乘法公式培優(yōu)輔導(dǎo)講義_3393

1、乘法公式培優(yōu)訓(xùn)練題型一： a±型1已知 x2 3x+1=0，則=2若 a2+=14，則 a+5 的值為3已知 a+=7，則 a3 +的值是4已知=3，則=5（1）猜想：試猜想 a2+b2 與 2ab 的大小關(guān)系，并說明理由；（2）應(yīng)用：已知 x，求 x2+的值；（3）拓展：代數(shù)式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出最小值題型二：換元，整體思想1已知 a+b=4，則=2已知（ 2017a）2+（2016a）2 =1，則（ 2017a）（2016a）=22223已知（2017A）（2015A）=2016，則（2017A）+（2015A） 的值為4計(jì)算（ 1 ）

2、（ +）（1）（+）的結(jié)果是5計(jì)算（ a1+a2 +an 1）（a2+a3+an1 +an）（ a2+a3+an 1）（a1+a2+an ）= 題型三、添與湊1對(duì)于算式 2（ 3+1）（ 32 +1）（34+1）（38+1）（ 316+1）（332+1）+1（1）計(jì)算出算式的結(jié)果；（2）結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是幾？2化簡(jiǎn)： 6（7+1）（72+1）（74+1）（ 78+1）（716+1） +1=.3計(jì)算下列各式：（1）1 =；（2）（1 ）（1 ）=；（3）（1）（1）（1）=；（4）請(qǐng)你根據(jù)上面算式所得的簡(jiǎn)便方法計(jì)算下式：（ 1）（1）（1） （ 1）（1） （ 1）4（1）計(jì)算：（a1）（a+1）

3、=；（a1）（a2+a+1） =；（a1）（a3+a2+a+1）=；（ 2）由上面的規(guī)律我們可以猜想，得到：（a1）（a2017+a2016+a2015+a2014+a2+a+1）=；（ 3）利用上面的結(jié)論，求下列各式的值22017+22016+22015+22014+22+2+152017+52016+52015+52014+ +52+5+1題型四、化簡(jiǎn)求值1已知代數(shù)式（ x2y） 2（ x y）（x+y） 2y2 （1）當(dāng) x=1， y=3 時(shí)，求代數(shù)式的值；（2）當(dāng) 4x=3y，求代數(shù)式的值3已知 a2+2a 2=0，求代數(shù)式（ 3a+2）（3a 2） 2a（4a1）的值.3（1）已知

4、a2 +b2=3，ab=1，求（ 2a）（ 2b）的值（2）設(shè) b=ma（a0），是否存在實(shí)數(shù)m，使得（ 2a b） 2（ a 2b）（a+2b）+4a（a+b）能化簡(jiǎn)為 12a2？若能，請(qǐng)求出滿足條件的m值；若不能，請(qǐng)說明理由4計(jì)算：（ 1）（ 48a6b5 c）÷（ 24ab4）（?a5b2 ）；（ 2）已知 xm=3，xn=2，求 x2m3n 的值；（ 3）已知 6x=5y，求代數(shù)式（ x 3y）2 （ xy）（x+y） 5y2 的值題型五、綜合運(yùn)用221如果等式 x+3x+2=（ x 1）+B（x1）+C恒成立，其中 B，C為常數(shù)，B+C=2已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16cm，它兩鄰

5、邊長(zhǎng)分別為xcm，ycm，且滿足（ xy）2 2x+2y+1=0，求其面積3兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b 滿足 a2+b2=5（ 1）若 ab=2，求 a+b 的值；（ 2）若 a2 2a=m，b2 2b=m，求 a+b 和 m的值4已知 |x y+1| 與 x2 +8x+16 互為相反數(shù)，求x2+2xy+y2 的值.5將 4 個(gè)數(shù) a b c d 排成兩行，兩列，兩邊各加一條豎直線記成，定義=ad bc上述記號(hào)叫做 2 階行列式，若=8求 x 的值6把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過圖形面積的計(jì)算，常常可以得到一些有用的式子（ 1）圖 1 是由幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b

6、+c 的正方形，試用不同的方法計(jì)算這個(gè)正方形的面積， 你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？請(qǐng)寫出來（ 2）圖 2 是將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為 a 和 b 的正方形拼在一起， B、C、G 三點(diǎn)在同一直線上，連結(jié) BD、BF，若兩正方形的邊長(zhǎng)滿足 a+b=10，ab=20，試求陰影部分的面積7圖 1 是一個(gè)長(zhǎng)為 2m，寬為 2n 的長(zhǎng)方形紙片（其中m n），先用剪刀沿圖中虛線剪開成四塊完全相同的小長(zhǎng)方形，然后拼成如圖2 所示的大正方形（ 1）請(qǐng)用兩種不同方法表示圖2 中陰影部分的面積：；（ 2）寫出關(guān)于（ m+n）2，（ m n） 2，mn的一個(gè)等式（ 3）若 m+n=10，mn=20，求圖 2 中陰影部分的面積8從邊長(zhǎng)為

7、 a 的正方形剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b 的正方形（如圖 1），然后將剩余部分.拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）（ 1）上述操作能驗(yàn)證的等式是（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）Aa22ab+b2 =（ a b） 2Ba2b2=（a+b）（ab）Ca2+ab=a（a+b）（ 2）若 x2 9y2=12，x+3y=4，求 x3y 的值；（ 3）計(jì)算：（1）（1）（ 1） （ 1）（1）9有一系列等式：2221× 2× 3× 4+1=5=（1 +3× 1+1）2222× 3× 4× 5+1=11=（ 2 +3×2+1）2223× 4×

8、; 5× 6+1=19=（ 3 +3×3+1）2224× 5× 6× 7+1=29=（ 4 +3×4+1）（ 1）根據(jù)你的觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出 8×9×10×11+1 的結(jié)果（ 2）試猜想 n（ n+1）（ n+2）（ n+3）+1 是哪一個(gè)數(shù)的平方，并予以證明10（ 1）已知 a+b=3，ab=2，求代數(shù)式（ ab） 2 的值（ 2）已知 a、b 滿足（ 2a+2b+3）（2a+2b 3） =55，求 a+b 的值11如圖，長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別為m+1， m+7；如圖，長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別.為 m+

9、2，m+4（其中 m為正整數(shù)）（ 1）圖中長(zhǎng)方形的面積S1 =；圖中長(zhǎng)方形的面積S2=比較： S1S2（填“”、“=”或“”）（ 2）現(xiàn)有一正方形，其周長(zhǎng)與圖中的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)相等，則求正方形的邊長(zhǎng)（用含 m的代數(shù)式表示）；試探究： 該正方形面積 S 與圖中長(zhǎng)方形面積 S1 的差（即 SS1）是一個(gè)常數(shù)，求出這個(gè)常數(shù)（ 3）在（ 1）的條件下，若某個(gè)圖形的面積介于 S1、S2 之間（不包括 S1、S2）并且面積為整數(shù)，這樣的整數(shù)值有且只有 10 個(gè)，求 m的值12先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，22例題：若 m+2mn+2n6n+9=0，求 m和 n 的值22解： m+2mn+2n6n+9=0222

10、 m+2mn+n+n 6n+9=022（ m+n） +（n3） =0 m+n=0，n3=0 m=3，n=3問題（ 1）若 x2 +2y22xy+4y+4=0，求 xy 的值（ 2）已知 a，b，c 是 ABC的三邊長(zhǎng)，滿足 a2+b2=10a+8b41，且 c 是 ABC中最長(zhǎng)的邊，求 c 的取值范圍26已知 x、y 互為相反數(shù)，且（ x+3） 2（ y+3） 2=6，求 x、y 的值.2017 年 12 月 02 乘法公式培優(yōu)訓(xùn)練參考答案與試題解析一選擇題（共11 小題）1已知 x2 3x+1=0，則= 7 【解答】解： x2 3x+1=0， x+ =3，（ x+ ） 2=x2+2=9， x

11、2+ =7故答案為： 72化簡(jiǎn)： 6（7+1）（72+1）（74+1）（ 78+1）（716+1） +1=732【解答】解：原式 =（ 7 1）（7+1）（72+1）（ 74 +1）（78+1）（716+1）+1 =（721）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+144816=（7 1）（7 +1）（7 +1）（ 7 +1） +1=（7161）（ 716+1）+1=732 1+1=732故答案為： 732223已知（ 2017a） +（2016a） =1，則（ 2017a）（2016a）=022【解答】解：（ 2017 a） +（2016a） =1， （ 2017 a）（ 201

12、6a） 2+2（ 2017 a）（2016a）=1，即 1+2（2017a）（ 2016 a） =1， 2（ 2017 a）（2016a）=0，（ 2017a）（ 2016a）=0，.故答案為： 04若 a2+=14，則 a+5 的值為1 或 9【解答】解： a2+=14， a2+2+ =14+2，即=16， a+ =±4， a+ 5=1 或 9，故答案為： 1 或 95已知 a+b=4，則= 8 【解答】解：= （a2+2ab+b2）= （a+b） 2= ×42=8故答案是： 86已知=3，則=119【解答】解：，=119，故答案為： 1197已知（ 2017A）2（ 2

13、015A）2 =2016，則（ 2017 A）2+（2015A）2 的值為4+24.【解答】解：設(shè)x=2017A，y=2015A， x2y2 =2016， xy=±12， x y=2 x2+y2=（xy）2+2xy=4±24 x2+y2 0， x2+y2=4+2422（ 2017A） +（2015A） =4+248已知 a+=7，則 a3 +的值是322【解答】解： a+ =7，（ a+ ） 2=49， a2+ +2=49， a2+ =47， a3+ =（a+ ）（a2 1+ ）=7×46=322故答案為： 3229如果等式 x2+3x+2=（x1）2+B（x1）

14、+C恒成立，其中 B， C 為常數(shù)， B+C=11 222【解答】解： x +3x+2=（ x 1） +B（ x 1） +C=x+（B2）x+1+C恒成立， B 2=3，1+C=2， B=5，C=6，故 B+C=11.故答案為： 1110計(jì)算（ 1）（+）（1）（+）的結(jié)果是【解答】解：（1）（+）（ 1）（+）=（1）×（+）+（1）×（1）×（+）（）×（+）=（1）×+×（+）=（1+）×= 故答案為： 11計(jì)算（ a1 +a2+an 1）（a2+a3+an 1+an）（a2+a3+an 1）（ a1+a2+an ）=

15、a1an【解答】解：設(shè)x=a1+a2+an， y=a2+a3 +an 1，則原式 =（xan）（y+an） yx=xy+xananyan2xy=an（xy） an 2=an （a1+a2+an）（ a2+a3 +an 1） an2=an（a1+an） an 2=a1an，故答案為： a1an 二選擇題（共16 小題）12已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16cm，它兩鄰邊長(zhǎng)分別為xcm，ycm，且滿足（ xy）2 2x+2y+1=0，求其面積【解答】解：由題意得： 2（ x+y）=16，解得： x+y=8；.（ xy）22x+2y+1=（xy）2 2（ x y） +1=（x y 1） 2=0， x y=1聯(lián)立

16、成方程組，解得：，2長(zhǎng)方形面積 S=xy=×=cm2答：長(zhǎng)方形的面積為cm13兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a， b 滿足 a2 +b2=5（ 1）若 ab=2，求 a+b 的值；（ 2）若 a2 2a=m，b2 2b=m，求 a+b 和 m的值【解答】解：（1） a2+b2 =5，ab=2，（ a+b）2=a2+2ab+b2=5+2×2=9， a+b=± 3；（ 2） a22a=m，b22b=m， a22a=b22b，a22a+b22b=2m， a2b22（ab）=0，（ ab）（ a+b2） =0， a b， a+b2=0， a+b=2， a22a+b22b=2m， a2+

17、b2 2（ a+b）=2m， a2+b2=5， 5 2× 2=2m，解得： m= ，.即 a+b=2， m= 14已知 |x y+1| 與 x2+8x+16 互為相反數(shù)，求x2+2xy+y2 的值【解答】解： |x y+1| 與 x2+8x+16 互為相反數(shù)， |x y+1| 與（ x+4） 2 互為相反數(shù)，即 |x y+1|+ （x+4）2=0， x y+1=0，x+4=0，解得 x=4，y=3當(dāng) x= 4， y=3 時(shí)，原式 =（ 4 3） 2=4915將 4 個(gè)數(shù) a b c d 排成兩行，兩列，兩邊各加一條豎直線記成，定義=ad bc上述記號(hào)叫做 2 階行列式，若=8求 x

18、的值【解答】解：根據(jù)題意化簡(jiǎn)=8，得：（ x+1）2（ 1 x） 2=8，整理得： x2+2x+1（ 12x+x2） 8=0，即 4x=8，解得： x=216把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過圖形面積的計(jì)算， 常常可以得到一些有用的式子（ 1）圖 1 是由幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c 的正方形，試用不同的方法計(jì)算這個(gè)正方形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？請(qǐng)寫出來（ 2）圖 2 是將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為 a 和 b 的正方形拼在一起， B、C、G 三點(diǎn)在同一直線上，連結(jié) BD、BF，若兩正方形的邊長(zhǎng)滿足 a+b=10，ab=20，試求陰影部分的面積.【解答】解：（1）（a+b+

19、c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（ 2） a+b=10，ab=20，22（a+b）?b22222 × S 陰影 =a +b a =a + bab= （a+b） ab= ×1020=5030=2017圖 1 是一個(gè)長(zhǎng)為 2m，寬為 2n 的長(zhǎng)方形紙片（其中mn），先用剪刀沿圖中虛線剪開成四塊完全相同的小長(zhǎng)方形，然后拼成如圖2 所示的大正方形（ 1）請(qǐng)用兩種不同方法表示圖 2 中陰影部分的面積：2 （ m n） ； （m+n）24mn （ 2）寫出關(guān)于（ m+n）2 ，（mn）2 ，mn的一個(gè)等式（m+n）2=（mn）2+4mn （ 3）若 m+n=10，mn=

20、20，求圖 2 中陰影部分的面積【解答】解：（1）圖 2 中陰影部分的面積：（ mn） 2；（ m+n）2 4mn；故答案為：（ m n）2；（ m+n）2 4mn；（ 2）關(guān)于（ m+n）2，（mn）2， mn的一個(gè)等式：（ m+n）2=（mn）2+4mn；故答案為：（ m+n）2=（mn）2+4mn；（ 3） m+n=10，mn=20，.22圖 2 中陰影部分的面積為：（m+n） 4mn=10 4×20=2018對(duì)于算式 2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1（ 1）計(jì)算出算式的結(jié)果；（ 2）結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是幾？【解答】解：（1）原式 =

21、（ 3 1）×（ 3+1）×（ 32+1）×（ 34+1）×（ 38+1）×（ 316+1）×（ 332+1）+122481632=（3 1）×（ 3 +1）×（ 3 +1）×（ 3 +1）×（ 3 +1）×（ 3 +1）+14481632=（3 1）×（ 3 +1）×（ 3 +1）×（ 3 +1）×（ 3 +1）+13232=（3 1）×（ 3 +1）+164=3 ； 31=3， 32 =9，33=27，34=8135=243，36=

22、729， 每 3 個(gè)數(shù)一循環(huán)， 64÷3=21 1， 364 的個(gè)位數(shù)字是 319計(jì)算下列各式：（1）1=；（2）（1）（1）=；（3）（1）（1）（1） =；（ 4）請(qǐng)你根據(jù)上面算式所得的簡(jiǎn)便方法計(jì)算下式：（ 1）（1）（1） （ 1）（1） （ 1）【解答】解：（1）1=；（2）（1）（1）=；.（ 3）原式 = ；故答案為；（4）原式=?=20從邊長(zhǎng)為 a 的正方形剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b 的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）（ 1）上述操作能驗(yàn)證的等式是B（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）Aa2 2ab+b2=（ab）2Ba2 b2 =（ a+b）（ab）Ca2+ab=a（a

23、+b）（ 2）若 x2 9y2=12，x+3y=4，求 x3y 的值；（ 3）計(jì)算：（1）（1）（ 1） （ 1）（1）2 2 【解答】解：（1）根據(jù)陰影部分面積相等可得： a b =（a+b）（ab），上述操作能驗(yàn)證的等式是 B，（ 2） x29y2 =12， x29y2 =（ x+3y）（x3y） =12， x+3y=4， x 3y=3；（3）原式.= 21有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（ 12 +3×1+1） 22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5

24、5;6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2（ 1）根據(jù)你的觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出 8×9×10×11+1 的結(jié)果 892（ 2）試猜想 n（ n+1）（ n+2）（ n+3）+1 是哪一個(gè)數(shù)的平方，并予以證明【解答】解：（1）根據(jù)觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，得到8×9×10× 11+1=（82+3× 8+1）2=892 ；故答案為： 892；（ 2）依此類推： n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（ n2+3n+1）2，理

25、 由 如 下 ： 等 式 左 邊 = （ n2 +3n ） （ n2+3n+2 ） +1=n4+6n3 +9n2+2n2+6n+1=n4+6n3+11n2+6n+1，等 式 右 邊 = （ n2+3n+1 ） 2= （ n2+1 ） 2+2 ? 3n ? （ n2+1 ）+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1，左邊 =右邊22（ 1）已知 a+b=3，ab=2，求代數(shù)式（ ab） 2 的值（ 2）已知 a、b 滿足（ 2a+2b+3）（2a+2b 3） =55，求 a+b 的值【解答】解：（1） a+b=3， ab=2，（ ab）2=（a+b）2 4

26、ab=324×（ 2） =17；.（ 2）（2a+2b+3）（2a+2b3）=55，4（a+b） 29=55，（ a+b）2=16，a+b=±423如圖，長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別為m+1， m+7；如圖，長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別為 m+2，m+4（其中 m為正整數(shù)）（ 1）圖中長(zhǎng)方形的面積 S1 =2；圖中長(zhǎng)方形的面積2m+8m+7S2= m+6m+8比較： S1 S2（填“”、“=”或“”）（ 2）現(xiàn)有一正方形，其周長(zhǎng)與圖中的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)相等，則求正方形的邊長(zhǎng)（用含 m的代數(shù)式表示）；試探究： 該正方形面積 S 與圖中長(zhǎng)方形面積 S1 的差（即 SS1）是一個(gè)常數(shù)，求出這個(gè)常數(shù)（ 3）

27、在（ 1）的條件下，若某個(gè)圖形的面積介于S1、S2 之間（不包括 S1、S2）并且面積為整數(shù)，這樣的整數(shù)值有且只有10 個(gè)，求 m的值【解答】解：（1）圖中長(zhǎng)方形的面積2S1=（m+7）（m+1）=m+8m+7，2圖中長(zhǎng)方形的面積 S2=（m+4）（m+2） =m+6m+8，比較： S1S2 =2m1，m為正整數(shù)， m最小為 1， 2m110， S1S2；（ 2） 2（m+7+m+1）÷ 4=m+4；2 2 S S1=（ m+4） （ m+8m+7）=9 定值；（ 3）由（ 1）得， S1S2=2m1，當(dāng) 102m111 時(shí)，. m 6， m為正整數(shù)， 2m1=11，m=622故答案

28、為： m+8m+7，m+6m+8，24（ 1）計(jì)算：（ a 1）（a+1） = a2 1 ；（ a 1）（a2+a+1）= a31 ；（ a 1）（a3+a2 +a+1） = a41 ；（ 2）由上面的規(guī)律我們可以猜想，得到：（ a 1）（a2017+a2016+a2015+a2014+ +a2+a+1） = a2018 1 ；（ 3）利用上面的結(jié)論，求下列各式的值 22017+22016+22015+22014+22+2+1 52017+52016+52015+52014+ +52+5+1【解答】解：（1）（a1）（a+1）=a21；（ a 1）（a2+a+1）=a3 1；（ a 1）（a3

29、+a2 +a+1） =a4 1；故答案為： a21；a31；a4 1；（ 2）由上面的規(guī)律我們可以猜想，得到：（ a 1）（a2017+a2016+a2015+a2014+ +a2+a+1） =a20181；故答案為： a20181；（ 3）理利用上面的結(jié)論，求下列各式的值 22017+22016+22015+22014+ +22+2+1=（21）×（22017+22016+22015+22014+ +22+2+1）=22018 1； 52017+52016+52015+52014+ +52+5+1= （51）×（ 52017+52016+52015+52014+ +52+

30、5+1）=×（ 520181）25先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，.22例題：若 m+2mn+2n6n+9=0，求 m和 n 的值22解： m+2mn+2n6n+9=0222 m+2mn+n+n 6n+9=022（ m+n） +（n3） =0 m+n=0，n3=0 m=3，n=3問題（ 1）若 x2 +2y22xy+4y+4=0，求 xy 的值（ 2）已知 a，b，c 是 ABC的三邊長(zhǎng)，滿足 a2+b2=10a+8b41，且 c 是 ABC中最長(zhǎng)的邊，求 c 的取值范圍【解答】解：（1）x2+2y22xy+4y+4=x22xy+y2+y2+4y+4=（xy）2+（y+2） 2=0，

31、x y=0，y+2=0，解得 x=2，y=2， xy=（ 2）2 = ；（ 2） a2+b2 =10a+8b41， a210a+25+b2 8b+16=0，即（ a5）2+（b4）2=0，a5=0， b 4=0，解得 a=5， b=4， c 是 ABC中最長(zhǎng)的邊， 5 c 92226已知 x、y 互為相反數(shù)，且（ x+3） （ y+3） =6，求 x、y 的值 y=x，（ x+3）2（ y+3）2 ，.22=（x+3） （ x+3） ，22=x +6x+9 x +6x9，=6，即 12x=6，解得 x= ， y=x= 故答案為： x、y 的值分別是，27（ 1）猜想：試猜想a2 +b2 與 2ab 的大小關(guān)系，并說明理由；（ 2）應(yīng)用：已知 x，求 x2 +的值；（ 3）拓展：代數(shù)式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出最小值【解答】解：（1）猜想 a2 +b2 2ab，理由為： a2+