函數(shù)圖象過定點問題總結(jié)(20211123162852)

1、函數(shù)圖象過定點問題總結(jié)第 1 頁函數(shù)圖象過定點問題總結(jié)在初中我們學(xué)習過的函數(shù)中,有些函數(shù)的圖象具有過定點的性質(zhì),如正比例函數(shù)kxy)0(k,無論 k 取不等于 0 的任何值 ,當x0 時,都有 y0,所以其圖象是一條經(jīng)過定點 （0,0）即坐標原點的直線 ;對于一次函數(shù)bkxy)0(k,當b 確定時 ,無 論 k 取 不 等于 0 的 任 何 值 ,其 圖象 總 經(jīng) 過 定點),0(b; 對于 二 次 函 數(shù)cbxaxy2)0(a,當c確定時 ,無論ba,取何值 ,其圖象總經(jīng)過定點),0(c. 針對這類函數(shù) , 我們關(guān)心的是如何求出定點的坐標. 常使用的方法有 : （1）特殊值法 ; （2）分離

2、參數(shù)法 ; （3）變換主元法 . 其中, 有時候最簡單的方法是特殊值法, 最常用的方法是分離參數(shù)法. 下面給出以上三種方法的具體介紹: 特殊值法例 1. 無論m為任何實數(shù) , 拋物線mxmxy)2(2總過的點是【】（a）( 1 , 3 ) （b）( 1 , 0 ) （c）)3, 1(（d）)0 ,1(解: 任意賦予m兩個特殊值 , 不妨設(shè)m0和m2 則對應(yīng)的兩個函數(shù)解析式為:xxy22,22xy聯(lián)立得到方程組2222xyxxy解之得 :31yx檢驗: 把31yx代入mxmxy)2(2中, 發(fā)現(xiàn)無論m為任何實數(shù) , 等式總成函數(shù)圖象過定點問題總結(jié)第 2 頁立. 拋物線mxmxy)2(2總經(jīng)過定點

3、 ( 1 , 3 ), 故應(yīng)選【a 】. 歸納總結(jié) : 1這類函數(shù)有一個特點 , 那就是它們的解析式里面含有1 個或 2 個的變系數(shù) , 也可稱為參數(shù) , 如例 1 中的m, 參數(shù)的值可以改變 , 不同的參數(shù)值對應(yīng)不同的函數(shù)解析式 . 2. 利用這類函數(shù)的圖象過定點的性質(zhì), 我們可以給參數(shù)（變系數(shù)）指定兩個特殊值, 繼而得到兩個具體的函數(shù)解析式, 聯(lián)立兩個解析式為方程組, 方程組的解就是定點的橫坐標與縱坐標. 另外, 需要指出的是 , 若方程組的解不唯一 , 則定點也不唯一 . 分離參數(shù)法例 2. 求證: 拋物線12)2()3(2kxkxky)3(k過定點 , 并求出定點的坐標. 解: 整理得

4、 :)2(12322xxkxxy)3(k令022xx解之得 :2, 121xx把2,121xx分別代入)2(12322xxkxxy得: 7,421yy把72,412211yxyx分別代入該拋物線的解析式, 無論 k 取不等于 3的何值 , 等式總成立拋物線12)2()3(2kxkxky)3(k過定點 , 且定點有兩個 , 定點坐標分別為)4,1(、( 2 , 7 ). 函數(shù)圖象過定點問題總結(jié)第 3 頁歸納總結(jié) : 使用分離參數(shù)法的一般步驟是: （1）對含有參數(shù)的項集中 ; （2）對所有含參數(shù)的項進行因式分解, 把參數(shù)用提公因式法提出來; （3）提出公因式后令剩下的因式等于0, 得到一個關(guān)于自變

5、量x的方程（這時參數(shù)如何變化 , 都“失效了”）; （4）解方程 方程的解0 xx是定點的橫坐標 , 把解0 xx代入解析式得到的函數(shù)值0yy是定點的縱坐標 . 經(jīng)過以上步驟 , 求出定點的坐標為),(00yx. 若方程的解不唯一 , 則定點的個數(shù)也不唯一. 變換主元法我們在七年級學(xué)習一元一次方程的時候, 要把方程化為bax的形式 , 其解分為三種情況 : （1）當0a時, 方程有唯一解 :abx; （2）當0ba時, 方程的解為全體實數(shù) ; （3）當0,0 ba時, 方程無解 . 把函數(shù)的解析式化為bam（m為參數(shù) ,ba,為含有yx,的代數(shù)式）的形式 ,無論m取何值,既然函數(shù)的圖象經(jīng)過定點

6、,那么令0ba, 得到關(guān)于yx,的二元方程組（注意 , 不一定是二元一次方程組）, 方程組的解即為定點的坐標. 以上處理問題時 , 把參數(shù)m當做主元來處理 , 相當于方程bax里面的x, 這或許就是這種方法名稱的由來吧! 函數(shù)圖象過定點問題總結(jié)第 4 頁以上所有內(nèi)容供同學(xué)們作為常識知識儲備. 例 3. 無論m為任何實數(shù) , 拋物線mxmxy)2(2經(jīng)過定點 _. 解: mxmxy)2(2mmxxxy22yxxmx2)1(2（）令02012yxxx, 解之得 :31yx無論m為任何實數(shù) ,31yx恒滿足等式（）, 即拋物線mxmxy)2(2恒經(jīng)過定點 (1,3).1. 無論m取何值 ,函數(shù)34mmxy的圖象過定點 _. 2. 二次函數(shù)cbxxy2滿足2cb,則這個函數(shù)的圖象一定經(jīng)過某一個定點,這個定點是 _. 3. 無論 k 為何值 ,直線23kkxy必經(jīng)過點 _. 4. 拋物線12)2()3(2mxmxmy3m經(jīng)過的定點是 _. 5. 某數(shù)學(xué)興趣小組研究二次函數(shù))0(322mmxmxy的圖象發(fā)現(xiàn) ,隨著m的變化 ,這個二次函數(shù)的圖象形狀與位置均發(fā)生變化,但這個二次函數(shù)的圖象總經(jīng)過兩個定點 ,請你寫出這兩個定點的坐標:_. 6. 對于二次函數(shù)1)12(2xaaxy)0(a,下列說法正確的有【】無論a取何值 ,此二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點 ; 無論a取何值 ,圖象必