高數(shù)一知識點

1、函數(shù)極限lim f lim f (x) , lim f (x) x , x . 、極限數(shù)列極限lim xn n _oolim f (x) , lim f (x) , lim f (x) x￥x-x - x-x；(2)等價無窮小替換 ( p76)。當(dāng) 半(x)t 0時，sin ?(x)? (x), tan ? (x)? (x), arcsi n ? (x)? (x), arcta n ? (x)? (x), 1 cos申(x)*?2(x), ln(1 n(x) ? (x),x)1半(x), 貯1? (x)in a(a0), (1 + 9&)9&)(口 式0) 代換時要注意，只有乘

2、積因子才可以代換。q qqq qq(3) 洛必達(dá)法則 (0,二，0 8 嚴(yán)-車0,1 嚴(yán)0) ，只有0,二可以直接用羅比達(dá)法則。0 血0 00幕指函數(shù)求極限：lim u(x)v(x)二elimv(x)ln u(x)；或，令y = u(x)v(x)，兩邊取對數(shù)l ny = v (x) l nu (若l i mv x ) lun xf ) a 則lim u(x)v(x)= ea。結(jié)合變上限函數(shù)求極限。、連續(xù)lim f (x)二f (x0) x - x0 左、右連續(xù)lim f(x) = f (x0), lim f (x) = f (x0) xw_ x 知函數(shù)連續(xù)二函數(shù)既左連續(xù)又右連續(xù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)

3、性質(zhì)：最值，有界，零點( 結(jié)合證明題 ) ，介值，推論。、導(dǎo)數(shù)f (x0“ lim f(x)f(x0)= lim 血 邏皿x-0 x-x0lx-5 |_| x左導(dǎo)數(shù)f (x0)= lim f(x)f(x0)= lim 血 心迪x-廠x _x0l_x slx第一章 第三章求極限 ( 主要方法 )一dudx”g(x)兩邊對x求導(dǎo)，注意y、y 是x的函數(shù)。x(t) y(t)乎/也dx dt dt :(t) d2y dx2一g() dt :(t) dx dt :(t) 四、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1) (2) ( 3) 羅爾定理和拉格朗日定理單調(diào)性 ( 導(dǎo)數(shù)符號 ) 凹凸性 ( 二階導(dǎo)數(shù)符號 ) ，拐點 ( 曲線

4、上的點，二維坐標(biāo)，曲線在該點兩側(cè)有不同凹凸性) 。(證明題 ) ，極值 ( 第一充分條件和第二充分條件) , 最值。求導(dǎo)數(shù)：(1) 復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌ty = fu u=g(x) ￥=矽理dx y = fg(x) 八 fg(x)g(x )fg(x) =(fg(x) (2) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則(3) 參數(shù)方程求導(dǎo)第四章不定積分原函數(shù)(f(x) =f(x) 不定積分f (x)d f (x) c 基本性質(zhì)f (x)dx = f (x)或f (x)dx = f (x) dx 、dx f (x)dx =f(x) c或df(x)二f(x) c. f (x) g(x)dx = f (x)dx 亠i g(x)dx (

5、 分項積分)kf (x)dx 二k f (x)dx 基本積分公式(1) kdxkx c；(2) x dx 二x 1c -1) 右導(dǎo)數(shù)f+(x)= 毀匚f (x) - f (xo) x _x二lim 一f(x。lx) - f (x。) 1_0 - 微分：y = a ,x ： (z) dy = adx = ydx 可導(dǎo)二 . 連續(xù) 可導(dǎo) = 可微 可導(dǎo) =既左可導(dǎo)又右可導(dǎo) 亠11tanxdx 二-in |cosx| c; 2. cotxdx 二in |sin x | c; 3secxdx 二in |secx tanx| c; 4. cscxdx 二in |cscx - cotx| c; 5j 2

6、d -arctan? c; a2 x2 a 6dx 2 2 a _x x 二 arcs in c; a 7x -a x a c; 8. . a2-x2dx 二乞 arcs in 二2 a x i x a a dx c in a si nxdx = cosx +c (9) csc xdx 二-cotx c (4) . exdx =exc (6) cosxdx = sin x c (8) se? xdx = tan x c (10) secxtanxdx =secx cr dx (13) 2= arctanx c 1+x 除了上述基本公式之外，還有幾個常用積分公式(11) cscxcotxdx 二

7、-cscx c (12)二 arcs in x c 123、概念定義性質(zhì): (1).設(shè)f x、g x在a,b 1區(qū)間上可積，則定積分有以下的性質(zhì)b dx 二ba ；-a b 、b bimf x 廣n g x dx 二m f (x)dx n g(x)dx ；=a u u% lab c baf(x)dx = af (x)dx j(x)dx ;若在la, b 1上, f x - 0 , 則f (x)dx _ 0 ；*a r i b b 推論 1. 若在l.a,b 1上，f x (f0f (t)dt) = f (?( x lx).丄wx)(3). 如果x(x)f(t)dt,哦x)則x 乂, .(x)f

8、(t)dt) = f x x - f - x x .廣義積分(1). 無窮限積分收斂發(fā)散（極限存在）（極限不存第五章定積分b b 收斂（極限存在）. xdxmxdx=發(fā)散（極限不存在廠 - : : :0 f x dx收斂的充分必要條件是反常積分 f x dx、f x dx同時收斂，并且在收斂時，有0_ f xdx= 0f x dx f x dx-（2） ?瑕積分b b 收斂（極限存在）a 為瑕點f x dx = lim f x dx =爲(wèi) 發(fā)散（極限不存在）b b 收斂（極限存在）b 為瑕點f fx dx= limf fx px = g , .為a t a 發(fā)散（極限不存在）b c bc為瑕點

9、則.f x dx收斂f x dx與.f x dx均收斂，并且在收斂時，有a ? a cb c baf xdxaf xdx cf xdx 二計算（一） 定積分的計算1、微積分基本公式：設(shè)函數(shù)f x在區(qū)間a,b 上連續(xù)，且f= f x，貝yb f（x）dx = f b - f a , 牛頓- 萊布尼茲（ n-l）公式a 2、換元法：設(shè)函數(shù)f x在區(qū)間a,b 1上連續(xù)，函數(shù)x二t滿足：在區(qū)間 j 上可導(dǎo)，且:t連續(xù); a 二- , b = 1 ，當(dāng)二訂時，x? a,b 1, 貝yb :faf(x dx = lt)外(t)dt b b b b b b 3、 分部積分法：uvdx= uv |a - u

10、vdx, 或udv= uv |a - vdu ?a 八a * a * a 4、 偶倍奇零：設(shè)函數(shù)f x在區(qū)間 - a,a上連續(xù)，則a 0 f -xf x 七f(x)dx_ 2 ；f(x)dx f -x = f x 0 sinn xdx - (2k 4)!. 二(2k)! 2 (2 k)! (2k 1)! n = 2k n =2k 1 6、分段函數(shù)的定積分。( 二)與積分上限函數(shù)相關(guān)的計算( 三)廣義積分的計算 (依據(jù)定義先求原函數(shù)，再求極限) 三、定積分的應(yīng)用( 一) 幾何應(yīng)用1、 平面圖形的面積b b b 、( 1 ) 直角坐標(biāo)a = a f (x)dx, a = & i f (x)

11、 -g(x) |dx = ( 上曲線一下曲線 ) dx , d d d或a (y)dy, a | (y)-(y)|dy 、( 右曲線一左曲線 )dy= r(2)參數(shù)方程若與x=a,x=b及 x 軸所圍成的面積a二 (tr： (t)dt ,- w =屮(t) 抵分別是曲邊的起點的橫坐標(biāo)與終點的橫坐標(biāo)的參數(shù)值。(3)極坐標(biāo)由曲線r = r(v), - ：, v - -,(： -) 所圍的曲邊扇形1 r的面積a r(h2 3dk2 ct2、 旋轉(zhuǎn)體的體積( 1 ) 直角坐標(biāo) ：由曲線y二f (x), x二a, x = b, (a ： b)與x軸所圍曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一b 2 b 22 參數(shù)方程由.

12、與x二a,x二b及 x 軸所圍成的圖形繞x 由旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體ly =屮(t)p的體積v 二二2(t)(t)dt3、平面曲線的弧長 ( 積分限從小到大 ) ( 1 ) 直角坐標(biāo)s 二f (x)2dx( 2 ) 參數(shù)方程s二x(t)2 y(t)2dt3 極坐標(biāo)s 二lr(t2 r c)2dj( 二) 物理應(yīng)用( 步驟：建立坐標(biāo)系，選擇積分變量，求出功的微元或壓力微元，求定積分) 周的旋轉(zhuǎn)體的體積7 -f2(x)dx= f2(x)dx.a a由曲線x h(y), y =c, y =d,(c ： d)與y軸所圍曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周d d的旋轉(zhuǎn)體的體積二2(y)dy二二2(y)dy.c c阿基米德螺

13、線心形線r = a (1 ? cost ) 雙紐線r2二a2 cos2r 擺線川 ) y = a(1 _c os) 第六章微分方程一、內(nèi)容小結(jié)：（一）、概念：微分方程；階；通解；特解；初始條件；初值問題；線性相關(guān)；線性無關(guān)（二八解的結(jié)構(gòu)齊次線性y p（x）y q （x）y 0 （* 非齊次線性y p （x）y q （x）y f（ x） （* 1、yi , y2是（*）的解，貝v - ci yi c2 y?也是（* ）的解；若yi , y線性無關(guān)，則y yi - c? y?為（*）的通解）2、yi *, y? *是（* * ）的解，貝v yi * - y? *是對應(yīng)齊次線性方程的解y是（ * ）

14、的通解，y*是（ * * ）的解，則y ? y*是（* * ）的通解（三）、解方程：判別類型，確定解法。一階，二階。、一階微分方程求解xy=f(x)g(y)或g(y)dy = f(x)dx 或m,(x)n,(y)dy m2(x)n2(y)dx 二 0 或者f (y ) 解法：令x 則y u xu dx / x、f () 解法 : y dx du u dy dy 齊次線性y-p(x)y=o _ p(x)dx (y=ce ) 非齊次線性y p( x) y x) d x f p )x dx q( x e dx c ) 1、可分離變量方程解法：先分離變量 ，兩邊再同時積分2、齊次方程3、一階線性微分方

15、程三、二階微分方程求解( 一) 、可降階情形1、y= f (x) 2、不顯含 y 的二階方程y j f (x,y ) 解法：令 y二 p,則 y” 二 p,原方程化為p二 f(x, p) 3、不顯含 x 的二階方程y= f (y ,y ) 解法：令 y=p, 則 y = p 些, 原方程化為 p 些二 f(y,p) dy dy ( 二) 、二階線性微分方程1、 二階常系數(shù)齊次線性微分方程y? p y q 尸 0 ( * * *其中p, q為常數(shù) ) 2 特征方程r pr q =0 特征根r-! , r2rx 2 x ri = r2且為實根 ，則微分方程通解為y = c! e1? c2 e2p

16、rxrr2 為相等實根，則微分方程通解為y =(cc2x)e2 幾幕二口士 匚卩為一對共軛復(fù)根，則微分方程通解為y 卩x+czsi n px)2、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y“+py + qy =pm(x)e (*), ( 幾為常數(shù)，pm(x)是 m 次多項式 )其具有特解形式y(tǒng) = xkqm(x)e,其中qm(x)為與pm(x)同次的多項式0 ，不是特征根k = 1 是特征單根2 上是特征二重根9. j , dx= =1 n | x + jx2土 a2 | +c.? x2一 a2求不定積分的方法1.直接積分法：恒等變形，利用不定積分的性質(zhì)，直接使用基本積分公式。2.換元法：第一類換元法(湊微分法 ) f c x ) )x