專題-物理-L4-追及相遇問題

1、追及相遇問題物 理 專 題一、追及和相遇問題的實(shí)質(zhì)研究的兩物體能否在相同的時(shí)刻到達(dá)相同的空間位置的問題時(shí)間關(guān)系： tA=tB+t0(tA=tB-t0）位移關(guān)系： xA=xB+x0(xA=xB-x0)速度關(guān)系：往往是物體間能否追上或（兩者）距離最大、最小的臨界條件， 也是分析判斷的切入點(diǎn)ABBAX0XBXA二、追及和相遇問題剖析：A、追及問題1、追及問題常見三種情形的特征及處理方法：a.初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)的物體甲追趕同方向的勻速運(yùn)動(dòng)的物體乙，一定能追上，追上前有最大距離的條件：兩物體速度 ，即 。二、追及和相遇問題剖析：A、追及問題1、追及問題常見三種情形的特征及處理方法：b. 勻速運(yùn)動(dòng)的物

2、體甲追趕同向勻加速運(yùn)動(dòng)的物體乙， 存在一個(gè)能否追上的問題。判斷方法是：假定速度相等，從位置關(guān)系判斷。當(dāng)甲乙速度相等時(shí)，甲的位置在乙的后方，則追不上，此時(shí)兩者之間的距離最小。當(dāng)甲乙速度相等時(shí)，甲的位置在乙的前方，則追上，此情況還存在乙再次追上甲。當(dāng)甲乙速度相等時(shí)，甲乙處于同一位置，則恰好追上，為臨界狀態(tài)。解決問題時(shí)要注意二者是否同時(shí)出發(fā)，是否從同一地點(diǎn)出發(fā)。二、追及和相遇問題剖析：A、追及問題1、追及問題常見三種情形的特征及處理方法：c.勻減速運(yùn)動(dòng)的物體追趕同向的勻速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，情形跟類似。二、追及和相遇問題剖析：A、追及問題2、分析追及問題的注意點(diǎn)： 要抓住一個(gè)條件，兩個(gè)關(guān)系：一個(gè)條件是兩物

3、體的速度滿足的臨界條件，如兩物體距離最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。兩個(gè)關(guān)系是時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系，通過畫草圖找兩物體的位移關(guān)系是解題的突破口。若被追趕的物體做勻減速運(yùn)動(dòng)，一定要注意追上前該物體是否已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng)。仔細(xì)審題，充分挖掘題目中的隱含條件，同時(shí)注意 圖象的應(yīng)用。二、追及和相遇問題剖析：B、相遇 同向運(yùn)動(dòng)的兩物體的相遇問題即追及問題，分析同上。 相向運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)各自發(fā)生的位移絕對(duì)值的和等于開始時(shí)兩物體間的距離時(shí)即相遇。三、追及和相遇問題的常用解題方法 畫出兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)示意圖，分析兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，找出臨界狀態(tài)，確定它們位移、時(shí)間、速度三大關(guān)系。 （1）基本公式法根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，把時(shí)

4、間關(guān)系滲透到位移關(guān)系和速度關(guān)系中列式求解。（2）圖像法正確畫出物體運(yùn)動(dòng)的v-t圖像，根據(jù)圖像的斜率、截距、面積的物理意義結(jié)合三大關(guān)系求解。 （3）相對(duì)運(yùn)動(dòng)法巧妙選擇參考系，簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)過程、臨界狀態(tài)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解。（4）數(shù)學(xué)方法根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列出數(shù)學(xué)關(guān)系式（要有實(shí)際物理意義）利用二次函數(shù)的求根公式中判別式求解典型例題：例1. 火車A以v1=20m/s速度勻速行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距100m處有另一列火車B正以v2=10m/s速度勻速行駛，A車立即做加速度大小為a的勻減速直線運(yùn)動(dòng)。要使兩車不相撞，a應(yīng)滿足什么條件？A：（公式法）解題思路：找出兩車不相撞的臨界條件根據(jù)臨界條件建立速度關(guān)

5、系和位移關(guān)系求解解析：兩車恰好不相撞的條件是兩車速度相同時(shí)相遇。由A、B速度關(guān)系：v1-at=v2 （包含了時(shí)間關(guān)系）由A、B位移關(guān)系： v1t-1/2at2=v2t+x0 所以：a0.5m/s2 B：（圖像法）解題思路：在同一個(gè)v-t圖像中畫出兩車的運(yùn)動(dòng)圖像根據(jù)圖像的物理意義建立關(guān)系式求解解析：在同一個(gè)v-t圖中畫出A車和B車的速度時(shí)間圖像圖線，根據(jù)圖像面積的物理意義，兩車位移之差等于圖中梯形的面積與矩形面積的差，當(dāng)t=t0時(shí)梯形與矩形的面積之差最大,為圖中陰影部分三角形的面積.根據(jù)題意,陰影部分三角形的面積不能超過100 .1/2（20-10）t0=100 所以：t0=20sa=tan=(

6、20-10 )/20=0.5m/s2故a0.5m/s2物體的v-t圖像的斜率表示加速度,面積表示位移Vtt總200A車B車10t0C：（相對(duì)運(yùn)動(dòng)法）解題思路：選擇其中一車為參照物分析另一車的運(yùn)動(dòng)情況建立位移關(guān)系解析：以B車為參照物， A車的初速度為v0=10m/s，以加速度大小a減速，行駛x=100m后“停下”，末速度為vt=0。Vt=0 vt2-v02=2ax0 （由于不涉及時(shí)間，所以選用速度位移公式。 ） 故a0.5m/s2備注：以B為參照物,公式中的各個(gè)量都應(yīng)是相對(duì)于B的物理量.注意物理量的正負(fù)號(hào)。D：（二次函數(shù)極值法）解題思路：根據(jù)位移關(guān)系建立關(guān)于時(shí)間的一元二次不等式 一元二次函數(shù)極值

7、法求解解析：若兩車不相撞，其位移關(guān)系應(yīng)為v1t-1/2at2-v2t0其圖像(拋物線)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)必為正值,故有 所以：a0.5m/s2把物理問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)二次函數(shù)的極值求解的數(shù)學(xué)問題。例2.一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開始加速行駛，恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊超過汽車。試求：汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？ A：（公式法）解題思路：找到兩車距離最大的臨界條件根據(jù)速度關(guān)系、時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系求解解析：當(dāng)汽車的速度與自行車的速度相等時(shí)，兩車之間的距離最大。設(shè)經(jīng)時(shí)間t兩車之間的距離最大。 則 v汽=

8、at=v自 所以：t=v自/a=2sxm=x自-x汽=v自t-1/2at2=62-1/2322m=6mB：（圖像法）解題思路：在同一個(gè)v-t圖像中畫出兩車的運(yùn)動(dòng)圖像 根據(jù)陰影部分物理意義建立關(guān)系式求解解析:在同一個(gè)v-t圖中畫出自行車和汽車的速度時(shí)間圖像，根據(jù)圖像面積的物理意義，兩車位移之差等于圖中矩形面積與三角形面積的差，當(dāng)t=t0時(shí)矩形與三角形的面積之差最大。 v-t圖像的斜率表示物體的加速度6/t0=tan =3所以 t0=2s當(dāng)t=2s時(shí)兩車的距離最大為圖中陰影三角形的面積xm=1/226m=6m 動(dòng)態(tài)分析隨著時(shí)間的推移,矩形面積（自行車的位移）與三角形面積（汽車的位移）的差的變化規(guī)律

9、C ：（相對(duì)運(yùn)動(dòng)法）解題思路：選擇其中一車為參照物利用位移公式建立位移關(guān)系選自行車為參照物，以汽車相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，汽車相?duì)自行車沿反方向做勻減速運(yùn)動(dòng)v0=-6m/s，a=3m/s2，兩車相距最遠(yuǎn)時(shí)vt=0 對(duì)汽車由公式 : vt=v0+at （由于不涉及位移，所以選用速度公式 ）即： t=(vt-v0)/a=2s 對(duì)汽車由公式 ：vt2-v02=2as（由于不涉及“時(shí)間”，所以選用速度位移公式 ）表示汽車相對(duì)于自行車是向后運(yùn)動(dòng)的,其相對(duì)于自行車的位移為向后6m.D：（二次函數(shù)極值法）解題思路：根據(jù)位移關(guān)系建立關(guān)于時(shí)間的一元二次不等式 一元二次函數(shù)極值法求解設(shè)經(jīng)過時(shí)間t汽車和自行車之

10、間的距離x，則 x=v自-1/2 at2=6t - 3/2 t2 ， 思考：汽車經(jīng)過多少時(shí)間能追上摩托車?此時(shí)汽車的速度是多大?汽車運(yùn)動(dòng)的位移又是多大？x=6t - 3/2 t2=0 所以 T=4s v汽=aT=12m/s x汽=1/2 aT 2=24m 例3.同一直線上的A、B兩質(zhì)點(diǎn)，相距s，它們向同一方向沿直線運(yùn)動(dòng)（相遇時(shí)互不影響各自的運(yùn)動(dòng)），A做速度為v的勻速直線運(yùn)動(dòng)，B從此時(shí)刻起做加速度為a、初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng).（1）若A在B前，兩者可相遇幾次？解題思路：在同一個(gè)v-t圖像中畫出兩質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)圖像根據(jù)面積差的物理意義建立關(guān)系求解解析： 若A車在前勻速運(yùn)動(dòng)，B車在后勻加速追趕A車，

11、兩車等速時(shí)相距最遠(yuǎn)（間距大于s），故B車追及A車時(shí)必有vBvA，以后B車在前，兩車間距逐漸增大，不可能再相遇.Vtt1v00ABvAt0例3.同一直線上的A、B兩質(zhì)點(diǎn)，相距s，它們向同一方向沿直線運(yùn)動(dòng)（相遇時(shí)互不影響各自的運(yùn)動(dòng)），A做速度為v的勻速直線運(yùn)動(dòng)，B從此時(shí)刻起做加速度為a、初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng).（2）若B在A前，兩者最多可相遇幾次？解題思路：在同一個(gè)v-t圖像中畫出兩質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)圖像根據(jù)面積差的物理意義建立關(guān)系求解解析：若B車在前勻加速運(yùn)動(dòng)，A車在后勻速運(yùn)動(dòng)，若追及時(shí)兩車恰等速，因以后vBvA，不可再次相遇，即只能相遇1次；但若A車追及B車時(shí)vAvB，相遇后A車超前，但由于B車速

12、度不斷增大，仍能再次追及A車，即能相遇2次.Vtt1v00ABvAt0本課小結(jié)問題實(shí)質(zhì)問題剖析解題方法下節(jié)課 再見一、追及問題的分析方法:根據(jù)追逐的兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì),選擇同一參照物,列出兩個(gè)物體的位移方程;相關(guān)量的確定D.聯(lián)立議程求解.說明:追及問題中常用的臨界條件:速度小者追速度大者,追上前兩個(gè)物體速度相等時(shí),有最大距離;速度大者減速追趕速度小者,追上前在兩個(gè)物體速度相等時(shí),有最小距離.即必須在此之前追上,否則就不能追上.二、相遇問題的分析方法:根據(jù)兩物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì),列出兩物體的運(yùn)動(dòng)位移方程;找出兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的關(guān)系;利用兩個(gè)物體相遇時(shí)必須處于同一位置,找出兩個(gè)物體位移之間的關(guān)系;

13、聯(lián)立方程求解.5.高為h的電梯正以加速度a勻加速上升,忽然天花板上一螺釘脫落,求螺釘落到底板上的時(shí)間.7一列火車以v1的速度直線行駛，司機(jī)忽然發(fā)現(xiàn)在正前方同一軌道上距車為s處有另一輛火車正沿著同一方向以較小速度v2做勻速運(yùn)動(dòng)，于是他立即剎車，為使兩車不致相撞，則a應(yīng)滿足什么條件？7【答案】a【解析】若后面火車的速度減小到比前面火車的速度還小時(shí)，后面火車還沒追上前面火車，兩車不會(huì)相撞.若后面火車速度減小到跟前面火車速度相等時(shí)，兩列火車恰好相遇，這是相撞的臨界情況.方法1：設(shè)兩車經(jīng)過時(shí)間t相遇，則v1t-at2-v2t=s化簡(jiǎn)得：at2-2(v1-v2)t+2s=0當(dāng)=4(v1-v2)2-8as0

14、即a時(shí)，t無解，即兩車不相撞.方法2：當(dāng)兩車速度相等時(shí)，恰好相遇，是兩車相撞的臨界情況，則v1-at=v2v1t-at2-v2t=s解得a=為使兩車不相撞,應(yīng)使a.方法3:后面的車相對(duì)前面的車做勻減速運(yùn)動(dòng),初狀態(tài)相對(duì)速度為(v1-v2),當(dāng)兩車速度相等時(shí),相對(duì)速度為零,根據(jù)vt2-v02=2as,得,為使兩車不相撞,應(yīng)有(v1-v2)22asa1一車處于靜止?fàn)顟B(tài),車后距車S0=25處有一個(gè)人,當(dāng)車以1的加速度開始起動(dòng)時(shí),人以6的速度勻速追車,能否追上?若追不上,人車之間最小距離是多少?答案.S人-S車=S0v人t-at2/2=S0即t2-12t+50=0=b2-4ac=122-450=-560

15、方程無解.人追不上車當(dāng)v人=v車at時(shí),人車距離最小t=6/1=6sSmin=S0+S車-S人=25+162/2-66=7m3.公共汽車從車站開出以4m/s的速度沿平直公路行駛，2s后一輛摩托車從同一車站開出勻加速追趕，加速度為2m/s2，試問：（1）摩托車出發(fā)后，經(jīng)多少時(shí)間追上汽車？（2）摩托車追上汽車時(shí)，離出發(fā)處多遠(yuǎn)？（3）摩托車追上汽車前，兩者最大距離是多少？3【答案】5.46s29.9m12m【解析】開始一段時(shí)間內(nèi)汽車的速度大，摩托車的速度小，汽車和摩托車的距離逐漸增大，當(dāng)摩托車的速度大于汽車的速度后，汽車和摩托車的距離逐漸減小，直到追上.顯然，在上述過程中，摩托車的速度等于汽車的速度

16、時(shí)，它們間的距離最大.（1）摩托車追上汽車時(shí)，兩者位移相等，即v(t+2)=at2解得摩托車追上汽車經(jīng)歷的時(shí)間為t=5.46s（2）摩托車追上汽車時(shí)通過的位移為s=at2=29.9m（3）摩托車追上汽車前，兩車速度相等時(shí)相距最遠(yuǎn)，即：v=att=2s最大距離為s=v(t2)-at2=12m5.同一直線上的A、B兩質(zhì)點(diǎn)，相距s，它們向同一方向沿直線運(yùn)動(dòng)（相遇時(shí)互不影響各自的運(yùn)動(dòng)），A做速度為v的勻速直線運(yùn)動(dòng)，B從此時(shí)刻起做加速度為a、初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng).若A在B前，兩者可相遇幾次？若B在A前，兩者最多可相遇幾次？5.【答案】1；2【解析】若A車在前勻速運(yùn)動(dòng)，B車在后勻加速追趕A車，兩車等

17、速時(shí)相距最遠(yuǎn)（間距大于s），故B車追及A車時(shí)必有vBvA，以后B車在前，兩車間距逐漸增大，不可能再相遇.若B車在前勻加速運(yùn)動(dòng)，A車在后勻速運(yùn)動(dòng)，若追及時(shí)兩車恰等速，因以后vBvA，不可再次相遇，即只能相遇1次；但若A車追及B車時(shí)vAvB，相遇后A車超前，但由于B車速度不斷增大，仍能再次追及A車，即能相遇2次.6.一列貨車以28.8km/h的速度在平直鐵路上運(yùn)行，由于調(diào)度失誤，在后面600m處有一列快車以72km/h的速度向它靠近.快車司機(jī)發(fā)覺后立即合上制動(dòng)器，但快車要滑行2000m才停止.試判斷兩車是否會(huì)相碰.6.【解析】?jī)绍囁俣认嗟惹∽芳扒败?，這是恰不相碰的臨界情況，因此只要比較兩車等速時(shí)的

18、位移關(guān)系，即可明確是否相碰.因快車減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為：a=m/s2=0.1m/s2.故快車剎車至兩車等速歷時(shí)：t=s=120s.該時(shí)間內(nèi)兩車位移分別是：s快=v快t-at2=20120m-0.11202m=1680ms貨=v貨t=8120m=960m因?yàn)閟快s貨+s0=1560m,故兩車會(huì)發(fā)生相撞.8.A、B兩車沿同一直線向同一方向運(yùn)動(dòng)，A車的速度vA=4m/s,B車的速度vB=10m/s.當(dāng)B車運(yùn)動(dòng)至A車前方7m處時(shí)，B車以a=2m/s2的加速度開始做勻減速運(yùn)動(dòng)，從該時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，則A車追上B車需要多長(zhǎng)時(shí)間？在A車追上B車之前，二者之間的最大距離是多少？8.【答案】8；16【解析】設(shè)在B車減速過程中A車追及B車，其間歷時(shí)為t，則：vAt=vBt-at2+7，代入數(shù)據(jù)解得：t=7s(取有意義值).而B車減速至零，歷時(shí)t0=5st，故上解錯(cuò)誤.正確的解答應(yīng)為：