構建數(shù)學模型解決實際問題

1、構建數(shù)學模型 解決實際問題“能夠運用所學知識解決簡單的實際問題”是九年義務教育數(shù)學教學大綱規(guī)定的初中數(shù)學教學目的之一。能夠解決實際問題是學習數(shù)學知識、形成技能和發(fā)展能力的結果，也是對獲得知識、技能和能力的檢驗。構建數(shù)學模型 解決實際問題基本程序如下： 解題步驟如下：1、閱讀、審題：要做到簡縮問題，刪掉次要語句，深入理解關鍵字句；為便于數(shù)據(jù)處理，最好運用表格（或圖形）處理數(shù)據(jù)，便于尋找數(shù)量關系。2、建模：將問題簡單化、符號化，盡量借鑒標準形式，建立數(shù)學關系式。3、合理求解純數(shù)學問題4、解釋并回答實際問題一、方程模型例：小剛為書房買燈，現(xiàn)有兩種燈可供選購，其中一種是9瓦（即0.009千瓦）的節(jié)能燈

2、，售價49元/盞；另一種是40瓦（即0.04千瓦）的白熾燈，售價為18元/盞。假設兩種燈的照明亮度一樣，使用壽命都可以達到2800小時，已知小剛家所在地的電價是每千瓦0.5元。設照明時間是x小時，請用含x的代數(shù)式分別表示用一盞節(jié)能燈的費用和用一盞白熾燈的費用（注：費用燈的售價電費）小剛想在這兩種燈中選購一盞:當照明時間是多少時，使用兩種燈的費用一樣多；試用特殊值推斷:照明時間在什么范圍內(nèi)，選用白熾燈費用低；照明時間在什么范圍內(nèi)，選用節(jié)能燈費用低；小剛想在這兩種燈中選購兩盞假定照明時間是3000小時，使用壽命都是2800小時，請你幫他設計費用最低的選燈方案，并說明理由。解：(1)用一盞節(jié)能燈的費

3、用是(49+0.0045x)元，用一盞白熾燈的費用是(18+0.02x)元 (2)由題意，得49+0.0045x=18+0.02x，解得x=2000，所以當照明時間是2000小時時，兩種燈的費用一樣多 取特殊值x=1500小時， 則用一盞節(jié)能燈的費用是49+0.0045×1500=55.75(元)， 用一盞白熾燈的費用是18+0.02×1500=48(元)， 所以當照明時間小于2000小時時，選用白熾燈費用低； 取特殊值x=2500小時， 則用一盞節(jié)能燈的費用是49+0.0045×2500=60.25(元)， 用一盞白熾燈的費用是18+0.02×2500

4、=68(元)， 所以當照明時間超過2000小時時，選用節(jié)能燈費用低 (3)分下列三種情況討論： 如果選用兩盞節(jié)能燈，則費用是98+0.0045×3000=111.5元；如果選用兩盞白熾燈，則費用是36+0.02×3000=96元；如果選用一盞節(jié)能燈和一盞白熾燈，由(2)可知，當照明時間大于2000小時時，用節(jié)能燈比白熾燈費用低，所以節(jié)能燈用足2800小時時，費用最低費用是67+0.0045×2800+0.02×200=83.6元綜上所述，應各選用一盞燈，且節(jié)能燈使用2800小時，白熾燈使用200小時時，費用最低變式1：某出租汽車公司有出租車100輛，平均

5、每天每車消耗的汽油費為80元，為了減少環(huán)境污染，市場推出一種叫“CNG”的改燒汽油為天然汽的裝置，每輛車改裝價格為4000元。公司第一次改裝了部分車輛后核算：已改裝后的車輛每天的燃料費占剩下末改裝車輛每天燃料費用的，公司第二次再改裝同樣多的車輛后，所有改裝后的車輛每天的燃料費占剩下末改裝車輛每天燃料費用的。問：（1）公司共改裝了多少輛出租車？改裝后的每輛出租車平均每天的燃料費比改裝前的燃料費下降了百分之多少？（2）若公司一次性將全部出租車改裝，多少天后就可以從節(jié)省的燃料費中收回成本？解:（1）設公司第一次改裝了輛車，改裝后的每輛出租車每天的燃料費比改裝前的燃料費下降的百分數(shù)為依題意得方程組：化

6、簡得：解得：答:公司共改裝了40輛車，改裝后的每輛出租車每天的燃料費比改裝前的燃料費下降了40%。（2）設一次性改裝后，天可以收回成本，則：100×80×40%×4000×100解得：125（天）答：125天后就可以從節(jié)省的燃料費中收回成本。變式2： “利?！蓖ㄓ嵠鞑纳虉觯媱澯?0000元從廠家購進若干部新型手機，以滿足市場需求，已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號的手機，出廠價分別為甲種型號手機每部1800元，乙種型號手機每部600元，丙種型號手機每部1200元.（1）若商場同時購進其中兩種不同型號的手機共40部，并將60000元恰好用完.請你幫助商場計算一下

7、如何購買.（2）若商場同時購進三種不同型號的手機共40部，并將60000元恰好用完，并且要求乙種型號手機的購買數(shù)量不少于6部且不多于8部，請你求出商場每種型號手機的購買數(shù)量.解：（1）設甲種型號手機要購買x部，乙種型號手機購買y部，丙種型號手機購買z部，根據(jù)題意，得：    答：有兩種購買方法：甲種手機購買30部，乙種手機購買10部；或甲種手機購買20部，乙種手機購買20部. （2）根據(jù)題意，得：   解得：  答：若甲種型號手機購買26部手，則乙種型號手機購買6部，丙種型號手機購買8部；若甲種型號手機購買27部手，則乙種型號手機購買7部，丙種型號手機購

8、買6部；若甲種型號手機購買28部手，則乙種型號手機購買8部，丙種型號手機購買4部；二、不等式模型例：年織里某童裝加工企業(yè)今年五月份工人每天平均加工童裝150套，最不熟練的工人加工的童裝套數(shù)為平均套數(shù)的60%。為了提高工人的勞動積極性，按時完成外貿(mào)訂貨任務，企業(yè)計劃從六月份起進行工資改革。改革后每位工人的工資分二部分：一部分為每人每月基本工資200元；另一部分為每加工1套童裝獎勵若干元。（1）為了保證所有工人的每月工資收入不低于市有關部門規(guī)范的最低工資標準450元，按五月份工人加工的童裝套數(shù)計算，工人每加工1套童裝企業(yè)至少應獎勵多少元（精確到分）？（2）根據(jù)經(jīng)營情況，企業(yè)決定每加工1套童裝獎勵5

9、元。工人小張爭取六月份工資不少于1200元，問小張在六月份應至少加工多少套童裝？解:（1）設企業(yè)每套獎勵x元由題意得：200+60%·150x450解得：x2.78因此該企業(yè)至少應獎勵2.78元（2）設小張在六月份加工y套由題意得：200+5y1200解得：y200答：小張在六月份應至少加工200套。變式1：仔細觀察下圖，認真閱讀對話：小朋友，本來你用10元錢買一盒餅干是有多的，但要再買一袋牛奶就不夠了！今天是兒童節(jié)，我給你買的餅干打9折，兩樣東西請拿好！還有找你的8角錢.阿姨，我買一盒餅干和一袋牛奶（遞上10元錢）.根據(jù)對話的內(nèi)容，試求出餅干和牛奶的標價各是多少元？解：設餅干的標價

10、為每盒x元，牛奶的標價為每袋y元，則 x+y>10,（1）0.9x+y=100.8, （2）x<10. （3）由（2）得y=9.20.9x.（4）把（4）代入（1）得：9.20.9x+x>10,解得x>8. 由（3）綜合得 8<x<10. 又x是整數(shù)，x=9. 把x=9代入（4）得：y=9.20.9×9=1.1（元）答：一盒餅干標價9元，一袋牛奶標價1.1元三、函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型利用一次函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題一次函數(shù)的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，圖象是一條直線，因而沒有最大（?。┲?；但當時，則一次函數(shù)的圖象是一條線段，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，

11、就有最大（?。┲?。對于一般的一次函數(shù)，由于自變量的取值范圍可以是全體實數(shù)，因此不存在最大最小值（簡稱“最值”），但在實際問題中，因題目中的自變量受到實際問題的限制，所以就有可能出現(xiàn)最大或最小值。求解這類問題除正確確定函數(shù)表達式外，利用自變量取值范圍可以確定最大值或最小值。例：光華農(nóng)機租賃公司共有50臺聯(lián)合收割機，其中甲型20臺，乙型30臺。先將這50臺聯(lián)合收割機派往A、B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺派往A地區(qū)，20臺派往B地區(qū)。 兩地區(qū)與該農(nóng)機租賃公司商定的每天的租賃價格見下表：每臺甲型收割機的租金每臺乙形收割機的租金A地區(qū)1800元1600元B地區(qū)1600元1200元（1）設派往A地區(qū)x臺乙型

12、聯(lián)合收割機，租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金為y（元），求y與x間的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；（2）若使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金總額不低于79600元，說明有多少種分配方案，并將各種方案設計出來；（3）如果要使這50臺聯(lián)合收割機每天獲得的租金最高，請你為光華農(nóng)機租賃公司提一條合理化建議。解：（1）若派往A地區(qū)的乙型收割機為x臺，則派往A地區(qū)的甲型收割機為（30x）臺；派往B地區(qū)的乙型收割機為（30x）臺，派往B地區(qū)的甲型收割機為（x10）臺。y1600x1800(30x)1200(30x)1600(x10)200x74000x的取值范圍是：10x30（x是正整

13、數(shù)）（2）由題意得 200x7400079600 解不等式得 x28 由于10x30（x是正整數(shù)）x取28，29，30這三個值。有3種不同的分配方案。當x28時，即派往A地區(qū)的甲型收割機為2臺，乙型收割機為28臺；派往B地區(qū)的甲型收割機為18臺，乙型收割機為2臺。當x29時，即派往A地區(qū)的甲型收割機為1臺，乙型收割機為29臺；派往B地區(qū)的甲型收割機為19臺，乙型收割機為1臺。當x30時，即30臺乙型收割機全部派往A地區(qū)；20臺甲型收割機全部派往B地區(qū)。（3）由于一次函數(shù)y200x74000的值y是隨著x的增大而增大的，所以當x30時，y取得最大值。如果要使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機每天獲得

14、租金最高，只需x30，此時，y60007400080000。建議農(nóng)機租賃公司將30臺乙型收割機全部派往A地區(qū)；20臺甲型收割機全部派往B地區(qū)，可使公司獲得的租金最高。變式1：某紡織廠生產(chǎn)的產(chǎn)品,原來每件出廠價為80元,成本為60元.由于在生產(chǎn)過程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5米3的污水排出,現(xiàn)在為了保護環(huán)境,需對污水凈化處理后再排出.已知每處理1米3污水的費用為2元,且每月排污設備損耗為8000元.設現(xiàn)在該廠每月生產(chǎn)產(chǎn)品x件,每月純利潤y元： 求出y與x的函數(shù)關系式.(純利潤=總收入-總支出) 當y=106000時,求該廠在這個月中生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù).解：依題意得：y=80x-60x-0.5x

15、83;2-8000y=19x-8000所求的函數(shù)關系式為y=19x-8000(x>0且x是整數(shù))當y=106000時，代入得：106000=19x-800019x=114000x=6000這個月該廠生產(chǎn)產(chǎn)品6000件. 變式2：某商店銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元，銷售20臺A型和10臺B型電腦的利潤為3500元（1）求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤；（2）該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍，設購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元求y關于x的函數(shù)關系式；該商店購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最

16、大？（3）實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調(diào)m（0m100）元，且限定商店最多購進A型電腦70臺，若商店保持同種電腦的售價不變，請你根據(jù)以上信息及（2）中條件，設計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案考點：一次函數(shù)的應用；二元一次方程組的應用；一元一次不等式組的應用菁優(yōu)網(wǎng)版權所有分析：（1）設每臺A型電腦銷售利潤為x元，每臺B型電腦的銷售利潤為y元；根據(jù)題意列出方程組求解，（2）據(jù)題意得，y=50x+15000，利用不等式求出x的范圍，又因為y=50x+15000是減函數(shù)，所以x取34，y取最大值，（3）據(jù)題意得，y=（100+m）x150（100x），即y=（m50）x+15000，

17、分三種情況討論，當0m50時，y隨x的增大而減小，m=50時，m50=0，y=15000，當50m100時，m500，y隨x的增大而增大，分別進行求解解答：解：（1）設每臺A型電腦銷售利潤為x元，每臺B型電腦的銷售利潤為y元；根據(jù)題意得解得答：每臺A型電腦銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元（2）據(jù)題意得，y=100x+150（100x），即y=50x+15000，據(jù)題意得，100x2x，解得x33，y=50x+15000，y隨x的增大而減小，x為正整數(shù)，當x=34時，y取最大值，則100x=66，即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大（3）據(jù)題意得，y=（10

18、0+m）x+150（100x），即y=（m50）x+15000，33x70當0m50時，y隨x的增大而減小，當x=34時，y取最大值，即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大m=50時，m50=0，y=15000，即商店購進A型電腦數(shù)量滿足33x70的整數(shù)時，均獲得最大利潤；當50m100時，m500，y隨x的增大而增大，當x=70時，y取得最大值即商店購進70臺A型電腦和30臺B型電腦的銷售利潤最大點評：本題主要考查了一次函數(shù)的應用，二元一次方程組及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是根據(jù)一次函數(shù)x值的增大而確定y值的增減情況變式3： 某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃建A、B兩種戶型的住房共

19、80套，該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，且所籌資金全部用于建房，兩種戶型的建房成本和售價如下表：AB成本(萬元/套)2528售價(萬元/套)3034(1)該公司對這兩種戶型住房有哪幾種建房方案?(2)該公司如何建房獲得利潤最大?(3)根據(jù)市場調(diào)查，每套B型住房的售價不會改變，每套A型住房的售價將會提高a萬元(a>0)，且所建的兩種住房可全部售出，該公司又將如何建房獲得利潤最大?注：利潤=售價-成本分析：(1)設A種戶型的住房建x套，則B種戶型的住房建(80-x)套，根據(jù)題意：該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，可列出兩個不等式，解不等式組，即可

20、求出x的取值范圍，進而確定x的正整數(shù)值. (2)根據(jù)一次函數(shù)的增減性解決. (3)要應用分類討論的數(shù)學思想.從而做到不重復不遺漏,注意思維的縝密性.解析：(1)設A種戶型的住房建x套，則B種戶型的住房建(80-x)套由題意知209025x+28(80-x)2096 48x50 x取非負整數(shù)， x為48，49，50 有三種建房方案： A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套 (2)設該公司建房獲得利潤(萬元) 由題意知=5x+6(80-x)=480-x 當x=48時，最大=432(萬元) 即A型住房48套，B型住房32套獲得利潤最大(3)由題意知=(5+a)x+6(

21、80-x)=480+(a-1)x 當O<a<l時， x=48，最大，即A型住房建48套，B型住房建32套 當a=l時，a-1=0，三種建房方案獲得利潤相等 當a>1時，x=50，最大，即A型住房建50套，B型住房建30套.說明:此題的第(1)問是利用一元一次不等式組解決的,第(2) 、(3)問是利用一次函數(shù)的增減性解決問題的,要注意三問相互聯(lián)系.2、反比例函數(shù)模型例：一名工人一天能生產(chǎn)某種玩具至個，若每天須生產(chǎn)這種玩具個，那么須招聘工人多少名？分析：這是一道反比例函數(shù)模型的應用題，這里是常量。設每人每天生產(chǎn)x個玩具，需要工人名。則有。（，且x為整數(shù)）當時，隨的增大而減小，即為

22、正整數(shù)，取至。即須招聘工人為80至134人。變式1：實驗數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小時內(nèi)其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）的關系可近似地用二次函數(shù)y=200x2+400x刻畫；1.5小時后（包括1.5小時）y與x可近似地用反比例函數(shù)y=（k0）刻畫（如圖所示）（1）根據(jù)上述數(shù)學模型計算：喝酒后幾時血液中的酒精含量達到最大值？最大值為多少？當x=5時，y=45，求k的值（2）按國家規(guī)定，車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路參照上述數(shù)學模型，假設某駕駛員晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否駕車去上

23、班？請說明理由考點：二次函數(shù)的應用；反比例函數(shù)的應用分析：（1）利用y=200x2+400x=200（x1）2+200確定最大值；直接利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；（2）求出x=11時，y的值，進而得出能否駕車去上班解答：解：（1）y=200x2+400x=200（x1）2+200，喝酒后1時血液中的酒精含量達到最大值，最大值為200（毫克/百毫升）；當x=5時，y=45，y=（k0），k=xy=45×5=225；（2）不能駕車上班；理由：晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小時，將x=11代入y=，則y=20，第二天早上7：00不能駕車去上班點評：此題主要考查了反

24、比例函數(shù)與二次函數(shù)綜合應用，根據(jù)圖象得出正確信息是解題關鍵3、二次函數(shù)模型:二次函數(shù)的最值公式二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)且）其性質(zhì)中有若當時，y有最小值。；若當時，y有最大值。利用二次函數(shù)的這個性質(zhì)，將具有二次函數(shù)關系的兩個變量建立二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)性質(zhì)進行計算，從而達到解決實際問題之目的。 例： 某玩具廠計劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出，已知生產(chǎn)x只玩具熊貓的成本為R（元），售價每只為P（元），且R、P與x的關系式分別為，。（1）當日產(chǎn)量為多少時，每日獲得的利潤為1750元； （2）當日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 解：（1）根據(jù)題

25、意得 整理得 解得，（不合題意，舍去） （2）由題意知，利潤為 所以當時，最大利潤為1950元。變式1：某產(chǎn)品第一季度每件成本為50元，第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率為（1） 請用含的代數(shù)式表示第二季度每件產(chǎn)品的成本；（2） 如果第三季度該產(chǎn)品每件成本比第一季度少9.5元，試求的值（3） 該產(chǎn)品第二季度每件的銷售價為60元，第三季度每件的銷售價比第二季度有所下降，若下降的百分率與第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件產(chǎn)品的銷售價不低于48元，設第三季度每件產(chǎn)品獲得的利潤為y元，試求y與x的函數(shù)關系式，并利用函數(shù)圖象與性質(zhì)求y的最大值（注：利潤銷售價成本）分析

26、：（1） 解得 （3）解得而， 而 當時，利用二次函數(shù)的增減性，隨的增大而增大，而，當時，最大值18（元）說明：當自變量取值范圍為體體實數(shù)時，二次函數(shù)在拋物線頂點取得最值，而當自變量取值范圍為某一區(qū)間時，二次函數(shù)的最值應注意下列兩種情形：若拋物線頂點在該區(qū)間內(nèi)，頂點的縱坐標就是函數(shù)的最值。若拋物線的頂點不在該區(qū)間內(nèi)，則區(qū)間兩端點所對應的二次函數(shù)的值為該函數(shù)的最值。變式2： 某企業(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場進行試銷據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本 （1）求出每天的銷售利潤

27、y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式；（2）求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（3）如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，且每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價應控制在什么范圍內(nèi)？（每天的總成本每件的成本×每天的銷售量）解：（1）y（x50）505（100x） （x50）（5x550）5x2800x27500y5x2800x27500（50x100）4分（2）y5x2800x275005(x80)24500a50，拋物線開口向下50x100，對稱軸是直線x80，當x80時，y最大值45006分（3）當y4000時，5(x80)245004

28、000，解這個方程，得x170，x290當70x90時，每天的銷售利潤不低于4000元由每天的總成本不超過7000元，得50（5x550）7000，解這個不等式，得x8282x90，50x100，銷售單價應該控制在82元至90元之間. 10分四、幾何模型例：據(jù)氣象臺預報，一強臺風的中心位于寧波(指城區(qū)，下同)東南方向()千米的海面上，目前臺風中心正以20千米/時的速度向北偏西60°的方向移動，距臺風中心50千米的圓形區(qū)域均會受到強襲擊已知寧海位于寧波正南方向72千米處，象山位于寧海北偏東60°方向56千米處請問：寧波、寧海、象山是否會受這次臺風的強襲擊？如果會，請求出受強襲

29、擊的時間；如果不會，請說明理由(為解決問題，須畫出示意圖，現(xiàn)已畫出其中一部分，請根據(jù)需要，把圖形畫完整)_（臺風中心）_（寧海）_（寧波）_P_B_A解：補畫出示意圖經(jīng)過點 如圖過作東西方向(水平)直線與(南北)延長線交于， 延長臺風中心移動射線與相交于 ，45°， 30°， 30°=， 與重合， 臺風中心必經(jīng)過寧海經(jīng)過寧海的時間為(時) 如圖為象山，由題意可得30°+30°=60°，到的距離60°=，象山會受到此次臺風強襲擊求受襲擊時間可先求以為圓心，為半徑的圓與相交的弦長等于，受襲擊時間(時) 到的距離60°=

30、，寧波不會遭受此次臺風的強襲擊綜上所述:寧波不會遭受此次臺風的強襲擊；寧海:會，受襲擊時間為5時；象山:會，受襲擊時間時(約1時13分)變式1：一艘漁船在A處觀測到東北方向有一小島C，已知小島C周圍4.8海里范圍內(nèi)是水產(chǎn)養(yǎng)殖場.漁船沿北偏東30°方向航行10海里到達B處，在B處測得小島C在北偏東60°方向，這時漁船改變航線向正東(即BD)方向航行，這艘漁船是否有進入養(yǎng)殖場的危險？解法一：過點B作BMAH于M，BMAF.ABM=BAF=30°. 在BAM中，AM=AB=5，BM=5. 過點C作CNAH于N，交BD于K. 在RtBCK中，CBK=90°-60°=30° 設CK=x，則BK=x. 在RtACN中，CAN=90°-45°=45°， AN=NC.AM+MN=CK+KN. 又NM=BK，BM=KN. x+5=5+x.解得x=5. 5海里4.8海里，漁船沒有進入養(yǎng)殖場的危險. 答：這艘漁船沒有進入養(yǎng)殖場危險.解法二：過點C作CEBD，垂足為E，CEGBFA.BCE=GBC=60°.ACE=FAC=45°.BCA=BCE-ACE=60°-45°=15°.又BAC