一元二次方程知識點(diǎn)

1、1.一元二次方程的定義（重點(diǎn)） ，要求: （1）會判斷某個方程是否為一元二次方程 ; （2）一元二次方程的一般形式為: 0,02acbxax會確定方程的各項(xiàng)系數(shù); （3）會將一個一元二次方程化為一般形式，并指出各項(xiàng)系數(shù); （4）會求某個一元二次方程成立的條件; （5）知道方程的一個根， 會求方程中相關(guān)字母的值 . 2.解一元二次方程的方法共有四種方法 : （1）直接開平方法 ; （2）因式分解法 ; （3）配方法 ;（4）公式法 .3.直接開平方法適用于解形如bamxbx22,的方程，如果0b，就可以利用直接開平方法來解 . 4.因式分解法適用于將方程化為一般形式后左邊能進(jìn)行因式分解的方程，具

2、體方法是: （1）將方程化為一般形式; （2）將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積 ; （3）令每一個因式等于0，就得到兩個一元一次方程 ; （4）解兩個一元一次方程， 它們的解就是原方程的解 . 5.配方法本方法需要與直接開平方法共同求解，具體方法是 : （1）將方程化為一般形式; （2）方程兩邊同時除以二次項(xiàng)系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1; （3）移項(xiàng) :把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊; （4）配方 :在方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，使左邊成為完全平方式 . （5）求解 :如果方程的右邊整理后是非負(fù)數(shù)，就可以用直接開平方法求解，若右邊是負(fù)數(shù)， 則表示原方程無解. 注意 :使用本方法一定要將方程的二

3、次項(xiàng)系數(shù)化為 1. 舉例:二次項(xiàng)系數(shù)化為“1”后，直接進(jìn)行配方，如下.422202222222qppxpqppxxqpxxqpxx6.公式法使用本方法時要將方程化為一般形式，確定各項(xiàng)系數(shù).具體方法是 : （1）一化:將方程化為一般形式; （2）二 定 : 確 定cba,的 值 及acb42的值 ; （3）三判:根據(jù)判斷方程是否有解若acb420，則方程有兩個實(shí)數(shù)解 ; 若acb420，則方程無解 . （4）四代:將各項(xiàng)系數(shù)代入求根公式，求根公式為aacbbx242. 7.另一種方法 :換元法本方法常常用來求解高次方程，通過換元來達(dá)到求解的目的.此類題目如 : 例1. 解方程0624xx分析 本

4、題可設(shè)2xm，從而原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元二次方程062mm，通過求解m來達(dá)到求解x的目的 . 例2. 解方程1222xxxx分析本題可設(shè).2xxm從而原方程轉(zhuǎn)化為012mm. 8.根的判別式acb42判別式acb42的符號與一元二次方程的解有關(guān) :當(dāng)acb420 時，方程有兩個實(shí)數(shù)根； 當(dāng)acb420 時，方程無解（即無實(shí)數(shù)根）. （1）當(dāng)acb420 時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)acb42=0 時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根.9.韋達(dá)定理韋達(dá)定理反映了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系 . 若一元二次方程)0(02acbxax的兩根分別為21,xx，則有（1）abxx21；（2）acx

5、x21. 10.典型例題例1. 已知12132222baba，求22ba的值 . 分析這里可設(shè)m22ba，原方程化為1213 mm，展開整理得01522mm. 例2.先用配方法說明 :不論x取何值，代數(shù)式1062xx的值總大于0，再求出當(dāng)x取何值時，此代數(shù)式的值最小，最小值為多少? 分析代數(shù)式1062xx配方后為 : 132x， 032x， 132x0，即代數(shù)式的值大于0. 例3.已知關(guān)于x的方程03422qxx的一個根是21，求它的另一個根及q的值 . 分析知道方程的一個根求另一個根，使用韋達(dá)定理，這里可設(shè)另一個根為m，根據(jù)韋達(dá)定理則有23212421qmm，即可求出m和q的值 . 例4.

6、學(xué)校計劃用地面磚鋪設(shè)教學(xué)樓前矩形廣場的地面abcd ，已知廣場的長為100m,寬為 80m,圖案設(shè)計如下圖所示:廣場的四個角為正方形，陰影部分為四個矩形，陰影部分鋪綠色地面磚，其余部分鋪白色地面磚. （1） 要使鋪白色地面磚的面積為5200 平方米，那么小正方形的邊長為多少米？（2） 如果鋪白色地面磚的費(fèi)用為30 元每平方米，鋪綠色地面磚的費(fèi)用為20 元每平方米，當(dāng)小正方形的邊長為多少時，鋪廣場地面的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少？dabc例 5.已知21,xx是一元二次方程1222xx03m的兩個實(shí)數(shù)根，且21,xx滿足不等式022121xxxx，求實(shí)數(shù)m的取值范圍 . 11.平均增長率問題平均增長率公式 :nxab1， 其中