預(yù)科理科高等數(shù)學(xué)考試大綱(高清重制版)

1、普通高等學(xué)校少數(shù)民族本科預(yù)科數(shù)學(xué)考試大綱（一年制理科）、考試性質(zhì)與目的預(yù)科數(shù)學(xué)理科畢業(yè)考試注重考察學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和思維能力、運(yùn)算能力、以及分析問題和解決問題的能力。、考試內(nèi)容和基本要求依據(jù)普通高等學(xué)校少數(shù)民族本科預(yù)科數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行）（一年制理科）的教學(xué)內(nèi)容，考生應(yīng)了解或理解“一元函數(shù)微積分學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)的基本概念與基本定理，掌握或靈活運(yùn)用上述各部分的基本方法，應(yīng)理解各部分知識(shí)結(jié)構(gòu)及知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，從而形成一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力。一、函數(shù)、極限與連續(xù)（一）考試內(nèi)容初等函數(shù)（初等函數(shù)是由冪函數(shù)(pow

2、er function)、指數(shù)函數(shù)(exponential function)、對(duì)數(shù)函數(shù)(logarithmic function)、三角函數(shù)(trigonometric function)、反三角函數(shù)(inverse trigonometic function)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算（加、減、乘、除、有理數(shù)次乘方、有理數(shù)次開方）及有限次函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生、并且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)。它是最常用的一類函數(shù)，包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)（以上是基本初等函數(shù)），以及由這些函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或函數(shù)的復(fù)合而得的所有函數(shù)。即基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算或有限次

3、的函數(shù)復(fù)合所構(gòu)成并可以用一個(gè)解釋式表出的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。1 還有一系列雙曲函數(shù)也是初等函數(shù)，如sinh 的名稱是雙曲線正弦或超正弦, cosh 是雙曲余弦或超余弦,tanh 是雙曲線正切、coth 是雙曲線余切、sech 是雙曲線正割、csch 是雙曲線余割。初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。），數(shù)列、函數(shù)極限（設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)（無論它多么小），總存在正數(shù) ，使得當(dāng)x滿足不等 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式：那么常數(shù)A就叫做函數(shù)

4、0;當(dāng) 時(shí)的極限，記作）； 極限的運(yùn)算法則(定理1：兩個(gè)無窮小的和也是無窮小,定理2：有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小,定理3：常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小,定理4：有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小)； 兩個(gè)重要極限(第一個(gè):x趨近于0時(shí),sinx/x的極限為1 .第二個(gè)：n趨近于無窮大時(shí),（1+1/n）的n次方的極限為e)； 無窮小的概念與階的比(無窮小概念：設(shè)f在某x0的空心鄰域有定義。對(duì)于任給的正數(shù) （無論它多么小），總存在正數(shù)(或正數(shù)）使得不等式 （或）的一切 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式，則稱函數(shù) 為當(dāng)（或 ）時(shí)的無窮小量。記做：（或&

5、#160;）。階的比較 前提條件無窮小量是以0為極限的函數(shù)，而不同的無窮小量收斂于0的速度有快有慢。因此兩個(gè)無窮小量之間又分為高階無窮小，低階無窮小，同階無窮小，等價(jià)無窮小。首先規(guī)定 都為時(shí)的無窮小，在某的空心鄰域恒不為0。高低階無窮小量 ，則稱當(dāng) 時(shí)，f為g的高階無窮小量，或稱g為f的低階無窮小量。記做 ( )特別的，f為當(dāng) 時(shí)的無窮小量記作 ( )同階無窮小量當(dāng)（c0）時(shí)，和為 時(shí)的同階無窮小量。當(dāng)x0時(shí)的同階無窮小量： 與;與等價(jià)無窮小量 ，則稱和是當(dāng)時(shí)的等價(jià)無窮小量，記做：（&

6、#160;）等價(jià)無窮小量應(yīng)用最廣泛，常見的有當(dāng)x0時(shí)， ， ， （ ）較；函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。（二）考試要求1理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)的基本性態(tài)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性）。了解反函數(shù)的概念，理解復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)的概念。2理解數(shù)列極限、函數(shù)極限（包括左右極限（x->1-或者1+的意思是從1的左邊或者右邊趨向1那么x-1就一個(gè)是負(fù)的一個(gè)是正的比如第一個(gè) x->1- 那么1/(x-1)就是- e的-是0 所以分母為1 極限是1而第二個(gè)x->1+ 那么1/(x-1)就是+ 分母就是- 極限

7、是0）的概念（不要求做給出e ，求 N 或d 的習(xí)題）；了解極限性質(zhì)，（唯一性、有界性、保號(hào)性）和極限的兩個(gè)存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則（單調(diào)有界準(zhǔn)則，單調(diào)增函數(shù)有上界則有上確界,單調(diào)減函數(shù)有下界則有下確界.夾擠準(zhǔn)則當(dāng)Limitg(x),xa=c,Limith(x),xa=c,且g(x)f(x)h(x),則Limitf(x),xa=c.）。3掌握函數(shù)極限的運(yùn)算法則；熟練掌握極限計(jì)算方法。掌握兩個(gè)重要極限，會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限（；掌握分段函數(shù)極限的求法（1、函數(shù)在間斷點(diǎn)處,如果：左右極限分別存在,并且相等,還等于該點(diǎn)的函數(shù)值,則,函數(shù)在該點(diǎn)存在極限,即函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).如果：左右極限分別存在

8、,但不相等,則函數(shù)在該點(diǎn)無極限,即函數(shù)間斷.如果：左右極限分別存在,并且相等,但不等于函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值,則函數(shù)間斷.2、極限求法：就是求間斷點(diǎn)處的左右極限：如：f(x)=x-1 當(dāng)x0,f(x)=x-1 當(dāng)x=0,f(x)=x-1 當(dāng)x0,注：f(x)是一個(gè)函數(shù).左極限：lim(x0-0)=-1右極限：lim(x0+0)=1所以 左右極限不相等,故函數(shù)在點(diǎn)x=0處,無極限,即函數(shù)在x=0處間斷.）。4理解無窮小、無窮大、高階無窮小、等價(jià)無窮小的概念，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。5理解函數(shù)連續(xù)和間斷的概念，會(huì)判別間斷點(diǎn)的類型。了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。6理解初等函數(shù)的連續(xù)性，掌握利用復(fù)合函數(shù)連續(xù)性

9、求極限的方法。二、導(dǎo)數(shù)與微分（一）考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念及求導(dǎo)法則；隱函數(shù)所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；高階導(dǎo)數(shù)（1、二階以上的導(dǎo)數(shù)習(xí)慣上稱之為高階導(dǎo)數(shù)。2、一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中A為三階導(dǎo)數(shù)，B為四階導(dǎo)數(shù)，則可以說B是A的高階導(dǎo)數(shù)。)；微分的概念與運(yùn)算法則(在數(shù)學(xué)中，微分是對(duì)函數(shù)的局部變化的一種線性描述。微分可以近似地描述當(dāng)函數(shù)自變量的變化量取值作足夠小時(shí)，函數(shù)的值是怎樣改變的。比如，x的變化量x趨于0時(shí)，則記作微元dx。當(dāng)某些函數(shù)的自變量有一個(gè)微小的改變時(shí)，函數(shù)的變化可以分解為兩個(gè)部分。一個(gè)部分是線性部分：在一維情況下，它正比于自變量的變化量x，可以表示成x和一個(gè)與x無關(guān)，只與函數(shù)及有關(guān)的量的乘積；在更廣泛

10、的情況下，它是一個(gè)線性映射作用在上x的值。另一部分是比x更高階的無窮小，也就是說除以x后仍然會(huì)趨于零。當(dāng)改變量很小時(shí)，第二部分可以忽略不計(jì)，函數(shù)的變化量約等于第一部分，也就是函數(shù)在x處的微分，記作df(x)或f'(x)dx。如果一個(gè)函數(shù)在某處具有以上的性質(zhì)，就稱此函數(shù)在該點(diǎn)可微。不是所有的函數(shù)的變化量都可以分為以上提到的兩個(gè)部分。若函數(shù)在某一點(diǎn)無法做到可微，便稱函數(shù)在該點(diǎn)不可微。在古典的微積分學(xué)中，微分被定義為變化量的線性部分，在現(xiàn)代的定義中，微分被定義為將自變量的改變量映射到變化量的線性部分的線性映射。這個(gè)映射也被稱為切映射。給定的函數(shù)在一點(diǎn)的微分如果存在，就一定是唯一的。基本法則連

11、鎖律乘法律 除法律 )。（二）考試要求1理解導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義，了解函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，會(huì)求平面曲線的切、法線方程。2掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；掌握 隱函數(shù)求導(dǎo)法、由參數(shù)方程確定函數(shù)的求導(dǎo)法及取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。會(huì)熟練求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法。4理解微分的概念，了解微分的運(yùn)算法則及微分與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)求初等函數(shù)的微分。三、中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（一）考試內(nèi)容羅爾中值定理(羅爾中值定理是微分學(xué)中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，描述如下：如果函數(shù)f(x)滿足以下條件：（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，（2）在(a

12、,b)內(nèi)可導(dǎo)，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個(gè)(a,b)，使得f'()=0。)拉格朗日中值定理（如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)；那么在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)使等式 成立。其他形式設(shè)是閉區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)為區(qū)間內(nèi)的另一點(diǎn)，則定理在或在區(qū)間可表示為此式稱為有限增量公式。）；洛必達(dá)法則；函數(shù)單調(diào)性與極值、曲線凹凸性與拐點(diǎn)。（二）考試要求1掌握用洛必達(dá)法則求 00 （若函數(shù)  和滿足下列條件：，； 在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；（可為實(shí)數(shù)，也可為 ± 或 ），則）， ¥¥ （

13、若函數(shù) 和 滿足下列條件： ； 在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且 ；（ 可為實(shí)數(shù)，也可為或），則）， 0 ×¥（可將乘積中的無窮小或無窮大變形到分母上，化為型或 型。例：求解：原式=） ， ¥ - ¥（把兩個(gè)無窮大變形為兩個(gè)無窮小的倒數(shù)，再通分使其化為型。例：求解：原式=） 型可利用對(duì)數(shù)性質(zhì) 將函數(shù)化簡(jiǎn)成以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，對(duì)指數(shù)進(jìn)行求極限。針對(duì)不同的問題，還可以利用等價(jià)無窮小 作替換，化簡(jiǎn)算式。例：求解：原式= =上式求解過程中，利用了等價(jià)

14、無窮小的替換，即把替換成了 。(4) 型同上面的化簡(jiǎn)方法例：求解：原式=(5)型同上面的化簡(jiǎn)方法例：求解：原式=注意不能在數(shù)列形式下直接用洛必達(dá)法則，因?yàn)閷?duì)于離散變量是無法求導(dǎo)數(shù)的。但此時(shí)有形式類近的斯托爾茲切薩羅定理（StolzCesàro theorem）作為替代。等類型未定式極限的方法。2掌握用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間。3. 掌握極值的定義、極值存在的判定定理和求函數(shù)極值的方法。4理解函數(shù)凹凸性和拐點(diǎn)的概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凹凸性和拐點(diǎn)的方法。5. 掌握求曲線的水平漸近線與垂直漸近線的方法，了解求曲線斜漸近線的方法。6了解羅爾中值定理

15、、拉格朗日中值定理（對(duì)定理的分析證明不作要求）的條件、結(jié)論。四、不定積分（一）考試內(nèi)容原函數(shù)與不定積分概念，換元積分法和分部積分法，簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分法。（二）考試要求1理解原函數(shù)（定義：已知函數(shù)f(x)是一個(gè)定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)都有dF(x)=f(x)dx，則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。例：sinx是cosx的原函數(shù)。若函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間內(nèi)必存在原函數(shù)，這是一個(gè)充分而不必要條件，也稱為“原函數(shù)存在定理”。如果函數(shù)F（x）在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)不是唯一的，而且有無數(shù)個(gè)。如果函數(shù)F（x）

16、在區(qū)間I上存在原函數(shù)，則其任意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng)。結(jié)論若F（x）=f（x），則f(x)的原函數(shù)都可用F（X）+c表示。）與不定積分（定義：òf（x）dx表示函數(shù)f（x）原函數(shù)的全體，則稱òf（x）dx為 f（x）的不定積分。性質(zhì)：1、函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和；即：設(shè)函數(shù)及的原函數(shù)存在，則2、求不定積分時(shí)，被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來。即：設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在，非零常數(shù)，則。）的概念和性質(zhì)。2掌握不定積分的基本公式（注：以下的C都是指積分常數(shù)。1、，a是常數(shù)2、，其中a為常數(shù)，且a  -13、4、5、 ，其中a 

17、;> 0 ，且a  16、7、8、9、 °10、 °11、） °、直接積分法（直接利用積分公式求出不定積分。）、第一類換元法（即湊微分法）（通過湊微分，最后依托于某個(gè)積分公式。進(jìn)而求得原不定積分。例如） 。、第二類換元法（限于三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）（注：第二類換元法的變換式必須可逆。第二類換元法經(jīng)常用于消去被積函數(shù)中的根式。當(dāng)被積函數(shù)是次數(shù)很高的二項(xiàng)式的時(shí)候，為了避免繁瑣的展開式，有時(shí)也可以使用第二類換元法求解。常用的換元手段有兩種：1、 根式代換法，2、 三角代換法。在實(shí)際應(yīng)用中，代換法最常見的是鏈?zhǔn)椒?/p>

18、則，而往往用此代替前面所說的換元。鏈?zhǔn)椒▌t是一種最有效的微分方法，自然也是最有效的積分方法，下面介紹鏈?zhǔn)椒▌t在積分中的應(yīng)用：鏈?zhǔn)椒▌t：我們?cè)趯戇@個(gè)公式時(shí)，常常習(xí)慣用u來代替g，即：如果換一種寫法，就是讓：就可得：這樣就可以直接將dx消掉，走了一個(gè)捷徑。）、分部積分法（設(shè)函數(shù)和u，v具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則d(uv)=udv+vdu。移項(xiàng)得到udv=d(uv)-vdu兩邊積分，得分部積分公式udv=uv-vdu為  稱公式為分部積分公式如果積分vdu易于求出，則左端積分式隨之得到分部積分公式運(yùn)用成敗的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇u,v一般來說，u,v 選取的原則是：1、積分容易者選為v， 2、求

19、導(dǎo)簡(jiǎn)單者選為u。例子：Inx dx中應(yīng)設(shè)U=Inx,V=x分部積分法的實(shí)質(zhì)是：將所求積分化為兩個(gè)積分之差，積分容易者先積分。實(shí)際上是兩次積分。），簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分法（有理函數(shù)分為整式（即多項(xiàng)式）和分式（即兩個(gè)多項(xiàng)式的商），分式分為真分式和假分式，而假分式經(jīng)過多項(xiàng)式除法可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)整式和一個(gè)真分式的和可見問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算真分式的積分可以證明，任何真分式總能分解為部分分式之和.（淡化特殊積分技巧的訓(xùn)練， 對(duì)于有理函數(shù)積分的一般方法不作要求， 即有理式 P(x) 拆分成Q(x)A1AkBx + CDx + E1,，,等形式不做要求，但如這樣簡(jiǎn)單x - a(x - a)kx2 + px + q(x

20、2+ px + q)ka2 - x2的有理式積分應(yīng)掌握）。五、定積分及其應(yīng)用（一）考試內(nèi)容定積分的概念和性質(zhì)，積分變上限函數(shù)(設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b并且設(shè)x為a,b上的一點(diǎn)，考察下面函數(shù)：如果上限x在區(qū)間a,b上任意變動(dòng)，則對(duì)于每一個(gè)取定的x值，定積分有一個(gè)對(duì)應(yīng)值，所以它在a,b上定義了一個(gè)函數(shù)，這就是積分變限函數(shù)。注：1.函數(shù)變量是x，t為積分變量，兩者應(yīng)注意區(qū)別。2.積分變上限函數(shù)和積分變下限函數(shù)統(tǒng)稱積分變限函數(shù)。上式為積分變上限函數(shù)的表達(dá)式，當(dāng)x與a位置互換后即為積分變下限函數(shù)的表達(dá)式，所以我們只討論積分變上限函數(shù)即可。積分變限函數(shù)表示曲邊梯形的面積3.從幾何上看，這個(gè)積分上限函數(shù)(

21、x)表示區(qū)間a，x上曲邊梯形的面積（如右圖）積分變限函數(shù)與以前所接觸到的所有函數(shù)形式都很不一樣。首先，它是由定積分來定義的；其次，這個(gè)函數(shù)的自變量出現(xiàn)在積分上限或積分下限。)，牛頓萊布尼茲公式(如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則，定積分的換元積分法 ( 假設(shè)（1） 在上連續(xù)；（2） 函數(shù)在上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（3） 當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，的值在上變化，且、，則 有.應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:求出的一個(gè)原函數(shù)后，不必象計(jì)算不定積分那樣再要把變換成原變量的函數(shù)，而只要把新變量的上、下限分別代入然后相減就行了.用把變量換成新變量時(shí)，積分限也相應(yīng)的改變.)和分部積分法(簡(jiǎn)寫為例如1/0arcsin xdx=xarcsinx1/0-1/0 xdarcsinx從這個(gè)例子中就可以看到在定積分上是如何應(yīng)用的。例如 ，積分等式以及積分不等式的判定（沒查到有用的）；微元法的基本思想，定積分的應(yīng)用求直角坐標(biāo)系下平面