《高等數學教學》§4.2未定式的極限ppt課件

1、 若若當當xx( (或或 x) )時時，函函數數)(xf和和)(xg都都趨趨 于于零零，或或都都趨趨于于無無窮窮大大，則則把把比比值值)()(xgxf的的極極限限稱稱為為 00型型或或 型型的的未未定定式式。 例例如如：xxxsinlim0是是未未定定式式型型 00， 4.2 4.2 未定式的極限未定式的極限xxxlnlim 是是未未定定式式型型 。 七七種種未未定定式式： 00， ， 0， ，00， 1，0 。 定理定理 1 1( (洛必達法則洛必達法則) )已已知知函函數數)(xf和和)(xg （1 1）在在),( xN內內可可導導，且且0)( xg， （2 2）)(limxfxx0 0，

2、)(limxgxx0 0； （3 3）)()()(lim 或或Axgxfxx，則則 )()(limxgxfxx)()()(lim 或或Axgxfxx。 分析分析：證明洛必達法則要找到兩個函數之比與這兩個：證明洛必達法則要找到兩個函數之比與這兩個 函數的導數之比之間的聯系，而柯西定理正是實現這函數的導數之比之間的聯系，而柯西定理正是實現這 種聯系的紐帶。種聯系的紐帶。為了使函數為了使函數)(xf和和 )(xg在在x 點點滿足滿足 柯西定理的條件，將函數柯西定理的條件，將函數)(xf和和 )(xg在在x 點點作連續(xù)作連續(xù) 開拓。開拓。這不影響定理的證明，因為函數這不影響定理的證明，因為函數)()(

3、xgxf在在x 點點 的極限與函數的極限與函數)(xf和和)(xg在在x 點點的函數值無關。的函數值無關。 證證明明：令令0)( xf，0)( xg， 0)()(lim xfxfxx，0)()(lim xgxgxx， )(xf和和)(xg在在x 點點連連續(xù)續(xù)。 ),( xNx，則，則和和)(xf)(xg在在 ,xx或或 ,xx上上 滿足柯西定理的條件。滿足柯西定理的條件。 )()()()()()()()( gfxgxgxfxfxgxf（介介于于 xx 與與之之間間） 當當xx時時，x ， )()()(lim)()(lim)()(lim 或或Axgxfgfxgxfxxxxx。 .lnlnln1l

4、nlnlim0bababbaaxxx 當當極極限限過過程程為為 xx， xx， x， x， x時時，只只要要滿滿足足與與定定理理 1 1 中中相相仿仿的的條條件件，也也有有類類似似 的的結結論論。 （1 1）).0, 0(lim0 baxbaxxx 解解：xbaxxx 0lim00)()(lim0 xbaxxx 例例 1 1求求下下列列極極限限 解解：xxx1sin)arctan2(lim 00 . 11cos11lim22 xxxxxxxx1cos111lim22 （2 2）.1sin)arctan2(limxxx .)()(2)()(lim)(20 xxfxxfxxfxfx （3 3）設設

5、函函數數)(xf二二階階可可導導，證證明明： 證證明明：)(2)1)()(lim0 00 xxxfxxfx 右右端端 問問：第第二二步步中中)(2)1)()(lim0 xxxfxxfx 仍仍為為00型型的的未未定定式式，能能否否用用洛洛必必達達法法則則？ 答答：不不能能！因因為為條條件件中中只只給給出出)(xf 存存在在，并并不不知知 道道)(xf 是是否否連連續(xù)續(xù)，若若用用洛洛必必達達法法則則，就就會會出出現現 )(xxf 與與)(xxf 的的極極限限，無無法法處處理理。 )()()()(lim210 xxfxxfxxfxxfx ).()()(21xfxfxf 1、用洛必達法那么一定要驗證條

6、件，特別是條件、用洛必達法那么一定要驗證條件，特別是條件(2);2、假設用一次法那么后仍是未定式，可繼續(xù)運用，一旦、假設用一次法那么后仍是未定式，可繼續(xù)運用，一旦 不是未定式立刻停頓運用不是未定式立刻停頓運用; xxxsinlim20例：例： 3、運算過程中有非零極限因子，可先算出極限。、運算過程中有非零極限因子，可先算出極限。假設可以等價無窮小量代換，先代換。假設可以等價無窮小量代換，先代換。留意：洛必達法那么是求未定式的一種有效方法，留意：洛必達法那么是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結合運用，效果更好但與其它求極限方法結合運用，效果更好. .留意留意xxsin2lim0 xxx

7、cos2lim0.812sinlim412coslim412 00 2 xxxxxxxxxx2coslimsin1lim4122 例例 2 2求求.)2()ln(sinlim22xxx 解解：)2()2(2sincoslim2 00 xxxx原原式式 解解：xexxx 10)1(lim xeexxx )1ln(10lim2)1ln(0)1ln(1limxxxxexxx )1()1ln()1()1(lim210 xxxxxxxx 20010)1ln()1(lim11lim)1(lim xxxxxxxxxx 例例 3 3求求.)1(lim10 xexxx lim)1ln(000 xxxe將具有非零

8、極限的將具有非零極限的因子及時分別出來！因子及時分別出來！ 20)1ln()1(limxxxxex xxex21)1ln(1lim0 00 .2)1ln(lim20exxex .2)1(lim10exexxx 定定理理 2 2( (洛洛必必達達法法則則) )已已知知函函數數)(xf和和)(xg （1 1）在在),( xN內內可可導導，且且0)( xg， （3 3）)()()(lim 或或Axgxfxx，則則 )()(limxgxfxx)()()(lim 或或Axgxfxx。 （2 2） )(limxfxx， )(limxgxx； 解解： 0limxxxlncotln xxxx1)csc(tan

9、lim20 . 1limsintanlim22020 xxxxxxx 當當極極限限過過程程為為 xx， xx， x， x， x時時，只只要要滿滿足足與與定定理理 2 2 中中相相仿仿的的條條件件，也也有有類類似似 的的結結論論。 （1 1） 0limxxxlncotln 例例 4 4. .求求下下列列極極限限 （2 2）xxx3tantanlim2 解解：xxxxxxxxx2220022csc3csc3limcot3cotlim3tantanlim 33sinsinlim3222 xxx。 （1 1） xxxlnlim（0 ） 解解： xxxlnlim 01lim1lim1 xxxxx。 （2

10、 2）)0, 1(lim aaxxx 解：當解：當10 時，時，0lnlimlim1 aaxaxxxxx， 當當1 時時， Nn，使使)0( 1 nnn， 逐逐次次應應用用洛洛必必達達法法則則，直直到到第第次次 n，有有 例例 5 5. .求下列極限求下列極限 aaxaxxxxxlnlimlim10)(ln)1()1(lim nxnxaaxn 該該例例說說明明對對任任意意, 1 , 0 a當當 x時時，對對數數函函數數 xln，冪冪函函數數 x，指指數數函函數數xa都都是是正正無無窮窮大大。比比較較 這這三三個個函函數數，xa增增長長最最快快， x次次之之，xln最最慢慢。 10 00 000

11、 倒數關系倒數關系關鍵關鍵: :將其它類型未定式化為洛必達法那么可處將其它類型未定式化為洛必達法那么可處理的類型理的類型. .0101 .0000 ln01ln0ln01000取取對對數數,1 .010 解解：2tan)1(lim1xxx 2cot)1(lim10 xxx .222csc1lim21 00 xx.2lim12lim xxxxexe解解：)1(lim)1(lim xxexexexxxxx 解解：原原式式xxxetanlnsin00 lim ,tanlnsinlim0 xxxe xxxlntansinlim0 0 xxxcsclntanlim0 xxxxxcotcscsectan1

12、lim20 xxx20cossinlim . 1)(tanlim0sin0 exxx . 0 ,)ln(1lim210naaaxxnxxxe 解解：)ln(101 21limnaaaxxxnxxe 原原式式 xnaaaxnxxxln)ln(lim2100 xnxxnxnxxxaaaaaaaaa 212211000lnlnlnlimnaaanlnlnln21 . ln)ln(12121nnnaaaaaan .)(lim21 ln121021nnaaaxxnxxxaaaenaaann )ln(1lim210naaaxxnxxx 解解：)ln(cotlim)ln(cot0ln10ln10ln1lim

13、)(cotlimxxxxxxxxeex xxxxxxxxxx1)csc(cot1limln)ln(cotlim)ln(cotlim200ln10 , 1limsintanlim2020 xxxxxxxx1ln10)(cotlim exxx。 例例xxxx30sinsin11lim 留意：洛必達法那么只用留意：洛必達法那么只用于于)( )00(用洛必達法那么過程中要及時化簡用洛必達法那么過程中要及時化簡, 并靈敏結合其他并靈敏結合其他求極限方法求極限方法.1212sinlim30 xxxx)sin11(sinlim30 xxxxxx 2)1tan()(nnnnf 設設，因，因 n 是是離散變量離

14、散變量，)(nf 無導數無導數，故不能直接使用洛必達法則故不能直接使用洛必達法則求極限求極限。但若能用但若能用 洛必達法則洛必達法則求出求出連續(xù)變量連續(xù)變量的函數的函數 x2)1tan()(xxxxf ， ) , 0( x的極限的極限Axfx )(lim，則根據數列極限與，則根據數列極限與 函數極限的關系，便有函數極限的關系，便有Anfn )(lim。 留意留意例例 7求求2)1tan(limnnnn （ Nn） 。 22101)tan(lim)1tan(lim)(limttxtxxxttxxxf 令令 3tantan0)tan1(limtttttttttt 而而313tanlim31seclimtanlim22022030 tttttttttt， 故故312)1tan(limennnn 。 解：設解：設) , 0()( ,)1tan()(2 Cxfxxxfx則則，