反比例函數(shù)的圖象(教學案例)

1、反比例函數(shù)的圖象與性質教學目標1、使學生能從簡單的實際問題中抽象出反比例關系的函數(shù)解析式；2、會畫出反比例函數(shù)的圖象，并能結合圖象總結出反比例函數(shù)的性質，滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想；.3、會用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式；5、通過觀察、歸納、總結反比例函數(shù)的性質，培養(yǎng)學生勇于探索的科學精神；6、培養(yǎng)學生數(shù)學地發(fā)現(xiàn)問題，并利用數(shù)學知識解決問題的能力.教學建議1、教材分析（1）知識結構（2）重點、難點分析 本節(jié)的重點是結合圖象，總結出反比例函數(shù)的性質.學習了前面三個基本函數(shù)后，學生有了一些識圖的能力，并掌握了基本的研究方法.學生在經歷了一個畫圖的過程后，可以通過觀察、分析、與同學的相互討論、交流中，

2、逐步形成對反比例函數(shù)的全面認識.可以培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，也是一個數(shù)學地發(fā)現(xiàn)問題解決問題的過程.本節(jié)的另一個重點是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，這種方法在求四種基本函數(shù)解析式中都已經用到，本節(jié)課通過鞏固練習，可進一步提高對待定系數(shù)法的認識.本節(jié)的難點是描點、畫圖.由于學生知識的限制，描點、畫圖不能對圖形有一個全面的把握.這樣，學生在描點畫圖時就會感到困難，無法估計出這個圖象到底是什么樣子，感到無從下手.因此，從解析式中可以進行初步的分析，認識到反比例函數(shù)的圖象分成兩支，以便初步認識其圖象的大致變化趨勢.1 / 272、教法建議數(shù)學教育的目的之一是幫助學生認識數(shù)學，數(shù)學與現(xiàn)實世

3、界有著密切的聯(lián)系，而且數(shù)學的發(fā)展是一個充滿著觀察、實驗、歸納、類比和猜測的探索過程，因此，學生在獲得知識的同時，也應該養(yǎng)成尊重客觀事實的態(tài)度，勇于探索的精神以及獨立思考與人合作交流的習慣.具體安排如下： (1)從實例中抽象出數(shù)學模型小學學習過反比例關系的知識，現(xiàn)在的物理、化學等學科中也有許多反比比例的實例.學生可以從比較簡單的實例中，抽象出這類函數(shù)的特點，形成反比例函數(shù)的概念. (2)畫出圖象，研究反比例函數(shù)的性質可以創(chuàng)設數(shù)學情境，引導學生找出數(shù)與形的關系.如：k>0時，x與y同號，圖象在一、三象限，k<0時，x、y異號，圖象在二、四象限.類似的結論，可以在畫圖前，先組織學生猜測，

4、并說明根據，畫圖后，再進行補充.讓學生體驗數(shù)學知識的形成過程.(3)牢固掌握待定系數(shù)法進一步熟悉待定系數(shù)法解題的一般步驟，并通過不斷地運用，逐漸發(fā)現(xiàn)有幾個待定系數(shù)，就應列出幾個相應的方程.這樣反比例函數(shù)只需一對自變量與函數(shù)的對應值就可確定其解析式.教學設計反比例函數(shù)及其圖象教學目標：1、理解反比例函數(shù)，并能從實際問題中抽象出反比例關系的函數(shù)解析式；2、會畫出反比例函數(shù)的圖象，并結合圖象分析總結出反比例函數(shù)的性質；3、滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想及普遍聯(lián)系的辨證唯物主義思想；5、培養(yǎng)學生的觀察能力，及數(shù)學地發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力.教學重點：結合圖象分析總結出反比例函數(shù)的性質；教學難點：描點畫出反比例

5、函數(shù)的圖象教學用具：直尺能力訓練點1培養(yǎng)學生的作圖、觀察、分析、總結的能力；2向學生滲透數(shù)形結合的教學思想方法.德育滲透點1向學生滲透數(shù)學來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點；2使學生體會事物是有規(guī)律地變化著的觀點.美育滲透點通過反比例函數(shù)圖像的研究，滲透反映其性質的圖像的直觀形象美，激發(fā)學生的興趣，也培養(yǎng)學生積極探求知識的能力.教學過程：1、從實際引出反比例函數(shù)的概念我們在小學學過反比例關系.例如：當路程S一定時，時間t與速度v成反比例即vt=S（S是常數(shù)）；當矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例，即ab=S（S是常數(shù)）從函數(shù)的觀點看，在運動變化的過程中，有兩個變量可以分別看成自變量與函數(shù)，寫

6、成： （S是常數(shù)） （S是常數(shù)） 如上例，當路程S是常數(shù)時，時間t就是v的反比例函數(shù)當矩形面積是常數(shù)時，長a是寬b的反比例函數(shù)2、列表、描點畫出反比例函數(shù)的圖象例1、畫出反比例函數(shù) 與 的圖象 解：列表x-6-5-4-3123456-1-1.2-1.5-26321.51.2111.21.52-6-3-2-1.5-1.21說明：由于學生第一次接觸反比例函數(shù)，無法推測出它的大致圖象.取點的時候最好多取幾個，正負可以對稱著取分別畫點描圖一般地反比例函數(shù) （k是常數(shù)， ）的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線.3、觀察圖象，歸納、總結出反比例函數(shù)的性質前面學習了三類基本的初等函數(shù)，有了一定的基礎，這里可視學

7、生的程度或展開全面的討論，或在老師的引導下完成知識的學習.顯示這兩個函數(shù)的圖象，提出問題：你能從圖象上發(fā)現(xiàn)什么有關反比例函數(shù)的性質呢？并能從解析式或列表中得到論證.（下列答案僅供參考）（1） 的圖象在第一、三象限.可以擴展到k >0時的情形，即k>0時，雙曲線兩支各在第一和第三象限.從解析式中，也可以得出這個結論：xy=k，即x與y同號，因此，圖象在第一、三象限. 的討論與此類似. 抓住機會，說明數(shù)與形的統(tǒng)一，也滲透了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.體現(xiàn)了由特殊到一般的研究過程. （2）函數(shù) 的圖象，在每一個象限內，y隨x的增大而減小；從圖象中可以看出，當x從左向右變化時，圖象呈下坡趨勢.

8、從列表中也可以看出這樣的變化趨勢.有理數(shù)除法說明了同樣的道理，被除數(shù)一定時，若除數(shù)大于零，除數(shù)越大，商越小；若除數(shù)小于零，同樣是除數(shù)越大，商越小.由此可歸納出，當k>0時，函數(shù) 的圖象，在每一個象限內，y隨x的增大而減小. 同樣可以推出 的圖象的性質. （3）函數(shù) 的圖象不經過原點，且不與x軸、y軸交.從解析式中也可以看出， .如果x取值越來越大時，y的值越來越小，趨近于零；如果x取負值且越來越小時，y的值也越來越趨近于零.因此，呈現(xiàn)的是雙曲線的樣子.同理，抽象出 圖象的性質. 函數(shù) 的圖象性質的討論與次類似.4、小結：本節(jié)課我們學習了反比例函數(shù)的概念及其圖象的性質.大家展開了充分的討論

9、，對函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象的性質有了進一步的認識.數(shù)學學習要求我們要深刻地理解，找出事物間的普遍聯(lián)系和發(fā)展規(guī)律，能數(shù)學地發(fā)現(xiàn)問題，并能運用已有的數(shù)學知識，給以一定的解釋.即數(shù)學是世界的一個部分，同時又隱藏在世界中.5、布置作業(yè)教學設計示例2反比例函數(shù)及其圖像一、素質教育目標（一）知識教學點1使學生了解反比例函數(shù)的概念；2使學生能夠根據問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式；3使學生理解反比例函數(shù)的性質，會畫出它們的圖像，以及根據圖像指出函數(shù)值隨自變量的增加或減小而變化的情況；4會用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.（二）能力訓練點1培養(yǎng)學生的作圖、觀察、分析、總結的能力；2向學生滲透數(shù)形結合的教學

10、思想方法.（三）德育滲透點1向學生滲透數(shù)學來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點；2使學生體會事物是有規(guī)律地變化著的觀點.（四）美育滲透點通過反比例函數(shù)圖像的研究，滲透反映其性質的圖像的直觀形象美，激發(fā)學生的興趣，也培養(yǎng)學生積極探求知識的能力.二、學法引導教師采用類比法、觀察法、練習法學生學習反比例函數(shù)要與學習其他函數(shù)一樣，要善于數(shù)形結合，由解析式聯(lián)想到圖像的位置及其性質，由圖像和性質聯(lián)想比例系數(shù)k的符號.三、重點·難點·疑點及解決辦法1教學重點：反比例的概念、圖像、性質以及用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.因為要研究反比例函數(shù)就必須明確反比例函數(shù)的上述問題.2教學難點：畫反

11、比例函數(shù)的圖像.因為反比例函數(shù)的圖像有兩個分支，而且這兩個分支的變化趨勢又不同，學生初次接觸，一定會感到困難.3教學疑點：（1）反比例函數(shù)為何與x軸，y軸無交點；（2）反比例函數(shù)的圖像只能說在第一、三象限或第二、四象限，而不能說經過第幾象限，增減性也要說明在第幾象限（或說在它的每一個象限內）.4解決辦法：（1） 中隱含條件是 或 ；（2）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論.四、教學步驟（一）教學過程提問：小學是否學過反比例關系？是如何敘述的？答：小學學過：兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量

12、就叫做反比例的量，它們的關系叫做反比例關系.看下面的實例：（出示幻燈）1 當路程s一定時，時間t與速度v成反比例；2當矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例；它們分別可以寫成 （s是常數(shù)）， （S是常數(shù)）寫在黑板上，用以得出反比例函數(shù)的概念：（板書）一般地，函數(shù) （k是常數(shù)， ）叫做反比例函數(shù).即在上面的例子中，當路程s是常數(shù)時，時間t就是速度v的反比例函數(shù)，能否說：速度v是時間t的反比例函數(shù)呢？通過這個問題，使學生進一步理解反比例函數(shù)的概念，只要滿足 （k是常數(shù)， ）就可以因此可以說速度v是時間t的反比例函數(shù)，因為 （s是常量）對第2個實例也一樣練習一：教材P129中1  口答P13

13、0  1根據前面學習特殊函數(shù)的經驗，研究完函數(shù)的概念，跟著要研究的是什么？答：圖像和性質通過這個問題，使學生對課本上給出的知識的發(fā)生、發(fā)展過程有一個明確的認識，以后學生要研究其他函數(shù)，也可以按照這種方式來研究下面，我們就來看一個例題：（出示幻燈）例1  畫出反比例函數(shù) 與 的圖像提問：1畫函數(shù)圖像的關鍵問題是什么？答：合理、正確地選值列表2在選值時，你認為要注意什么問題？答：（1）由于函數(shù)圖像的特點還不清楚，多選幾個點較好；（2）不能選 ，因為 時函數(shù)無意義；（3）選整數(shù)較好計算和描點這個問題中最核心的一點是關于 的問題，提醒學生注意3你能不能自己完成這道題呢？學生在練習本

14、上列表、描點、連線，教師在黑板上板演，到連線時可暫停，讓學生先連完線之后，找一名同學上黑板連線，然后就這名同學的連線加以評價、總結：注意：（1）一般地，反比例函數(shù) 的圖像由兩條曲線組成，叫做雙曲線；（2）這兩條曲線不相交；（3）這兩條曲線無限延伸，無限靠近x軸和y軸，但永不會與x軸和y軸相交關于注意（3）可問學生：為什么圖像與x和y軸不相交？通過這個問題既可加深學生對反比例函數(shù)圖像的記憶，又可培養(yǎng)學生思維的靈活性和深刻性再讓學生觀察黑板上的圖，提問：1當 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內，y隨x的增大怎樣變化？2當 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內，y隨x的增大怎樣

15、變化？這兩個問題由學生討論總結之后回答，教師板書：對于雙曲線（1）當 ：（1）當 時，雙曲線的兩分支位于一、三象限，y隨x的增大而減少；（2）當 時，雙曲線的兩分支位于二、四象限，y隨x的增大而增大3反比例函數(shù)的這一性質與正比例函數(shù)的性質有何異同？通過這個問題使學生能把學過的相關知識有機地串聯(lián)起來，便于記憶和應用練習二：教材P129中2由學生在練習本上完成，教師巡回指導.P130中2、3填在書上上面，我們討論了反比例函數(shù)的概念、圖像和性質，下面我們再來看一個不同類型的例題：（出示幻燈）例2已知y與 成反比例，并且當 時， ，求 時，y的值.用提問的方式對此題加以分析：（1）y與 成反比例是什么

16、含義？由學生討論這一問題，最后歸結為根據反比例函數(shù)的概念，這句話說明了： .（2）根據這個式子，能否求出當 時，y的值？（3）要想求出y的值，必須先知道哪個量呢？（4）怎樣才能確定k的值？用什么條件？答：用待定系數(shù)法，把 時 代入 ，求出k的值.（5）你能否自己完成這道例題：由一名同學板演，其他同學在練習本上完成.例3   已知： ， 與x成正比例， 與x成反比例，當 時， 時， ，求y與x的解析式.分析：一定要先寫出y與x的函數(shù)表達式 ，要用x分別把 ， 表示出來得 ，要注意 不能寫成k， 解：設 ， .由題意得 .（二）總結、擴展教師提問，學生思考回答：1什么是反比例函

17、數(shù)？2反比例函數(shù)的圖像是什么樣的？3反比例函數(shù) 的性質是什么？4命題方向及題型設置，反比例函數(shù)也是中考命題的主要考點，其圖像和性質，以及其函數(shù)解析式的確定，常以填空題、選擇題出現(xiàn)，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現(xiàn)不少將反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何知識、三角知識等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內容.五、布置作業(yè)1教材P130中4，5，62選做：P130中B1，2六、板書設計138反比例函數(shù)及其圖像引例：（1）例1：例2：例3：（2）1反比例函數(shù)： 2反比例函數(shù)的性質 典型例題例1、已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交，其中有一個交點的縱坐標為-4，求這兩個函數(shù)的解析式解： 依

18、題意，由兩個函數(shù)解析式得所以一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式分別為注意：這是關于一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合題，解本題的關鍵是要抓住兩圖象交點這個主要矛盾，它既在一次函數(shù)圖象上，又在反比例函數(shù)圖象上，從而轉化為解二元一次方程組，問題得以解決例2、 已知y=y1+y2，y1與x+1成正比例，y2與x2成反比例，并且x=-1時，y=1； 時， .求 時y的值.解方程組注意： 解本題的關鍵是正確理解什么叫y1與x+1成正比例，y2與x2成反比例，即把x+1與x2看成兩個新的變量例3、已知反比例函數(shù) 的圖象和一次函數(shù) 的圖象都經過點P(m，2)(1)求這個一次函數(shù)的解析式；(2)如果等腰梯形ABCD的頂點A

19、、B在這個一次函數(shù)的圖象上，頂點C、D在這個反比例函數(shù)的圖象上，兩底AD、BC與y軸平行，且A和B的橫坐標分別為a和a+2，求a的值  解：（1）點 在函數(shù) 的圖象上，所以 ，P點坐標為(6，2)因為一次函數(shù)y=kx-7的圖象經過點P(6，2)，所以 (2)因為點A、B的橫坐標分別為a和a+2，由此可得a=-4或a=2經檢驗a=-4，a=2均為所求的值點評 本題是綜合考察學生能力，培養(yǎng)數(shù)形結合的思想，點在曲線上則點的坐標應滿足函數(shù)方程另外要注意檢驗返回頁首擴展資料馬爾克廣場上的游戲在世界著名的水都威尼司斯，有個馬爾克廣場.廣場的一端有一座寬82米的雄偉教堂.教堂的前面是一方開闊地.這

20、片開闊地經常吸引著四方游人到這里做一種奇特的游戲：把眼睛蒙上，然后從廣場的一端向另一端教堂走去，看誰能到達教堂的正前面！奇怪的是，盡管這段距離只有175米，但卻沒有一名游客能幸運地做到這一點！全都如下圖那般，走成了弧線，或左或右，偏斜到了一邊！類似的情形也有很多，這與俗話說的鬼打墻類似.有許多人在沙漠或雪地里，由于迷失方向而在原地打圈子，這一切近乎玩笑般的遭遇，終于引起了科學家的注意.公元1896年，挪威生理學家古德貝對閉眼打轉的問題進行深入的探討.他搜集了大量的事例后分析說：這一切都是由于人自身兩條腿在作怪！長年累月養(yǎng)成的習慣，使每個人一只腳伸出的步子長一段微不足道的距離.而正是這一段很小的

21、步差x，導致了這個人走出一個半徑為y的大圈子！現(xiàn)在我們將這個過程數(shù)學化，研究一下x與y之間的函數(shù)關系.假定某個兩腳踏線間相隔為d.很顯然，當人在打圈子時，兩只腳實際上走出了兩個半徑相差為d的同心圓.設該人平均步長為1.那么，一方面這個人外腳比內腳多走路程 另一方面，這段路程又等于這個人走一圈的步數(shù)與步差的乘積，即： 對一般的人， 米， 米，代入得（單位米） 這就是所求的迷路人打圈子的半徑公式.是我們學過的反比例函數(shù)(圖象如下圖).今設迷路人兩腳步差為 毫米，僅此微小的差異，就足以使他在大約三公里的范圍內繞圈子！讓我們回到那個馬克爾廣場的游戲上來.我們先計算一下，當人們閉起眼睛，從廣場一端中央的

22、M點，要想抵達教堂CD，最小的弧線半徑應該是多少？如圖，注意到矩形ABCD邊BC=175（米）， （米）上述問題可以轉化成幾何中的命題：已知 與 求 的半徑 的大小 這就說,游人要想成功,他所走弧線半徑必須不小于394米我們再來計算一下，要達到上述要求，游人的兩腳步差需要什么限制 這表明游人的兩只腳步差必須小于 毫米，否則就難以成功然而在閉眼的情況下兩腳這么小的步差一般人是達不到的，這就是在游戲中為什么沒有人能夠蒙上眼睛走到教堂前面的道理返回頁首探究活動已知：如圖，一次函數(shù)的圖像經過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D。 。（1）求反比例函數(shù)的解

23、析式；（2）設點A的橫坐標為m， 的面積為S，求S與m的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）當 的面積等于 時，試判斷過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長能否等于3。如果能，求此時拋物線的解析式；如果不能，請說明理由。解：（1）過點B作 軸于點H。 在Rt 中， 由勾股定理，得 又 ，   點B（3，1）。 設反比例函數(shù)的解析式為 。   點B在反比例函數(shù)的圖像上， 。   反比例函數(shù)的解析式為 。（2）設直線AB的解析式為 。 由點A在第一象限，得 。 又由點A在函數(shù) 的圖像上，可求得點A的縱坐標為 。   點B（3，1），點 ，     解關于 、 的方程組，得   直線AB的解析式為 。 令  。 求得點D的橫坐標為 。 過點A作 軸于點G 由已知，直線經過第一、二、三象限，   ，即 。 由此