《立體幾何初步》課標(biāo)解讀

1、立體幾何初步課標(biāo)解讀（楊帆 陜西師范大學(xué) 710062） 立體幾何初步是初等幾何教育重要內(nèi)容之一，它是在初中平面幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上開設(shè) 的，以空間圖形的性質(zhì)、畫法、計(jì)算以及它們的應(yīng)用為研究對(duì)象，以演繹法為研究方法通 過對(duì)三維空間的幾何對(duì)象進(jìn)行直觀感知、 操作確認(rèn)、 思辨論證， 使學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平從平面圖 形延拓至空間圖形， 完成由二維空間向三維空間的轉(zhuǎn)化， 發(fā)展學(xué)生的空間想象能力， 邏輯推 理能力和分析問題、解決問題的能力1. 新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求空間幾何體（ 1）利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合 體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)（ 2

2、）能畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合）的三視圖， 能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型， 會(huì)使用材料（如紙板）制作模型，會(huì)用斜二側(cè)畫法 畫出它們的直觀圖（ 3）通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形 的不同表示形式（ 4）完成實(shí)習(xí)作業(yè)，如畫出某些建筑的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺 寸、線條等不作嚴(yán)格要求） （ 5）了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系（1）借助長方體模型，在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出 空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可作為推

3、理依據(jù)的公理和定理：公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)公理 2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線公理 4：平行于同一條直線的兩條直線平行定理：空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)（2）以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行 一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則

4、這兩個(gè)平面平行 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直 一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂直線，則兩個(gè)平面垂直通過直觀感知，操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明一條直線與一個(gè)平面平行，則過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行 兩個(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直（3）能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題2.具體章節(jié)分析（ 1） 簡(jiǎn)單幾何體本節(jié)介紹了生活中存在的一些幾何體，如球體、圓柱、圓錐、圓臺(tái)以及棱柱、棱錐、棱 臺(tái)等 .通過對(duì)這些簡(jiǎn)單幾何體的

5、學(xué)習(xí)，直觀感知了解簡(jiǎn)單幾何體的基本特性，為后面學(xué)習(xí)直 觀圖和三視圖做鋪墊， 同時(shí)還可以培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、 動(dòng)手操作能力， 能使數(shù)學(xué)知識(shí)與 現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來，突出數(shù)學(xué)學(xué)科的重要性課標(biāo)要求學(xué)生利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量立體圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其 簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征， 并能運(yùn)用這些特征描繪現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu) 本節(jié)課的重點(diǎn) 是所介紹的簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體和簡(jiǎn)單多面體的概念的理解， 難點(diǎn)是要對(duì)簡(jiǎn)單幾何體的概念做出正確 的理解， 并且掌握它們的幾何特征， 因此在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中應(yīng)向?qū)W生講清楚簡(jiǎn)單幾何體的概 念，并通過例題講解、 典例剖析等過程使學(xué)生對(duì)所學(xué)概念有正確的認(rèn)識(shí)例如在學(xué)習(xí)棱錐和正棱錐、

6、 棱臺(tái)和正棱臺(tái)時(shí)， 可以將它們的結(jié)構(gòu)特征和側(cè)面形狀進(jìn)行對(duì)比，抓住典型特征來體會(huì)它們的區(qū)別（2）直觀圖圖畫、 照片等都是空間圖形在平面上的反映， 通過對(duì)圖像、 照片的研究可以了解空間圖 像的一些性質(zhì)和特征， 所以直觀圖教學(xué)是本節(jié)的基礎(chǔ)內(nèi)容 物體的直觀圖能讓我們想象出這 個(gè)幾何體在空間中的具體形狀，便于觀察和計(jì)算課標(biāo)要求學(xué)生能畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合）的 三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)使用材料（如紙板）制作模型，會(huì)用斜 二側(cè)法畫出它們的直觀圖識(shí)圖和作圖教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的重要途徑之一識(shí)圖、 作圖能力是空間想象力的組成部分 我們常遇到這種情況，

7、 學(xué)生把題目看了幾遍， 但仍然畫 不出適合題意的圖形以輔助解題因此， 在立體幾何教學(xué)之初，要重視對(duì)學(xué)生識(shí)圖、作圖能 力的培養(yǎng)和訓(xùn)練 可以通過畫等邊三角形和正方體的直觀圖來體會(huì)直觀圖和實(shí)物圖的差別及 斜二測(cè)法畫圖的美觀（3）三視圖視圖屬于新課程新增內(nèi)容， 在三視圖的教學(xué)中， 組合體的三視圖和依據(jù)三視圖判別幾何 體是教學(xué)的難點(diǎn) 通過學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單組合體的三視圖， 掌握在平面上表示簡(jiǎn)單空間圖形的方法和 技能， 培養(yǎng)空間想象能力、規(guī)范作圖的能力、 多角度觀察和解決問題的能力等，體會(huì)三視圖 的作用和其在工業(yè)設(shè)計(jì)中的重要性課標(biāo)要求通過觀察用兩種方法 （平行投影與中心投影） 畫出的視圖與直觀圖， 了解空間 圖形的

8、不同表示形式 這需要通過實(shí)物畫某一物體的三視圖， 或通過三視圖來判斷屬于哪個(gè) 物體在在繪制三視圖時(shí)，要注意 : 主、俯視圖長對(duì)正； 主、左視圖高平齊； 俯、左視圖寬相等，前后對(duì)應(yīng).畫簡(jiǎn)單組合體的三視圖應(yīng)注意一下兩個(gè)方面： 明確物體的主視、俯視、左視方向.對(duì)同一物體，若放置的位置不同，則所畫的三視圖 可能不同； 要分清楚簡(jiǎn)單組合體是由哪幾個(gè)基本幾何體組成的，并注意它們的組合方式，特別是它 們的交線位置.（4）空間圖形的基本關(guān)系與公理通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)， 建立空間點(diǎn)、線、面三者的位置關(guān)系的概念， 學(xué)會(huì)用圖形語言和自 然語言表述，了解符號(hào)語言，從微觀角度體會(huì)點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，進(jìn)一步體會(huì)幾何學(xué)習(xí) 中

9、，語言的簡(jiǎn)潔精確，初步建立幾何直觀的能力， 為后面的定理學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).本節(jié)在理解 空間點(diǎn)與線、線與線、線與面、 點(diǎn)與面、 面與面位置關(guān)系的基礎(chǔ)上還需要掌握四個(gè)公理和一個(gè)定理：公理 1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)公理 2 過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理 3 如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線公理 4 平行于同一條直線的兩條直線平行定理 5 空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)例如，三角形、 長方體以及教但通過食物來模擬， 讓學(xué)生自本節(jié)需要掌握兩個(gè)判定定理和兩公理的學(xué)習(xí)可以借助具體的模型、實(shí)物來幫助我們

10、理解， 室都是很好的模型 雖然這些公理都比較抽象而且不需論證， 己體驗(yàn)公理的合理性，也有助于對(duì)公理的理解（5）平行關(guān)系平行關(guān)系包括直線與平面的平行和平面與平面的平行， 個(gè)性質(zhì)定理： 判定 1：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行判定 2: 一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行性質(zhì) 1：一條直線與一個(gè)平面平行， 則過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行性質(zhì) 2： 兩個(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行 其中，直線平行于平面和平面平行于平面的判定定理需要觀察長方體對(duì)角線、 棱和面， 通過 直觀感知、 操作確認(rèn)、 來歸納理

11、解， 不要求證明， 而平行關(guān)系的性質(zhì)需要學(xué)生掌握嚴(yán)格證明， 并能熟練應(yīng)用以發(fā)現(xiàn)新的定理或結(jié)論 在學(xué)習(xí)這四條定理時(shí)， 學(xué)生不僅要學(xué)會(huì)文字語言的表 述，而且要將其轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言和圖形語言， 熟練三種語言的轉(zhuǎn)化， 體驗(yàn)數(shù)學(xué)語言的簡(jiǎn)潔和 嚴(yán)密（6）垂直關(guān)系 本章需要掌握的概念包括直線與平面垂直的定義和二面角的相關(guān)定義， 本節(jié)主要研究直 線與平面垂直的判定與性質(zhì)及平面與平面垂直的判定與性質(zhì)， 此模塊需要學(xué)生掌握兩個(gè)判定 定理：判定 1 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 判定 2 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直 兩個(gè)性質(zhì)定理：性質(zhì) 1 如果兩條直

12、線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行 .性質(zhì) 2 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直其中，判定定理 1、2 需要通過直觀感知、操作確認(rèn)、來歸納理解，而性質(zhì)1、2 要求學(xué)生不僅通過直觀感知、 操作確認(rèn)、 來歸納理解， 還要求邏輯上的嚴(yán)格證明以及運(yùn)用這些定理 來證明簡(jiǎn)單的結(jié)論 所以教師應(yīng)當(dāng)提供多樣的變式練習(xí)， 讓學(xué)生體驗(yàn)綜合法和分析法的證明 過程，掌握立體幾何的學(xué)習(xí)方法，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性除此之外，了解直線與平面、平面與 平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系（線線關(guān)系-線面關(guān)系 -面面關(guān)系）也是本節(jié)重點(diǎn)展學(xué)生的空間圖形能力是立體幾何學(xué)習(xí)中永恒的目標(biāo)， 教師需重視學(xué)生作圖和讀題的能 力，以實(shí)現(xiàn)語言信息、圖形信息和符號(hào)信息的準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化（7）簡(jiǎn)單幾何體的面積和體積在生產(chǎn)建設(shè)、 科學(xué)實(shí)驗(yàn)及社會(huì)生活實(shí)踐中， 常常會(huì)遇到計(jì)算物體表面積與體積的問題 因 此讓學(xué)生學(xué)會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單幾何體面積對(duì)于學(xué)生以后的學(xué)習(xí)和生活都是非常重要的 新課 標(biāo)要求對(duì)直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)、圓臺(tái)以及球進(jìn)行觀察，通過觀察它們的側(cè)面展開圖得 到其面積的計(jì)算公式 不要求相關(guān)公式的記憶推導(dǎo)和證明 所以， 學(xué)生只需做到將球的表面 積，球、棱柱、棱錐、臺(tái)的體積將已學(xué)