高等數(shù)學(xué)：6-1 元素法

1、6-1 6-1 定積分的元素法定積分的元素法一、問題的提出一、問題的提出二、小結(jié)二、小結(jié) 思考題思考題回顧回顧 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 badxxfA)(一、問題的提出一、問題的提出曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy 面積表示為定積分的步驟如下面積表示為定積分的步驟如下（1）把區(qū)間）把區(qū)間,ba分成分成n個長度為個長度為ix 的小區(qū)間，的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為相應(yīng)的曲邊梯形被分為n個小窄曲邊梯形， 第個小窄曲邊梯形， 第i 小窄曲邊梯形的面積為小窄曲

2、邊梯形的面積為iA ，則，則 niiAA1.（2）計算）計算iA 的近似值的近似值iiixfA )( iix （3） 求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA ab xyo)(xfy （4） 求極限，得求極限，得A的精確值的精確值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小區(qū)間表示任一小區(qū)間,xxx 上的窄曲邊梯形的面積，上的窄曲邊梯形的面積，則則 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面積元素面積元素當(dāng)所求量當(dāng)所求量U符合下列條件：符合下列條件：（1）U是是與與一一

3、個個變變量量x的的變變化化區(qū)區(qū)間間 ba,有有關(guān)關(guān)的的量量；（2）U對于區(qū)間對于區(qū)間 ba,具有可加性，就是說，具有可加性，就是說，如果把區(qū)間如果把區(qū)間 ba,分成許多部分區(qū)間，則分成許多部分區(qū)間，則U相相應(yīng)地分成許多部分量，而應(yīng)地分成許多部分量，而U等于所有部分量之等于所有部分量之和；和；（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示為的近似值可表示為iixf )( ；就可以考慮用定積分來表達(dá)這個量就可以考慮用定積分來表達(dá)這個量U元素法的一般步驟：元素法的一般步驟：1）根根據(jù)據(jù)問問題題的的具具體體情情況況，選選取取一一個個變變量量例例如如x為為積積分分變變量量，并并確確定定它它的的變變化化區(qū)區(qū)間間

4、,ba；2）設(shè)設(shè)想想把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，取取其其中中任任一一小小區(qū)區(qū)間間并并記記為為,dxxx ，求求出出相相應(yīng)應(yīng)于于這這小小區(qū)區(qū)間間的的部部分分量量U 的的近近似似值值.如如果果U 能能近近似似地地表表示示為為,ba上上的的一一個個連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在x處處的的值值)(xf與與dx的的乘乘積積，就就把把dxxf)(稱稱為為量量U的的元元素素且且記記作作dU，即即dxxfdU)( ；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達(dá)達(dá)式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U的的積積分分表表達(dá)達(dá)式式.這個方法通常叫做這個方法通常叫做元素法元素法應(yīng)用方向：應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等功；水壓力；引力和平均值等元素法的提出、思想、步驟元素法的提出、思想、步驟.（注意微元法的本質(zhì)）（注意微元法的本質(zhì)）二、小