特別策劃微切口2圓錐曲線中起點為定點的向量數(shù)量積問題

1、微切口2圓錐曲線中起點為定點的向量數(shù)量積問題 1. (2020-岳陽三模)已知點Fi，尺分別是雙曲線M：廬一自=10, b0)的 左、右焦點，其漸近線的方程為)，=審.且右頂點到左焦點的距離為3. (1) 求雙曲線M的方程； (2) 過點E的直線/與雙曲線M交于A, B兩點，直線/的法向量為=伙， 一 1)伙0),且OA OB=0,求 k 的值； (3) 在(2)的條件下，若雙曲線M在第四象限的部分存在一點C滿足OA + OB =加氐，求m的值及ABC的面積S 9 2 2. (2020-南昌調(diào)研)已知橢圓M：手+石=1(%0)的左、右焦點分別為4(一 1,0), 3(1,0), C 為橢圓 M

2、 上的點，且SMBC= (1) 求橢圓M的標準方程； (2) 設(shè)過橢圓M的右焦點且斜率為R的動直線與橢圓M相交于E, F兩點， 試探究在x軸上是否存在定點D,使得萬巨亦為定值？若存在， 求出定值和點D 的坐標；若不存在，請說明理III. 3. (2020-常德期末)設(shè)P, 0是曲線C： jr=2py(p0)上兩點，P, 0兩點的橫 坐標之和為4,直線PQ的斜率為2. (1) 求曲線C的方程； (2) 設(shè)M是曲線C上一點，曲線C在點M處的切線與直線P0平行，且翊前 = -25,試求MPQ的面積. 2 丄 4. (2020宜昌二模)已知橢圓E： *+初=10)以拋物線r=8x的焦點為 頂點，且離心

3、率為*. (1) 求橢圓E的方程； (2) 若直線/： y=lcx+m與橢圓E相交于A, B兩點，與直線=一4相交于 點、點、Q，P是橢圓E上一點且滿足OP=OA + OB(其中O為坐標原點).試問：在x 軸上是否存在一點T,使得麗握為定值？若存在，求出點T的坐標及麗彥的值；若不存在，請說明理山. 微切口 2圓錐曲線中起點為定點的向量數(shù)量積問題 1. 【解答】(1)由題意得*+=3, 解得*=伍 2_ 2丄 Q lc = 2y 所以雙曲線M的方程為疋一耳=1. (2)設(shè)直線/的方程為 y=k(x2)f A(xit yj, B(x2r)s), llq 3 得(3-Q)F+4QX-(4Q + 3)

4、=0(*), y=k(x2), . 4k2 = 36 伙 2+1)0,所以 xi+x2=_j_f, XVX2 = OA OB=Q.得 Mx2+yiy2=o, 即(1 + 2說.疋一2Q(Q +疋)+ 4股=0, 代入化簡得5疋=3,解得負值舍去). 把二琴二琴代入(*)并化簡得4F+4X9=0, 9 此時 X+X2= 1, X X2= 所以 AB=p(l+Q(xi+兀2)24XIQ=4 并整理得3,一4?一4=0,得/”=號(舍卻或加=2,所以d*，哲 因為點C到直線AB的距離為=當，所以SuBc=*AB d=a. 2. 【解答】在厶ABC中，山余弦定理得AB2 = CA2+CB22CA-CB

5、 cosC =(CA + CB)2 一 3CA CB=4.4+3 3F 設(shè) eg” yo), OA + OB=mFC,得 代入雙曲線M的方程 乂 SBC=CA CB sinC=CA CB= 所以CA CB=扌，代入上式得CA+CB = 2&, 所以橢圓的長軸長為2a=2 羽羽, ,焦距為2c=AB=2, b2=a2c2=,所以橢 圓M的標準方程為 +)2=1. 設(shè)直線的方程為為 y=k(xl), E(xi, yi), F(x2f J2)T 聯(lián)立忙 g, y=k(xl), 消去 y 得(1+2以)工一4疋.1+2疋一2=0, J = 8+80, 假設(shè)x軸上存在定點D(XOO)9使得匪麗為

6、定值， 則DEDF=(XXQ, yi(X2XQ9 y2) =XX2 %O(X1 +2)+於+)2 X1%2XO(X1+X2)+X5+AT(XI 1)(X2 1) =(1 +Q)X1X2 (X() + Q)(X1+X2)+G + Q (2XS_4XO+ 1)Q+(X_2) = 1+2Q 要使匪亦為定值，則萬 fe厲啲值與R無關(guān)， 所以 2xo4xo +1 = 2(AO2),解得 xo=扌， 此時匪亦=一召為定值，定點為G，0). 3. 【解答】(1)設(shè)直線PQ的方程為y=2x+b, Pg, yi), Q(JQ, W), fx2=2py, 聯(lián)立丫乙+方 得幾4px2pb=0, 則 xi +X2=4

7、=4,所以 p= 1, 所以曲線C的方程為疋=2)，.所以X+X2 = 4k2 ?lr 2 恥尸T莎 （2）設(shè) M（x , 0） 曲線 C： F=2y,貝llypjv2,則 y =x, 山曲線C在點M處的切線與直線PQ平行，可得 k=y Lv=xo=xo=2,則 yo=2,所以 M（2,2）. ,x fx2=2y, 聯(lián)立S . 得4x2b=0,則 xi+x?=4, xx-=2b, b=2x+b, 由 J=16+8/?0,得 h-2. 因為 yi+y2=2vi+b+2x2+b=2（M+x2）+2b=8 + 2b, Xixi （X1X2）2 , yly2=Y2=T=b 所以 PMQM=（2-xi.

8、2 -，】） （2-X2.2-y2） =（2 - 冷）（2血）+（2力）（2力） =42（勸+x2）+MX2+42（yi+y2）+iy2 =b26b6. 山兩顧=一25,得，一6一16=25,得滬一6+9=0,所以 b=3,所 以直線PQ的方程為)=2r+3, 弦長 PQ* +以7(小+兀2)2 4X1X2= 102. 142 + 引 , 乂點M到直線PQ的距離d= 卡=審, 所以 SMQ=gpQ d=5 嗣嗣. . 4. 【解答】(1)拋物線y2=8x的焦點為橢圓E的頂點，即 = 2. 又涔則c=l，b=書書, ,所以橢圓E的方程為呂+=】 (2)設(shè) A(X9 yi)9 Bg y2)f 因為OP=OA + OB9 所以 P（M+X2, yi+y2）. 聯(lián)立 y=kx-m, V+4r=12, 得(4疋+3用+8如卄4沖一 12=0. 則 X+x2 = 8km 4 + 3 yi +）2=心心 +x2） + 2m = 6m 4Q + 3 (Skm 6m z 將片一喬午亍 無丙|代入橢圓E的方程,641cm2 36m2 侍 4(4Q+3)2 十 3(4疋 + 3)2 設(shè) 7U0), f 一 一 32km + Skmt 6加伽一4k) 則化=4洱3 +飛用一 6m2 + S