2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)I)(有詳細(xì)解析)

1、2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)I）班級(jí)：姓名：得分：一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1. 若z = 1 + if 貝IJI -*" -2z =()A. 0B. 1C.血D. 22. 設(shè)集合j4 = 兀IF 4 0» B = x2x + 0,且 Ar B = x 2 1,貝IJa =B. -2C.2D.4A. -43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形 狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的髙為邊長(zhǎng)的 正方形而積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)而三角形的面積， 則其側(cè)而三角形底邊上的高與底而正方形的邊長(zhǎng) 的比值為（）A.B. C. ±AD. &

2、#177;242424. 已知A為拋物線Czy- = 2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12,到y(tǒng)軸 的距離為9,則p =（）A. 2B. 3C.6D.95. 某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度鞏單位：。C）的關(guān)系， 在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（叭，E）（i = 1, 2, ， 20）得到下而的散點(diǎn)圖：100%M林騏COW溫由此散點(diǎn)圖，在10。C至40。C之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和 溫度X的回歸方程類型的是（）A. y = a + bx B. y = +b2 C. y = a + l）e, D. y = a +

3、 bnx函（X） =x4-2x3的圖像在點(diǎn)（1（1）處的切線方程為（）A. y = -2x - 1 B. y = 一2x + 1 C. y = 2x - 3 D. y = 2x+l 設(shè)函數(shù)f（x）=2（Mx + ；）在亦，兀的圖像大致如下圖，則f（x）的最小正周期6.7.&9.10.11.12.13.14.15.A.IOttB- yc Td第3頁(yè)共18頁(yè)（X + y）5的展開(kāi)式中y3的系數(shù)為（）A. 5B. 10C. 15已知C (0阿),且3cos2 8cos = 5,貝IJSin =(D. 20已知兒B, C為球O的球而上的三個(gè)點(diǎn)，OOI為Aabc的外接圓.若©6的而 積

4、為47, AB = BC=AC=Oe）則球O的表面積為（）A. 64TTB. 48itC. 36亦D. 32兀已知OMZ二+/-2尤一 2y - 2 = 0,直線h2x+y + 2 = 0, P為/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò) 點(diǎn)P作OM的切線PA, PB,且切點(diǎn)為兒B,當(dāng)PMVAB最小時(shí)，直線AB的方 程為（）A. 2x-y-l = 0 B. 2x + y- 1 = O C 2% -y + 1 = O D 2% + y + 1 = O lf2 + log2 = 4b + 21og4b> 貝J()A. a>2bB. a < 2bC. a >b2D. a <b2 填空題（本大題共4

5、小題，共20.0分）2÷y-2（>,玄一 9 1 2（人貝肱=x + 7y的最大值為3 + l 設(shè)紜，斎為單位向量，且r + T = .貝IJITr-Tl=.2 2已知F為雙曲線C：尋-*= l（ >0fb> 0）的右焦點(diǎn)，為（7的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)且BF垂直于軸若AB的斜率為3,則C的離心率為.16.如圖，在三棱- ABC的平而展開(kāi)圖中，AC = I, AB = AD =3 , AB丄AGAB丄 AD9 Z CAE = 3C ,則匕用 Z FCB =三、解答題(本大題共7小題，共80.0分)17.設(shè)如是公比不為1的等比數(shù)列，為血，“3的等差中項(xiàng).求%的公比;(2

6、)若«1 = 1,求數(shù)列加町的前舁項(xiàng)和.18.如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底而的圓心，AE為底面直徑，AE=AD. AABC是底面的內(nèi)接正=角形，P為Do上一點(diǎn),PO = -D0.CL)證明：PA丄平而P3C；(2)求二面角B -PC E的余弦值.19. 甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，預(yù)左賽制如下：累訃負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首次比賽的兩個(gè)人，另一人輪空;每場(chǎng)比賽 的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人淘汰;當(dāng)一人被淘 汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，期一人最終獲勝，比賽結(jié)朿.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為(1

7、) 求甲連勝四場(chǎng)的概率；(2) 求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；(3) 求丙最終獲勝的概率第5頁(yè).共18貞»20. 已知兒B分別為橢圓E+L=I(>l)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，Ad -gB = 8, P為直線X = 6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C,"與E的另一交 點(diǎn)為D,(1) 求E的方程；(2) 證明：直線CD過(guò)定點(diǎn)21. 已知函f(X) =+2-x.(1) 當(dāng) = l時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2) 當(dāng)XO時(shí)，/() i X3+1,求"的取值范圍.22. 選修4 - 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程X = CoS f,在直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線G的參數(shù)方程為.

8、 f (力為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為y = SIlI f極點(diǎn),X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為4" Z Q _16" Sm0+3 = 0當(dāng)k = f, Cl是什么曲線？(2)當(dāng)Zc =4時(shí)，求Crl與C?的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).23. 選修4 一 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知函數(shù)門咒)=3x+ l-2x- 1|.(1) 畫岀y = /(%)的圖像；(2) 求不等式f (咒)> /(% + 1)的解集.答案和解析1. D解:由Z = 1 + i得以=2i> 2z = 2 + 2i, z2 2z = 2i (2 + 2i) = 2.2. B解：由已知可得4 =

9、 x-2x2, B = (XlX <-9 又因?yàn)榱?F = x-2 x 1,所以一專=1,從而Q =2,解:如圖設(shè)正四棱錐的髙為力，底而邊長(zhǎng)為4側(cè)而三角形底邊上的髙為H,(h2 = -ah,則由題意可%訥丄孑2-2=h化簡(jiǎn)可得4()2 一 2(?) 一 1 = 0,解得夕=¥ 負(fù)值舍去可得竺=坯a 44. C解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),由點(diǎn)A到F軸的距離為9,可得 = 9,由點(diǎn)A到點(diǎn)Q的焦點(diǎn)的距離為12,可得x + =12解得p = 6.5. D解：用光滑的曲線把圖中各點(diǎn)連接起來(lái)，由圖象的走向判斷，此函數(shù)應(yīng)該是對(duì)數(shù)函數(shù)類 型的，故應(yīng)該選用的函數(shù)模型為y = + bln X.6

10、. B解：先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f(x) = 4%3 一 6送，則由函數(shù)的幾何意義可知在點(diǎn)(1(1)的切線斜率為k = ,(1) = -2.又因?yàn)閞(l) = -1,則切線方程為y_ (-1) = -2(%-1),則y = -2x+ 1.7. C解：由圖可知/(-Y) = cos(-y W +)=0, 所以一#w + £ = £ + r(k Z),化簡(jiǎn)叮得W = 年W Z),又因?yàn)門 <2< 2T,即尋V2V舒，所以1 < < 2,當(dāng)且僅當(dāng)k = -l時(shí)1 V3V2,所以w = £ 所以最小正周期T =話=孑.8. C解：(x+y)啲展開(kāi)式通項(xiàng)為

11、CfXS-ryr, r = 0, 1, 2, 3, 4, 5,則(x + )(x + y)s的展開(kāi)式有xCx3ryr, -Cx3-ryr,取r = 3和=l時(shí)可得10%3y3, 5x3y3,合并后系數(shù)為15,9. A解： 3cos2 8cos = 5, 3(2cos2 1) 8cos = 5» 即3cos2 4cos 4=0,(3COSa + 2)(COSa 2) = O, a (0,), HpCOSa =二，3又 (0,Tr), Sina > Ot Sina = cos2a = »310. A解：由圓O丄的而枳為47 = r2,故圓O丄的半徑P = 2»

12、AB = BC=AC= OOIf則三角形ABC是正三角形，第9頁(yè).共18頁(yè)由正弦定理：島=2“ 4,= OoI = 23,由R2 =r2 + OO1z得球O的半徑R = 4,表而枳為4P2 = 64911. D解:圓M方程化為:(X- I)2 +(y I)2 = 4t圓心M(l,l)t半徑護(hù)=2,根據(jù)切線的性質(zhì)及鬪的對(duì)稱性町知PA/丄AD.K'JlPMl AB = 4SMM = 2PA 4Mb要使其值最小,只需P4最小,即IPMl最小，此時(shí)PNfll, IPMl = T笄=5, PA = JIPMl2- 4M2 = 1>過(guò)點(diǎn)M且垂宜于I的方程為y - 1 = "x -

13、1),聯(lián)立/的方程解得P(-l,0),以P為圓心，P>4為半徑的圓的方程為(x+l)2+y2 = l>即K + y2 + 2 = o,結(jié)介圓M的方程兩式相減可得直線AB的方程為2% + y + 1 = 0,12. B解:根據(jù)指數(shù)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 4b + 2log4b = 22b+log2b, log2(2b) = log2b + 1 > log25, 22b + Iog2(2b) > 22b + log2fe = 2a + log2* 根據(jù)函數(shù)f(x) = 2- + log2%是定義域上的增函數(shù), 由/(2b) > f(),得a V 2b,131解：根據(jù)約束條件

14、畫出可行域?yàn)?由z = x + 7y得y = -扌 +扌z,平移直線y =-扌廠 要使Z最大，則y = - * +扌Z在y軸上的截距最大, 由圖可知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(IfO)時(shí)截距最大，此時(shí)z=l.14. 3解:a + bl2 = a2 + b + 2 a b = 2 + 2 b = la b2 =a+b 2a b = 2 2b = 3.,. a-b z315. 2解：由題意可知，B在雙曲線C的右支上，且在X軸上方, 3F垂直于X軸，!% = C 代入g-g=l,得 y = ?,. B點(diǎn)坐標(biāo)為(C,三)，又人點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),化簡(jiǎn)得 b? = 3ac 3az = cz a29 即 2疋3ac + c2

15、 = Ot 解得C = 2或C = （舍）， 故 e = Y= 2.16. -74解:由已知得BD = f2AB = 6 D、E、F重合于一點(diǎn)， AE=AD = 3* BF = BD= 6 ACE中，由余弦定理得CEI = AeI + AE2 -tIAC AE 心 CAE=I2+ (3)2- 2 x 1 x aco 30。= 1 , CE = CF = I9 BC2 = AC2 +AB2. BC = 2、在卜BCF中，由余弦左理得cow 乙 FCIiBCV2÷ CF2 一 BFo 2 + 瀘一(V12BCCF2x1x2417解：囹設(shè)等比數(shù)列%的公比為q(<7l)>由題意知

16、:21 = a2 + a3 f UP2a1 = a1q + a1q29所以q2 + q-2=0.解得q = -2.(2)若Ol = If RlJan = (2)n1所以數(shù)列Qn的前 n 項(xiàng)和為幾=1 +2× (-2) + 3× (-2)2 + - + n(-2)7l¼則-2Tn = -2 + 2 X (-2)2 + 3 × (-2)3 + + n(-2)n,兩式相減得 3幾=1 + (-2) + (-2)2 + (-2)3 + (-2)n1 一 n(-2)(-2)" _1-(-2)n(-2)n =l-(3n÷l)(-2)n3所以幾=)

17、(2尸1& (l)ilE明：不妨設(shè)0 0的半徑為 1,貝IMO = OB = OC = 1. AE=AD= 2, AB = BC=CA = 3. DO = fDA2 - OA2 = 3, PO = -DO =.6 2PA=PB = PC = P02 + 加2 =蘭,2在APAC中，PA2+PC2 = AC29 故PS 丄 PC,同理可得PA 丄 PB, PBcPC = P、PB. PC 平而 PBC.第15貞，共18頁(yè)P(yáng)A丄平而PBC(2)解：以O(shè)E, OD所在直線分別為兒Z軸，圓錐底而內(nèi)垂直于OE的直線為X軸，建 立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0 -%yz, 則彳 J B (弓,和)，C

18、(_$0),P (OO y) / E (0,1,0)，BC = (-3,00),CE = (f,),C? = (y>"pf)>聶鳥,解航=(皿】),設(shè)平而PBC的法向量為局=(x1, ylt ZI),則nn2 瓦IlHl同理可得平而PCE的法向翁 = (2,-6,-23)> 由圖形可知二面角B-PC-E為銳角，貝IJCoS0 = 故二而角B -PC- E的余弦值為迺S19. 解：(1)甲連勝四場(chǎng)只能是前四場(chǎng)全勝則P = (I)4 = ±(2)設(shè)甲輸?shù)粢粓?chǎng)比賽為事件A,乙輸?shù)粢粓?chǎng)比賽為事件乩 丙輸?shù)粢粓?chǎng)比賽為事件G 四場(chǎng)比賽能結(jié)朿為事件M 貝IJP(N) =

19、 P(ABAB) + P(ACAC) + P(BABA) + P(BCBC)=備 4 =扌所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為(3)丙獲勝的概率為:P = P(ABAB) + P(BABA) + P(ABACB) + P(BABCA) + P(ABCAB) + P(ABCBA) +P(BACAB) + P(BACBA) + P(ACABB) + P(ACBAB) + P(BCABA) + P(BCBAA)= C)42 + (護(hù) Xlo=20. W-：由題意 A(-af O)J B(af 0), G(OfIXAG = (afl)fGB = (,-l),AG GB = a2-l = 8=>a2=9

20、=>a = 3橢圓E的方程為手+ y2= 1.(2)由(1)知4(-3,0)B(3 X)J(6加), 則直線PA的方程為y = y(x + 3),y =專3 + 3)聯(lián)立“=> (9 + m2)x2 + 6m2x + 9m2 -QI = Of十=由韋達(dá)立理一3牝=叱M斗牝=土孚，代入直線PA的方程y =專( + 3)得 yc =9+zn9+ZH-T6zn JJrl ,-3m2+27 6m 9+t2'', C I 9+加'9+7'直線PB的方程為y=中（x_3）,y = (% 3)聯(lián)立“3=> (1 + m2)x2 - 6m2x + 9m2 -9

21、 = 0, + y2 = 由韋達(dá)龍理3小=害n E = M代入直線PA的方程y =專G 3）得.yD = l+m2l+m即苗熬）,6m _ -am直線CD的斜率紇D = = i9+m- +m直線CD的方程為y_魯=呂（一害）,整理得y = i3'r直線CD過(guò)圧點(diǎn)（|，0）21. 解：(1)當(dāng) = l 時(shí)，/(x) = ex + x2-x, ,(x) = e* + 2x - 1, ic=r>因?yàn)?g'(x) = e- + 2>0,所以 P(X)=尸(X) = ex+2x-ltR 上單調(diào)遞增, 又 f (0) = 0,得:衣> 0時(shí)f (X) > 0,即f(x) = ex + x2-x在(0,+8)上單調(diào)遞增；< 0時(shí)尸(X)< 0,即f(x) = ex + x2-x在(一8,0)上單調(diào)遞減.所以W ex+ x2 -X在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0, +)上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)X = 0時(shí)，a R:> 0時(shí)，/(%) > 3+ IRpa > Z+2,LX2人r8+x+