浙江理工大學(xué)《高等數(shù)學(xué)I-1》教學(xué)大綱

1、高等數(shù)學(xué)A1教學(xué)大綱課程中文名稱：高等數(shù)學(xué)A1 課程代碼：63522課程英文名稱：Advanced Mathematics A1 課程類別與性質(zhì)：通識必修課總學(xué)時：80學(xué)時（其中講課80學(xué)時，實驗、上機(jī)4學(xué)時）學(xué) 分：5先修課程：中學(xué)數(shù)學(xué)課程面向?qū)ο螅浩胀ǜ叩仍盒?shù)學(xué)要求較高的理工非數(shù)學(xué)專業(yè)。開課系(室)：理學(xué)院數(shù)學(xué)系一、課程教學(xué)目標(biāo) 高等數(shù)學(xué)課程是高等學(xué)校理工類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)理論課，是深入學(xué)習(xí)專業(yè)課程的必備基礎(chǔ)，其理論和方法是研究客觀世界連續(xù)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。開設(shè)高等數(shù)學(xué)課程，不僅可以在中學(xué)“常量數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)上，豐富學(xué)生“變量數(shù)學(xué)”的知識，而且能提高理工類專業(yè)學(xué)生對自然界客觀事物變化發(fā)展

2、規(guī)律的理性思維能力，并運用所學(xué)知識去分析、探究相關(guān)的“數(shù)量關(guān)系”和“空間形式”。因此，高等數(shù)學(xué)既是一門基礎(chǔ)性課程，能培養(yǎng)學(xué)生扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；又是一門“工具”或“方法”性課程，能培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、定量分析和解決實際問題的能力；更是一門關(guān)于思維模式的課程，能培養(yǎng)學(xué)生理性思考時間與空間的數(shù)學(xué)表達(dá)的素質(zhì)。通過高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)，使學(xué)生對微積分、無窮級數(shù)和常微分方程的基本概念、基本理論和方法有比較系統(tǒng)的認(rèn)識和正確的理解，并逐步培養(yǎng)學(xué)生熟練的運算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力；初步訓(xùn)練學(xué)生抽象概括問題的能力和綜合運用知識來分析解決問題的能力，也為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程，進(jìn)一步學(xué)習(xí)新理論

3、、新知識以及新技術(shù)打下扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。（一）知識目標(biāo)通過高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)獲得一元函數(shù)微積分及其應(yīng)用、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用、無窮級數(shù)與常微分方程等方面的基本概念、基本理論、基本方法和運算技能，為今后學(xué)習(xí)各類后繼課程和進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識面奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。（二）能力目標(biāo)通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)獲得如下能力：進(jìn)行抽象思維和邏輯推理的理性思維能力；綜合運用高等數(shù)學(xué)的知識和方法進(jìn)行分析和解決問題的能力；會應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件（如MATLAB,Mathematica）進(jìn)行基本數(shù)值計算，如應(yīng)用數(shù)值軟件解方程和方程組、微分方程，求積分和極值、繪制二維和三維圖形等；較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積

4、極性,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心；主動探索和獨立思考的能力,提高學(xué)生的創(chuàng)新意識。（三）素質(zhì)目標(biāo)通過本課程的學(xué)習(xí)，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生以下素質(zhì)：主動探尋并善于抓住數(shù)學(xué)問題的背景和本質(zhì)的素養(yǎng)；善于對現(xiàn)實世界中現(xiàn)象和過程進(jìn)行合理的簡化和量化，建立數(shù)學(xué)模型的素養(yǎng)；能用準(zhǔn)確、簡明、規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)思想的素養(yǎng)；深入理解數(shù)學(xué)基本概念和基本方法，掌握用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的方法與手段，對各種問題能以多角度探尋解決問題的道路的素養(yǎng)；具有良好的科學(xué)態(tài)度和創(chuàng)新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素養(yǎng)。 二、課程教學(xué)內(nèi)容與學(xué)習(xí)目標(biāo)（一）、理論教學(xué)內(nèi)容與學(xué)習(xí)目標(biāo)知識單元1: 極限與連續(xù)性參考學(xué)時：16學(xué)時學(xué)習(xí)目標(biāo)

5、：1. 加深對函數(shù)概念的理解和函數(shù)性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性）的了解，理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)的概念；2. 會建立簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系式；3. 理解極限的概念，了解極限的定義；4. 掌握極限的有理運算法則，會用變量代換求某些簡單復(fù)合函數(shù)的極限；5. 了解極限的性質(zhì)（唯一性、有界性、保號性）和兩個存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則與單調(diào)有界準(zhǔn)則），會用兩個重要極限與求極限；6. 了解無窮小、無窮大、高階無窮小和等價無窮小的概念，會用等價無窮小求極限；7. 理解函數(shù)在一點連續(xù)和在一區(qū)間上連續(xù)的概念；8. 了解函數(shù)間斷點的概念，會判別間斷點的類型；9. 了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介

6、值定理與最大值、最小值定理。知識單元2: 一元函數(shù)微分學(xué)參考學(xué)時：28學(xué)時學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系； 2. 了解導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)變化率的實際意義，會用導(dǎo)數(shù)表達(dá)科學(xué)技術(shù)中一些量的變化率； 3. 掌握導(dǎo)數(shù)的有理運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； 4. 理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部線性化思想，了解微分的有理運算法則和一階微分形式不變性； 5. 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法（不要求學(xué)生求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式）； 6. 會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)以及這兩類函數(shù)中比較簡單的二

7、階導(dǎo)數(shù)，會解一些簡單實際問題中的相關(guān)變化率問題； 7. 理解羅爾（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，了解柯西（Cauchy）定理（對三個定理的分析證明不作要求，并且不要求學(xué)生掌握構(gòu)造輔助函數(shù)證明相關(guān)問題的技巧），會用洛必達(dá)（L'Hospital）法則求不定式的極限； 8. 了解泰勒（Taylor）定理以及用多項式逼近函數(shù)的思想（對定理的分析證明以及利用泰勒定理證明相關(guān)問題不作要求）； 9. 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法。會求解較簡單的最大值與最小值的應(yīng)用問題； 10. 會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求拐點，會描繪一些簡單函數(shù)的圖形（包

8、括水平和鉛直漸近線）；11. 了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑；12. 了解求方程近似解的二分法和切線法的思想。知識單元3: 一元函數(shù)積分學(xué)參考學(xué)時：24學(xué)時學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 理解定積分的概念和幾何意義（對于利用定積分定義求定積分與求極限不作要求），了解定積分的性質(zhì)和積分中值定理； 2. 理解原函數(shù)與不定積分的概念，理解變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，掌握牛頓（Noewton）萊布尼茲（Leibniz）公式； 3. 掌握不定積分的基本公式以及求不定積分、定積分的換元法與分部積分法（淡化特殊積分技巧的訓(xùn)練，對于求有理函數(shù)積分的一般方法不作要求，對于一些簡單有理函數(shù)、三角有理

9、函數(shù)和無理函數(shù)的積分可作為兩類積分法的例題作適當(dāng)訓(xùn)練）； 4. 掌握科學(xué)技術(shù)問題中建立定積分表達(dá)式的元素法（微元法），會建立某些簡單幾何量和物理量的積分表達(dá)式； 5. 了解兩類反常積分及其收斂性的概念；6. 了解定積分的近似計算法（梯形法和拋物線法）的思想。知識單元4: 向量與坐標(biāo)參考學(xué)時：4學(xué)時學(xué)習(xí)目標(biāo)：1理解空間直角坐標(biāo)系,理解向量的概念及其表示；2掌握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積），了解兩個向量垂直、平行的條件；3掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運算的方法。知識單元5: 平面與直線參考學(xué)時：4學(xué)時學(xué)習(xí)目標(biāo):1.掌握平面的方程和直線的方程及其求法，會

10、利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問題。知識單元6: 曲面與空間曲線參考學(xué)時：4學(xué)時學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，了解以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；2. 了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，了解曲面的交線在坐標(biāo)面投影。（二）、實驗教學(xué)內(nèi)容高等數(shù)學(xué)實驗堅持以“學(xué)生為中心”的原則，圍繞高等數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，讓學(xué)生充分利用計算機(jī)及軟件的數(shù)值功能和圖形功能展示基本概念與結(jié)論，去體驗和了解數(shù)學(xué)，使學(xué)生獲得使用計算機(jī)解決各種數(shù)學(xué)問題的知識和能力。通過高等數(shù)學(xué)實驗，學(xué)生應(yīng)能獨立地進(jìn)行實驗前預(yù)習(xí)準(zhǔn)備、熟悉一種數(shù)學(xué)軟件的安裝、啟動、退出，并熟練應(yīng)用該軟件

11、進(jìn)行一元、二元微積分計算，做到理論清楚，動手熟練，并寫出實驗報告等。教師則介紹一點主要的思想, 提出問題和任務(wù), 讓學(xué)生嘗試通過自己動手和觀察實驗結(jié)果去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)其中的規(guī)律。以下6個實驗項目選做4個。實驗項目1：一元函數(shù)的圖形。參考學(xué)時：1學(xué)時。學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過圖形加深對函數(shù)及其性質(zhì)的認(rèn)識與理解，掌握運用函數(shù)的圖形來觀察和分析函數(shù)的有關(guān)特性與變化趨勢，建立數(shù)形結(jié)合的思想；掌握用數(shù)學(xué)軟件作平面曲線圖形的方法與技巧。說明：初等函數(shù)的圖形；二維參數(shù)方程作圖；用極坐標(biāo)命令作圖；隱函數(shù)作圖；分段函數(shù)作圖；函數(shù)性質(zhì)的研究。實驗項目2：極限與連續(xù)。參考學(xué)時：1學(xué)時。學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過計算與作圖，從直觀上揭示極限的

12、本質(zhì)，加深對極限概念的理解。掌握用數(shù)學(xué)軟件畫散點圖，以及計算極限的方法。深入理解函數(shù)連續(xù)的概念，熟悉幾種間斷點的圖形特征，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個重要性質(zhì)。說明：作散點圖；數(shù)列極限的概念；遞歸數(shù)列；函數(shù)的極限；兩個重要極限；無窮大；連續(xù)與間斷。實驗項目3：導(dǎo)數(shù)。參考學(xué)時：1學(xué)時。學(xué)習(xí)目標(biāo)：深入理解導(dǎo)數(shù)與微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義。掌握利用數(shù)學(xué)軟件求導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)的方法。深入理解和掌握求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及求由參數(shù)方程定義的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法。說明：導(dǎo)數(shù)概念；導(dǎo)數(shù)的幾何意義；求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分；拉格朗日中值定理。實驗項目4：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。參考學(xué)時：1學(xué)時。學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解并掌握用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單

13、調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間和函數(shù)的極值的方法。理解曲線的曲率圓和曲率的概念。進(jìn)一步熟悉和掌握用一種科學(xué)計算軟件作平面圖形的方法和技巧。掌握用一種科學(xué)計算軟件求方程的根（包括近似根）和求函數(shù)極值（包括近似極值）)的方法。說明：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；求函數(shù)的極值；求函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點； 求極值的近似值；泰勒公式與函數(shù)逼近；求曲線的曲率與曲率圓。實驗項目5：一元函數(shù)積分。參考學(xué)時：1學(xué)時。學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握用一種科學(xué)計算軟件計算不定積分與定積分的方法。通過作圖和觀察，深入理解定積分的概念和思想方法。初步了解定積分的近似計算方法。理解變上限積分的概念。提高應(yīng)用定積分解決各種問題的能力。說明：用定義計算定積分；不定積分

14、計算；定積分計算；變上限積分； 定積分應(yīng)用。實驗項目6：空間圖形的畫法。參考學(xué)時：1學(xué)時。學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握用一種科學(xué)計算軟件繪制空間曲面和曲線的方法。熟悉常用空間曲線和空間曲面的圖形特征，通過作圖和觀察，提高空間想像能力。深入理解二次曲面方程及其圖形。三、課程學(xué)時分配與教學(xué)方法（一）理論性教學(xué)內(nèi)容課時分配表教學(xué)方式教學(xué)時數(shù)課程內(nèi)容（知識單元）理論講授習(xí)題課討論課備 注小 計知識單元1: 極限與連續(xù)性141116學(xué)時知識單元2: 一元函數(shù)微分學(xué)261128學(xué)時知識單元3: 一元函數(shù)積分學(xué)221124學(xué)時知識單元4: 向量與坐標(biāo)2114學(xué)時知識單元5: 平面與直線44學(xué)時知識單元6: 曲面與空間曲線

15、44學(xué)時總 計724480學(xué)時（二）實驗教學(xué)內(nèi)容課時分配表實驗項目名稱內(nèi) 容 提 要所用主要設(shè)備或?qū)嶒灜h(huán)境實驗學(xué)時每組人數(shù)實驗屬性（基本/綜合/設(shè)計/研究創(chuàng)新）開出要求(必做/選做)項目1：一元函數(shù)的圖形用數(shù)學(xué)軟件作平面曲線圖形的方法科學(xué)計算實驗室1學(xué)時15-30基本從6個實驗項目中任選至少4個。項目2：極限與連續(xù)通過計算與作圖，從直觀上揭示極限和連續(xù)的本質(zhì)1學(xué)時15-30基本項目3：導(dǎo)數(shù)利用數(shù)學(xué)軟件求導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)的方法1學(xué)時15-30基本項目4：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間和拐點；求極值的近似值；求曲線的曲率與曲率圓。1學(xué)時15-30綜合項目5：一元函數(shù)積分理解定積分的概念和思想方

16、法，初步了解定積分的近似計算方法。1學(xué)時15-30設(shè)計項目6：空間圖形的畫法用一種科學(xué)計算軟件繪制空間曲面和曲線的方法1學(xué)時15-30基本注：數(shù)學(xué)實驗共4學(xué)時（三）說明1. 教學(xué)方法教學(xué)方法采用啟發(fā)式、討論式等多種行之有效的教學(xué)方法，加強(qiáng)師生之間、學(xué)生之間的交流，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，強(qiáng)化科學(xué)思維的訓(xùn)練。2. 教學(xué)手段高等數(shù)學(xué)A1課程的教學(xué)中，多媒體的輔助手段恰當(dāng)運用，不可過多，只能輔助教學(xué)?？梢圆捎糜嬎銠C(jī)輔助教學(xué)的，主要有：復(fù)雜三維圖形的多角度展示、動態(tài)過程的演示、影像資料的放映、書寫量過大難于板書的內(nèi)容、大量表格、資料、數(shù)據(jù)、圖形的展示、數(shù)學(xué)人物、數(shù)學(xué)史簡介、集體答疑、序言課、復(fù)習(xí)課等。3 討

17、論課為幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，領(lǐng)會高等數(shù)學(xué)方法的深刻內(nèi)涵，為后續(xù)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好知識準(zhǔn)備，并能夠有意識地利用高等數(shù)學(xué)中的一些理論、方法和技巧解決本專業(yè)及相關(guān)領(lǐng)域中的實際問題，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中，利用課內(nèi)和課外時間布置一些討論題目是非?？尚械?。借助討論課，讓學(xué)生充分參與討論，加強(qiáng)師生之間、學(xué)生之間的交流，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。在實際教學(xué)中，教師可以根據(jù)實際教學(xué)情況安排或調(diào)整討論課內(nèi)容。討論課1：極限的概念。參考學(xué)時：1學(xué)時。涵蓋知識單元：極限與連續(xù)性。討論課2：導(dǎo)數(shù)和微分及其近似計算。參考學(xué)時：1學(xué)時。涵蓋知識單元：一元函數(shù)微分學(xué)。討論課3：中值定理的幾何意義、洛必達(dá)（L'Hos

18、pital）法則的應(yīng)用、極值問題。參考學(xué)時：1學(xué)時。涵蓋知識單元：一元函數(shù)微分學(xué)。討論課4：不定積分與定積分的概念及相互關(guān)系，定積分的近似計算問題。參考學(xué)時：1學(xué)時。涵蓋知識單元：一元函數(shù)積分學(xué)。4. 習(xí)題課高等數(shù)學(xué)習(xí)題課是高等數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，在課堂上可采用邊講邊練、精講多練、以練為主的方式，留出足夠時間讓學(xué)生自己動手做練習(xí)。高等數(shù)學(xué)課程的習(xí)題來源比較豐富，有數(shù)學(xué)歷年考研真題、高等數(shù)學(xué)習(xí)題集、課后作業(yè)中的疑難問題等。每一章都會安排相應(yīng)習(xí)題課，習(xí)題課上精選一些能培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題基本能力、鞏固所學(xué)知識的題目和部分疑難作業(yè)題目，結(jié)合部分歷年考研題目進(jìn)行講解，讓學(xué)生舉一反三，力爭熟能生巧

19、。習(xí)題課內(nèi)容1：數(shù)列與函數(shù)的極限。參考學(xué)時：1學(xué)時。涵蓋知識單元：極限與連續(xù)性。習(xí)題課內(nèi)容2：函數(shù)的連續(xù)性。參考學(xué)時：1學(xué)時。涵蓋知識單元：極限與連續(xù)性。習(xí)題課內(nèi)容3：導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)。參考學(xué)時：1學(xué)時。涵蓋知識單元：一元函數(shù)微分學(xué)。習(xí)題課內(nèi)容4：隱函數(shù)求導(dǎo)與微分。參考學(xué)時：1學(xué)時。涵蓋知識單元：一元函數(shù)微分學(xué)。習(xí)題課內(nèi)容5：微分中值定理。參考學(xué)時：1學(xué)時。涵蓋知識單元：一元函數(shù)微分學(xué)。習(xí)題課內(nèi)容6：中值定理的應(yīng)用。參考學(xué)時：1學(xué)時。涵蓋知識單元：一元函數(shù)微分學(xué)。習(xí)題課內(nèi)容7：不定積分的計算。參考學(xué)時：1學(xué)時。涵蓋知識單元：一元函數(shù)積分學(xué)。學(xué)習(xí)目標(biāo)：牢固掌握不定積分的基本公式；掌握求不定積分的第

20、一類與第二類換元法；掌握求不定積分的分部積分法。習(xí)題課內(nèi)容8：定積分及其應(yīng)用。參考學(xué)時：1學(xué)時。涵蓋知識單元：一元函數(shù)積分學(xué)。四、課程自主學(xué)習(xí)（一）課外作業(yè)課外習(xí)題是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、檢查教學(xué)效果的重要環(huán)節(jié)，也是體現(xiàn)課程要求的標(biāo)志，習(xí)題的選取應(yīng)圍繞教學(xué)要求強(qiáng)調(diào)基本習(xí)題訓(xùn)練，降低技巧性習(xí)題要求，應(yīng)盡量精選一些既能培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題能力、鞏固所學(xué)知識、又較貼近應(yīng)用實際可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的作業(yè)。一般每2學(xué)時一次作業(yè)，可使用教材上的習(xí)題，也可自行編制習(xí)題集。另外還可布置專題小論文和讀書筆記及課外閱讀等豐富課外作業(yè)內(nèi)容。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中如下做法是值得提倡的：將數(shù)學(xué)建模的思想融入課程的教學(xué)中去，結(jié)合實際問題設(shè)計“課外思考案例”，組織“課外學(xué)習(xí)興趣小組”，開設(shè)深入淺出的近代數(shù)學(xué)知識講座，引導(dǎo)學(xué)生參加各種級別的數(shù)學(xué)競賽和數(shù)學(xué)建模競賽。（二）自主學(xué)習(xí)提高學(xué)生自學(xué)能力和獲取知識能力是重要環(huán)節(jié)，要適當(dāng)布置學(xué)生自學(xué)的講授內(nèi)容。利用學(xué)生的校園網(wǎng)，提供豐富教學(xué)資源，延伸了課堂教學(xué)的時空領(lǐng)域，提供了課外學(xué)習(xí)服務(wù)。學(xué)生可以利用網(wǎng)絡(luò)課堂進(jìn)行自學(xué)、復(fù)習(xí)、個性化學(xué)