平行四邊形的專題應用

1、專題平行四邊形中的簡單證明、平行四邊形的性質CD相交于點0,1. 在平行四邊形 ABCD中，將 ABC沿AC對折，使點B落在B'處，AB'和求證：OD=OB。F是AC上兩點，且AE=CF求證： EBFFDE3.如圖，在.：ABCD勺紙片沿EF折疊，使點C與點A重合，點D落在點(1) 求證：AE=AF(2) 求證：ABE AGF二、平行四邊形的判定BE、DF、AF 與4 .如圖，在口 ABCD中, E, F分別為AD, BC上兩點，且 BF=DE連AF、CEBE相交于M點，DF與CE相交于N點，求證：四邊形 FMEN為平行四邊形。5.如圖，AF與BE互相平分，EC與DF互相平分，

2、求證：四邊形 ABCD為平行四邊形。BD于 F,（1）求證：AF=EF（ 2）DE=4OF6.如圖所示，已知E為門ABCD中 DC邊延長線上一點，且CE=DC連AE分別交BCG,連AC交BD于0點，連OF。專題 平行四邊形中的面積問題【方法歸納】：充分利用平行四邊形的性質及常用的數(shù)學思維方法解決與面積有關的問題、方程的思想二 ABCD1.如圖，在 ABCD 中，AE BC 于 E, AF CD 于 F,已知 AE=4，AF=6，的面積。2.如圖，E是 ABCD內任一點，若S： ABCD 6，則S ABE S CDE 、分類討論的思想3 在面積為15的平行四邊形ABCD中，過點A作AE垂直于直線

3、 BC于點E,作AF垂直于CD于點F，若AB=5，BC=6，則CE+CF的值為()A 1111 32B. 11C. 1111 .32三、數(shù)形結合的思想4.基本圖形：如圖，在 ABCD中，AC , BD交于點0 ,過點0任作直線分別交 AD , BC 于 E, F?；窘Y論：(1 )圖中的全等三角形有： (2) 圖中相等的線段有：(3) 與四邊形ABEF周長相等的四邊形是(4 )過平行四邊形對角線交點的直線將平行四邊形分成面積相等的兩部分，ABFE應用：如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為平行四邊形，A ( 5,0), C (1,4),過點P (0, -2)的直線分別交于 OA , BC于

4、M、N，且將.OABC的面積分成 相等的兩部分，求點 M、N的坐標。專題構造三角形中位線【方法歸納】：中點問題的處理方法較多，構造三角形中位線是常用方法之一一、連接兩點構造三角形中位線1如圖，E、F、G、H分別為四邊形 ABCD四邊的中點，試判斷四邊形 EFGH的形狀并予 以證明。2. 如圖，在 ABC中， B 2 A , CD AB于D , E、F分別為AB、BC的中點。求證：DE=DF。3. 如圖，點P是四邊形ABCD的對角線BD的中點，E、F分別是AB、CD的中點，AD=BC ,CBD 45 , ADB 105，探究EF與PF之間的數(shù)量關系，并證明。4. 如圖，點B為AC上一點，分別以A

5、B、BC為邊在AC同側作等邊 ABD和等邊 BCE , 點P、M、N分別為AC、AD、CE的中點。(1)求證：PM=PN ; (2)求 MPN的度數(shù)二、利用角平行線+垂直構造中位線5. 如圖，在 ABC中，點M為BC的中點，AD為ABC的外角平分線，且 AD BD ,若 AB=12，AC=18，求 MD 的長。6. 如圖，在 ABC中，AB=BC， ABC 90，F(xiàn)為BC上一點，M為AF的中點，BE 平分 ABC，且 EF BE，求證：CF=2MEC三、倍長構造三角形中位線7.如圖，在 ABC中， ABC 90 , BA=BC , BEF為等腰直角三角形，BEF 90 ,1M為AF的中點，求證

6、：ME= CF。2四、取中點構造三角形中位線&如圖，四邊形 ABCD中，M、N分別為 AD、BC的中點，連 BD，若AB=10 , CD=8 ,求MN的取值范圍。9.如圖，在 ABC 中， C 90 , CA=CB , E、F 分別為 CA、CB 上一點，CE=CF , M、N分別為AF、BE的中點，求證:AE= 2 MN。10.如圖，點P為 ABC的邊BC的中點，分別以AB、AC為斜邊作Rt ABD和Rt ACE ,且 BAD CAE，求證：PD=PE。專題矩形中的折疊與勾股定理1如圖，在矩形紙片 ABCD中，AB=12 , BC=5，點E在AB上，將 DAE沿DE折疊,使點A落在B

7、D上的A'處，求AE的長。2 將一張矩形 ABCD紙片按如圖方式折疊，使點 A與點E重合，點C與點F重合（E、F均在BD上），折疊分別為 BH、DG。(1)求證： BHE DGFFG的長。(2)若 AB=6，BC=8，求nHr-3.如圖，在矩形 ABCD中,AB=3 , BC=4，沿EF折疊，折痕為EF,使點C落在A點處,點D落在點G處。（2）求AE的長;(3)求EF的長。操作發(fā)現(xiàn):4. ( 1)如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，將ABE沿BE折疊后得到GBE ,且點G在矩形ABCD內部,小明將BG延長交DC于邊F,認為GF=DF，你同意嗎？請說明理由。(2)問題解決:保持（1）

8、中的條件不變，若 DC=2DF保持（1）中的條件不變，若 DC=nDFAD砧潔，求 的值；ABAD，直接寫出 的值:AB類比探究:(3)n專題構造斜邊上的中線【方法歸納】：遇到直角三角形斜邊中點時，往往連斜邊上的中線圖 2 中，若 OA=OB，則 OA=OD=OC=OB，圖 3 中，若 OA=OB，則 OA=OD=OC=OB。，O為BC的中點,1.如圖，BCD和BCE中,BDCBEC 90BD，CE交于DE=OEA, BAC 120，求證:2.如圖，在 ABC中，BDAC 于 D,CE AB 于E,點M、N分別是點，（1）求證：MN DE連 ME, MD，若 A 60，求BC, DE的中MND

9、E的值。3. 如圖，在 ABC 中，AB=BC , ABC90，點E、F分別在 AB , AC上，且 AE=EF ,點O, M分別為AF , CE的中點，求證:(1) OM= - CE； (2) OB= 一 2 OM2135 , CBDE 于 B, EA CD 于 A ,求證：CE= 2AB?；緢D形：已知 ABD 和 ABC 都是 Rt , ADBACB 90基本結論：圖 1 中，若 OA=OB，貝U OA=OB=OD，若 OA=OD，貝U OB=OD，若 OB=OD , 貝U OA=OD。專題靈活運用菱形的性質1如圖，菱形 ABCD中，點E為AC上一點，且 DE BE(1) 求證：ADE

10、ABE(2) 若 DAB 60，AD= 2 3，求 DE 的長。2. 如圖，將矩形紙片 ABCD折疊，使頂點B落在邊AD上的一點，折痕的一段 G點在邊BC 上，另一端 F 在 AD 上，AB=8 , BG=10.(1) 求證：四邊形BGEF為菱形;(2) 求FG的長。3. 如圖，四邊形 ABCD與四邊形AECF都是菱形，點EF在BD上，已知 BAD 120 ,ABEAF 30，求一一的值。AE4. 如圖，菱上形 ABCD的邊長為2,且 ABC 120，點E是BC的中點，點P為BD 上一點，且 PCE的周長最小、(1) 求 ADE的度數(shù)；(2) 在BD畫出點P的位置，并寫出作法;(3)求 PCE

11、周長的最小值。5. 如圖，在 Rt ABC 中， ACB 90 , AC=4 , BC=3 , D 為 AB 上一點，以 CD、CB 為邊作菱形CDEB，求AD的長。1如圖，在-:ABCD中,專題靈活運用菱形的判定E 為 BC 上一點，連 AE、BD，且 AE=ABEADABCD是菱形(1)求證： ABE2. 如圖，在 ABC中，AD是邊BC上的中線，AE/BC，DE/AB，DE與AC交于點0,連CE.(1)求證：AD=EC ；(2)若 BAC 90，求證：四邊形 ADCE是菱形。AB=AD，CB=CD，E 是 CD 上一點,BE交AC于F(1) 求證：AFD CFE(2) 若AB/CD，試證

12、明四邊形 ABCD是菱形；(3) 在(2)的條件下，試確定 E點的位置，使 EFDBCD，并說明理由。4. 如圖，點E為AB上一點，以AE、BE為邊在AB同側作等邊 AED和等邊 BEC ,點P、Q、M、N分別是 AB、BC、CD、DA的中點。(1) 判斷四邊形PNMQ的形狀，并證明；(2) NPQ的度數(shù)為 (直接寫出結果)中AD邊上的中點,(1)求證：EB=EC ;BD , CE相交于點F。專題正方形中的簡單證明【方法歸納】：運用正方形的邊、角、對角線的性質進行簡單的線段關系、角度關系及位置關系的證明。1. 如圖，正方形 ABCD中，對角線 AC、BD相交于點O, M、N分別在OA、OB上，

13、且OM=ON。(1 )求證： BM=CN : CN BM(2)若M、N分別在OA、OB的延長線上，則(1)中的兩個結論仍成立嗎？請說明理(2)求證：DAF DCF(3) 求證：AF BE(4) 過 F 作 FG/BE 交 BC 于 G,求證：FG=FC。3. 如圖，已知正方形 ABCD，點P在對角線BD上，PEPA 交 BC 于 E, PF BC ,垂足為F點。（1）求證:PEC BAP（2）求證:EF=FC;2 CF；4. 正方形 ABCD和正方形 AEFG有公共頂點A，將正方形 AEFG繞點A按順時針方向旋轉,記旋轉角 DAG ，其中0180，連 DF、BF，如圖。(1)若 0，貝y DF

14、=BF，請加以證明;(2)試畫出一個圖形（即反例），說明（1）中命題的逆命題是假命題;(3)對于（1）中命題的逆命題，如果能補充一個條件后能使該逆命題為真命題，請直接 寫出你認為需要補充的一個條件，不必說明理由。專題中點四邊形【方法歸納】：中點四邊形的形狀一般通過三角形中位線定理來證明四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點。、 1如圖，求證：四邊形 EFGH為平行四邊形。2.3.4.(1)(2)(1)(2)(1)(2)如圖1,若四邊形 ABCD是矩形，求證：四邊形 EFGH是菱形。如圖2,若AC=BD，則四邊形EFGH的形狀是11如圖1,若四邊形如圖2, 若 AC

15、ABCD是菱形，求證：四邊形 EFGH是矩形。BD，則四邊形EFGH的形狀是若四邊形如圖1,如圖2,ABCD是正方形，則四邊形 EFGH的形狀是若AC=BD , AC BD，求證：四邊形 EFGH是正方形。CC5.如圖，四邊形ABCD 中,AB=CD , E、F、G、H 分別是 BD、BC、AC、AD 的中點，求證：四邊形EFGH是菱形。6.如圖，CA=CB , CD=CE , ACB DCE 90 , M、N、G、H 分別為 AE、AB、BD、DE的中點，求證：四邊形 MNGH為正方形。專題運用正方形的性質求點的坐標E、F，貝U BCECDF【方法歸納】：利用正方形邊角的性質構造全等三角形求

16、點的坐標?；緢D形：已知正方形 ABCD，過B、D兩點分別向過點 C的直線作垂線，垂足分別為、利用垂直且相等構造全等求坐標1如圖，A (-1,0), B (0,3),以AB為邊作正方形 ABCD，求C, D的坐標。2如圖，邊長為 2的正方形OABC的OA邊與y軸的夾角為30，求B, C的坐標。3.(0,4),延長EA至D，使AD=AE，四邊形ADCB為正方形,、利用面積法求點的坐標4.如圖，A （-3,4）,四邊形OABC為正方形,AB交y軸于D。（2）求點D的坐標。專題正方形中的動態(tài)問題【方法歸納】：抓住圖形之間的聯(lián)系，輔助線及解題思路的類似性來解題。1如圖1在正方形ABCD中，E是BC上一

17、點，F(xiàn)是AE上一點，過點F作GH AF， 交直線AB于G,交直線CD于H。（1）求證：BG=CH-BE ；（2） 如圖2,若F是AE延長線上一點，其余條件不變，試探究：BG、BE、CH之間的數(shù)量關系。2. 問題：如圖1，點E、F分別在正方形 ABCD的邊BC、CD上， EAF 45，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關系?！景l(fā)現(xiàn)證明】小聰把ABE繞點A逆時針旋轉90至 ADG，從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD，請你利用圖1證明上述結論?！绢惐纫辍咳鐖D 2，四邊形 ABCD中， BAD 90 , AB=AD , B D 180 ,點E、F分別在邊BC、CD上，則當 EAF與 BAD滿足關系時，仍有EF=

18、BE+FD?！咎骄繎谩咳鐖D3，在某公園的同一平面上，四條道路圍成四邊形ABCD，已知AB=AD=80 米， B 60 , ADC 120 , BAD 150，道路 BC、CD上分別有景點E、F，且AE AD , DF=40 （、3-1 ）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長。Dli專題正方形中的2問題(一)基本圖形【方法歸納】處理問題的關鍵是急用條件構造等腰直角三角形ABC 90，貝y BA+BC= '2 BD (補短法或基本圖形：基本結論：圖1中，若DA=DC， ADC作垂線可證)圖 2 中，若 DA=DC , ADCABC 90，貝U CB-AB= 2 BD (截長法或作垂線可證)1.如圖，在正方形 ABCD中，E為AC上一點，F(xiàn)為CD上一點，ED=EF ,求證：(1) DF=、2AE ; (2) BF= . 2 EF; (3) CB+CF= 2 CE。2.如圖，點O為正方形ABCD的對角線的交點，E為正方形外一點，且 AE BE(1)求 OEB 的度數(shù)；(2)求證：EA+EB='、2OE。3. 如圖，若上題中的 E點在正方形內部，其它條件不變,(1)求 OEB的度數(shù);(2)試探究EA、EB、OE之間的數(shù)量關系。4.如圖，若點 E為正