平面向量知識點歸納

1、第一章平面向量2.i向量的基本概念和基本運算i6、向量：既有大小，又有方向的量.數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.有向線段的三要素：起點、方向、長度.零向量：長度為0的向量.單位向量：長度等于i個單位的向量.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.相等向量：長度相等且方向相同的向量.17、向量加法運算：三角形法則的特點：首尾相連.平行四邊形法則的特點：共起點.三角形不等式：詢|b|b運算性質(zhì)：交換律:結(jié)合律：a b c a b c :aXiX2,yiy2坐標運算：設(shè)Xi, yiX2,y2，貝U a bi8、向量減法運算：三角形法則的特點:共起點,連終占人八、方向指向被

2、減向量.B坐標運算：設(shè)Xi, yi兩點的坐標分別為X2,y2，則“，X22 ,則TXiX2,yiy2= AC-AB = BCXiX2,yiy2.i9、向量數(shù)乘運算： 實數(shù)a與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作當0時,的方向與a的方向相同；當0時,的方向與a的方向相反；當0時,運算律：:坐標運算：設(shè)X,y ，則X,yx, y .20、向量共線疋理：向量JroL5aJJa與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使bN，yi ,b X2,y2，其中b 0，則當且僅當xiy2 x?% 0時，向量b 0共線.2.2平面向量的基本定理及坐標表示21、平面向量基本定理：如果ei、e是同一平面內(nèi) 的兩個

3、不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)i ei2& .（不共線的向量e、e2作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）22、分點坐標公式：設(shè)點是線段1 2上的一點，2的坐標分別是h，X2，y2 ,2時，點的坐標是（當i時,就為中點公式。）2.3平面向量的數(shù)量積23、平面向量的數(shù)量積（兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和。b db cos,0：性質(zhì)：設(shè)a和b都是非零向量，則Mib ； a當a與b反向時,）：180 .零向量與任一向量的數(shù)量積為 0 .b abo 當a與b同向時,運算律：a b b a ；坐標運算：設(shè)兩個非零向量,b X2,y2，則x,y ，則y2，或

4、a.Xi,yi , bX2，y2，則a bx1x2y1y20.cos、b都是非零向量，Xi,yi ,X2,y2, 是 a 與的夾角，則X1X2yiy2知識鏈接：空間向量空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得 求值的應(yīng)用進行總結(jié)歸納.1、直線的方向向量和平面的法向量.下面對空間向量在立體幾何中證明,若A、B是直線I上的任意兩點，則AB為直線I的一個方向向量；與AB平行的任意非零向量也是直線I的方向向量.平面的法向量：若向量n所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作n ，如果n ,那么向量n叫做平面 的法向量.平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）： 建立適當?shù)淖鴺讼? 設(shè)平面的法向量為n

5、 （x, y,z）. 求出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標n an a 根據(jù)法向量定義建立方程組n bJfa(b1,b2,b3).的法向量.1、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系 線線平行4 4設(shè)直線Ii,l2的方向向量分別是 a、b，則要證明li / I2，只需證明即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。-anr4bI JISRR線面平行（法一）設(shè)直線i的方向向量是a，平面的法向量是u，則要證明I / ，只需證明LIUJraJranr即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可面面平

6、行jj g若平面 的法向量為u，平面 的法向量為V,要證 / ，只需證u / v，即證u即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系線線垂直設(shè)直線li,l2的方向向量分別是 a、b，則要證明li I2，只需證明a b，即a b 0.即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。線面垂直 （法一）設(shè)直線I的方向向量是a ,平面 的法向量是u，則要證明I ,只需證明a/ u，即 a（法二）設(shè)直線I的方向向量是平面內(nèi)的兩個相交向量分別為m、n，右OOJlaJIarnu即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線：=:直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。面面垂

7、直若平面 的法向量為u，平面的法向量為v，要證，只需證u V,即證u V 0.即：兩平面垂直 =:兩平面的法向量垂直。4、利用向量求空間角求異面直線所成的角已知a,b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a,b上的任意兩點,a,b所成的角為則cos求直線和平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角” 求法：設(shè)直線I的方向向量為a，平面 的法向量為u，直線與平面所成的角為，a與I4u的夾角為，貝y為的余角或 的補角的余角即有:sincos求二面角定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分, 線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角， 二面角的面一其中的

8、每一部分叫做半平面；從一條直 這條直線叫做二面角的棱， 每個半平面叫做面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點Q分別在兩個半平面內(nèi)作射線AO I, BO I，貝U AOB為二面角I的平面角求法：設(shè)二面角I的兩個半平面的法向量分別為m、n,再設(shè)m、n的夾角為 ,面角 I的平面角為，則二面角為m、n的夾角或其補角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角:如果是銳角，則cosm ncos|m n 即 arccos如果是鈍角，則coscosm即 arccos5、利用法向量求空間距離點Q到直線£距離若Q為直線I外的一點，P在直線I上,為直線I的方向向量,，則點Q到直線I距離為點A到平面M為平面若點P為平面

9、 外一點，點的距離就等于平面內(nèi)任一點，mP在法向量帯方向上的投影的絕對值.直線a與平面之間的距離當一條直線和一個平面平行時，的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點面距離。AlZ直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面即d兩平行平面, 之間的距離設(shè)向量n與兩異面直線 a,b都垂直，M a,P b,則兩異面直線 a,b間的距離d就是mP在向量n方向上投影的絕對值。即d6、三垂線定理及其逆定理如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線, 和這條斜線垂直.PO ,0 推理模式：PAp| Aa , a 0A概括為：垂直于射影就垂直于斜線三垂線定理

10、的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直a AOP0 ,0 推理模式：PApAa , a AP概括為：垂直于斜線就垂直于射影.7、三余弦定理設(shè)AC是平面內(nèi)的任一條直線，AD是 的一條斜線 AB在 內(nèi)的射影，且BD丄AD,垂足為D.設(shè)AB與 (AD)所成的角為i , AD與AC所成的角為 2 , AB與AC所成的角為 .則COS COS 1 COS 2 .dB8、 面積射影定理已知平面內(nèi)一個多邊形的面積為S S原，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S射 ，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角，則9、一個結(jié)論 長度為I的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射

11、影長分別為.2.2.2. 2 2 2Il1l2l3cos1 cos21、2、3 ,則有 2 . 2 . 2sin 1 sin 2 sin 3 2.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）Il、I2、cos 3 113，夾角分別為基礎(chǔ)練習(xí)一 選擇題1. 如圖，點 0是正六邊形 ABCDEF的中心，則以圖中點 A, B, C, D, E, F , O中 的任意一點為起點，與起點不同的另一點為終點的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量共有（）A . 6個B . 7個C. 8個D . 9個解析：選D.與向量共線的向量有，共 9個，故選D.2. 設(shè)不共線的兩個非零向量ei, e2,且k（ei+ e2

12、）/ （ei+ ke2）,則實數(shù)k的值為（）A . 1B. - 1C. ± 1D . 0答案：A3. 已知向量是不共線向量e1, e2,給出下列各組向量：1a = 2e1, b= &+ e2； a= 2e1- e2, b =- e1 + 2e2; a = e1 + e2, b = 2e1 2e2； a= e1 + e2, b = e1 e2.其中共線的向量組共有（）A . 1個B. 2個C . 3個D . 4個答案：B4. 已知E、F分別為四邊形 ABCD的邊CD、BC邊上的中點，設(shè)=a,="則=（）1 1A. 2（a + b）B . 2（a + b）1C*2（a

13、b）D*2（b a）答案：B5 .下列計算正確的有（）（一7） xa= 42a； a 2b + （2 a + 2b）= 3a; a + b （a + b） = 0.A . 0個B . 1個C . 2個D. 3個解析：對，對，錯，因為a+ b(a+ b) = 0.答案：C1 化簡+所得結(jié)果是()A. B.C. 0D.答案：C2 在ABC 中，1,則 |的值為()A. 0B. 1C. 3D. 2答案：B3 .已知向量a / b,且|a|>|b|>0，則向量a + b的方向()A .與向量a方向相同B .與向量a方向相反C.與向量b方向相同D .與向量b方向相反答案：A4.在平行四邊形

14、ABCD中，對角線 AC與BD交于點0,+=入貝U冶答案：25向量(+ )+ (+ ) +等于()A.B.C.D.解析：(+ ) + (+ ) + = (+ )+ (+ )+ = + + = 故選 C.答案：C1. 如果ei、e2是平面a內(nèi)所有向量的一組基底，那么 ()A .若實數(shù)入、尼使?1e1 +入e2= 0,貝U入=蘢=0B .空間任一向量 a可以表示為a=乃e1+ Pe2，這里 入、h是實數(shù)C. 對實數(shù)h、h, he1 + he2不一定在平面 a內(nèi)D. 對平面a中的任一向量a，使a = he1+ he2的實數(shù)h、h有無數(shù)對答案： A2. 如果 3ei + 4e2 = a,2ei+ 3e

15、2= b,其中 a, b 為已知向量，貝U ei=,e2 =答案：ei = 3a 4b e2 = 2a + 3b3.設(shè) e1 , e2 是平面內(nèi)一組基底,如果=點是 ()A. A、B、CB. B、 C、DC. A、 B、DD. A、 C、D3ei 2e2,= 4ei+ e2,= 8ei 9e2,則共線的三答案： C4.設(shè) e1，e2 是平面內(nèi)所有向量的一組基底， 貝下面四組向量中， 不能作為基底的是 ()A. e1+ e2 和 e1 e2B. 3e1 2e2 和 4e2 6e1C. ei+ 2e2和 e2+ 2eiD. e2 和 e1+ e2解析：/ 4e2 6ei= 2(3ei 2e2),3

16、ei 2e2 與 4e2 6ei 共線，故選 B.答案： B1.若= (2, 3),且點 A 的坐標為 (1,2),則點 B 的坐標為 ()A. (1,1)B.(1, 1)C.(3, 5)D.(4, 4)答案： C2.已知平行四邊形 OABC(O為原點),=(2,0), = (3,1)，則OC等于()A. (1,1)B. (1, 1)C. ( 1 ,1) D. (1,1)解析： = (3,1) (2,0)= (1,1)，故選 A.答案： A3若向量 a = (1,1), b= (1, - 1), c= (1,2)，則 c 等于()3131C.a2bD. - qa + qbA - 2a + 3b

17、B.a 2b答案：B1若a= (2,3), b= (4,-1 + y),且a / b,貝U y=()A. 6B . 5C. 7D. 8答案：C2.已知點M是線段AB上的一點，點P疋平面上任意點，一t+5若一入則入等于( )3232a.5b.5c.2解析：用，表示向量，3 22 23 23 32=+ = + + =+ , =+=-+=-+ + =-+ , 5 55 55 55 5 _ 3答案：D1若向量a、b滿足|a|=|b|= 1, a與b的夾角為60 °貝U aa + ab等于（）1a.，C. 1 +13解析：選 B.aa+ a b= |a|2 + |a|b|cos60 °

18、; 1 + -=-.2. 設(shè)a, b, c是任意的非零向量，且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是()A . (a b)c (c a)b = 0B. a b = 0? a = 0 或 b= 0C. (b c)a- (a c)b 不與 c 垂直D. (3a + 4b) (3a- 4b) = 9|a|2- 16|b|2解析：選D.由于數(shù)量積是實數(shù)，因此(a b)c, (c a)b分別表示與c, b共線的向量，運算結(jié)果 不為0,故A錯誤；當a丄b, a與b都不為零向量時，也有a b= 0，故B錯誤；(b c)a- (a c)b c= (b c)a c-(a c)b c= 0，故 C 錯誤；(3a + 4b

19、) (3a-4b)= 9a2- 16b2- 12a b + 12a b=9|a|2- 16|b|21.a = (-4, 3), b= (5, 6)，貝U 3|a|2 4a b 等于()A . 23B. 57C. 63D. 83解析：選 D. / |a|=( 4) 2 + 32= 5, a b= 4X5+ 3X6= 2, / 3|a|2 4a b= 3X52 4* 2)= 83.故選 D.2已知 A(2, 1), B(3, 2), C( 1, 4)，則 AABC 是()A 銳角三角形B 直角三角形C.鈍角三角形D 任意三角形解析：選 B. = (1 , 1)( 3, 3) = 3+ 3= 0故選

20、 B.1 .設(shè)坐標原點為0,已知過點0, 1的直線交函數(shù)y= x2的圖象于A、B兩點，貝V的值為()3a.43C. 44B.44D. 31 1解析：選C.由題意知直線的斜率存在可設(shè)為k,則直線方程為 y= kx+ 2，與y = qx2聯(lián)1 1立得 x2= kx+ -, x2 2kx 1= 0, X1X2= 1, X1 + x2= 2k,1,. 1, 21 , k(X1+ X2)y1y2= kx1 +kx2 += k2x1X2 + 4+=k2+ k2 + 丄=丄，4 413=X1X2+ y1y2= 1 + 4 = 4.填空題2. 已知A, B, C是不共線的三點，向量 m與向量是平行向量，與是共

21、線向量，則m解析：/ A, B, C不共線，與不共線，又m與，都共線， m = 0.答案：06.已知 |= |a| = 3, |=|b| = 3, / AOB = 120 ° 則|a+ b| =答案：35.已知向量a, b不共線，實數(shù)x, y滿足(3x 4y)a + (2x 3y)b=6a + 3b,貝卩 x y=.解析：由題意，得3x 4y= 6且2x 3y= 3,解得x = 6, y = 3, x y = 3.答案：36.如下圖所示，已知E、F分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點，EF與AC交于點6,若=a,= b,用a、b表示=.解析：v E、F分別為相應(yīng)邊中點,3_4=33

22、34(a+ b) = 4a + 4b.答案：；a + 4b4. 已知 a= (1，2), b= (2, 3)，實數(shù) x,y 滿足 xa+ yb= (3, 4), 貝 y x=.答案：i5. 若將向量a = ( 3, 1)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)歲得到向量b,則b的坐標為.答案：(一1,3)6. 已知平行四邊形 ABCD中，A(1,1), B(6,1), C(8,5)，則點D的坐標為答案：6 5)7.作用于原點的兩個力Fi = (2, 2), F2 = (1, 3),為使它們平衡，需加力 F3 =答案：(3, 5)3.已知？ABCD 四個頂點的坐標為 A(5,7), B(3, x), C(2,3), D(4,x)，貝y x=.答案：53已知向量a, b滿足|b|= 2, a與