。對(duì)于壓力，順著壓力增大的地方建系，選擇開(kāi)始有力的地方做為原點(diǎn)。其他幾章的常用方法：一、導(dǎo)數(shù)與微分1. 點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義，包括單側(cè)導(dǎo)數(shù)，二階甚至k 階導(dǎo)數(shù)2. 萊布尼茨公式，求u*v 的 n 階導(dǎo)把二項(xiàng)式展開(kāi)的幾次方改為幾階導(dǎo)cnkk=0n?u( n- k )v(k )，因?yàn)?uv 在乘法中可互換

17、， 所以此處 u，v 也可互換。3. 一些高階導(dǎo)數(shù)的公式ax,sinkx,coskx,xa,ln x有些高階導(dǎo)數(shù)求之前要變形為這幾個(gè)基本導(dǎo)數(shù)y =1x2- 1化為代數(shù)和y =sin6x+cos6x不停地拆平方和變?yōu)?，最終用倍角表示4. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法（適用于多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函數(shù)）y =(x+1)x- 13(x+4)2ex二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（繪制函數(shù)圖像）.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上單調(diào)減少在那末函數(shù)，內(nèi)如果在上單調(diào)增加；在，那末函數(shù)內(nèi)如果在）（導(dǎo)內(nèi)可上連續(xù)，在在設(shè)函數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)繪制函數(shù)圖像的幾個(gè)步驟：1. 定義域，奇偶性，周期性，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)2. 單調(diào)性，凸