高等數(shù)學(xué)講義(一)(共15頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容微積分學(xué)，它是創(chuàng)建于十七世紀(jì)的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，創(chuàng)始人是英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓（Newton）和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）。用著名學(xué)者的話來形容“微積分、或者數(shù)學(xué)分析，是人類思維的偉大成果之一。它處于自然科學(xué)與人文科學(xué)之間的地位，使它成為高等教育的一種特別有效的工具”?！拔⒎e分的創(chuàng)立，與其說是數(shù)學(xué)史上，不如說是人類歷史上的一件大事。時(shí)至今日，它對(duì)工程技術(shù)的重要性就像望遠(yuǎn)鏡之于天文學(xué)，顯微鏡之于生物學(xué)一樣。第1講 函數(shù)1.2 函數(shù)要知道什么是函數(shù)，需要先了解幾個(gè)相關(guān)的概念。一、常量與變量先看幾個(gè)例子：圓的面積公式自由活體的下落距離在上

2、述討論的問題中，是常量，是變量。變量可以視為實(shí)屬集合（不止一個(gè)元素）。二、函數(shù)的定義定義1.1 設(shè)是一個(gè)非空數(shù)集。如果有一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則，使得對(duì)每一，都能對(duì)應(yīng)于唯一的一個(gè)數(shù)，則此對(duì)應(yīng)規(guī)則稱為定義在集合上的一個(gè)函數(shù)，并把數(shù)與對(duì)應(yīng)的數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系記為并稱為該函數(shù)的自變量，為函數(shù)值或因變量，為定義域。 實(shí)數(shù)集合稱為函數(shù)的值域?？纯聪旅鎺讉€(gè)例子中哪些是函數(shù)：f是函數(shù)，且，定義域，值域，一般地。f不是函數(shù)。f是函數(shù)，且，定義域，值域。f不是函數(shù)。由函數(shù)定義可以得出，函數(shù)的對(duì)應(yīng)規(guī)則和定義域是確定函數(shù)的兩個(gè)要素，用解析法表示的函數(shù)的對(duì)應(yīng)規(guī)則就是由表達(dá)式確定的，而定義域就是使表達(dá)式有意義的所有軸上的點(diǎn)。例1 求

3、函數(shù)的定義域。解 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)要使等式有意義，有即所以函數(shù)的定義域?yàn)椤＠? 求函數(shù)的定義域。解 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)要使第一個(gè)等式有意義，有即在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)要使第二個(gè)等式有意義，有 或 即 或 所以函數(shù)的定義域?yàn)?。三、函?shù)表示法函數(shù)表示法主要有以下三種解析法用數(shù)學(xué)式子表示變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種表示函數(shù)的方法稱為解析法。例如圖形法在平面直角坐標(biāo)系中滿足一定條件的曲線圖形，也可以確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系，這種表示函數(shù)的方法稱為圖形法。例如表示一天內(nèi)溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系。列表法在實(shí)際應(yīng)用中把一系列自變量值及其相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表，這種表示函數(shù)的方法稱為列表法。如對(duì)數(shù)函數(shù)表、三角函數(shù)表等等。四、函數(shù)的幾種屬性單調(diào)

4、性請(qǐng)看下面兩個(gè)圖 左邊的圖形表示，函數(shù)值隨自變量的增加而增加，就稱函數(shù)單調(diào)增加，數(shù)學(xué)上描述為：如果當(dāng)任意的且時(shí)，恒有則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)上升的或單調(diào)增加的。右邊的圖形表示，函數(shù)值隨自變量的增加而減少，就稱函數(shù)單調(diào)減少，數(shù)學(xué)上描述為：如果當(dāng)任意的且時(shí)，恒有則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)下降的或單調(diào)減少的。奇偶性請(qǐng)看下面兩個(gè)圖左邊的函數(shù)圖形關(guān)于軸對(duì)稱，就稱函數(shù)是偶函數(shù)，數(shù)學(xué)上描述為：如果函數(shù)的定義域以原點(diǎn)為對(duì)稱，且恒滿足等式，則稱是偶函數(shù)。右邊的函數(shù)圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，就稱函數(shù)是奇函數(shù)，數(shù)學(xué)上描述為：如果函數(shù)的定義域以原點(diǎn)為對(duì)稱，且恒滿足等式，則稱是奇函數(shù)。例3 判斷下列函數(shù)的奇偶性：； 解 由絕對(duì)值的性

5、質(zhì)，對(duì)任意有由此可知是偶函數(shù)。由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)任意有 由此可知是奇函數(shù)。判斷函數(shù)的奇偶性也可以利用以下結(jié)論：偶函數(shù)加減偶函數(shù)是偶函數(shù)奇函數(shù)加減奇函數(shù)是奇函數(shù)偶函數(shù)乘偶函數(shù)是偶函數(shù)奇函數(shù)乘奇函數(shù)是偶函數(shù)奇函數(shù)乘偶函數(shù)是奇函數(shù)例如，是奇函數(shù)，也是奇函數(shù)。1.3 初等函數(shù)要了解初等函數(shù)，首先從以下開始一、基本初等函數(shù)我們將以下幾類函數(shù)稱為基本初等函數(shù)，它們是常數(shù)函數(shù) 常數(shù)函數(shù)的圖形如下冪函數(shù) 冪函數(shù)的圖形如下指數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)的圖形如下對(duì)數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形如下三角函數(shù) 正弦函數(shù) 余弦函數(shù) 正切函數(shù) 余切函數(shù) 正弦、余弦、和正切函數(shù)的圖形分別是反三角函數(shù) 反正弦函數(shù) 反余弦函數(shù) 反正切函數(shù) 反

6、正弦、反余弦、和反正切函數(shù)的圖形分別是二、函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算在介紹函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算之前，先介紹函數(shù)的四則運(yùn)算：設(shè)，是兩個(gè)函數(shù)，定義域分別為，如果不是空集，那么在上可以得到以下函數(shù) 這里要注意，最后一個(gè)函數(shù)的定義域要在中去掉使的點(diǎn)。除了函數(shù)的四則運(yùn)算外，再看下面復(fù)雜一些的運(yùn)算，如函數(shù)可以看作由函數(shù)和構(gòu)成的，這種構(gòu)成方式就是一種新的運(yùn)算。一般地，由兩個(gè)函數(shù)和構(gòu)成的對(duì)應(yīng)規(guī)則稱為和這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。三、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算而成，能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。函數(shù)不是初等函數(shù)，這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。第2講 極限與連續(xù)微積分的主要研究對(duì)象是函數(shù)，它所使用的一個(gè)重要工具

7、就是我們要在下面介紹的極限。極限的嚴(yán)格描述奠定了微積分的理論基礎(chǔ)，而微積分學(xué)幾乎所有的重要概念都以不同的極限形式來表示。2.2 函數(shù)的極限一、極限的概念首先讓我們看看反正切函數(shù)的圖形當(dāng)自變量向變化時(shí)，函數(shù)值在向靠近。而且向充分接近時(shí)，函數(shù)值可以和任意靠近。我們將向充分接近說成趨于，記為。一般地，當(dāng)自變量趨于時(shí)，如果函數(shù)的函數(shù)值和某個(gè)常數(shù)任意靠近，我們就稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限（或稱當(dāng)趨于時(shí)，的極限是）。記為 或 如我們?cè)陂_始看到的情形就是類似可以得到，仍以反正切函數(shù)為例，有 再一次觀察反正切函數(shù)的圖形，當(dāng)自變量向點(diǎn)變化時(shí)，函數(shù)值在向靠近。而且向點(diǎn)充分接近時(shí)，函數(shù)值可以和任意靠近。我們將向點(diǎn)充分接

8、近說成趨于，記為。一般地，當(dāng)自變量趨于時(shí)，如果函數(shù)的函數(shù)值和某個(gè)常數(shù)任意靠近，我們就稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限（或稱當(dāng)趨于時(shí)，的極限是）。記為 或 這樣我們就得到 極限的直觀意義可以用下面的圖形說明函數(shù)在一點(diǎn)的極限可能存在，也可能不存在，如函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限就不存在，我們也可以從圖形中看出再看下面這個(gè)圖形可以看出，這個(gè)函數(shù)當(dāng)時(shí)沒有極限，但當(dāng)從大于的方向趨于時(shí)，函數(shù)值與任意接近。一般地，當(dāng)自變量從大于的方向趨于時(shí)，如果函數(shù)的函數(shù)值和某個(gè)常數(shù)任意靠近，就稱為在點(diǎn)的右極限，記為類似可以給出在點(diǎn)的左極限，記為。如此一來我們就有了以下結(jié)論存在的充分必要條件是和都存在，且二、極限的運(yùn)算法則為了方便地計(jì)算函數(shù)的極限

9、，我們不加證明地給出極限的運(yùn)算法則：若，存在，則有為常數(shù) （假定）例1 求。解 觀察發(fā)現(xiàn)本題不能直接應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則，但對(duì)表達(dá)式經(jīng)適當(dāng)整理后就可以應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則， 例2 求。解 觀察發(fā)現(xiàn)本題不能直接應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則，但對(duì)表達(dá)式經(jīng)適當(dāng)整理后就可以應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則， 只有極限的四則運(yùn)算法則對(duì)解決的計(jì)算還是不夠的，接下來我們大家介紹兩個(gè)重要的極限。2.3 兩個(gè)重要極限我們先給出兩個(gè)重要的極限公式之所以說這是兩個(gè)重要極限，一方面因?yàn)樗鼈兂鲎杂趦蓚€(gè)極限存在定理，另外在后面求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)需要用到。在這里我們只給出第一個(gè)極限的證明，為此先不加證明地給出一個(gè)極限存在定理夾逼定

10、理 設(shè)在的某領(lǐng)域內(nèi)（可不包含點(diǎn)）有且，則存在且下面就來證明第一個(gè)重要極限，先看一下下面這張圖圖中的圓周是單位圓周，圓心角的弧度是，則有 線段的長(zhǎng)度為 弧的長(zhǎng)度為 線段的長(zhǎng)度為當(dāng)時(shí)，有從而有從而有當(dāng)時(shí)，由夾逼定理得由于都是奇函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，有即從而有從而有當(dāng)時(shí)，由夾逼定理得最后得到例3 求。解 本題不能直接應(yīng)用第一個(gè)重要極限公式，需要作適當(dāng)變換。注意到趨于0時(shí)，也趨于0，有例4 求。解 本題不能直接應(yīng)用第一個(gè)重要極限公式，需要作適當(dāng)變換。注意到趨于3時(shí)，趨于0，有 2.4 無窮小量與無窮大量定義2.5 極限為零的量稱為無窮小量。定理2.1 的充分必要條件是其中是無窮小量。利用極限的運(yùn)算法則很容易

11、得到無窮小量的如下性質(zhì)有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小量。有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量。無窮小量與有界變量的乘積是無窮小量。任意常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量。例5 求。解 前面我們已經(jīng)知道，當(dāng)時(shí)極限不存在，但它是有界變量，而是無窮小量。由無窮小量的性質(zhì)3知是無窮小量，即如果都是無窮小量，而仍然是無窮小量，這是稱是關(guān)于的高階無窮小量，記為。如果是無窮小量，那么稱為無窮大量。例如當(dāng)時(shí)就是無窮大量。2.5 函數(shù)的連續(xù)性先看看下面的圖形以上幾個(gè)函數(shù)的圖形在點(diǎn)都存在不同形式的“斷裂”，但歸納起來，這些情況屬于要么在的極限不存在，要么在的極限不等于在該點(diǎn)的函數(shù)值。定義2.6 設(shè)函數(shù)在的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且等式成立，則稱在點(diǎn)處連續(xù)，稱為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)。若不