CH2復(fù)變函數(shù)的積分

1、1第二章第二章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分第二節(jié) 柯西定理第三節(jié) 不定積分第四節(jié) 柯西公式第一節(jié) 復(fù)變函數(shù)的積分2熟練掌握柯西積分定理；熟練掌握柯西積分定理；【教學(xué)目的與要求教學(xué)目的與要求】通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解復(fù)變函數(shù)的積分的概念；通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解復(fù)變函數(shù)的積分的概念；熟練應(yīng)用柯西積分公式；熟練應(yīng)用柯西積分公式；熟練掌握復(fù)變函數(shù)積分的計算法熟練掌握復(fù)變函數(shù)積分的計算法【教學(xué)重點教學(xué)重點】柯西定理；柯西積分公式；復(fù)變函數(shù)的積分方法?？挛鞫ɡ?；柯西積分公式；復(fù)變函數(shù)的積分方法。知道調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)之間的關(guān)系知道調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)之間的關(guān)系3柯西積分公式的應(yīng)用；柯西積分公式的應(yīng)用；柯西推廣定

2、理?？挛魍茝V定理?！颈菊码y點本章難點】4第二章第二章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分第二節(jié) 柯西定理第三節(jié) 不定積分第四節(jié) 柯西公式第一節(jié) 復(fù)變函數(shù)的積分重點：復(fù)變函數(shù)積分的計算.5l有向曲線有向曲線 在討論復(fù)變函數(shù)積分時，將要用到有向曲線的概念，如在討論復(fù)變函數(shù)積分時，將要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規(guī)定了其起點和終點，則稱果一條光滑或逐段光滑曲線規(guī)定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規(guī)定的：該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規(guī)定的：(1)如果曲線如果曲線C是開口弧段，若規(guī)定它的端點是開口弧段，若規(guī)定它的端點P為起點為起點，Q為終點，則沿曲線為終點，則沿曲

3、線C從從P到到Q的方向為曲線的方向為曲線C的正方向的正方向（簡稱正向），把正向曲線記為（簡稱正向），把正向曲線記為C或或C+.而由而由Q到到P的方的方向稱為向稱為C的負(fù)方向（簡稱負(fù)向），負(fù)向曲線記為的負(fù)方向（簡稱負(fù)向），負(fù)向曲線記為.C第一節(jié) 復(fù)變函數(shù)的積分6(2) (2) 如果如果 是簡單閉曲線，通?？傄?guī)定逆時針方向為正是簡單閉曲線，通?？傄?guī)定逆時針方向為正方向，順時針方向為負(fù)方向方向，順時針方向為負(fù)方向CC(3) (3) 如果如果 是復(fù)平面上某一個復(fù)連通域的邊界曲是復(fù)平面上某一個復(fù)連通域的邊界曲線，則線，則 的正方向這樣規(guī)定：當(dāng)人沿曲線的正方向這樣規(guī)定：當(dāng)人沿曲線 C C行行走時，區(qū)域總保

4、持在人的左側(cè)，因此外部邊界部分走時，區(qū)域總保持在人的左側(cè)，因此外部邊界部分取逆時針方向，而內(nèi)部邊界曲線取順時針為正方向取逆時針方向，而內(nèi)部邊界曲線取順時針為正方向CC2LD1L2L1LD作和xy記：ABk1kzkz0znz11()()nkkkkfzz11( )d()()nkkklkf zzfzz( )d ( , )( , )(dd )f zzu x yiv x yxi y( , )d( , )d ( , )d( , )d u x yxv x yyi v x yxu x yy( )d( , )d( , )d ( , )d( , )d llf zzu x yxv x yyi v x yxu x y

5、y第一節(jié) 復(fù)變函數(shù)的積分對實函數(shù)的積分！對實函數(shù)的積分！復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)：六點（和實函數(shù)積分的性質(zhì)相同p23）8例：計算積分例：計算積分Re dlz z), 1 ( iAxy1i分別沿路徑分別沿路徑(1)和和(2),如圖如圖(2)(1)解解(2)OBxz ReRe dddllz zx xix y由此可見，對于有些被積函數(shù)而言，積分與路徑有關(guān)由此可見，對于有些被積函數(shù)而言，積分與路徑有關(guān)Re dddllz zx xix y1100ddix yx x21(1)Re dddllz zx xix y1100ddx xix yi219例：計算積分例：計算積分2dlzzyx2), 2(iAxy2i分別沿

6、路徑分別沿路徑(1)和和(2),如圖如圖(1)(2)解解2dlzz 10:yOBxyiyxz222222222d()d2d2d()d llzzxyxxy yixy xxyy(1)12222220(4)d(2 )4d4d(2 )(4)d yyyyyiyyyyy3/)112(i10例：計算積分例：計算積分2dlzz20:0:xyOB), 2(iAxy2i分別沿路徑分別沿路徑(1)和和(2),如圖如圖(1)(2)(2)OB10:2:yxBA2dlzz 21122000d( 4 )d(4)dxxyyiyy3/)112(i由此可見，對于有些被積函數(shù)而言，積分與路徑無關(guān)由此可見，對于有些被積函數(shù)而言，積分

7、與路徑無關(guān)解解22222d()d2d2d()d llzzxyxxy yixy xxyyxyiyxz2222例iez 設(shè) ， 計算 ,)Re(dzz,)Im(dzzdzzlll其中l(wèi)是 沿著 到 一周12第二章第二章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分第二節(jié) 柯西定理第三節(jié) 不定積分第四節(jié) 柯西公式第一節(jié) 復(fù)變函數(shù)的積分重點：柯西定理證明：dd()d dlSQPP xQ yx yxy( )d()d d()d dlSSvuuvf zzx yix yxyxy 由格林公式第二節(jié) 柯西定理（一）、單連通區(qū)域柯西定理：（一）、單連通區(qū)域柯西定理：如果函數(shù) f ( z )在閉單連通區(qū)域 B上解析， 則沿B上任一分

8、段光滑閉合曲線l（可以是邊界），則有 dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzflll,( )d0lf zz AB( )d()d d()d dlSSvuuvf zzx yix yxyxy yvxuxvyuC.R.C.R.條件條件( )d0lf zz 得：得：推論：單連通區(qū)域中解析函數(shù)推論：單連通區(qū)域中解析函數(shù) 的積分值與路徑無關(guān)的積分值與路徑無關(guān)l2l1證明：證明：( )d0lf zz 12( )d( )d0llf zzf zz)(zf（二）、復(fù)連通區(qū)域（二）、復(fù)連通區(qū)域( )d( )d0illif zzf zz證明：證明：1 ( )d( )d( )d( )dlABlB Af z zf

9、 z zf z zf z z函數(shù)在區(qū)域上不可導(dǎo)，存在奇點。將這些點挖掉所形成的帶空函數(shù)在區(qū)域上不可導(dǎo)，存在奇點。將這些點挖掉所形成的帶空區(qū)域區(qū)域2( )d( )d( )d0CDlD Cf zzf zzf zzl2l1lABABCDCD 為區(qū)域外邊界線，為區(qū)域外邊界線， 為區(qū)域內(nèi)邊界線，積分沿邊界線正向進(jìn)行為區(qū)域內(nèi)邊界線，積分沿邊界線正向進(jìn)行l(wèi)il16( )d( )d0illif zzf zz12( )d( )d( )d0lllf zzf zzf zzl2l1lABABCDCD( )d( )dillif zzf zz ( )d( )dillif zzf zz內(nèi)、外邊界線逆時針積分相等內(nèi)、外邊界線

10、逆時針積分相等() dnlIzz例：計算一類重要的積分例：計算一類重要的積分l CR（ 為整數(shù)為整數(shù)）() d0nlzz當(dāng)當(dāng) 時，時，n0n解：解： 被積函數(shù)解析被積函數(shù)解析0n第三節(jié)第三節(jié) 不定積分不定積分a)當(dāng)當(dāng)l 不包含不包含 時，時，() d0nlzz在在 的鄰域作小圓的鄰域作小圓C, 在在C上上 () dnlIzzd(e )ninilR eR20RedniniR ei21(1)0dni niReReiz當(dāng)當(dāng) 時，時，0nb)當(dāng)當(dāng)l 包含包含 時，時，21(1)0dni nIiRe21(1)01(1)ni niRei n1n1(1)2010(1)ni nIiRei n1n21(1)0d

11、2ni nIiReil CR201n011d2lziz11() d02nlzzi重要結(jié)論：重要結(jié)論：( 不包圍)( 包圍)ll21d1lzz 解：解：有兩個奇點有兩個奇點1z112l1l12211dd11llzzzz221d1lzz)1111(21112zzz利用柯西定理（利用柯西定理（2.2.4）式）式且有且有21d1lIzz例：計算積分例：計算積分 是是 圓周圓周,2zRRl221121111dd1211llzzzzz1111d211lzzz 112l1l1(20)2ii21d1lIzz0ii2221111dd1211llzzzzz2111d211lzzz 1(02)2ii 23第四節(jié)第四

12、節(jié) 柯西公式柯西公式1( )d2lf zziz若：若： 在閉單通區(qū)域上解析，在閉單通區(qū)域上解析， 是閉區(qū)域的邊界線，是閉區(qū)域的邊界線， 為閉區(qū)為閉區(qū)域內(nèi)的任一點，則有域內(nèi)的任一點，則有證明：證明：( )11( )( )dd22llfffzziziz11d12lziz由題意，根據(jù)上節(jié)公式由題意，根據(jù)上節(jié)公式有有將此公式與將此公式與柯西公式柯西公式比較后，可以看出，我們只需證明如下公比較后，可以看出，我們只需證明如下公式成立即可式成立即可:1( )( )d02lf zfziz( )f柯西公式柯西公式)(zfl24( )( )( )( )ddlCf zff zfzzzzmax( )( )( )( )

13、d2Cf zff zfzz取小圓取小圓C 利用利用P24 積分不等式積分不等式2( )dlf zzML)()(max2fzf在閉單通區(qū)域上連續(xù)，在閉單通區(qū)域上連續(xù)，0，)(zf0)()(lim0fzf( )( )d0lf zfzz得證。得證。251()( )d2lff ziz柯西公式可表示為柯西公式可表示為物理意義：一個解析函數(shù)物理意義：一個解析函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域B內(nèi)任一點的值由它在內(nèi)任一點的值由它在該區(qū)域邊界上的回路積分該區(qū)域邊界上的回路積分確定。（課本確定。（課本P29）)(zf 26 1推論：推論：21!( )( )d2()lffziz( )1!( )( )d2()nnlnffziz對于復(fù)通區(qū)域，類推有對于復(fù)通區(qū)域，類推有柯西公式柯西公式1( )d2klkfiz1( )( )d2lff ziz 在在 區(qū)域上有奇點，挖去奇點形成復(fù)通區(qū)域，區(qū)域上有奇點，挖去奇點形成復(fù)通區(qū)域，)(zfll1l2l解析函數(shù)內(nèi)的任意點的值可以用邊界上的函數(shù)分布沿著l的積分表示即區(qū)域內(nèi)的場分布由邊界條件決定l若B內(nèi)存在奇點，則應(yīng)將該奇點挖去l l平均值定理：l模最大原理：若f(z)在B上解析，則其模只能在l上達(dá)到最大值l劉維爾定理： 有界解析函數(shù)必為常數(shù)關(guān)于柯西公式的幾點討論：( )1!( )( )d2()nnlnffzizldzzfizf)(21)(282d(1)zlezz z 例：計算