普通物理學教程力學第二版課后題解答(第四十章)

1、第四章動能和勢能思考題4.1 起重機起重重物。問在加速上升、勻速上升、減速上升以 及加速下降、勻速下降、減速下降六種情況下合力之功的正負。又： 在加速上升和勻速上升了距離 h這兩種情況中，起重機吊鉤對重物的 拉力所做的功是否一樣多？解答在加速上升、勻速上升、減速上升以及加速下降、勻速下降、減 速下降六種況下合力之功的正負分別為：正、0、負、正、0、負。在加速上升和勻速上升了距離 h這兩種情況中，起重機吊鉤對重 物的拉力所做的功不一樣多。加速上升F mg ；勻速上升F mg。4.2 彈簧A和B,勁度系數(shù)，(1)將彈簧拉長同樣的距離； 拉長兩個彈簧到某一長度時，所用的力相同。在這兩種情況下拉伸彈

2、簧的過程中，對那個彈簧做的功更多？解答(1) Ka Kb 拉長同樣距離1 A A K a21Ab -Kb22 KaKb, AaAb.FaFaFbg,K bXb>FaXak;原長Ka 4OA原長Kb I“AA/y FBOBFbXB QK A XAK B XBaa 2KaxA2KaA1K x21KFBA BK B XBK B TTT22K B1旦2K； i fB2KbKaKb a a ab4.3 “彈簧拉伸或壓縮時，彈簧勢能總是正的。”這一論斷是否 正確？如果不正確，在什么情況下，彈簧勢能會是負的。解答與零勢能的選取有關。4.4 一同學問：“二質(zhì)點相距很遠，引力很小，但引力勢能大; 反之，相

3、距很近，引力勢能反而小。想不通”。你能否給他解決這個 疑難？解答設兩物體（質(zhì)點）相距無限遠處為零勢能。4.5 人從靜止開始步行，如鞋底不在地面上打滑，作用于鞋底 的摩擦力是否做了功？人體的動能是哪里來的？分析這個問題用質(zhì)點系動能定理還是用能量守恒定律分析較為方便?解答（1）作用于鞋底的摩擦力沒有做功。（2）人體的動能是內(nèi)力做功的結果。（3）用質(zhì)點系動能定理分析這個問題較為方便。4.6 對靜摩擦力所做功的代數(shù)和是否總是負的？正的？為 零？解答不一定。4.7 力的功是否與參考系有關？ 一對作用力與反作用力所做解答木塊木卜板f F木塊木板（1）有關。如圖：木塊相對桌面 位移（s-l ）木板對木塊的滑

4、 動摩擦力做功f（s-l）若以木 板為參照系，情況不一樣。（2）無關。相對位移與參照系選取有關。（代數(shù)和不一定為零）4.8 取彈簧自由伸展時為彈性勢能零點， 畫出勢能曲線。再以彈簧拉伸或壓縮到某一程度時為勢能零點， 畫出勢能曲線。根據(jù)不同勢能零點可畫出若干條勢能曲線對重力勢能和萬有引力勢能也可如此作，研究一下。(1)彈簧原長為勢能零點EP 丄 Kx22(Ep 0xdx 丄Kx20EP EPoA?)xE pxE Px-kx22(2)Xo處勢能為零。EPx)2kx2重力勢能:xkxdxxoy 0處勢能為零Ep(y)y ho處勢能為零yEpy Ephoh mgdy mgy mghohoEp(y) m

5、gy mghomghoyh。處勢能為零yEpy Ep（-h°）-h°mgdy mgy mgh。萬有引力勢能與上雷同。兩質(zhì)點距離無限遠處勢能為零Ep422 本題圖表示測定運動體能的裝置。繩拴在腰間沿水平展 開跨過理想滑輪，下懸重物 50kg。人用力向后登傳送帶而人的質(zhì)心相對于地面不動。設傳送帶上側(cè)以2m/s的速率向后運動。問運動員 對傳送帶做功否？功率如何?解答人作用到傳送帶上水平方向的力，大小為 50g，方向向左。因為受力點有位移，所以運動員對傳送帶做功。N=F二mgx =50kgX 9.8N/kg x 2m/s=980w3一非線性拉伸彈簧的彈性力的大小為f & k

6、2 ，表示彈簧的伸長量，k1為正。（1）研究當k2 0,k2 0和k2 0時彈簧的df勁度7有何不同；（2）求出將彈簧由1拉伸至2時彈簧對外做的功。解答（1）根據(jù)題意 f k1 k23df所以彈簧勁度為d1 3k 2 2df當k2 0時，由于k10，所以d0，彈簧的勁度隨彈簧的伸長量的增加而增加當k2 0時，彈簧的勁度隨彈簧的 伸長量的增加而減小。埜k、當k2 0時，d1彈簧的勁度不變。以上三種情況的彈簧勁度系數(shù)如右圖所示：（2）將彈簧由1拉伸至2時，彈簧對外界所做的功是：I 2122144A= l （燈 k2l）dl-k1（ll 11） -k2（l2 I"）II 241 22 22

7、22丨2）"k2（ll i 1）（i2 丨1）1 k 1k2（ll I：） （I； If）當11 1 2時，A 0拉伸，外界做功，彈性力做負功。當|1 |2時，A > 0.縮短，彈性力做正功。一輕細線系一小球，小球在光滑水平面上沿螺線運動，繩穿過桌中心光滑圓孔，用力F向下拉繩。證明力F對線做的功等于線作用與小球的拉力所做的功。線不可伸長。解答r r設T為繩作用在小球上的力。力T對小球所做的功為A S dr將dr分解為沿r方向和與r垂直方向的兩個分位移dLdr r為對 0點的位矢）如圖: r I r r 【 r AT= ST dr ST dri dr2ST dri又T繩子不可伸長

8、F Tdri dl （ dl是力F的作用點的位移）r r.T dr F dl Sl一輛卡車能夠沿著斜坡以15km/h的速率向上行使，斜坡與水平的夾角的正切tg 0.02 ,所受的阻力等于卡車重量的0.04 ,如 果卡車以同樣的功率勻速下坡，卡車的速率是多少？解答取卡車為隔離體，卡車上下坡時均受到重力 mg牽引力F、地面 支持力N和阻力f作用。受力分析如圖所示：上坡受力分析下坡受力分析卡車作勻速直線運動T卡車作勻速直線運動F mgsinf 0F+mgsinf 0F二mgs in0.04mg卡車的功率r rN 上 F(mgsin0.04mg)上=(mg一tg一 0.04mg)上tg 1由題意：F=

9、mgs in0.04mg卡車的功率r rN 下 F ( mgsin 0.04mg)下=(mgtg0.04mg)下tg*tg21tg0.04)0.0445(km/h)質(zhì)量為m=0.5kg的木塊可在水平光滑直桿上滑動。木塊與一不可伸長的輕繩相連。繩跨過一固定的光滑小環(huán)。繩端作用著大 小不變的力T=50N木塊在A點時具有向右的速率0 6m/s。求力T 將木塊自A拉至B點的速度。解答N、mg做功為零由動能定理:1 2 1 m B m2 2式中a2TAABdrat abT dr4Tcos0dx44 xTdx0(4 x)2 32利用積分公式:udu u2 + a2.u2+ a24AT o50則上式.(4

10、if 32 陽 X)50,(4 x)23240100(J)b J 20.9(m/s) V m注：關于T做功還有一種解法：r r :.2ABT dr T .43 -3 2T 100(J)其中T為常量，其受力點的位移可利用三角形求。432質(zhì)量為1.2kg的木塊套在光滑鉛直桿上。不可伸長的輕 繩跨過固定的光滑小環(huán)，孔的直徑遠小于它到桿的距離。 繩端作用以 恒力F, F=60N.木塊在處有向上的速度0 2m/s，求木塊被拉至B時 的速度。解答重力做功A ABVV drW AB 5.88( J)A 60 (、,2 0.5-0.5)12.43(J)-m B -m A A總 Aw Af2 23.86(m/s

11、)方向向上質(zhì)量為m的物體與輕彈簧相連，最初，m處于使彈簧既未壓縮也為伸長的位置，并以速度0向右運動。彈簧的勁度系數(shù)為k，物體與支撐面之間的滑動摩擦系數(shù)為。求證物體能達到的最遠距離l_gl為k解答k-0_ 12 2mg。,-40A引 k i-n:mkm；mgg* xox由:1 2 m210 m21 2 m o220mgxxkxdx01 I2mgx kx所以:Im 0 mgx Ax22 2解一元二次方程:b . b2 4ac2aL km omg mg. 1 工X ( mg)kL km o mg mg 1 二x X ( mg)舍去負號：kmg( k (k 2工1) mg圓柱形容器內(nèi)裝有氣體，容器內(nèi)壁

12、光滑。質(zhì)量為 m的活塞將氣體密封。氣體膨脹后的體積各為 V1和V2，膨脹前的壓強為R。 活塞初速度為0。（ 1）求氣體膨脹后活塞的末速率，已知氣體膨脹時 氣體壓強與體積滿足PV恒量。（2）若氣體壓強與體積的關系為PV/ 恒量， 為常量，活塞末速率又如何？（本題用積分）解答(1)V2pdvV1v2 p1V1V2dv p-i v1In V1 VV1In V2Vi(2)1 22m 0V1VdVPM1-(v21V1435 O坐標系與O坐標系各對應軸平行。0相對于0沿x軸1 2 1 2F x m m以0作勻速直線運動。對于0系，質(zhì)點動能定理為2 2 2 1 ,1, 2沿x軸。根據(jù)伽利略變換證明：相對于0

13、系，動能定理也取這/ x x 0 tx x 0 t,種形式1m2 12 二21(m 1m(20)21 2 m( 10)/ 22221212 / 、m2m1 0(m 2 m 1)22F xF 0t= m 21m210(m 2 m 1)22F x F x F 0 t由動能定理得:F t=m 2F o t= o(m 2 m i)Ek_meV（電勢能）1 2 1 2最后可得：F x = m 2m i2 2說明相對于O系，動能定理的形式不變。436 帶電量為e的粒子在均勻磁場中偏轉(zhuǎn)。A表示發(fā)射帶電粒子的離子源，發(fā)射的粒子在加速管道B中加速，得到一定速率后與 C處在磁場洛侖茲力作用下偏轉(zhuǎn)，然后進入漂移管道

14、 D。若粒子質(zhì)量 不同或電量不同或速率不同，在一定磁場中偏轉(zhuǎn)的程度也不同。 在本 題裝置中，管道C中心軸線偏轉(zhuǎn)的半徑一定，磁場感應強度一定，粒 子的電荷和速率一定，則只有一定質(zhì)量的離子能自漂移管道D中引 出。這種裝置能將特定的粒子引出，稱為“質(zhì)量分析器”。各種正離 子自離子源A引出后，在加速管中受到電壓為 V的電場加速。設偏轉(zhuǎn) 磁感應強度為B,偏轉(zhuǎn)半徑為R.求證在管中得到的離子質(zhì)量為eB2R22U解答正離子從離子源引出后，在加速器中受到電壓V的電場加速。正離子獲得的動能為2正離子的速度 'm由于正離子在磁場受到洛侖茲力r r rF=q B的作用而發(fā)生偏轉(zhuǎn)(1)m eBReB ReBRe

15、BRzeV-meB2RzV即:437 輕且不可伸長的線懸掛質(zhì)量為500g的圓柱體。圓柱體又 套在可沿水平方向移動的框架內(nèi)，框架槽沿鉛直方向?？蚣苜|(zhì)量為 200g。自懸線靜止于鉛直位置開始，框架在水平力F=20.0N作用下移至圖中位置，球圓柱體的速度，線長 20cm不計摩擦。以輕繩，圓柱體和框架組成的質(zhì)點組所受外力有：圓柱體重力rrrwi mig，框架重力w2，輕繩拉力T和作用在框架上的水平力F。其中 輕繩的拉力T和W2不做功。質(zhì)點組所受內(nèi)力：框架槽和小球的相互作 用力R、R，由于光滑，所以R、R做功之和為零。質(zhì)點組所力情況 如圖：根據(jù)質(zhì)點組動能定理:mgl (1 cos30°) Fl

16、 sin 30°1為圓柱體的絕對速度2為框架的絕對速度。r r r由于12相對(見下圖)將此式投影到圖中所示的沿水平方向的OX軸上，得:21 cos30O帶入(1)式中11m 12 m( 1 cos300)2 m1gl (cos30O 1) Fl sin 30°22解得：1 2.4(m/s)4.4.1 二僅可壓縮的彈簧組成一可變勁度系數(shù)的彈簧組，彈簧 1和2的勁度系數(shù)分別各為k1和k2。它們自由伸長的長度相差I。坐標原點置于彈簧2自由伸展處。求彈簧組在0 x I和x<0時彈性勢能的表示式。解答彈性力fk1 xk1(x I) k1 (I x)外力為F= k1(l x)當

17、0 X I時，k2無勢能，只有k1有勢能。外界壓縮彈簧k2做功使k2勢能增加。設原點處為勢能零點，則:Ep ( 2kil2)2k1(lx)dxx12Ep , k1(l x)d(l x)k1l1 2EP 1k1x2 k1l x2x 0時：原點為勢能零點對于k2 :外力做功A2xk2xdx0 2-k2x22對于k1 :外力做功X121 ,.2 .k1 (lx)dxk1xk11k1l x22A11212121- 2EP （ k1l ） k2xk1xk1lk1lx222212EP（k1 k2）x k1l x24.5.1 滑雪運動員自A自由下滑，經(jīng)B越過寬為d的橫溝到達平臺C時，其速度剛好在水平方向，已

18、知兩點的垂直高度為25m坡道在B點的切線方向與水平面成300角，不計摩擦。求（1）運動員離 開B處的速率為b，（2）B,C的垂直高度差h及溝寬d，（3）運動員 到達平臺時的速率c。解答力N作用。（忽略摩擦）。重力為保守力，支持力N不做功，所以機械能守恒。以B點為重力勢能零點，得到運動員離開 B處的速率:mg hB 50g22.14(m/s)(2) 運動員從B到C做拋物線運動，當?shù)竭_C點時，由題意知：rC沿水平方向，說明正好到達拋物線的最高點。所以B C的垂直高2B8g6.25(m)22 o, B sin 30 h2g(3) 因為運動員做拋物運動時在水平方向不受力，所以水平方向的動量守恒:m c

19、 m b cos30oCB cos30o 19.17(m/s)(4) d的高度：水平射程的一半d 丄(耳2 )21.65(m)2 g裝置如圖所示：球的質(zhì)量為5kg,桿AB長1cm,AC長0.1m，A點距O點0.5m，彈簧的勁度系數(shù)為800N/m桿AB在水平位置時恰 為彈簧自由狀態(tài)，此時釋放小球，小球由靜止開始運動。球小球到鉛 垂位置時的速度。不及彈簧質(zhì)量及桿的質(zhì)量，不計摩擦。包含球桿彈簧的質(zhì)點組受力如圖所示：rN不做功。重力和彈性力為保守力(不計摩擦)系統(tǒng)機械能守恒設桿水平時勢能為零12120-m2mg(AB)+ k(l )222/ l 0 OA2 AC2 0.520.12l (OAAC)lo

20、0.60.5099將(2)式代入(1)式0.5099(m)(水平位置)0.09(m)(1 2 1 2 mmg(AB)+k(0.09)2 22 2m2 mg(AB)+k(0.09)0L22 mg(AB)k(0.09)m 2 g(AB) (0.09)2m4.278(m/s)ANBR物體Q與一勁度系數(shù)為 24N/m的橡皮筋連結，并在一水平圓環(huán) 軌道上運動，物體 Q在A處的速度為1.0m/s，已知圓環(huán)的半徑為0.24m,物 體Q的質(zhì)量為5kg，由橡皮筋固定端至B為0.16m,恰等于橡皮筋的自由長度。求（1）物體Q的最大速度；（2）物體Q能否達到D點，并求出在此點的速度。解答（1）取物體Q為隔離體在豎直

21、方向上Q所受的力的矢量和為零而在水平方向只受到彈力F和光滑圓弧的水平方向的作用力 N作 用，F(xiàn)為保守力，不做功。所以機械能守恒。-m A -k( l )2 -m B2 2 2l OA OB= (OB+R)2 R2OB=0.3065(m)B 1.2(m/s)設彈簧勢能零點為彈簧原點處:（B點速度最大）（2）在D點彈性勢能為:Epd 丄 k(2R) 22.76(J)2因為1 22m B-m D Epd2子相碰時,速度可達所以2Epdm0.58(m /s)盧瑟福在一篇文章中寫道：可以預言，當粒子與氫原可使之迅速運動起來。按正碰撞考慮很容易證明，氫原子粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射粒子能量的64%

22、試證明此結論(碰撞是完全彈性的，且 粒子質(zhì)量接近氫原子質(zhì)量的四倍)。設 粒子的質(zhì)量為4m ,氫原子的質(zhì)量為m ；粒子的初速度為10，氫原子的初速度為20 0 ；正碰后， 粒子的速度為1，氫原子的速度為2。由公式:(m 2 m1) 20 2m 1 10 2m1 m2將以上數(shù)據(jù)代入:3m 20 8m 1025m1入射粒子的能量：2(4m)2101氫原子碰后的能量：22-m(1.6 1o)2則:4.6.2 m為靜止車廂的質(zhì)量，質(zhì)量為 M的機車在水平軌道上自右方以速率 滑行并與m碰撞掛鉤。掛鉤后前進了距離s然后靜止。求軌道作用于車的阻力。選取機車和車廂為質(zhì)點組掛鉤時為完全非彈性碰撞。因為沖擊力大于阻力

23、，可視為動量守(1)恒。撞后:由動能定理10 (M2m)V 2(M2sm)V2 (Mm) M222s(M m)2 M2 22s(M m)463 兩球具有相同的質(zhì)量和半徑，懸掛于同一高度。靜止時， 兩球恰能接觸且懸線平行。碰撞的恢復系數(shù)為 e。若球A自高度 釋 放，求該球彈回后能達到的高度。又問若兩球發(fā)生完全彈性碰撞，會 發(fā)生什么現(xiàn)象，試描述之。解答(1) A球碰前的速度，由機械能守恒:2mAo mgh1A0 一 2gh!m aoA與B發(fā)生非彈性碰撞(2)1MV2 Mgh又知:AO B0AO(3)由（1）(2) (3)式得:AO 1仁頑(4)A球上升高度：機械能守恒1 2 .m AO mgh22

24、h A 1 (1 e)2h22gh12g 2g 4（2）若兩球發(fā)生完全彈性碰撞 e 1由（4）式 A 0再由（2）式 B A0即A球靜止，B球以A球碰前的速度開始運動。當B球上升后（h1 高度）又落下與A球再次發(fā)生完全彈性碰撞。b 0 a ao，a球以 速度ao開始向上運動。如此往復。質(zhì)量為2g的子彈以500m/s的速度射向質(zhì)量為1kg、用 1m長的繩子懸掛著的擺。子彈穿過擺后仍然有 100m/s的速度。問擺 沿鉛直方向升起若干。解答第一階段，動量守恒11 JMm o MV+mh m M、0 廠匚丁 V= mL_）0 V 1M第二階段，機械能守恒2 2 2V 1 m ( 0)22g 2g M0

25、.0022 (500 100)222 9.8 10.03(m)一質(zhì)量為200g的框架，用一彈簧懸掛起來使彈簧伸長 10cm今有一質(zhì)量為200g的鉛塊在高30cm處從靜止開始落入框架 秋此框架向下移動的最大距離。彈簧質(zhì)量不計。空氣阻力不計解答鉛塊下落到框底速度為10 . 2gh( 1)接下來，鉛塊與框架底發(fā)生完全非彈 性碰撞。由于沖擊力大于重力、彈性力， 可視為動量守恒。1022 2gh(2)m 10 2m(由于碰撞時間短，下降距離為零)以后以共同速度下降：機械能守恒設彈簧自由伸長處框架底板的位置為重力、彈性勢能零點。碰撞前彈簧伸長為10，碰撞后質(zhì)點移動的最大距離為11 2 1 2 1 212m

26、 1k10 2mg10 2k(1 10)2mg(1 10)( 3)依題意10(4)mg(2) (4)式代入(3)式：2121 ol 1 oh 01 1 00一1 oh 0.1 , 0.12 0.1 0.3 0.1 0.2舍去負號項，I 0.3m 30cm質(zhì)量為mi=0.790kg和m2=0.800kg的物體以勁度系數(shù)為10N/m的輕彈簧相連，置于光滑水平桌面上。最初彈簧自由伸張。質(zhì) 量為0.01kg的子彈以速率 =100m/s沿水平方向射于m1內(nèi)，問彈簧最 多壓縮了多少？解答第一階段：m° 0 （m1第二階段：守恒。仲1 m°）完全非彈性碰撞m°)(1)彈簧被壓縮

27、最甚，動量(m1 m2+m0)V（V為共同速度）再由機械能守恒:1 2 1 2 1 2 尹1 叭)2(m1 m2+m0)V嚴血有（1）（ 2）（ 3）式解出:(3)Vlmax丫 k m1 m01m2+m00.25(m)467 10g的子彈沿水平方向以速率110m/s擊中并嵌入質(zhì)量為100g小鳥體內(nèi)。小鳥原來站在離地面4.9m高的樹枝上，求小鳥落 地處與樹枝的水平距離。解答第一階段是子彈擊中小鳥，兩者發(fā)生完全非彈性碰撞水平方向動量守恒：m1 10 (m1 m2)(為子彈、小鳥共同速度)m110m1 m2第二階段是子彈和小鳥一起做平拋運動小鳥落地時間:tm1l水平距離：10tm1 m21102 4

28、-910(m)0.01 0.19.8在一鉛直面內(nèi)有一個光滑軌道，左面是一個上升的曲線， 右邊是足夠長的水平直線，二者平滑連接，現(xiàn)有A、B兩個質(zhì)點，B在水平軌道上靜止，A在曲線部分高h處由靜止滑下，與B發(fā)生完全 彈性碰撞。碰后仍可返回上升到曲線軌道某處， 并再度下滑，已知A、 B兩質(zhì)點的質(zhì)量分別為m1和m2。求至少發(fā)生兩次碰撞的條件。分三個階段:第一階段，A第一次與B完全彈性碰XoX設,A撞前速度為10，撞后速度11 ；撞前速度為零，撞后速度21 。由公式:(m 1 m2 ) 10 2m 2 20m1+m2(m 2 m1)20 2m 1 10m1+m2得:11(m1 m2 ) 10m221mi2

29、m)1 J。m1m2要使質(zhì)點返回，必須110，即 gm2第二階段，A返回上升到軌道某處，并再度下滑到平面軌道。由機械能守恒:1225 11.1 2mghm 122(12是再度下滑到平面軌道的速度)得2 211 12 , 12 11第三階段,AB再次碰撞。要求1221，即 1121將上面的11，21代入此式m22m1m210 10mm2即m23g這是A, B至少發(fā)生兩次碰撞的條件469 鋼球靜止地放在鐵箱的光滑底面上， 如圖示。CD長。 鐵箱與地面間無摩擦。鐵箱被加速至0時開始做勻速直線運動。后來， 鋼球與箱壁發(fā)生完全彈性碰撞。問碰后再經(jīng)過多長時間鋼球與 BD壁 相碰？解答選取鐵箱和鋼球為質(zhì)點組

30、，以地面為A參考系，坐標系OX。CCD第一階段，鋼球與AC發(fā)生完全彈性*O(碰撞設 20 2 1，1為鐵箱碰撞前后速度,20, 2為小球碰撞前后速度。由完全彈性碰撞:e ,e 1Q 100， 200,10 20即碰撞前后鋼球相對鐵箱的速度為 0。第二階段，是鋼球在箱內(nèi)運動，直至與 BD相碰。取鋼球為研究對象，選取鐵箱為參照系，由于鐵箱表面光滑,所以小球在箱內(nèi)作勻速直線運動?？傻娩撉蚺龊笤倥c壁相碰的時間間隔為 0兩車廂質(zhì)量均為M左邊車廂與其地板上質(zhì)量為 M的貨 箱共同向右以0運動。另一車廂以2 0從相反方向向左運動并與左車 廂碰撞掛鉤，貨箱在地板上滑行的最大距離為I。求：(1) 貨箱與地板間的摩

31、擦系數(shù)；(2) 車廂在掛鉤后走過的距離，不計車地間摩擦(1)第一步：兩車廂完全非彈性碰撞,M 0 2M 0 2MV<J-A1MMoX第二步：內(nèi)力作功，使體系動能改變，由動能定理以地面為參照系;0 Ek0 flfl2 E 3M 023Mgl M4gl(2)碰撞后系統(tǒng)在水平方向的動能守恒系統(tǒng)的動量:亦肓)系統(tǒng)總動量為零，質(zhì)心不動Mx2 2Mx2(2)3M «(常量)(1)M (x1 l Vx2) 2m(x2 Vx2) 3Mxc( 3)Vx L 解(2)(3)式得：23質(zhì)量為m的氘核的速率u與靜止的質(zhì)量為2m的 粒子發(fā) 生完全彈性碰撞，氘核以與原方向成 900角散射。（1）求 粒子的

32、運 動方向，（2）用u表示 粒子的末速度，（3）百分之幾的能量由氘核 傳給粒子？解答（1）由動量守恒:x: mu2mcosy :0mu2m sinu 2 cos(1)即：u 2 sin(2)由e1 （完全彈性碰撞）v在方向上有關系式:(u sin )u sineu cosu cosu cosu sin(3)(1)( 2)2式代入（3）式得：2cos1 2sin 2o30u由(1)式 2cos30 0動能比：2234.7.2參考題圖。桑塔娜空車質(zhì)量為m1 106 10kg，載質(zhì)量為70kg 人，向北行駛。另一質(zhì)量為152 10kg的切諾基汽車向東行駛。而車相撞后連成一體，沿東偏北30°

33、滑出d=16m而停止。路面摩擦系數(shù)為a8。該地段規(guī)定車速不得超過 80km/。問那輛車違背交通規(guī)則？又問因相撞損失多少動能?碰后的共同速度1(mi m(2)gd(m2V2一gdm2 20(mim2)V cosmi 10(mim2)V sinm2)V解得:10(gm2)sin2 gd 18.57(m/s)66.88(km/h)(mi m2) cos20第十章波動和聲習題頻率在20至20000Hz的彈性波能使人耳產(chǎn)生聽到聲音的感 覺.0 oC時，空氣中的聲速為331.5m/s，求這兩種頻率聲波的波長.解答,120Hz, 220000Hz331.5(m /s)16.58(m)331.5i1 20 3

34、31.52 20000316.58 10- (m)10.2.2 一平面簡諧聲波的振幅為 0.001m,頻率為1483Hz在20°C 的水中傳播，寫出其波方程.解答已知 A .001m.1483Hz,表 P309知波速 1483m/s。設O-x軸沿波傳播方向，x表示質(zhì)元平衡位置坐標，y表示質(zhì)心相對平衡位置的位移，選坐標原點處位相為零的時刻為計時起點。即2 x原點處初相為零0。則位于處的體元相位落后 。即：2 x2 xxy A cos( t ) A cos (t) A cos (t )2xy=Acos 2 (t )0.001cos(2996 t 2 x)10.2.3 已知平面簡諧波的振幅

35、A 0.1cm，波長1m周期為10 2s , 寫出波方程(最簡形式).又距波源9m和10m兩波面上的相位差是多少？解答選坐標原點處位相為零刻為計時起點。0-x軸沿波傳播方向，則 可得波的最簡形式：t xy A cos 2 ()T代入已知數(shù)據(jù)得t xy 10 3cos2 (2)10 3cos2 (100t x)10 因此波源振動方程為:y Acos( t )2 1設波源處為x0，則x1 X。9,X2 X。10因此位相差是：2 100t (x0 9)2 100t (x 0 10)2寫出振幅為A,f，波速為c,沿Ox軸正方向傳播的平面簡諧波方程.波源在原點O,且當t=0時，波源的振動狀態(tài)被稱 為零，

36、速度沿Ox軸正方向.解答波源振動方程：y A cos( t )Q t 0時，y° A cos 0,A sin0,sin任一 x處的位相比波源的相位落后，得波方程為2 xy A cos( t)2A cos(2 t-)2x A cos2 (t )2將已知量代入得：xy Acos2 f(t ) c 210.2.5 已知波源在原點(x 0)的平面簡諧波方程為y Acos(bt cx)A,b,c均為常量。試求：(1)振幅，頻率，波速和波長；(2)寫出在傳播方向上距波源處一點的振動方程式，此質(zhì)點振動的初位相如何？解答y Acos(bt cx)與平面簡諧波方程的標準形式 y Acos( t-kx)

37、比較可得：_b_(1)振幅為A,頻率： 22 ；b_ b/c 2波速 k c，波長b/2 c(2)x 1時，該點的振動方程式為：y A cos(bt cl)此質(zhì)點振動的初位相為0 d。10.2.6 一平面簡諧波逆軸傳播，波方程為xy Acos 2 (t 3)試利用改變計時起點的方法將波方程化成最簡形式。xxy Acos2 (t -xy 5cos2 (t ), t ，最簡形式應為 y Acos2 (t -)如改變計時起點后的新計時系統(tǒng)以t應滿足x xt t 3，因此t t 3即將計時起點提前3秒，就可將波方程化成最簡形式xy Acos 2 (t )x平面簡諧波方程y 5cos2 （t 4），試用

38、兩種方法畫出35S時35的波形圖。方法一：有方程求得。A 5m, 4m32_x462 xy 5cos(2) 5cos(5454找出對應于方程的各(x,y )點,例如:x0,y4.045;y0,x1.4;y5,x2.4M),通過各點描繪出所求波形圖（右圖）方法二：由方程求得，A 5m，4m, 065的波形圖。（SI）0, y 5cos x先畫出2的圖形，在將縱坐標軸向右移動X。:x06/5_2X0即向右移動535,就可以得到所求的波形圖對于平面簡諧波r cos 2 (-Tx)中 r = 0.01m,T=12s, = 0.30m,畫出x 0.20m處體元的位移-時間曲線。畫出t3s,6s時的波形圖

39、(1)r cos 2 (T0.01m,T12s,0.30mt x得y 0.01cos2 ()o.°1cos( 6tt(s)120.3又 x x 0.20msc , t 0.20、y 0.01cos2 ()120.3可求得T=12s,t=0時;4 y 0.01cos ()0.0530.075, y> x(2) t=3s、6s時波形圖a. y0.01cos2 ()120.302 x0.01cos()20.302 xx 0, y 0;0,x20.306 xb. y 0.01cos 2 ()120.302 x 0.01cos()0.30其相位與t=3s時相差2，所以將t=3s的波形圖向

40、右移兀即得 t=6s時的波形圖。二圖分別表示向右和向左傳的兩列平面簡諧波在某瞬時的 波形圖，說明此時12公3以及1, 2, 3各質(zhì)元的位移和速度為正還是為負？它們的相位如何？（對于X2和2只要求說明其相位在第幾象限）解答若波用余弦函數(shù)表示，則所求結果如下表橫坐標位移速度相位X1正最大02X2負負H象限X30負最大21正最大022負正皿象限30正最大3_2圖（a）、（b）分別表示t 0和t 2s時的某一平面簡諧波的波形圖。試寫出此平面簡諧波波方程。(b)解答由圖知A 2m, 2m由圖(a)知,原點處質(zhì)元t=0時，位移最大,速度為零，因此原點處質(zhì)元初相 °.比較t=°和t=2s

41、的(b)圖知4n)T2S因此T84n1S，(n °，1,2丄)取 n °,T 8s,將A,，,T之值代入波方程的一般表示式就可以得到所求波方程的一個表達式：yAcos2 (-X)Tt x2cos2 () °8 22cos( t x)410.3.1有一圓形橫截面的銅絲，手張力1.°N，橫截面積為1.° mm33求其中傳播橫波和縱波時的波速各多少？銅的密度為&9 10 kg/m，銅的楊氏模量為12 1°9N/m3.3392Q 8.9 10 kg/m ,r 12 10 N/m靈 io3 1.16 103(m/s)可把很細的銅絲看作柔

42、軟的弦線(設弦線的密度為),計算在其中傳播的橫波的波速.QT 1.0N6331 1.0 108.9 108.9 10T1.0-JaTlP 10.6(m/s)已知某種溫度下水中聲速為1.45 103m/s，求水的體變模量.,已知 1.45 103m/ s,103kg / m33 292(1.45 10 )2.10 10 (N/m )10.4.1在直徑為14cm管中傳播的平面簡諧聲波.平均能流密度9erg / s2 cm300Hz，v 300m/s. ( 1)求最大能量密度和平均能量密度,(2)求相鄰同相位波面間的總能量.(1)能量密度2 A2 sin2(t -)最大能量密度max2A2能流密度1

43、 2 A222A2Amax已知9erg /s cm2300m/ s9 10 7 104J/s m22Imax536 10 (J /m )平均能流密度533 10 (J /m )d ,s4由于相鄰同位相波面間的距離為.一周期內(nèi)單位體積媒質(zhì)具有的平均能量為，因此相鄰同位相波面間的總能量為E"V蘭 4.62 10 7(J)410log I 0Ll01O肓L- -10聲功率 W IS l°1010S10.4.4 距一點聲源聲源5m處的聲強級;(2)距聲源多遠，就聽不到1000Hz的聲音了?I2I122_1I2 L2 10ig：10已知10lg&I02I 2I1 2r10lg

44、 -10I110葉I 010lg*r120dB, r-i 10m, r2 5m因此L22010©耳 26.02(dB)51043 面向街道的窗口面積約40m2，街道上的噪聲在窗口的聲強級 為60dB,問有多少聲功率傳入室內(nèi)（即單位時間內(nèi)進入多少聲能）？601010 10 12 404 10 5(w)10m的地方，聲音的聲強級為 20dB.求（1）距（2）設距聲源r0時,剛好聽不到聲音I 0 AIl 2、1/22、1/2Q邁 r0 (一 rj(10r1 )100cmhr。Io10.5.1 聲音干涉儀用于顯示聲波的干涉，見圖薄膜S在電磁鐵的 作用下振動.D為聲音檢測器，SBD長度可變,S

45、AD長度固定.聲音干涉 儀內(nèi)充滿空氣.當B處于某一位置時，在D處聽到強度為100單位的最 小聲音，將B移動則聲音加大，當B移動1.65 cm時聽到強度為900單 位的最強音.(1)求聲波的頻率,(2)求到達D處二聲波振幅之比.已知聲速為342.4 m/s.解答(1)由最小聲音到相鄰的最強音，經(jīng)SAD,SBDT內(nèi)穿到D處的二相干波， 傳播距離差應改變2,此改變量是由B管的移動引起的，因此2 1.65cm24 1.65cm6.6 10Q-5188HzQ”AA1310.5.2 兩個聲源發(fā)出橫波，振動方向與紙面垂直，二波源具有相同 的位相，波長0.34m .(1)至少求出三個x數(shù)值使得在P點合振動最強

46、,(2)求出三個x數(shù)值使得在P點合振動最弱.A cos 2LA cos 2L此二橫波振動方向相同，波長相同，在同一種媒質(zhì)中傳播，波速相 同，因此其周期相同，圓頻率也相同，傳到P點的此二橫波的方程可寫yi y2(1)在P點合振動最強時，二橫波在該點引起的多振動位相相同，即2n由此得，x n .已知 0.34m取 n 0,1,2時得x 0.17m,0.51m,0.85 m10.5.3 試證明兩列頻率相同，振動方向相同，傳播方向相反而振幅大小不同的平面簡諧波相疊加可形成一駐波與一行波的疊加.解答設滿足題目要求的二平面簡諧波為：y A cos( t kx)目2cos( t kx)且 A1 A則：y y

47、2A cos( t kx) A cos( t kx)(A A2)cos( t kx) 2A2 coskxcos t此結果的前一項表示一行波，后一項表示一駐波，可見滿足題目要求 的二平面簡諧波疊加后形成了一駐波與一行波的疊加.10.5.4y 10 10 4cos2000 (t )1入射波34)在固定端反射，坐標原點與固定端相距0.51m ,寫出反射波方程.無振幅損失.(SI)解答反射波的振幅，頻率,波速均與入射波相同，傳播方向與入射波傳播方 向相反,初位相也不同，因入射波在坐標原點的初位相為零.故反射波 在原點的初位相為：2V4V0 (2)(1) (V 0.51m)其中 為落后位相，為半波損失.

48、10 4 cos2 (t1/1000x34/1000)4x入射波 y 1010 cos2000 (t 34) 10可見34/1000,0.51 1001)61由以上各條件可寫出所求反射波在原點的振動方程y010 10 4 cos( t 61)10 10 4cos2000 (t -)2000反射波的振動方程為：4y 10 10 cos2000 (tx 6110.5.5入射波方程為y4x)10 10 cos2000 (t )34200034Acos2 (T,在X=0處的自由端反射，求反射波的波方程.無振幅損失.由入射波方程y Acos2 (T )知反射波振幅為A,周期為T,波長為，傳播方向沿坐標軸O-X正方 向.因在X=0處自由端反射，故反射波與入射波在原點處位相相同.因此反射波方程為：y Acos2 (T 310.5.6圖示某一瞬時入射波的波形圖，在固定端反射.試畫出此瞬