《高等數(shù)學(xué)教學(xué)》§4.2未定式的極限ppt課件

1、 若若當(dāng)當(dāng)xx( (或或 x) )時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù))(xf和和)(xg都都趨趨 于于零零，或或都都趨趨于于無(wú)無(wú)窮窮大大，則則把把比比值值)()(xgxf的的極極限限稱(chēng)稱(chēng)為為 00型型或或 型型的的未未定定式式。 例例如如：xxxsinlim0是是未未定定式式型型 00， 4.2 4.2 未定式的極限未定式的極限xxxlnlim 是是未未定定式式型型 。 七七種種未未定定式式： 00， ， 0， ，00， 1，0 。 定理定理 1 1( (洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則) )已已知知函函數(shù)數(shù))(xf和和)(xg （1 1）在在),( xN內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且0)( xg， （2 2）)(limxfxx0 0，

2、)(limxgxx0 0； （3 3）)()()(lim 或或Axgxfxx，則則 )()(limxgxfxx)()()(lim 或或Axgxfxx。 分析分析：證明洛必達(dá)法則要找到兩個(gè)函數(shù)之比與這兩個(gè)：證明洛必達(dá)法則要找到兩個(gè)函數(shù)之比與這兩個(gè) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之比之間的聯(lián)系，而柯西定理正是實(shí)現(xiàn)這函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之比之間的聯(lián)系，而柯西定理正是實(shí)現(xiàn)這 種聯(lián)系的紐帶。種聯(lián)系的紐帶。為了使函數(shù)為了使函數(shù))(xf和和 )(xg在在x 點(diǎn)點(diǎn)滿(mǎn)足滿(mǎn)足 柯西定理的條件，將函數(shù)柯西定理的條件，將函數(shù))(xf和和 )(xg在在x 點(diǎn)點(diǎn)作連續(xù)作連續(xù) 開(kāi)拓。開(kāi)拓。這不影響定理的證明，因?yàn)楹瘮?shù)這不影響定理的證明，因?yàn)楹瘮?shù))()(

3、xgxf在在x 點(diǎn)點(diǎn) 的極限與函數(shù)的極限與函數(shù))(xf和和)(xg在在x 點(diǎn)點(diǎn)的函數(shù)值無(wú)關(guān)。的函數(shù)值無(wú)關(guān)。 證證明明：令令0)( xf，0)( xg， 0)()(lim xfxfxx，0)()(lim xgxgxx， )(xf和和)(xg在在x 點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)。 ),( xNx，則，則和和)(xf)(xg在在 ,xx或或 ,xx上上 滿(mǎn)足柯西定理的條件。滿(mǎn)足柯西定理的條件。 )()()()()()()()( gfxgxgxfxfxgxf（介介于于 xx 與與之之間間） 當(dāng)當(dāng)xx時(shí)時(shí)，x ， )()()(lim)()(lim)()(lim 或或Axgxfgfxgxfxxxxx。 .lnlnln1l

4、nlnlim0bababbaaxxx 當(dāng)當(dāng)極極限限過(guò)過(guò)程程為為 xx， xx， x， x， x時(shí)時(shí)，只只要要滿(mǎn)滿(mǎn)足足與與定定理理 1 1 中中相相仿仿的的條條件件，也也有有類(lèi)類(lèi)似似 的的結(jié)結(jié)論論。 （1 1）).0, 0(lim0 baxbaxxx 解解：xbaxxx 0lim00)()(lim0 xbaxxx 例例 1 1求求下下列列極極限限 解解：xxx1sin)arctan2(lim 00 . 11cos11lim22 xxxxxxxx1cos111lim22 （2 2）.1sin)arctan2(limxxx .)()(2)()(lim)(20 xxfxxfxxfxfx （3 3）設(shè)設(shè)

5、函函數(shù)數(shù))(xf二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)，證證明明： 證證明明：)(2)1)()(lim0 00 xxxfxxfx 右右端端 問(wèn)問(wèn)：第第二二步步中中)(2)1)()(lim0 xxxfxxfx 仍仍為為00型型的的未未定定式式，能能否否用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則？ 答答：不不能能！因因?yàn)闉闂l條件件中中只只給給出出)(xf 存存在在，并并不不知知 道道)(xf 是是否否連連續(xù)續(xù)，若若用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則，就就會(huì)會(huì)出出現(xiàn)現(xiàn) )(xxf 與與)(xxf 的的極極限限，無(wú)無(wú)法法處處理理。 )()()()(lim210 xxfxxfxxfxxfx ).()()(21xfxfxf 1、用洛必達(dá)法那么一定要驗(yàn)證條

6、件，特別是條件、用洛必達(dá)法那么一定要驗(yàn)證條件，特別是條件(2);2、假設(shè)用一次法那么后仍是未定式，可繼續(xù)運(yùn)用，一旦、假設(shè)用一次法那么后仍是未定式，可繼續(xù)運(yùn)用，一旦 不是未定式立刻停頓運(yùn)用不是未定式立刻停頓運(yùn)用; xxxsinlim20例：例： 3、運(yùn)算過(guò)程中有非零極限因子，可先算出極限。、運(yùn)算過(guò)程中有非零極限因子，可先算出極限。假設(shè)可以等價(jià)無(wú)窮小量代換，先代換。假設(shè)可以等價(jià)無(wú)窮小量代換，先代換。留意：洛必達(dá)法那么是求未定式的一種有效方法，留意：洛必達(dá)法那么是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合運(yùn)用，效果更好但與其它求極限方法結(jié)合運(yùn)用，效果更好. .留意留意xxsin2lim0 xxx

7、cos2lim0.812sinlim412coslim412 00 2 xxxxxxxxxx2coslimsin1lim4122 例例 2 2求求.)2()ln(sinlim22xxx 解解：)2()2(2sincoslim2 00 xxxx原原式式 解解：xexxx 10)1(lim xeexxx )1ln(10lim2)1ln(0)1ln(1limxxxxexxx )1()1ln()1()1(lim210 xxxxxxxx 20010)1ln()1(lim11lim)1(lim xxxxxxxxxx 例例 3 3求求.)1(lim10 xexxx lim)1ln(000 xxxe將具有非零

8、極限的將具有非零極限的因子及時(shí)分別出來(lái)！因子及時(shí)分別出來(lái)！ 20)1ln()1(limxxxxex xxex21)1ln(1lim0 00 .2)1ln(lim20exxex .2)1(lim10exexxx 定定理理 2 2( (洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則) )已已知知函函數(shù)數(shù))(xf和和)(xg （1 1）在在),( xN內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且0)( xg， （3 3）)()()(lim 或或Axgxfxx，則則 )()(limxgxfxx)()()(lim 或或Axgxfxx。 （2 2） )(limxfxx， )(limxgxx； 解解： 0limxxxlncotln xxxx1)csc(tan

9、lim20 . 1limsintanlim22020 xxxxxxx 當(dāng)當(dāng)極極限限過(guò)過(guò)程程為為 xx， xx， x， x， x時(shí)時(shí)，只只要要滿(mǎn)滿(mǎn)足足與與定定理理 2 2 中中相相仿仿的的條條件件，也也有有類(lèi)類(lèi)似似 的的結(jié)結(jié)論論。 （1 1） 0limxxxlncotln 例例 4 4. .求求下下列列極極限限 （2 2）xxx3tantanlim2 解解：xxxxxxxxx2220022csc3csc3limcot3cotlim3tantanlim 33sinsinlim3222 xxx。 （1 1） xxxlnlim（0 ） 解解： xxxlnlim 01lim1lim1 xxxxx。 （2

10、 2）)0, 1(lim aaxxx 解：當(dāng)解：當(dāng)10 時(shí)，時(shí)，0lnlimlim1 aaxaxxxxx， 當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí)， Nn，使使)0( 1 nnn， 逐逐次次應(yīng)應(yīng)用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則，直直到到第第次次 n，有有 例例 5 5. .求下列極限求下列極限 aaxaxxxxxlnlimlim10)(ln)1()1(lim nxnxaaxn 該該例例說(shuō)說(shuō)明明對(duì)對(duì)任任意意, 1 , 0 a當(dāng)當(dāng) x時(shí)時(shí)，對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù) xln，冪冪函函數(shù)數(shù) x，指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)xa都都是是正正無(wú)無(wú)窮窮大大。比比較較 這這三三個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，xa增增長(zhǎng)長(zhǎng)最最快快， x次次之之，xln最最慢慢。 10 00 000

11、 倒數(shù)關(guān)系倒數(shù)關(guān)系關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類(lèi)型未定式化為洛必達(dá)法那么可處將其它類(lèi)型未定式化為洛必達(dá)法那么可處理的類(lèi)型理的類(lèi)型. .0101 .0000 ln01ln0ln01000取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù),1 .010 解解：2tan)1(lim1xxx 2cot)1(lim10 xxx .222csc1lim21 00 xx.2lim12lim xxxxexe解解：)1(lim)1(lim xxexexexxxxx 解解：原原式式xxxetanlnsin00 lim ,tanlnsinlim0 xxxe xxxlntansinlim0 0 xxxcsclntanlim0 xxxxxcotcscsectan1

12、lim20 xxx20cossinlim . 1)(tanlim0sin0 exxx . 0 ,)ln(1lim210naaaxxnxxxe 解解：)ln(101 21limnaaaxxxnxxe 原原式式 xnaaaxnxxxln)ln(lim2100 xnxxnxnxxxaaaaaaaaa 212211000lnlnlnlimnaaanlnlnln21 . ln)ln(12121nnnaaaaaan .)(lim21 ln121021nnaaaxxnxxxaaaenaaann )ln(1lim210naaaxxnxxx 解解：)ln(cotlim)ln(cot0ln10ln10ln1lim

13、)(cotlimxxxxxxxxeex xxxxxxxxxx1)csc(cot1limln)ln(cotlim)ln(cotlim200ln10 , 1limsintanlim2020 xxxxxxxx1ln10)(cotlim exxx。 例例xxxx30sinsin11lim 留意：洛必達(dá)法那么只用留意：洛必達(dá)法那么只用于于)( )00(用洛必達(dá)法那么過(guò)程中要及時(shí)化簡(jiǎn)用洛必達(dá)法那么過(guò)程中要及時(shí)化簡(jiǎn), 并靈敏結(jié)合其他并靈敏結(jié)合其他求極限方法求極限方法.1212sinlim30 xxxx)sin11(sinlim30 xxxxxx 2)1tan()(nnnnf 設(shè)設(shè)，因，因 n 是是離散變量離

14、散變量，)(nf 無(wú)導(dǎo)數(shù)無(wú)導(dǎo)數(shù)，故不能直接使用洛必達(dá)法則故不能直接使用洛必達(dá)法則求極限求極限。但若能用但若能用 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則求出求出連續(xù)變量連續(xù)變量的函數(shù)的函數(shù) x2)1tan()(xxxxf ， ) , 0( x的極限的極限Axfx )(lim，則根據(jù)數(shù)列極限與，則根據(jù)數(shù)列極限與 函數(shù)極限的關(guān)系，便有函數(shù)極限的關(guān)系，便有Anfn )(lim。 留意留意例例 7求求2)1tan(limnnnn （ Nn） 。 22101)tan(lim)1tan(lim)(limttxtxxxttxxxf 令令 3tantan0)tan1(limtttttttttt 而而313tanlim31seclimtanlim22022030 tttttttttt， 故故312)1tan(limennnn 。 解：設(shè)解：設(shè)) , 0()( ,)1tan()(2 Cxfxxxfx則則，