橢圓曲線知識(shí)點(diǎn)與講義

1、圓錐曲線、知識(shí)點(diǎn)講解一、橢圓：（1）橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1, F2的距離的和等于常數(shù)（大于| F1F2 |）的點(diǎn)的軌跡。abf2的周P,Q兩點(diǎn),其中：兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)間的距離叫做焦距。注意：2a |F1F2 |表示橢圓；2a |F,F2|表示線段F1F2 ； 2a |F1F2 |沒(méi)有軌跡；（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì)：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程2 2冷占1(a b 0) a b2 2占篤 1(a b 0)ab圖形0A2xPA£yB1Ir頂點(diǎn)A( a,0), A2(a,0)B(0, b),B2(0,b)A( b,0),A2

2、(b,0)B0, a),B2 (0,a)對(duì)稱軸x軸，y軸；短軸為2b，長(zhǎng)軸為2a隹占八、八、F1( c,0), F2(c,0)£(0, c),F2(0,c)焦距|吋2丨 2c(c 0) c2 a2 b2離心率ce -（0 e 1）（離心率越大，橢圓越扁）a通徑2b 2 （過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線夾在橢圓內(nèi)的線段）a2 23常用結(jié)論：（1）橢圓x_ y_ i（a b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2，過(guò)卩勺直線交橢圓于 代B兩點(diǎn)，則a2 b2長(zhǎng)=2 2（2）設(shè)橢圓x- y- 1（a b 0）左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為F2，過(guò)F1且垂直于對(duì)稱軸的直線交橢圓于 a b則 P,Q 的坐標(biāo)分別是 | PQ

3、|二、例題講解。例1、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 3,0 , a 3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)a和b （或a2和b2）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2222解：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為9由橢圓過(guò)點(diǎn)P 3,0 ,知篤a1 又a3b，代入得b21, a29，故橢圓的方程為9當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為2y2ax29由橢圓過(guò)點(diǎn)P 3,0 ,知仝2a0b21 又a3b ,聯(lián)立解得a2281, b2 9，故橢圓的方程為81例2、 ABC的底邊BC的軌跡.16，AC和AB兩邊上中線長(zhǎng)之和為 30，求此三角形重心 G

4、的軌跡和頂點(diǎn)分析：（1）由已知可得GCGB 20,再利用橢圓定義求解.（2 ）由G的軌跡方程G、A坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求 A的軌跡方程.解： （1 ）以BC所在的直線為x軸,BC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為 x, y，由GC GB 20，知G點(diǎn)的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓,且除去軸上兩點(diǎn).因a 10，c 8，有b 6，x2故其方程為1002y36(2)設(shè) A x, y2，則1002y36xx 3， 由題意有3代入，得A的軌跡方程為y900324y 31 y 0，其軌跡是橢圓（除去 x軸上兩點(diǎn)).4/52 J 5例3、已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為和三衛(wèi)

5、，過(guò)P點(diǎn)作焦33點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程.解：設(shè)兩焦點(diǎn)為F1、F2，且PF14.53，価從橢圓定義知2a PF1 PF22爲(wèi)即3a -5 .從PF1PF2知PF2垂直焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸，所以在 Rt PF2F1中，sin PF1F2PF2PF110可求出 PF2-,62c PRcos6晉，從而b2 a2 c22所求橢圓方程為3y210102 y b2長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A1 , A2，焦點(diǎn)為2x例4、已知橢圓方程a橢圓上一點(diǎn),APA2F1PF2求：F1PF2的面積(用a、分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角1的兩鄰邊，從而利用S 丄absin C求面積.2解：如圖，設(shè)P x， y

6、，由橢圓的對(duì)稱性,不妨設(shè)P x, y ,由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)P表示).在第一象限.由余弦定理知:F1F22 PF12 |PF2 2 2 PR IPF2COS4c2 .由橢圓定義知:PF1PF22a，則2得PF1PF22b21 cos1故 S F1PF22-|PF1 |PFsin1 2b2sin21 cos三、習(xí)題講解。一、選擇題。1. 圓6x2+ y2=6的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)坐標(biāo)是A.(-1,0)?(1,0)B.(-6,0) ?(6,0)C.(- ' 6 ,0)?( 6 ,0)D.(0,- 6 )?(0, - 6 )2.橢圓x2+ 8y2=1的短軸的端點(diǎn)坐標(biāo)是C.(2 - 2 ,0)、(-

7、2 ,0)D.(0,2 2 )、(0, 2 2 )二 二A.(0,- 4 卜(0, 4 )B.(-1,0)、(1,0)3. 橢圓3x2+2y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是一 66 )B.(0,-1)、(0,1)C.(-1,0)、(1,0).6D.(- 6 ,0)、(6 ,0)22xy_4.橢圓b22 a2yaA.a2 b222xy)、(0,5.橢圓1(a>b>0)的準(zhǔn)線方程是A.(0, 6a2B.y a2 b2yC.b2a2 b2yD.2a2.2、a b1的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是V5和 9 藥A. 55巴5D. 59® 14.、5 餐5和 14、5B. 55C. 556.已知Fi、F2為

8、橢圓2X2a1(a> b> 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2作橢圓的弦AB,若 AFiB的周長(zhǎng)為16,橢圓離心率2，則橢圓的方程是A. 4B.16C.162y12D.167.離心率為2，且過(guò)點(diǎn)(2,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A. 4B. 42彳 2 y1 X或 4C.D. 42乞1168.橢圓2 y b2k(k>0)具有A.相同的離心率B.相同的焦點(diǎn)C.相同的頂點(diǎn)D.相同的長(zhǎng)？短軸9.點(diǎn)A(a,1)在橢圓2 2乞厶142 的內(nèi)部,則a的取值范圍是A.-2 <a<2iiB.a<-2 或a> 2C.-2< a<2D.-1<a<12X-210.設(shè)F

9、是橢圓a2 y b21的右焦點(diǎn)，P(x,y)是橢圓上一點(diǎn)，貝U |FP|等于A. ex+ aB.eX aC.ax e D.a ex二、填空題1.橢圓的焦點(diǎn)F1(0,6)，中心到準(zhǔn)線的距離等于10,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是2.橢圓91上的點(diǎn)到直線2x 3y 3 30距離的最大的值是3.已知F 1?F2是橢圓252厶19的兩個(gè)焦點(diǎn),AB是過(guò)焦點(diǎn)F啲弦若| AB| =8,則| F2A| + | F2B|的值是A.16B.12C.14D.84. 若A點(diǎn)坐標(biāo)為(1 , 1), F1是5x2+9y2=45橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓的動(dòng)點(diǎn)，貝U |PA| + |PF1|的最小值是2, 則m5. 直線y=1-x交橢

10、圓mx2+ny2=1于M , N兩點(diǎn)，弦MN的中點(diǎn)為P,若Kop= 2 n .6. 若橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是._27. 已知橢圓的準(zhǔn)線方程是y= 9,離心率為 3，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .428. 到定點(diǎn)(1，0)的距離與到定直線x=8的距離之比為2的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是.9. 已知橢圓x2+2 y2=2的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi和F2，B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則 BF1F2的外接圓方程是10. 已知點(diǎn)A(0，1)是橢圓x2+4y2=4上的一點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦 AP的長(zhǎng)度最大時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是三、簡(jiǎn)答題。2 21、已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)A 3,0，且在定圓B: x 3 y

11、 跡方程.292、已知橢圓4x y 1及直線y x m.(1) 當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？10(2) 若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為 3匕，求直線的方程.53以橢圓x21221的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)直線l: x y 90上一點(diǎn)M作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短,3點(diǎn)M應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程.4已知長(zhǎng)軸為12,短軸長(zhǎng)為6,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，過(guò)它對(duì)的左焦點(diǎn)Fi作傾斜解為的直線交橢圓于 A,3B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng).3. A 4. B5. C6. D7. D 8. A 9. A 10. D1.2x242y602. 213. B4. 625.2 12 6. 2x27. 142y181 2 28. x

12、2 2y212x6209.X21 10.分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意, 解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓P滿足的關(guān)系式.P和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)M .動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn),列出點(diǎn)3（士 31、即定點(diǎn)A 3,0和定圓圓心B 3,0距離之和恰好等于定圓半徑,即 |PA PB |PM PBBM 8.點(diǎn)P的軌跡是以 A , B為兩焦點(diǎn),i _ 2 2半長(zhǎng)軸為4,半短軸長(zhǎng)為b .、42 327的橢圓的方程： 1 167說(shuō)明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌2、解：（1）把直線方程y x2 2m代入橢圓方程4x y2 21 得 4xx m1 ,即5x22mx m2 10 .2 22m

13、45m116m2200，解得上5m .22跡方程的一種重要思想方法.（2）設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為捲,X2，由（1 ）得 X22mm2根據(jù)弦長(zhǎng)公式得22m5m214 解得x1x20.方程為y說(shuō)明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題及有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別.這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題，一般考慮判別式；解決弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般應(yīng)用弦長(zhǎng)公式.用弦長(zhǎng)公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.2解：如圖所示，橢圓12點(diǎn)F1關(guān)于直線3分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線 同側(cè)的兩已知點(diǎn)（即兩焦點(diǎn)）的

14、距離之和最小，只須利用對(duì)稱就可解決.2厶1的焦點(diǎn)為F13,0 , F2 3,0 .3 y 9 0的對(duì)稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為（一9，6），直線FF2的方程為 x 2y 30.x解方程組x2y 300得交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（一5, 4）.此時(shí)MF1|MF2最小.所求橢圓的長(zhǎng)軸：2a MFj MF2FF2 6J5 , a a 35，又c 3,4536二b2 a2 c25 2 32 36因此，所求橢圓的方程為2 2為X-乞1.(1 k2)% X2)2 4x1X2求得,1554分析：可以利用弦長(zhǎng)公式 AB 1 k2|x1 x2也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來(lái)求. 解：（法1）利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解.AB V1 k2X1 x2(1疋）（兀X2)2 4X1X2.因?yàn)閍 6 , b 3，所以c 3. 3 .因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上,2 2左焦點(diǎn)F（ 3.3,0），從而直線方程為 y 3x 9 .所以橢圓方程為1,369由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得:13x272 . 3x 36 80 .設(shè)X1 , X2為方程兩根，所以X1X212、313，X1X2從而AB1 k2X1X2.(1 k2)(x1 X2)2 4x1X24813（法2）利用橢圓的定義及余弦定理求解2 2由題意可