北京大學量子力學課件_第19講

1、 第第 十九十九 講講 . . 量子體系狀態(tài)的表示量子體系狀態(tài)的表示 在幾何學中，一個矢量可以用它在某個坐標在幾何學中，一個矢量可以用它在某個坐標架中的坐標來描述（現(xiàn)限于正交坐標）架中的坐標來描述（現(xiàn)限于正交坐標） 顯然，當坐標架給定后顯然，當坐標架給定后 332211aeaeaea)e ,e ,e(321 如果有一組力學量如果有一組力學量 構(gòu)成一力學量完全集構(gòu)成一力學量完全集其共同本征函數(shù)構(gòu)成一正交，歸一和完備組，其共同本征函數(shù)構(gòu)成一正交，歸一和完備組，并有封閉性并有封閉性321aaammnnm, 集合集合 是與是與 完全等價的完全等價的 狀態(tài)表示的定義：狀態(tài)表示的定義：若力學量的完全集若力

2、學量的完全集 的的 共同本征函數(shù)組為共同本征函數(shù)組為 ，則，則 的的 全體全體 ，被稱為體系所處態(tài)，被稱為體系所處態(tài) 在表象在表象 中的表示中的表示。),(rd)r ()r (am*mm ma mm ),(amm mam 對于分立譜：則對于分立譜：則 在在 表象中的表示，表象中的表示， 可以用一單列矩陣表示可以用一單列矩陣表示 而歸一化而歸一化21aaa 2 mmm,nmm*n*nardaa),(mma 對于連續(xù)譜：則對于連續(xù)譜：則 在表象在表象 中的表示中的表示 ，它是，它是 的函數(shù)的函數(shù)1aaaa)a ,a (21*2*1 a rddd)r (a)r (a),(* da21 . dirac

3、dirac符號介紹符號介紹 一個態(tài)矢量可由一組數(shù)一個態(tài)矢量可由一組數(shù) 表示，但在表表示，但在表示示 （或計算）（或計算） 時，其實已用到態(tài)矢量在時，其實已用到態(tài)矢量在 表表象中的表示及象中的表示及 表象的共同本征矢的表示。表象的共同本征矢的表示。 mamarrrd)r () rr (),() r (rrd)r () rr (),() r (mrm而而 事實上，一個描述體系處的狀態(tài)，并不需事實上，一個描述體系處的狀態(tài)，并不需要依賴于某一表象，而僅在計算時，才在一個具要依賴于某一表象，而僅在計算時，才在一個具體表象中進行。體表象中進行。 dirac建議用一抽象的符號來描述體系所處建議用一抽象的符號

4、來描述體系所處的狀態(tài)的狀態(tài) . （1）量子態(tài)、）量子態(tài)、ket矢，矢，bra矢（矢（bracket）rd) r () r (a*mm 量子力學中的狀態(tài)，可以看作某線性空間中量子力學中的狀態(tài)，可以看作某線性空間中的一個矢量的一個矢量 ，我們稱為，我們稱為 ket 矢以矢以 表示。表示。 為為使使它可代表不同它可代表不同 ket 矢矢，則在這表示中給出特征標，則在這表示中給出特征標志符號。志符號。 如態(tài)矢量是如態(tài)矢量是 的本征矢，它的本征值為的本征矢，它的本征值為 ， 則本征矢可表為則本征矢可表為 或或 中心力場中能量的本征波函數(shù)中心力場中能量的本征波函數(shù)nnn) r (unlmnlmnnn 共軛

5、空間態(tài)矢量可以以符號共軛空間態(tài)矢量可以以符號 來表示，來表示，稱為稱為brabra矢矢，如，如nlmenlmhnl nlm) 1l ( lnlml22nlmmnlmlznnlm 5432154321 （2 2）標積：）標積： a. a. 標積定義標積定義：矢量：矢量 和矢量和矢量 的標積的標積為一數(shù)，它表示為為一數(shù)，它表示為 ),(nmnmnm mn1mmmnnm* b b基矢的正交、歸一基矢的正交、歸一、完備和封閉性，完備和封閉性， 態(tài)矢量的表示態(tài)矢量的表示 若力學量若力學量 形成一力學量完全集，其形成一力學量完全集，其共同共同本征態(tài)為本征態(tài)為 ，它們被稱為它們被稱為 n n 表象的基矢，相

6、表象的基矢，相應本征值為應本征值為 。它們是正交、歸一和完備的。它們是正交、歸一和完備的。 正交，歸一正交，歸一 nnnn)cc (cc(nnnn 或 完備性：完備性： 對任一空間態(tài)矢量對任一空間態(tài)矢量 ，可表為，可表為 稱為態(tài)矢量稱為態(tài)矢量 在在n n表象中的表示表象中的表示 n)(nan )(na na)(n 封閉性：封閉性： 在在x x表象中，表象中， 的表示即為的表示即為nnn )x(x innnixdxx 若若 就是就是n n表象的本征矢表象的本征矢 ，那，那在自在自 身表象中的表示身表象中的表示 nnn)n(nnna 010a)n(n行第n), 2 , 1n( n n表象中的基矢在

7、表象中的基矢在 表象中的表示即為表象中的表示即為 而而 代表代表 表象中的基矢（本征值為表象中的基矢（本征值為 ) )在在 n n 表象中的表示表象中的表示 這樣，在坐標表象中，本征函數(shù)組的封閉這樣，在坐標表象中，本征函數(shù)組的封閉性就易于了解。性就易于了解。 x)x(nxn xnxx)x(nx)n(xn*n*x 由本征矢由本征矢 的的封閉性：封閉性： 即即 nnn )xx(xxxnnxn nn*nn)xx()x()x( nx*x)xx()n()n( xxxxdxxx )xx(xd)xx()xx()xx(xx xxxnnxnnx*x)xx()n()n( 而二個矢量的標積而二個矢量的標積nnn n

8、n*nba 321321bbbaaa* 321321bbbaaaba xdxxdx)x()x(* （3 3）算符及其表示）算符及其表示 a.a. 算符的自然展開算符的自然展開：在量子力學中，可觀測：在量子力學中，可觀測力學量是以厄密算符表示，其本征方程為力學量是以厄密算符表示，其本征方程為 則 或nnnllllllll或nnnnlllldlllll稱為算符稱為算符 的自然展開。的自然展開。 b. 算符的表示算符的表示 算符算符 是將一態(tài)矢量變?yōu)榱硪粦B(tài)矢量是將一態(tài)矢量變?yōu)榱硪粦B(tài)矢量 設(shè)：設(shè)： 是一力學量完全集，其正交，歸一，是一力學量完全集，其正交，歸一，完備組基矢為完備組基矢為 則則 llnl

9、r an nlrmmmnn 和 分別是態(tài)矢量分別是態(tài)矢量 ， 在表象在表象 中的表示。中的表示。 而而 是將態(tài)矢量是將態(tài)矢量 表示變到態(tài)表示變到態(tài)矢量矢量 表示，所以它起到算符表示，所以它起到算符 同樣的作用。同樣的作用。 的全體稱為算符在表象的全體稱為算符在表象 中的矩中的矩陣表示。陣表示。 顯然，計算這一表示，其結(jié)果與在那一個顯然，計算這一表示，其結(jié)果與在那一個表象中計算是無關(guān)的表象中計算是無關(guān)的 rn nm rnamnl nrlmnl a mnmnrrdrlrrdrl rdrd) r (v)l)(r (vmnr r* rlr)l(r rnnnnrlllr)r (ul) r (un*nnn

10、 為力學量為力學量 在表象在表象 中的算符。中的算符。 事實上，矩陣事實上，矩陣 描述了表象描述了表象 中的本中的本征態(tài)，即基矢征態(tài)，即基矢 ，在算符在算符 作用下，所得到作用下，所得到 )r (u) r (u)i, r (ln*nn)rr ()i, r (l )i, r (l lrrr)l( nmlam l 即即 這表明，這表明， 表象中的基矢表象中的基矢 在在 作用下作用下所產(chǎn)生的新的態(tài)矢量在表象所產(chǎn)生的新的態(tài)矢量在表象 中的表示正是算中的表示正是算符符 在表象在表象 中矩陣表示的第中矩陣表示的第 列元素集合列元素集合nnnmnmnnmlll m33m22m11mllll am lalam

11、 于是，于是，我們求算符我們求算符 在某表象中的矩陣表在某表象中的矩陣表示。只要將它作用于該表象的基矢上，將所得展示。只要將它作用于該表象的基矢上，將所得展開系數(shù)形成的矩陣轉(zhuǎn)置，即得開系數(shù)形成的矩陣轉(zhuǎn)置，即得 在該表象中的在該表象中的表示。表示。 ll3132121111llll 3232221212llll 3332321313llll 其系數(shù)矩陣為：其系數(shù)矩陣為： 轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置 這即為在表象這即為在表象 中的矩陣表示中的矩陣表示 顯然，算符在其自身表象中的表示為顯然，算符在其自身表象中的表示為 22122111llll22211211llll111a 222a a系數(shù)矩陣為，系數(shù)矩陣為， 轉(zhuǎn)置

12、同。轉(zhuǎn)置同。所以是對角矩陣，而矩陣元為其本征值。所以是對角矩陣，而矩陣元為其本征值。 333a 0000000321 例例： 給出方程給出方程 在在 表象表象中的表示式中的表示式 )x(x)x( xp x ppxx xxxxpppdpx pbxxppppda)x (xxx dxpxxxppx p)x (xxxxppxxdx21xeexpixipxx dxe21pix)pp( ixxx )pp(pixxx )pp(pixxx 由由 ( ( 由由 函數(shù)性質(zhì)函數(shù)性質(zhì) ） xxpppx p)x (xx)pp(ippipx,ppxxxxxxx xxxxxxxxpxp)pp(ppxxpp )x()x(x

13、xxpx p)pp(pixxx 并由此可推論，由于并由此可推論，由于 是任意態(tài)，所以在是任意態(tài)，所以在 表象中，表象中， 算符的形式為算符的形式為 xxpxpapib xpx xpixpxxxppda )pp(pibxx (4) 不可約張量算符的矩陣元計算簡介不可約張量算符的矩陣元計算簡介 a. 不可約張量算符的不可約張量算符的g. racah定義定義 若若 滿足以下的對易關(guān)系滿足以下的對易關(guān)系其中其中 ，則稱，則稱 為為 秩不可約張秩不可約張量算符。量算符。 lmt 1211 lmlmt)ml)(ml(t,j lmlmzmtt,j lmtlyxjijj b. wigner-eckart定理定

14、理 維格納維格納-埃伽定理：埃伽定理：矩陣元矩陣元 與與投影量子數(shù)的關(guān)系完全包含在投影量子數(shù)的關(guān)系完全包含在c-g系數(shù)中系數(shù)中證：由證：由則有則有 它是表示投影量子數(shù)的守恒規(guī)則。它是表示投影量子數(shù)的守恒規(guī)則。jmtmjlm jtjjmlmmjjljmtmjllm jmtmjmjmt,jmjlmlmz 0 jmtmj)mmm(lm由 得 （1）jmjtmjjmtjmjlmlm jmtmj)mj)(mj(lm1121 1121 jmtmj)mj)(mj(lmjmtmj)ml)(ml(lm 1211 jmtmj)ml)(ml(lm 1211 根據(jù)投影量子數(shù)守恒知，僅當根據(jù)投影量子數(shù)守恒知，僅當矩陣元

15、才不為零。矩陣元才不為零。 我們知我們知 將算符將算符 1 mmm m,mmjjllm,jmlmjmmjljj 作用于方程兩邊，得作用于方程兩邊，得 于是有于是有1121mj)mj)(mj( m,mmjjllm,jmlmjm)mj)(mj(1121 m,mmjjllm,jmlmjm)ml)(ml(1121以以 標積方程兩邊，得標積方程兩邊，得 1121mjljlj)mj)(mj(, m,mmjjll,jlj)j)(j(1121 m,mmjjll,jlj)l)(l(1121lmjm 與與(1)式比較，可見式比較，可見 矩陣元隨投影量子矩陣元隨投影量子數(shù)的變化與數(shù)的變化與c-g系數(shù)的變化規(guī)律是完全

16、一樣的。系數(shù)的變化規(guī)律是完全一樣的。 于是有于是有 1121mjjmlm)mj)(mj( mjjllm,jm)j)(j( 1121mjjllm,jm)ml)(ml( 1121lmt c.c. 一秩張量的投影定理一秩張量的投影定理證：證： 由于由于 為一秩不可約張量算符，所以為一秩不可約張量算符，所以jtjjmlmmjjljmtmjllm mmm)j ( jjm)tj(jmjjmtmjjjmm 111mt1 1121121 mmt)m)(m(t,j mmzmtt,j11 從而得從而得 現(xiàn)求現(xiàn)求 zyxitt,j11 zxyitt,j11 yxzitt,j11 xyzitt,j11 xt,j12

17、jt,jt,jjt,jxxx 1112yzzyyzzyjtijtitjitji1111 xzyyztitjitji111222 jt, jt, jjt,jyyy 1112zxxzxzzxjtijtitjitji1111 zxxzxzzxjtijtitjitji1111 jt,jt,jjt,jzzz 1112xyyxyxxyjtijtitjitji1111 xt,j,j122zxzxzzxzzxzjtjjtjtjtjj)i (1112122 xxyyyxyyxyxyt,j)i (jtjjtjtjjtj122111122 yzxzzxzyztjijtjtjtij)i (111212222 xxyy

18、zyzyxyt,j)i (jtjtjitjitj12211112222 xzzyyxxxzyxj)tjtjtj(t)jjj()i (11112222222 xt,j)i (1222 t,j)i (j)tj(tj)i (xxx12212224 jtjtjxxxxx11222 即即同理有同理有 024412212122 jmt,jmj)i (jmj)tj(mj)i (jmtjmj)i (xxxjjxx)j ( jjm)tj(jmjjmtmj 111jjyy)j ( jjm)tj(jmjjmtmj 111從而有從而有 jjzz)j ( jjm)tj(jmjjmtmj 111 mmm)j ( jjm)

19、tj(jmjjmtmjjjmm 111 6.3 6.3 表象變換：用表象變換：用diracdirac符號給出表象變換符號給出表象變換特別方便。而且可以看出，在某表象中的表示是特別方便。而且可以看出，在某表象中的表示是不因計算方式不同而不同。不因計算方式不同而不同。 （1） 同一狀態(tài)在不同表象中的表示間的關(guān)系同一狀態(tài)在不同表象中的表示間的關(guān)系 對于態(tài)對于態(tài) 在在 表象中，其表示為表象中，其表示為 fnfnaf nnnffff nnnffnfnnaf 就是就是態(tài)態(tài) 在表象在表象 中的表示中的表示 在在 表象中其表示為表象中其表示為 于是，于是， nfa fg gbg nffan ggfn 是將態(tài)矢

20、量在是將態(tài)矢量在 表象中的表示，以表象中的表示，以 表象中的表示來表達的變換。表象中的表示來表達的變換。 構(gòu)成一矩陣形式構(gòu)成一矩陣形式 ggfbsn gfnsg s212221121121bbssssaaf 即即 矩陣的矩陣元正是矩陣的矩陣元正是 表象基矢與表象基矢與 表象基表象基矢的標積，其第矢的標積，其第 列，是列，是 表象中第表象中第 個基矢在個基矢在 表象中的表示。表象中的表示。 gfsbafglglfs nnfggffffggf)s(s)ss(nnnnnnffnnff ggnnngggggffg)ss( 因此，因此， 是一個幺正算符。同一態(tài)矢量在不是一個幺正算符。同一態(tài)矢量在不 同表象中的表示之間是通過一個幺正變換聯(lián)系起同表象中的表示之間是通過一個幺正變換聯(lián)系起來的。來的。 （2）兩表象的基矢之間關(guān)系）兩表象的基矢之間關(guān)系 s nnfggfissss 2212211121fgfgfgfg,g,g *gf*gf*gf*g