因式分解的十二種方法(已整理)

1、因式分解的十二種方法：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn) 總結(jié)如下：1、提公因法如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形 式。例1、 分解因式x-2x-x(2003 淮安市中考題)x -2x -x=x(x -2x-1)2、應(yīng)用公式法由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式。例2、分解因式a +4ab+4b (2003 南通市中考題)解：a +4ab+4b =(a+2b)3、分組分解法要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，

2、可以先把它前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a，把它后兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式 m+n，從而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解: m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n=(m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n( m_5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法對于mx +px+q形式的多項(xiàng)式，如果axb=m,cx d=q且ac+bd=p，則多項(xiàng)式可因式分解為 (ax+d)(bx+c)例4、分解因式 7x-19x-6分析：1 -37 22-2仁-19解：7x -19x-6=(7x+2 ) (x-

3、3)5、配方法對于那些不能利用公式法的多項(xiàng)式，有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將 其因式分解。例5、分解因式x +3x-40解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ )-()=(x+ + )(x+ -)=(x+8)(x-5)6、拆、添項(xiàng)法可以把多項(xiàng)式拆成若干部分，再用進(jìn)行因式分解。例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解: bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)

4、+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7、換元法有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來。例7、分解因式 2x -x -6x -x+2解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x 2(x + )-(x+ )-6令 y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6=x 2(y -2)-y-6=x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)=(x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、求根法令多項(xiàng)式f(x)=o,求出

5、其根為x ,x ,x ,則多項(xiàng)式可因式分解為 f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) (x-x )例 8、分解因式 2x +7x -2x -13x+6解：令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通過綜合除法可知，f(x)=0根為，-3, -2, 1則 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、圖象法f(x)=令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)x ,x ,x ,x，則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) (xx )例9、因式分解 x +2x -5x-6解：令 y= x +

6、2x -5x-6作出其圖象，見右圖，與 x軸交點(diǎn)為-3 , -1, 2則 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。例 10、分解因式 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列解: a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) a -a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法將2或10代入x，求出數(shù)P,將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后

7、的每一個(gè)因數(shù)寫成10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x +9x +23x+15解：令 x=2，則 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3X 5X7注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1 , x+3 , x+5 ,在x=2時(shí)的值則 x +9x +23x+15=(x+1 )( x+3)( x+5)12、待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。例12、分解因式 x -x -5x -6x-4分析：易知這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式