數(shù)學新學案同步必修4北師大版：第三章疑難規(guī)律方法

1、1同角三角函數(shù)關(guān)系巧運用同角三角函數(shù)的用途主要體現(xiàn)在三角函數(shù)的求值和恒等變形中各函數(shù)間的相互轉(zhuǎn)化，下面結(jié)合常見的應(yīng)用類型舉例分析，體會其轉(zhuǎn)化作用，展現(xiàn)同角三角函數(shù)關(guān)系的巧運用. 一、知一求二例 1已知 sin 255，2 ，則 tan . 解析由 sin 255，且 sin2 cos2 1得 cos 55，因為2 ，可得 cos 55，所以 tan sin cos 2. 答案 2 點評已知某角的弦函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時，先利用平方關(guān)系求另一弦函數(shù)值，再求切函數(shù)值，需要注意的是利用平方關(guān)系時，若沒有角度的限制，要注意分類討論. 二、 “1”的妙用例 2 證明：1sin6xcos6x1sin4x

2、cos4x32. 證明因為 sin2xcos2x1，所以 1(sin2xcos2x)3，1(sin2xcos2x)2，所以1sin6xcos6x1sin4xcos4xsin2xcos2x3sin6xcos6xsin2xcos2x2sin4xcos4x3sin4x cos2x3cos4x sin2x2sin2xcos2x3 sin2xcos2x232. 即原命題得證. 點評本題在證明過程中，充分利用了三角函數(shù)的平方關(guān)系，對“1”進行了巧妙的代換，使問題迎刃而解. 三、齊次式型求值例 3 已知 tan 2，求值：(1)2sin 3cos 4sin 9cos ；(2)2sin2 3cos2 . 解析

3、(1)因為 cos 0，分子分母同除以cos ，得2sin 3cos 4sin 9cos 2tan 34tan 9223429 1. (2)2sin2 3cos2 2sin2 3cos2sin2 cos2，因為 cos2 0，分子分母同除以cos2 ，得2sin2 3cos2sin2 cos22tan2 3tan2 122232211. 答案(1)1(2)1 點評這是一組在已知tan m 的條件下，求關(guān)于sin ，cos 的齊次式值的問題.解這類問題需注意以下幾點：(1)一定是關(guān)于sin ，cos 的齊次式 (或能化為齊次式)的三角函數(shù)式. (2)因為 cos 0， 所以分子、 分母可同時除以

4、cosn (nn).這樣可以將所求式化為關(guān)于tan 的表達式，整體代入tan m 的值求解 . 2三角函數(shù)化簡求值的“主角” “變角”三角函數(shù)化簡求值是學習三角的一個重要內(nèi)容，而“變角”是化簡的重要形式，是化簡求值這場大戲中的主角，它的表演套路主要有以下幾招：第一招單角化復(fù)角例 1 已知 sin 12，是第二象限的角，且tan( )3，則 tan 的值為. 解析因為 sin 12，為第二象限的角，所以cos 32，所以 tan 33. 所以 tan tan( ) 3 331 3 33233233. 答案33點評將單角用已知復(fù)角表示時，需要將復(fù)角進行適當?shù)慕M合、拆分，常見的拆分組合形式如： (

5、) ， ( )， (2 )( )， 12( )( )， 12( )( )等. 第二招復(fù)角化單角例 2 化簡：sin 2 sin 2cos( ). 解原式sin 2 2cos sin sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin . 點評由于該式含有2 和 ， 這兩個角都是復(fù)角， 而化簡的要求為最終結(jié)果皆為單角，所以化簡的思路就是利用兩角和與差的正弦或余弦公式展開即可. 第三招復(fù)角化復(fù)角例 3 已知4 34 ，0 4，cos435，sin34513，求 sin( )的值 . 解因為4 34 ，24 ，所以 sin41cos244

6、5. 又因為 0 4，3434 0，sin20，故原式12121cos 221212cos sin22sin 2. 點評一般地，在化簡求值時，遇到1cos 2 ， 1cos 2 ， 1sin 2 ，1sin 2常常化為平方式： 2cos2 ，2sin2 ，(sin cos )2，(sin cos )2. 三、靈活變角例 3 已知 sin613，則 cos23 2. 解析cos2322cos23 12sin2612132 179. 答案79點評正確快速求解本題的關(guān)鍵是靈活運用已知角“6 ”表示待求角 “232 ”，善于發(fā)現(xiàn)前者和后者的一半互余. 四、構(gòu)造齊次弦式比，由切求弦例 4 已知 tan

7、12，則cos 21sin 2的值是. 解析cos 21sin 2cos2 sin2cos2 sin2 2sin cos 1tan21tan2 2tan 1141142 1234143. 答案3 點評解本題的關(guān)鍵是先由二倍角公式和平方關(guān)系把“cos 21sin 2”化為關(guān)于sin 和 cos 的二次齊次弦式比. 五、分子、分母同乘以2nsin 求 cos cos 2 cos 4 cos 8 cos 2n1的值例 5 求值： sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 . 解原式12cos 20 cos 40 cos 80 4sin 20cos 20 cos 40 cos 80 8s

8、in 202sin 40cos 40 cos 80 8sin 20sin 80cos 80 8sin 20116sin 160sin 20116. 點評這類問題的解決方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍數(shù)即可. 4聚焦三角函數(shù)最值的求解策略一、化為y asin(x ) b 的形式求解例 1求函數(shù) f(x)sin4xcos4x sin2xcos2x2sin 2x的最值 . 解原函數(shù)變形得：f(x)sin2xcos2x2sin2xcos2x2sin 2x114sin22x2sin 2x112sin 2x112sin 2x2 112sin 2x14sin 2x12. f(x)max34，f(x)m

9、in14. 例 2求函數(shù) y sin2x2sin xcos x3cos2x 的最小值，并寫出y 取最小值時x 的集合 . 解原函數(shù)化簡得：ysin 2xcos 2x22sin 2x42. 當 2x42k 32 ， kz，即 xk 58 ，kz 時， ymin22. 此時 x的集合為x xk 58 ，k z. 點評形如 yasin2x bsin x cos x ccos2x d(a，b，c，d 為常數(shù) )的式子，都能轉(zhuǎn)化成yasin(2x )b 的形式求最值. 二、利用正弦、余弦函數(shù)的有界性求解例 3求函數(shù) y2sin x12sin x1的值域 . 解原函數(shù)整理得sin xy12 y1. |si

10、n x|1，y12 y11，解出 y13或 y3. 即函數(shù)的值域為，133， ). 例 4求函數(shù) ysin x3cos x4的值域 . 解原函數(shù)整理得sin xycos x 4y3，y21sin(x ) 4y3，sin(x )4y31y2. |sin(x )|1，解不等式4y31y21 得：122615 y122 615. 即值域為122 615，122 615. 點評對于形如yasin xbcsin xd或 yasin xbccos x d的這類函數(shù)， 均可利用三角函數(shù)中弦函數(shù)的有界性去求最值 . 三、轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)在某確定區(qū)間上求最值例 5設(shè)關(guān)于 x 的函數(shù) ycos 2x2acos

11、x2a 的最小值為f(a)，寫出 f(a)的表達式 . 解ycos 2x2acos x 2a2cos2x2acos x(2a1) 2 cos xa22a222a1 . 當a21，即 a1，即 a2 時， f(a)ymin 14a，此時 cos x 1. 綜上所述， f(a)1，a2.點評形如 yasin2xbsin x c 的三角函數(shù)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)yat2btc 在區(qū)間 1，1上的最值問題解決. 例 6試求函數(shù)ysin xcos x2sin xcos x2的最值 . 解設(shè) sin xcos x t，t2，2，則 2sin xcos xt2 1，原函數(shù)變?yōu)閥t2t1，t2，2 ，當 t12時，

12、 ymin34；當 t2時， ymax 32. 點評一般地， 既含 sin x cos x(或 sin xcos x)又含 sin xcos x 的三角函數(shù)采用換元法可以轉(zhuǎn)化為 t 的二次函數(shù)解最值.注意以下結(jié)論的運用，設(shè)sin xcos xt，則 sin xcos x12(t21)；sin xcos xt，則 sin xcos x12(1t2). 四、利用函數(shù)的單調(diào)性求解例 7求函數(shù) y1sin x3sin x2sin x的最值 . 解ysin2x4sin x3sin x2sin x221sin x 2(sin x2)1sin x2，令 tsin x2，則 t1，3，yt1t. 利用函數(shù)單調(diào)

13、性的定義易證函數(shù)yt1t在1，3上為增函數(shù) . 故當 t1 即 sin x 1 時， ymin0；當 t3 即 sin x1 時， ymax83. 例 8在 rtabc 內(nèi)有一內(nèi)接正方形， 它的一條邊在斜邊bc 上， 設(shè) aba， abc ， abc的面積為p，正方形面積為q.求pq的最小值 . 解acatan ，p12ab ac12a2tan . 設(shè)正方形邊長為x，agxcos ，bcacos .bc 邊上的高hasin ，agabh xh，即xcos aasin xasin ，xasin 1 sin cos ，qx2a2sin21sin cos 2. 從而pqsin 2cos 1sin c

14、os 2sin22sin 224sin 21sin 241sin 2. 令 tsin 2 ，t(0，1 易知函數(shù)y1tt4在區(qū)間 (0，1上是減少的，所以當 sin 2 1 時，pqmin94. 點評一些復(fù)雜的三角函數(shù)最值問題，可以通過適當換元轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)函數(shù)后，利用函數(shù)單調(diào)性巧妙解決. 5 三角恒等變形一章易錯問題盤點一、求角時選擇三角函數(shù)類型不當而致錯例 1已知 sin 55，sin 1010，和 都是銳角，求 的值 . 錯解 因為 和 都是銳角，且sin 55，sin 1010，所以 cos 2 55，cos 31010，sin( ) sin cos cos sin 553 1010

15、255101022. 因為 ， 0，2，則 (0， ). 所以 4或34. 剖析 由 sin 55，sin 1010，和 都是銳角，可以知道和 都是定值，因此 也是定值，因此上述解法出現(xiàn)兩個答案，其中就有一個是錯誤的.這是因為sin( )在第一、第二象限沒有區(qū)分度，應(yīng)選擇計算cos( )的值 . 正解 因為 和 都是銳角，且sin 55，sin 1010，所以 cos 2 55，cos 31010，cos( )cos cos sin sin 2553101055101022. 因為 ， 0，2，則 (0， )，所以 4. 溫馨點評根據(jù)條件求角，主要有兩步：1 求角的某種三角函數(shù)值；2 確定角的

16、范圍，從而確定所求角的值.完成第一步一般要選擇相對角的范圍區(qū)分度比較大的三角函數(shù)，且確定范圍要盡量縮小 .二、忽視條件中隱含的角的范圍而致錯例 2已知 tan2 6tan 70，tan2 6tan 70， ， (0，)，且 ，求 的值 . 錯解 由題意知tan ，tan 是方程 x26x70 的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得：tan tan 6tan tan 7tan( )tan tan 1 tan tan 617 1. 0 ，0 ， 0 2 ， 4或 54.剖析 由 知 tan 0，tan 0，角 ， 都是鈍角 .上述解法忽視了這一隱含條件. 正解 由tan tan 6，tan tan 7易知 t

17、an 0，tan 0. ， (0， )，2 ，2 . 0，b 0，2，且 sin b1213. 由 sin a35，得 cos a45，當 cos a45時， cos a23. sin b121332，b 0，2，b3. 故當 cos a45時， ab ，與 a， b是 abc 的內(nèi)角矛盾 . cos a45， cos c cos(ab)sin asin bcos acos b1665. 溫馨點評涉及三角形中的內(nèi)角問題時，一定要注意內(nèi)角和a b c 180 這一隱含條件.尤其是由內(nèi)角正弦值確定角的大小時，要防止角的增解出現(xiàn).四、忽略三角函數(shù)的定義域而致錯例 4判斷函數(shù)f(x)1 sin xco

18、s x1 sin xcos x的奇偶性 . 錯解 f(x)1sin xcos x1sin xcos x12sin x2cos x2 12sin2x212sin x2cos x2 2cos2x212sin x2cos x2sin x22cos x2sin x2cos x2tan x2，由此得 f( x)tan x2 tan x2 f(x)，因此函數(shù)f(x)為奇函數(shù) . 剖析 運用公式后所得函數(shù)f(x) tan x2的定義域為 x|xr，x2k ，k z.兩函數(shù)的定義域不同，變形后的函數(shù)定義域擴大致錯. 正解 事實上，由1sin xcos x0 可得 sin xcos x1，即2sin x41，從而 sin x422，所以 x42k 54且 x42k 74(kz)，故函數(shù) f(x)的定義域是x x2k ，且 x2k 32，k z，顯然該定義域不關(guān)于原點對稱.所以函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù). 溫馨點評判斷函數(shù)的奇偶性，首先要看定義域，若定義域不關(guān)于原