任意角的三角比精品講義

1、課題 任意角的三角比1、任意角及其度量一、知識(shí)梳理I、角的概念的推廣1、角的定義一條射線由原來的位置OA繞著它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到另一位置OB所形成的圖形就是角。旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線OA叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線OB叫做角的終邊，射線的端點(diǎn)O叫做角的頂點(diǎn)。2、角的分類（1）按旋轉(zhuǎn)方向分類可分為正角、負(fù)角和零角 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角，一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，這時(shí)形成的角叫做零角。（2）按角的終邊位置分類 在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)及原點(diǎn)重合，角的始邊及x軸的正半軸重合，角的終邊（除端點(diǎn)外）落在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角，當(dāng)角的終邊落在坐標(biāo)軸上就

2、認(rèn)為這些角不屬于任何象限。3、終邊相同的角的集合表示 所有及角終邊相同的角，連同角在內(nèi)可以用式子k·360°+，（kZ）來表示，即任一及角終邊相同的角，都可以表示成角及整數(shù)個(gè)周角的和。【終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合表示】終邊落在x軸的正半軸上：終邊落在x軸的負(fù)半軸上：終邊落在y軸的正半軸上：終邊落在y軸的負(fù)半軸上：終邊落在x軸上：終邊落在y軸上：終邊落在坐標(biāo)軸上：【象限角的集合表示】 第一象限角：第二象限角：第三象限角：第四象限角：【幾類特殊角的表示】終邊在第一、 三象限角平分線：終邊在第二、 四象限角平分線：終邊在x軸上方：終邊在x軸下方：終邊在y軸右側(cè)：終邊在y軸左側(cè)：

3、終邊關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)角：終邊關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)角：二、例題分析例1、下列命題中是真命題的是 （ ）A小于90°的角是銳角；B若是銳角，則的終邊在第一象限；C若角及角的終邊相同，則=；D若的終邊在第一象限，則是正角。例2、在下列各角中及330°角的終邊相同的是 （ ）A510°B150°C60°D390°例3、將下列各角化成+2k（02，kZ）的形式，并指出它們是第幾象限的角：（1）；（2）315°； （3）1 500°；（4）9II、弧度制1、角的度量（1）弧度制的定義長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角

4、，記作1 rad，以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制。（2）角的弧度數(shù)的計(jì)算若是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)弧的長，r是圓的半徑，那么的弧度數(shù)的絕對(duì)值2、角度制及弧度制的換算（1）角度化為弧度360°=2 rad，180°=rad；1°= rad0017 45 rad（2）弧度化為角度2 rad=360°， rad=180°，1 rad=5730°（3）常用的特殊角的弧度數(shù)角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°120°135°1

5、50°弧度03、弧長公式和扇形面積公式（1）弧長公式角度制下的弧長公式為l=（n為角的角度數(shù)）弧度制下弧長公式為l=·r，其中為圓弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)，r為圓的半徑（2）扇形面積公式角度制下的扇形面積公式S=弧度制下扇形面積公式為S=l·r，其中l(wèi)為扇形的弧長，r為扇形的半徑，弧度制下扇形面積公式還可以表示為S=r，其中為扇形的圓心角，r為扇形的半徑例4、（1）將315°30化成弧度；（2）將135 rad化成度；（3）時(shí)間經(jīng)過4小時(shí)，時(shí)針、分針各轉(zhuǎn)多少度？等于多少弧度？例5、已知扇形OAB的圓心角為120°，半徑長為6，（1）求的長；（2）

6、求弓形AB的面積。三、鞏固練習(xí)1在及角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角（1）最大的負(fù)角；（2）最小的正角；（3）360°720°的角。2如圖，試用弧度制： （1）分別寫出終邊在OA、OB上的角的集合；（2）寫出終邊落在陰影部分（含邊界）的角的集合。3若是第二象限角，試判斷2，角各是第幾象限角？4用30cm長的鐵絲圍成一個(gè)扇形，應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)才能使扇形面積最大？最大面積是多少？5如圖，點(diǎn)A在半徑為1且圓心在原點(diǎn)的圓上，且AOx=45°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，依逆時(shí)針方向等速沿單位圓周旋轉(zhuǎn)。已知P在1秒鐘內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為（0°<<1

7、80°），經(jīng)過2秒鐘到達(dá)第三象限，經(jīng)過14秒鐘后又回到出發(fā)點(diǎn)A，求。6若是第三象限角，則所屬的象限是。四、課堂檢測(cè)1用弧度制表示下列各角：30°=，60°=，90°=，120°=，150°=，240°=，270°=，360°=。用角度制表示下列各角：=，=，=，=，3=。3終邊在y軸的左方的角的集合是。4如圖所示，終邊落在陰影部分（含邊界）的角的集合為。圖5圓的半徑為6 cm，則15°的圓心角所對(duì)的弧長為，扇形面積為（用表示）6下列命題：第一象限角都是銳角；銳角都是第一象限角；第一象限角一定不是

8、負(fù)角；第二象限角大于第一象限角；第二象限角是鈍角；小于180°的角是鈍角、直角或銳角；其中真命題的序號(hào)是。7已知為第三象限的角，則終邊所在位置是。8扇形的周長是16，圓心角是2 rad，則扇形的面積是。9把下列各角化成0到2的角加上2k（kZ）的形式，并指出它們是第幾象限角。（1）；（2）；（3）1200°；（4）12345°10（1）在已知圓內(nèi)，1弧度的圓心角所對(duì)的弦長為2，則這個(gè)圓心角所對(duì)弧長為多少？（2）扇形OAB的面積是1 cm，它的周長是4 cm，求它的圓心角和弦AB的長。11已知集合A=|30°+k·180°<<

9、;90°+k·180°，kZ，集合B=|45°+k·360°<<45°+k·360°，kZ，求AB。2、任意角的三角比一、知識(shí)梳理I、任意角的三角比1、任意角的三角比的定義設(shè)施一個(gè)任意角，的終邊上任意一點(diǎn)P（除端點(diǎn)外）的坐標(biāo)是（x，y），它及原點(diǎn)的距離是r（r=>0），那么：比值叫做的正弦，記作sin，即sin=（R）；比值叫做的余弦，記作cos，即cos=（R）；比值叫做的正切，記作tan，即tan=（k+，kZ）；比值叫做的余切，記作cot，即cot=（k，kZ）；比值叫做的正割，記

10、作sec，即sec=（k+，kZ）；比值叫做的余割，記作csc，即csc=（k，kZ）；2、單位圓中的三角函數(shù)線設(shè)任意角的終邊及單位圓相交于點(diǎn)P（x，y），那么，sin=y，cos= x，如上右圖，單位圓中的有向線段MP、OM、AT分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，即sin=MP，cos=OM，tan=AT。二、例題分析例1、已知角的終邊上有一點(diǎn)P（3t，4t）（t0），求角的六種三角函數(shù)值。II、任意三角比的第一組誘導(dǎo)公式及各三角比在每個(gè)象限的符號(hào)1、第一組誘導(dǎo)公式終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，即：sin（+k·360°）=sincos（+k·360

11、76;）=costan（+k·360°）=tan2、一些特殊角的三角函數(shù)值3、各三角比在每個(gè)象限的符號(hào) sin(csc) cos(sec) tan(cot)例2、根據(jù)下列條件，確定是第幾象限的角。（1）sin>0，tan<0；（2）cos·tan>0；（3）sin2>0，cos<0。三、鞏固練習(xí)1已知（0，），求證：sin<<tan。2若是第三象限角，判斷以下各式的正、負(fù)。（1）sin+cos；（2）tansin；（3）cot·sec；（4）sin·sec3利用三角函數(shù)的定義證明：·=tan4（1）在0，2內(nèi)，求使sin>的角的取值范圍；（2）設(shè)R，求使sin>的角的取值范圍。5“=”是“cos2=”的條件。四、課堂檢測(cè)1角的終邊在y軸上，則的六個(gè)三角比中不存在的是。2已知角的終邊經(jīng)過下列各點(diǎn)，分別求角的正弦、余弦、正切、余切值。（1）P（2，3）；（2）（4t，3t），t03不用計(jì)算器，確定下列三角比的符號(hào)：（1）cos250°；（2）sin（）；（3）tan（672°）；（4）tan4已知sin<0，且tan>0：（1）求角的集