Unit12 穩(wěn)定性和時間響應(yīng)

1、Unit12 穩(wěn)定性和時間響應(yīng)介紹連續(xù)或離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于它的輸入或擾動的響應(yīng)，直觀地說，一個穩(wěn)定的系統(tǒng)若沒有外部信號源激勵就會一直保持靜止或平衡狀態(tài)并且在去掉所有激勵后回到靜止?fàn)顟B(tài)。輸出將經(jīng)過一個暫態(tài)階段且平息到一個穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，這個穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與受約束于輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是相同的。如果用同樣的輸入作用于一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)，輸出將不會平息到一個穩(wěn)定的階段，它會以不受約束的方式增加，通常為指數(shù)形式或者以振幅增大的方式振蕩。根據(jù)連續(xù)系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)y(t)可精確額定義穩(wěn)定性，或者離散時間系統(tǒng)的克羅內(nèi)克函數(shù)響應(yīng)y(k)，如下：一個連續(xù)（離散時間）系統(tǒng)，當(dāng)時間接近無窮大時如果它的沖擊響應(yīng)y(t)（克羅內(nèi)克函

2、數(shù)響應(yīng)y(k)）接近于0，那么這個系統(tǒng)是穩(wěn)定的。一個可用的系統(tǒng)必須至少滿足三個穩(wěn)定性、準確性和理想暫態(tài)響應(yīng)的基本判據(jù)。一個可用系統(tǒng)必須有一個對指定輸入和干擾的理想時間響應(yīng)，這句話隱含了以上三個判據(jù)。所以，雖然為方起見便，我們在拉式域和頻域里進行分析，但是我們必須能夠至少定性地將這兩個域聯(lián)系到時域。實際上，拉式域提供了穩(wěn)定和不穩(wěn)定系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的信息。這篇文章涉及了將拉式域聯(lián)系到時域，強調(diào)了暫態(tài)響應(yīng)以及在拉式域里對系統(tǒng)穩(wěn)定性建立特定的判據(jù)。下一篇文章將探討準確性，下一單元探討頻率響應(yīng)。特征方程一個系統(tǒng)對任意輸入的時間響應(yīng)可表示為公式blabla其中css是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，ctr是暫

3、態(tài)響應(yīng)。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，將沒有穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，只有暫態(tài)響應(yīng)。若沒有傳輸延遲，系統(tǒng)傳遞函數(shù)可表示為復(fù)拉普拉斯變量s的多項式之比：公式2-1令分母多項式等于0，那么特征方程可表示為公式blabla也可寫成因式分解的形式公式2-3其中-ri表示特征方程也就是令D(s)等于0的根。這些根可以是實數(shù)、復(fù)數(shù)或者等于0；如果是復(fù)數(shù)，那么它們總是共軛復(fù)數(shù)對，因為微分方程的系數(shù)是實數(shù)。下式表示了在拉式域里暫態(tài)響應(yīng)的n個不同的根。公式2-4在時域里是公式2-5上一個公式的每一項叫做暫態(tài)模式，對于每個根的暫態(tài)模式，其形式僅取決于根在s平面的位置。因此，一個系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是特征方程的根必須有負的實部。這個保證了沖擊響應(yīng)

4、將會隨時間呈指數(shù)衰減。勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)是一個判定連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，對于一個具有n階特征方程的系統(tǒng)，其形式如下：公式2-6這個判據(jù)用勞斯表表示，其定義如下：blabla其中an、an-1、L、a0是特征方程的系數(shù)，并且blabla勞斯表分別水平和豎直延伸至0。在不改變勞斯表的性質(zhì)的條件下，下一行計算之前，任何一行都可以與一個正的常數(shù)相乘。勞斯判據(jù)：當(dāng)且僅當(dāng)勞斯表的第一列元素有相同的符號時，特征方程所有的根均有負的實部，否則，正實部根的個數(shù)等于符號變化的次數(shù)。赫爾維茨判據(jù)是另外一個判別連續(xù)系統(tǒng)特征方程所有的根是否有負實部的方法。雖然它和勞斯判據(jù)的形式或模式不同，但實質(zhì)上它們有相同的原理，所以它

5、們通常被稱為勞斯-赫爾維茨判據(jù)。簡單滯后環(huán)節(jié)：一階系統(tǒng)根據(jù)公式2-1中傳遞函數(shù)的形式，系統(tǒng)的階次可由特征函數(shù)D(s)的階次定義，出現(xiàn)在D(s)中的s的最高次數(shù)就是系統(tǒng)的階次。對于一個簡單的一階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)G(s)blabla，如圖2-1所示，如果輸入階躍R(s)=1/s，那么輸出將是公式blabla因此，暫態(tài)響應(yīng)是blabla。第一項是被迫響應(yīng)，應(yīng)歸于輸入；第二項是暫態(tài)解，應(yīng)歸于系統(tǒng)極點。圖2-2表示了該暫態(tài)解和c(t)。暫態(tài)可看做呈指數(shù)衰減，并且通常用于測量時間常數(shù)的衰減速度：時間常數(shù)是指以秒為單位，衰減指數(shù)暫態(tài)下降到初值的0.368倍時所用的的時間。由于t=T時blabla，可以看出一

6、個簡單滯后一階系統(tǒng)的時間常數(shù)是T秒。實際上，這就是一個簡單滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)經(jīng)常寫成這種形式的原因，s的系數(shù)直接反映衰減速度，并且暫態(tài)衰減到其初值的1.8%需花費4T秒。對于一個簡單滯后環(huán)節(jié)，以下兩個特點非常重要：1、 穩(wěn)定性：對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)極點（s）必須位于s平面的左半平面，所以系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)是衰減的，而不是隨時間t的增加而增加的。2、 響應(yīng)速度：為提高 系統(tǒng)響應(yīng)速度（例如，減小它的時間常數(shù)T），極點-1/T必須移至左半平面。二次延遲環(huán)節(jié)：二階系統(tǒng)最常見的傳遞函數(shù)總是可以被歸納為如下標(biāo)準形式：公式2-7其中n是無阻尼自然頻率，是阻尼比。下面討論這些參數(shù)的重要性。根據(jù)阻尼比，系統(tǒng)特征方

7、程的根（或極點）公式2-8存在三種可能性：>1：過阻尼： 公式blabla=1：臨界阻尼: 公式blanla<1：欠阻尼： 公式blabla圖2-3所示為s平面的極點圖對于單位階躍輸入R(s)=1/s，輸出為公式blabla對于>1，極點在負實軸上，-n的兩邊，暫態(tài)響應(yīng)是兩個衰減指數(shù)的和，每個暫態(tài)響應(yīng)都有自己的時間常數(shù)。最靠近原點的極點響應(yīng)指數(shù)有最大的時間常數(shù)且衰減最慢。這個極點被稱為主導(dǎo)極點。對于=1，兩個極點在-n處重合。對于<1，極點沿著一個以原點為圓心半徑為n的圓移動。從圖2-3的幾何關(guān)系中還可以看出blabla。輸出公式2-9。如圖2-4所示是一個對于不同阻尼

8、比值的響應(yīng)的規(guī)范圖，暫態(tài)響應(yīng)是無阻尼自然頻率的振蕩，其振幅根據(jù)blabla衰減。響應(yīng)的重要性能標(biāo)準在圖2-5中確定。調(diào)節(jié)時間Ts是要求響應(yīng)一直在穩(wěn)定值的5%或2%范圍內(nèi)的所用的時間。Ts=3T(5%)或Ts=4T(2%)。（時間常數(shù)是時間，單位為妙，對不同的二階系統(tǒng)，blabla，因此blabla）。超過穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的最大超調(diào)量是測量（系統(tǒng)）性能的決定性因素。在公式2-9中使c(t)=0，來判別響應(yīng)的極值，易推出公式2-10這意味著在峰值的時候左邊和右邊相等，因此在最大峰值時，峰值時間Tp為公式2-11如果公式2-10中角度的正切值是blabla，它的正弦值是blabla，把公式2-11帶入到公式2-9中推出公式blabla上升時間Tr由圖2-5確定。該時間最接近峰值時間，是響應(yīng)首次到達穩(wěn)態(tài)水平的時間。注意到Ts、Tp和Tr都根據(jù)n和來確定，超調(diào)量僅由阻尼比確定（圖2-6），可允許的超調(diào)量和最小可接受的取決于應(yīng)用。對于一個機床滑動，超調(diào)量可能會造成工具挖進機器加工的原料里，所以要求>=