中國石油大學(xué)華東期末(2—2)高數(shù)題

1、A卷20062007學(xué)年第二學(xué)期本科高等數(shù)學(xué)(下)試卷 專業(yè)班級 姓 名 學(xué) 號 開課系室 數(shù)學(xué)學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系 考試日期 2007年7月 2 日 頁 號一二三四五總分得 分閱卷人說明：1.本試卷正文共5頁。2.封面及題目所在頁背面及附頁為草稿紙。3.答案必須寫在該題后橫線上，解題過程寫在下方空白處，不得寫在草稿紙中，否則答案無效。一、 選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）.1設(shè)三向量滿足關(guān)系式，則（ ）. （A）必有; （B）必有;（C）當時，必有; （D）必有.2. 已知，且，則（ ）.（A）2 ; （

2、B）; （C）; （D）1 .3. 設(shè)曲面，是在第一卦限中的部分，則有（ ）.（A）; （B）;（C）; （D）.4. 曲面在點處的切平面方程是：（ ）.（A）; （B）;（C）; （D）.5. 判別級數(shù)的斂散性，正確結(jié)果是：（ ）.（A）條件收斂; （B）發(fā)散；（C）絕對收斂; （D）可能收斂，也可能發(fā)散.6. 平面的位置是（ ）.（A）平行于XOY平面; （B）平行于Z軸，但不通過Z軸;（C）垂直于Z軸 ; （D）通過Z軸 .二、填空題（本題共4小題，每小題5分，滿分20分）.1. 已知，則.2. 函數(shù)在點處沿向量的方向?qū)?shù)是_，函數(shù)在點處的方向?qū)?shù)取最大值的方向是_，該點處方向?qū)?shù)的最大

3、值是_.3. 已知曲線，則.4. 設(shè)函數(shù)展開傅立葉級數(shù)為：，則.三、解答下列各題（本題共7小題，每小題7分，滿分49分）.1. 求冪級數(shù)收斂域及其和函數(shù).解題過程是：2. 計算二重積分.解題過程是：3. 已知函數(shù)的全微分，并且. 求在橢圓域上的最大值和最小值.解題過程是：4. 設(shè)是由，所圍成的有界閉區(qū)域，計算三重積分.5. 設(shè)為從點沿曲線到點一段曲線，計算.解題過程是：6. 設(shè)是上半球面的下側(cè)，計算曲面積分.7. 將函數(shù) 展開成關(guān)于的冪級數(shù) .解題過程是：四、證明題（7分）.證明不等式: ，其中是正方形區(qū)域：.卷20072008學(xué)年第二學(xué)期本科高等數(shù)學(xué)(下)試卷（理工類） 專業(yè)班級 姓 名 學(xué)

4、 號 開課系室 基 礎(chǔ) 數(shù)學(xué) 系 考試日期 2008年6月23日 頁 碼一二三四五六總分得 分閱卷人說明：1本試卷正文共6頁。 2 封面及題目所在頁背面及附頁為草稿紙。 3 答案必須寫在題后的橫線上，計算題解題過程寫在題下空白處，寫在草稿紙上無效。一、填空題：16小題，每小題4分，共24分. 請將答案寫在指定位置上.1. 平面與平面的夾角為 .2. 函數(shù)在點處沿從點到點的方向的方向?qū)?shù)為 . 3. 設(shè)是有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則當時， .4. 區(qū)域由圓錐面及平面圍成，則將三重積分在柱面坐標系下化為三次積分為 .5. 設(shè)為由曲線上相應(yīng)于從到的有向曲線弧，是定義在上的連續(xù)三元函數(shù)，則對坐標的曲線積

5、分化為對弧長的曲線積分有：_.6. 將函數(shù)展開成余弦級數(shù)為_ .二、單項選擇題：712小題，每小題3分，共18分。下列每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).7. 若有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且(常數(shù))，則（ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .8. 設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，是連續(xù)的偶函數(shù)，區(qū)域，則下列結(jié)論正確的是（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) .9. 已知空間三角形三頂點，則的面積為（ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) . 10. 曲面積分在數(shù)值上等于( ) (A) 流速場穿過曲面指定側(cè)的流量；(B) 密度為的曲面片的質(zhì)量；

6、(C) 向量場穿過曲面指定側(cè)的通量；(D) 向量場沿邊界所做的功. 11( )(A)發(fā)散； (B)條件收斂； (C)絕對收斂； (D)收斂性不能確定. 12.級數(shù)的斂散性為 ( )(A) 當時，絕對收斂； （B）當時，條件收斂；(C) 當時，絕對收斂； （D）當時，發(fā)散. 三、解答題：1320小題，共58分.請將解答過程寫在題目下方空白處.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.13.（本題滿分6分）設(shè)確定，求全微分.題滿分8分）求曲線 在點（1,1,1）處的切線與法平面方程. 15.（本題滿分8分）求冪級數(shù)的和函數(shù).（本題滿分6分）計算，其中為曲面被柱面所截下的有限部分.17.（本題滿分8分

7、）計算積分，其中為曲線上從點到沿逆時針方向的一段有向弧.18.（本題滿分8分）計算，其中是由曲面與平面圍成的有界閉區(qū)域的表面外側(cè).19.（本題滿分8分）在第卦限內(nèi)作橢球面的切平面，使切平面與三個坐標面所圍成的四面體體積最小，求切點坐標.20. (本題滿分6分)設(shè)均在上連續(xù)，試證明柯西-施瓦茨不等式：. 答 案一、填空題：16小題，每小題4分，共24分. 請將答案寫在指定位置上.1. 平面與平面的夾角為.2. 函數(shù)在點處沿從點到點的方向的方向?qū)?shù)為. 3. 設(shè)是有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則當時， .4. 區(qū)域由圓錐面及平面圍成，則將三重積分在柱面坐標系下化為三次積分為.5. 設(shè)為由曲線上相應(yīng)于從到

8、的有向曲線弧，是定義在上的連續(xù)三元函數(shù)，則對坐標的曲線積分化為對弧長的曲線積分有：.6. 將函數(shù)展開成余弦級數(shù)為.二、單項選擇題：712小題，每小題3分，共18分。下列每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).7. 若有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且(常數(shù))，則（ D ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .8. 設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，是連續(xù)的偶函數(shù)，區(qū)域，則下列結(jié)論正確的是（ A ）.(A) ； (B) ；(C) ； (D) . 9. 已知空間三角形三頂點，則的面積為（ A）(A) ； (B) ； (C) ； (D) 10. 曲面積分在數(shù)值上等于( C ).(

9、A) 流速場穿過曲面指定側(cè)的流量；(B) 密度為的曲面片的質(zhì)量；(C) 向量場穿過曲面指定側(cè)的通量；(D) 向量場沿邊界所做的功. 11.( D )(A)發(fā)散； (B)條件收斂； (C)絕對收斂； (D)收斂性不能確定. 12.級數(shù)的斂散性為 ( A )(A) 當時，絕對收斂； （B）當時，條件收斂；(C) 當時，絕對收斂； （D）當時，發(fā)散. 三、解答題：1320小題，共58分.請將解答過程寫在題目下方空白處.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.13. （本題滿分6分）設(shè)確定，求全微分.解：兩邊同取微分 整理得 .14. （本題滿分8分）求曲線 在點（1,1,1）處的切線與法平面方程.

10、解：兩邊同時關(guān)于求導(dǎo)，解得，+-所以切向量為切線方程為： ；法平面方程為：，即.15.（本題滿分8分）求冪級數(shù)的和函數(shù).解：求得此冪級數(shù)的收斂域為，設(shè)，則，； 即，.16.（本題滿分6分）計算，其中為曲面被柱面所截下的有限部分.解：17.（本題滿分8分）計算積分，其中為曲線上從點到沿逆時針方向的一段有向弧.解：18.（本題滿分8分）計算，是由曲面與平面圍成的有界閉區(qū)域的表面外側(cè).解：19.（本題滿分8分）在第卦限內(nèi)作橢球面的切平面，使切平面與三個坐標面所圍成的四面體體積最小，求切點坐標.解：設(shè)切點坐標為，則切向量為，切平面方程為，即，則切平面與三個坐標面所圍成的四面體體積為 ，令解方程組得，故

11、切點坐標為.20. (本題滿分6分)設(shè)均在上連續(xù)，試證明柯西不等式：.證： 卷 20082009學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷 專業(yè)班級 姓 名 學(xué) 號 開課系室 數(shù)學(xué)學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系 考試日期 2009年6月22日 頁 碼一二三 四五總分得 分閱卷人說明：1本試卷正文共5頁。 2 封面及題目所在頁背面及附頁為草稿紙。 3 答案必須寫在題后的橫線上，計算題解題過程寫在題下空白處，寫在草稿紙上無效。 一選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）.1. 設(shè)三向量滿足關(guān)系式，則（ ）. （A）必有; （B）必有;（C

12、）當時，必有; （D）必有為常數(shù)).2. 直線與平面的關(guān)系是（ ）.（A）平行，但直線不在平面上; （B）直線在平面上；（C）垂直相交; （D）相交但不垂直.3. 二元函數(shù)在點（0，0）處（ ）(A) 不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 (B) 連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在 (C) 連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 (D) 不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在 4. 已知為某二元函數(shù)的全微分，則（ ）.（A）; （B）; （C）; （D）.5. 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，平面區(qū)域，則（ ）. （A）; （B）;（C）; （D）.6. 設(shè)為常數(shù)，則級數(shù)（ ）.（A）發(fā)散 ; （B）絕對收斂; （C）條件收斂; （D）收斂性與的值有關(guān).二填空題（本題共6小題，每小題

13、4分，滿分24分）.1. 設(shè)函數(shù)，向量，點，則_.2. 若函數(shù)在點處取得極值，則常數(shù)_.3. 為圓的一周，則_.4. 設(shè)，級數(shù)的收斂半徑為 _.5. 設(shè)，則_.6. 設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，它在區(qū)間上的定義為，則的以為周期的傅里葉級數(shù)在處收斂于_.三解答下列各題（本題共7小題，滿分44分）.1.（本小題6分）設(shè)是可微函數(shù)，求.2. （本小題6分）計算二重積分，其中.解題過程是：3. （本小題6分） 設(shè)曲面是由方程所確定，求該曲面在點處的切平面方程及全微分.解題過程是：4. （本小題6分） 計算三重積分，其中是由柱面及，所圍成的空間區(qū)域.5. （本小題6分）求，其中為曲面，方向取下側(cè).解題過程是

14、：6. （本小題7分） 求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).解題過程是：7. （本小題7分）計算，為立體的邊界。解題過程是：四證明題（8分）.設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，其起點為，終點為，記，（1）證明曲線積分與路徑無關(guān);（2）當時，求的值.一選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）.1. 設(shè)三向量滿足關(guān)系式，則（ D ）. （A）必有; （B）必有;（C）當時，必有; （D）必有為常數(shù)).2. 直線與平面的關(guān)系是（ A ）.（A）平行，但直線不在平面上; （B）直線在平面上；（C）垂直

15、相交; （D）相交但不垂直.3. 二元函數(shù)在點（0，0）處（A） (A) 不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 (B) )連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在 (C) 連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 (D) )不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在 4. 已知為某二元函數(shù)的全微分，則（ D ）.（A）; （B）; （C）; （D）.5. 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，平面區(qū)域，則（ C ）. （A）、; （B）;（C）; （D）.6. 設(shè)為常數(shù)，則級數(shù)（ B ）.（A）發(fā)散 ; （B）絕對收斂; （C）條件收斂; （D）收斂性與的值有關(guān).二填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分）.1. 設(shè)函數(shù)，向量，點，則_.2. 若函數(shù)在點處取得極值，則常數(shù)_.3. 為圓一周，則_0

16、_.4. 設(shè)，級數(shù)的收斂半徑為 _.5. 設(shè)，則_.6. 設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，它在區(qū)間上的定義為，則的以為周期的傅里葉級數(shù)在處收斂于_.三解答下列各題（本題共7小題，1-5每小題6分，6-7每小題7分，滿分44分）.1.設(shè)是可微函數(shù)，求.解題過程是：令，則， .2分， .2分于是. .2分2. 計算二重積分，其中.解題過程是：關(guān)于軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，故； .2分于是 .4分3. 設(shè)曲面是由方程所確定，求該曲面在點處的切平面方程及全微分.解題過程是：令，則， . .2分切平面為. .1分 .2分于是. .1分4. 計算三重積分，其中是由柱面及，所圍成的空間區(qū)域.解題過程是：.3分 . .3分5. 求，其中為曲面，方向取下側(cè).解題過程是：取為，法線方向指向軸正向 .1分由Guass公式 .2分 .1分 . .