北京市東城區(qū)2024屆高三上學期期末統(tǒng)一檢測數(shù)學試題 含解析

東城區(qū)2023—2024學年度第一學期期末統(tǒng)一檢測高三數(shù)學第一部分一?選擇題共10小題，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知全集，集合，則（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)補集定義求解即可.【詳解】全集，集合，.故選：C.2.設復數(shù)z滿足，則z的共軛復數(shù)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】算出，即可得.【詳解】由得，，所以.故選：B【點睛】本題主要考查了復數(shù)的除法運算，共軛復數(shù)的概念，考查了學生基本運算能力和對基本概念的理解.3.的展開式中，的系數(shù)為（）A.1 B.5 C.10 D.20【答案】C【解析】【分析】由二項展開式的通項計算即可得.【詳解】二項展開式的通項為，令，即，有，故的系數(shù)為10.故選：C.4.設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前項和，若，則（）A.6 B.8 C.12 D.14【答案】D【解析】【分析】結合等比數(shù)列的性質可計算出公比，由等比數(shù)列前項和的定義即可得.【詳解】設公比為，則，則，又的各項均為正數(shù)，故，則.故選：D.5.已知非零向量，，滿足，且，對任意實數(shù)，，下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律求解即可.【詳解】非零向量，，滿足，且，對于A，不恒為，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，不恒為，故C錯誤；對于D，不恒為，故D錯誤.故選：B.6.如圖，在正方體中，，，分別是，的中點.用過點且平行于平面的平面去截正方體，得到的截面圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中點，連接，，，證明平面平面，進而求出截面面積.【詳解】取的中點，連接，，，正方體，平面，平面，，是的中點，，且，四邊形是矩形，且，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面平面，即平面為過點且平行于平面的平面截正方體所得平面，，，，.故選：A.7.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結合邏輯用語判斷即可.【詳解】，，函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由得，得，滿足充分性；由得，得，滿足必要性.“”是“”的充要條件.故選：C.8.一粒子在平面上運動的軌跡為拋物線的一部分，在該平面上建立直角坐標系后，該粒子的運動軌跡如圖所示.在時刻，粒子從點出發(fā)，沿著軌跡曲線運動到，再沿著軌跡曲線途經(jīng)點運動到，之后便沿著軌跡曲線在，兩點之間循環(huán)往復運動.設該粒子在時刻的位置對應點，則坐標，隨時間變化的圖象可能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)粒子的運動軌跡得到周期，進而得到和的周期，觀察圖象即可.【詳解】由題知，粒子從為一個周期，對應由為一個周期，對應由為兩個周期，函數(shù)的周期是函數(shù)的周期的倍.對于A，的周期為，的周期為，故A錯誤；對于B，的周期為，的周期為，故B正確；對于C，的周期為，的周期為，故C錯誤；對于D，的周期為，的周期為，故D錯誤.故選：B.9.已知線段的長度為是線段上的動點（不與端點重合）.點在圓心為，半徑為的圓上，且不共線，則的面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐標系，結合圖形分析可得，利用正弦函數(shù)的性質以及二次函數(shù)的性質即可得最值.【詳解】如圖：設，圓M的半徑為r，則，所以的面積，當為時取等號，再結合二次函數(shù)的性質可得當時S有最大值，故選：A.10.設函數(shù)，對于下列四個判斷：①函數(shù)的一個周期為；②函數(shù)的值域是；③函數(shù)的圖象上存在點，使得其到點的距離為；④當時，函數(shù)圖象與直線有且僅有一個公共點．正確的判斷是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的周期性定義結合余弦函數(shù)的周期性可判斷①；采用三角代換，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)值域，判斷②；利用，結合兩點間距離公式可判斷③；結合解，根據(jù)解的情況判斷④，即得答案.【詳解】對于①，，，故不是函數(shù)的一個周期，①錯誤；對于②，，需滿足，即，令，，則即為，當時，在上單調(diào)遞增，則；當時，，（，故）此時在上單調(diào)遞減，則，綜上，的值域是，②錯誤；對于③，由②知，，當時，,滿足此條件下的圖象上的點到的距離；當時，滿足此條件下的圖象上的點到的距離，當且僅當且時等號成立，而時，或，滿足此條件的x與矛盾，即等號取不到，故函數(shù)的圖象上不存在點，使得其到點的距離為，③錯誤；對于④，由②的分析可知，則，即，又，故當且僅當時，，即當時，函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個公共點，④正確．故選：D【點睛】難點點睛：本題綜合考查了函數(shù)的知識的應用問題，涉及余弦函數(shù)的周期，值域以及最值和函數(shù)圖象的交點問題，綜合性強，難度較大，解答時要結合余弦函數(shù)的性質以及函數(shù)的單調(diào)性，綜合求解.第二部分二?填空題共5小題.11.函數(shù)的定義域為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式的分母不為，對數(shù)的真數(shù)大于求解即可.【詳解】，解得且，函數(shù)的定義域為.故答案為：.12.已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是__________；直線與雙曲線相交于，兩點，則__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由已知可判斷雙曲線為焦點在軸上的雙曲線，可知，，表示漸近線方程即可；由可求的值，從而得到交點坐標，即可得到距離.【詳解】由雙曲線：知雙曲線的焦點在軸，且，，即，，所以雙曲線的漸近線方程為；當時，，設，則，所以.故答案為：；.13.已知函數(shù)，若，則的一個取值為__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用和角的正弦公式和誘導公式化簡，求出即可求解.【詳解】，即，解得，，，.的一個取值為.故答案為：（答案不唯一）.14.設函數(shù)①若，則的最小值為__________.②若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】對①，分別計算出每段的范圍或最小值即可得；對②，由指數(shù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)沒有最小值，可得存在最小值則最小值一定在段，結合二次函數(shù)的性質即可得.【詳解】①當時，，則當時，，當時，，故的最小值為；②由，則當時，，由有最小值，故當時，的最小值小于等于，則當且時，有，符合要求；當時，，故不符合要求，故舍去.綜上所述，.故答案為：；.15.一般地，對于數(shù)列，如果存在一個正整數(shù)，使得當取每一個正整數(shù)時，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個數(shù)列的一個周期.給出下列四個判斷：①對于數(shù)列，若，則為周期數(shù)列；②若滿足：，則為周期數(shù)列；③若為周期數(shù)列，則存在正整數(shù)，使得恒成立；④已知數(shù)列的各項均為非零整數(shù)，為其前項和，若存在正整數(shù)，使得恒成立，則為周期數(shù)列.其中所有正確判斷的序號是__________.【答案】②③【解析】【分析】根據(jù)題設條件，對各個選項逐一分析判斷即可得出結果.【詳解】對于①，因為，取數(shù)列：，顯然滿足，但數(shù)列不是周期函數(shù)，所以①錯誤；對于②，因為數(shù)列滿足：，不妨令，則數(shù)列為，故，所以②正確；對于③，為周期數(shù)列，不妨設周期為，所以數(shù)列中項的值有個，即數(shù)列中的項是個數(shù)重復出現(xiàn)，故存在正整數(shù)，使得恒成立，所以③正確；對于④，取數(shù)列為首項2，當時，，則當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，取，則恒成立，但不為周期數(shù)列.故答案為：②③.【點睛】關鍵點晴：本題的關鍵在于對新概念的理解，然后再結合各個選項中的條件，通過取特殊數(shù)列可得出①和④的正誤；再利用周期數(shù)列的定義可得出②和③的正誤.三?解答題共6小題，解答應寫出文字說明?演算步驟或證明過程.16.如圖，在直三棱柱中，分別為的中點.（1）求證：平面；（2）若點是棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】（1）通過取的中點構建平面平面即得；（2）由題設易于建系，運用空間向量的夾角公式表示出直線與平面所成角的正弦值，解方程即得.【小問1詳解】如圖，取線段的中點，連接,因分別為的中點,故有,又因為平面，平面,故平面，平面，又,則平面平面,因平面，則平面.【小問2詳解】如圖，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標系.則,設點,則，代入坐標得：，即，于是,,設平面的法向量為，則有故可取，依題意得，，解得：，即線段的長為1.17.在中，（1）求；（2）若為邊上一點，再從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：的周長為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）（2）若選條件①，則；若選條件③，則.【解析】【分析】（1）由余弦定理計算即可得；（2）若選條件①，由正弦定理可計算出，結合三角形內(nèi)角和與面積公式即可得面積；若選條件③，由余弦定理結合條件可計算出、，由面積公式計算即可得；不能選條件②，計算出到的距離，故該三角形不唯一，不符合題意.【小問1詳解】，故；【小問2詳解】若選條件①：，由，，，故，即，，此時三角形唯一確定，符合要求，.若選條件③：的周長為,由，故，則，化簡得，即有，解得，故，此時三角形唯一確定，符合要求，.不能選條件②，理由如下：若選條件②：，由，，，設點到直線的距離為，則，即，此時，，故該三角形不唯一，故②不符合要求.18.某科目進行考試時，從計算機題庫中隨機生成一份難度相當?shù)脑嚲?規(guī)定每位同學有三次考試機會，一旦某次考試通過，該科目成績合格，無需再次參加考試，否則就繼續(xù)參加考試，直到用完三次機會.現(xiàn)從2022年和2023年這兩年的第一次、第二次、第三次參加考試的考生中，分別隨機抽取100位考生，獲得數(shù)據(jù)如下表：2022年2023年通過未通過通過未通過第一次60人40人50人50人第二次70人30人60人40人第三次80人20人人人假設每次考試是否通過相互獨立.（1）從2022年和2023年第一次參加考試的考生中各隨機抽取一位考生，估計這兩位考生都通過考試的概率；（2）小明在2022年參加考試，估計他不超過兩次考試該科目成績合格的概率；（3）若2023年考生成績合格的概率不低于2022年考生成績合格的概率，則的最小值為下列數(shù)值中的哪一個？（直接寫出結果）的值838893【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨立的事件的概率求解即可；（2）根據(jù)相互獨立的事件的概率求解即可；（3）分別求出2022年和2023年考生成績的合格率，列出不等式即可求解.【小問1詳解】記事件：“2022年第次參加考試的考生通過考試”，，記事件：“2023年第次參加考試的考生通過考試”，，則，，從2022年和2023年第一次參加考試的考生中各隨機抽取一位考生，估計這兩位考生都通過考試的概率為；【小問2詳解】，，，小明在2022年參加考試，估計他不超過兩次考試該科目成績合格的概率為；【小問3詳解】2022年考生成績合格的概率為,2023年考生成績合格的概率為，要使2023年考生成績合格的概率不低于2022年考生成績合格的概率，則，解得.故的最小值為.19.已知橢圓的右焦點為，左?右頂點分別為，.（1）求橢圓的方程；（2）設是坐標原點，是橢圓上不同的兩點，且關于軸對稱，分別為線段的中點，直線與橢圓交于另一點.證明：三點共線.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意得，結合平方關系即可得解.（2）由題意不妨設，則，將直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理得點坐標，要證三點共線，只需證明即可，在化簡時注意利用，由此即可順利得證.【小問1詳解】由題意，所以，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由題意不妨設，其中，即，則，且直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得，消去并化簡整理得，由韋達定理有，所以，，即點，而，，所以三點共線20.已知函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若，求證：函數(shù)在上有極大值，且.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進而求出切線方程；（2）先對求導，然后構造函數(shù)，再對求導，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷的單調(diào)性，最后根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性求出極大值的取值范圍.小問1詳解】當時，，，即切點為，，，即在處切線的斜率為，故曲線在處的切線方程為；【小問2詳解】，令，，，在單調(diào)遞增，且，在單調(diào)遞增，且，在單調(diào)遞減，，，即，，存在唯一的，使，即，當時，，即，在單調(diào)遞增，當時，，即，在單調(diào)遞減，在處取得極大值，設極大值，即，令，，，對勾函數(shù)在單調(diào)遞增，，，，，即，.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值.解題的關鍵是掌握導數(shù)與單調(diào)性的關系，當導數(shù)的符號不容易確定時，構造新的函數(shù)，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性.確定極值點時，需要滿足極值點的導數(shù)為，極值點左右兩側附近的