混沌理論與小波變換技術(shù)結(jié)合的圖像加密算法

1、混沌理論與小波變換技術(shù)結(jié)合的圖像加 密算法王鳴天郭玉奇曲阜師范大學(xué)物理工程學(xué)院摘要：為保證圖像數(shù)據(jù)的安全可靠傳輸，論文提出了小波變換和logistic混沌映射相 結(jié)合的圖像二次加密算法。首先，應(yīng)用小波變換技術(shù)提取圖像的低頻、水平、垂 直以及對(duì)角分量，應(yīng)用arnold置亂法對(duì)所提取的分量系數(shù)加密。然后，應(yīng)用一 維logistic變換把一次加密后圖像序列映射牛成混沌序列，實(shí)現(xiàn)圖像二次加 密。通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究表明，經(jīng)過(guò)二次加密后的圖像在使用正確密鑰時(shí)能夠成功解 密。密鑰靈敏度測(cè)試實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法可有效抵抗錯(cuò)誤密鑰的攻擊，提高了信息 傳輸?shù)陌踩浴ｊP(guān)鍵詞：圖像加密;小波變換;混沌理論；arnold置亂;l

2、ogistic映射;作者簡(jiǎn)介：王鳴天，男，曲阜師范犬學(xué)，主要研究方向?yàn)閳D像分析與圖像加密;作者簡(jiǎn)介：郭玉奇，女，曲阜師范大學(xué)，主要研究方向?yàn)閳D像處理與分析。image encryption algorithm based on chaos theory and wavelet transformwang mingtian guo yuqicollege of physics and engineering, qufu normal university;abstract：in order to transmit image data safely and reliably, this pape

3、r proposes an encryption algorithm based on the combination of wavelet transform andlogistic chaotic map firstly, wavelet transform is used to decompose the image, extracting the low frequency, horizontal, vertical and diagonal coefficients and usi ng arnold scrambl i ng met hod to shuffle the extra

4、c ted cocfficicnts. then, using the one-dimensional logistic transform, some cha otic sequences can be gen era ted and the image is encrypted by two ti mes. finally, through the experimental study, the encrypted image can be successfully decrypted when using the correct key. the experimental resul t

5、 shows that the proposed algori thm can effectively resist the attack of wrong keyskeyword：image encryption; wavelet transform; chaos theory; arnold scrambling; one-dimensional logistic map;0引言圖像加密方案屮基于混沌的加密方案被廣泛地應(yīng)用。1998年fridrich首次應(yīng)用 貓映射和而包師映射構(gòu)造了二維混沌映射對(duì)圖像進(jìn)行加密，提出了將混沌映射 離散化為整數(shù)點(diǎn)的一般化方法山。陳果等人分析了二維standar

6、d混沌映射并將 其應(yīng)用在數(shù)字圖像加密中及1。文獻(xiàn)3-文獻(xiàn)10也分別介紹了混沌理在圖像加 密算法中的應(yīng)用。尹顯東，姚軍等人提出在小波域上模板加密與非線(xiàn)性矩陣變換 相結(jié)合的算法，提高了加密強(qiáng)度11。單華寧、劉家勝等人應(yīng)用小波變換理論、 混沌理論實(shí)現(xiàn)了圖像的加密運(yùn)算12, 13。上述研究主要是針對(duì)低維混沌序列進(jìn) 行的，導(dǎo)致它們的密鑰空間不夠充足，序列的保密性不夠健全?；谏鲜鲅芯?，論文提出了基于混沌理論和小波變換相結(jié)合的圖像二次加密算 法具。首先，對(duì)圖像應(yīng)用小波變換分解得到圖像一次分解的低頻、水平、垂直以 及對(duì)角分量系數(shù)，對(duì)提取的高低頻分量系數(shù)進(jìn)行arnold置亂加密，然后用一維 logistic變

7、換把一次加密后的圖像序列映射產(chǎn)生混沌序列實(shí)現(xiàn)二次加密。1數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1.1混沌理論我國(guó)數(shù)學(xué)家李天巖和美國(guó)數(shù)學(xué)家yorke,二者在其論文屮對(duì)混沌作了如下的數(shù) 學(xué)定義。li-yorke定義:對(duì)于閉區(qū)間a, b上的連續(xù)映射函數(shù)f (x),若以下條件得以滿(mǎn) 足時(shí)，即為混沌。存在閉區(qū)間i上的不可數(shù)子集s且其應(yīng)滿(mǎn)足條件，如條件(1)條件（2）函數(shù)f （x）的周期點(diǎn)周期無(wú)上界作為非線(xiàn)性理論的典型代表，混沌理論是不確定性與穩(wěn)定性的結(jié)合體。對(duì)初值的 皺感性、狀態(tài)遍歷性、對(duì)參數(shù)的敏感性以及內(nèi)在隨機(jī)性等性質(zhì)都是其不確定性的 體現(xiàn);此外，混沌序列的產(chǎn)生一點(diǎn)也不繁瑣，一個(gè)映射公式加上一個(gè)初值，就可 以唯一確定地生成一序列，

8、這乂體現(xiàn)了其穩(wěn)定性;再加上混沌信號(hào)不僅具有連續(xù) 的寬帶頻譜，而且是類(lèi)似噪聲特性的非周期信號(hào)，這些特點(diǎn)使得它具有天然的 隱蔽性，口將其與加解密系統(tǒng)的密碼特性之間建立了緊密的聯(lián)系。混沌理論的這 些優(yōu)點(diǎn)，使得應(yīng)用混沌理論來(lái)研究圖像加密是件很自然的事。1. 2 一維 logistic 映射logistic映射作為一個(gè)典型的非線(xiàn)性混沌方程，最早是被生態(tài)學(xué)家用來(lái)描述種 群的變化。而現(xiàn)在，在保密通信領(lǐng)域中常常使用logistic映射。對(duì)于一維 logistic映射，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（1） o其中p被稱(chēng)為控制參數(shù)，i為迭代次數(shù)，xi為狀態(tài)變量。在u值確定的情況下, 初值x。每取1中的一個(gè)值，就會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的

9、混沌序列;控制參數(shù)p還決定 著系統(tǒng)的特性，換言之，其取值不同，由數(shù)學(xué)表達(dá)式（1）所確定的系統(tǒng)將表現(xiàn) 不同的特性，當(dāng)3. 5699456ww4時(shí)，logistic映射處于混沌區(qū)域。1. 3小波變換小波變換可分為連續(xù)小波變換和離散小波變換，其在信號(hào)處理中的應(yīng)用最早是 源于尺度變換和平移變換的方法。正因?yàn)樾〔ㄗ儞Q可以更好地去分析和處理現(xiàn)實(shí) 中的信號(hào)，因此它被廣泛地用于圖像的加密、分割、壓縮等變換域的圖像處理領(lǐng) 域。定義:設(shè)為其傅里葉變換，若容許性條件得到滿(mǎn)足時(shí)，稱(chēng)其為一個(gè)基本小波。式(5)變換稱(chēng)作連續(xù)小波或者分析小波，其中(t)為基木小波或者母小波, a為尺度參數(shù)，丫為平移參數(shù)。對(duì)l (r)空間中的

10、任意函數(shù)f (t)在小波基下展開(kāi)，稱(chēng)為f (t)的連續(xù)小波變 換，表達(dá)式為：離散小波變換就是在連續(xù)小波變換基礎(chǔ)上對(duì)基本小波的尺度參數(shù)a和平移參數(shù) t進(jìn)行離散化。由于在對(duì)尺度參數(shù)3進(jìn)行離散化時(shí)，3總是取正數(shù)，所以為了確 保小波逆變換可以進(jìn)行的容許性條件也略微有些變化，如式(4)。當(dāng)進(jìn)行離散小波變換時(shí)，對(duì)式(4)屮的相關(guān)參數(shù)離散化常采用幕級(jí)數(shù)的方式， 即令滬血(m為整數(shù)，a°hl),當(dāng)二2時(shí)，對(duì)應(yīng)的位移間隔為2ts,得到離散 小波函數(shù)為：于是，任意函數(shù)f (t)的離散小波變換為:2算法實(shí)現(xiàn)步驟加密實(shí)現(xiàn)的過(guò)程分為兩部分，其一是對(duì)小波變換后的系數(shù)的置亂，另一是利用 產(chǎn)生的混沌序列進(jìn)行的序列加

11、密。設(shè)(x y j為圖像中的點(diǎn)，應(yīng)用式(7)對(duì)像素點(diǎn)進(jìn)行arnold變換，此處n取圖像的寬或高，p、q均為參數(shù)。經(jīng)過(guò) 式的n次運(yùn)算后，點(diǎn)(xn, yn)變成了置亂圖屮的點(diǎn)(xn+, 1 y n+1),也就是說(shuō)點(diǎn) (x n, y n)處的像素在空間上搬移到點(diǎn)(x n+1, y n+1)處，這樣，通過(guò)逐點(diǎn)的像 素搬移就實(shí)現(xiàn)了整幅圖的灰度置亂，依次對(duì)低頻、水平、垂直以及對(duì)角系數(shù)進(jìn)行 置亂，得到新的低頻、水平、乖直以及對(duì)角系數(shù)。對(duì)置亂后的系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu), 得到第一次加密后的圖圖像b (i) o根據(jù)式(8)進(jìn)行計(jì)算改變像素灰度值，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的二次加密。式(8)中，p (x, y)和j (x, y)分別

12、為原圖和加密后的圖像在點(diǎn)(x, y)處的灰度值，x (i)為混沌序 列。解密過(guò)程是加密過(guò)程的逆過(guò)程，設(shè)p (x, y)和j (x, y)分別表示原圖和加 密后的圖像在點(diǎn)(x, y)處的灰度值，并設(shè)混沌序列為x (i),解密過(guò)程可用 式表示。選用一維logistic映射來(lái)產(chǎn)生混沌序列，選定值和初值(注意應(yīng)與加密處的 取值一致)之后代入式(1)進(jìn)行迭代，生成混沌序列x | (i)，將其與經(jīng)二次 加密后的圖像y (i)進(jìn)行按位異或，即z (i) =xt (i)y (i),可得經(jīng)第一 次解密后的圖像z (i) o由式(10)計(jì)算得解密后的低頻、水平、垂直及對(duì)角系數(shù)，逐點(diǎn)的像素搬移將恢復(fù)灰度置亂 的圖像

13、系數(shù)。然后，應(yīng)用恢復(fù)的系數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行小波重構(gòu)得到解密圖像。上述加密、解密過(guò)程可通過(guò)以下幾個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)。(1) 對(duì)輸入的原始圖像序列進(jìn)行預(yù)處理；(2) 對(duì)實(shí)驗(yàn)圖像進(jìn)行預(yù)處理，選用db 1小波基函數(shù)，做一次小波變換提取低頻 系數(shù)c a 1,水平系數(shù)chi,垂直系數(shù)cvl以及對(duì)角系數(shù)cdl。(3) 選擇arnold置亂參數(shù)p二1 0, q二5,置亂次數(shù)n二10。對(duì)步驟(2)中提取出 的系數(shù)進(jìn)行arnold置亂，得到經(jīng)置亂后的低頻系數(shù)ca2、水平系數(shù)ch2、垂直系 數(shù)cv2以及對(duì)角系數(shù)cd2。(4) 對(duì)步驟(3)處理得到的系數(shù)ca2、ch2、cv2. cd2進(jìn)行小波逆變換,得到第 一次加密圖像。(5)

14、選定映射初值u =3. 6, xi=o. 3,應(yīng)用一維logistic映射生成混沌序列。(6) 把步驟(5)產(chǎn)生的混沌序列與步驟(4)得到第一次加密圖像按位界或, 實(shí)現(xiàn)圖像的二次加密。加密流程圖如圖1。圖1加密流程圖下載原圖(7) 選用與步驟(5)相同的參數(shù)，應(yīng)用一維logistic映射產(chǎn)生混沌序列與二 次加密圖像按位異或運(yùn)算，完成一次解密。(8) 選用dbl小波基函數(shù)，對(duì)步驟(7)的結(jié)果進(jìn)行小波變換，提取此吋的低 頻、水平、垂直以及對(duì)角分量。(9) 對(duì)步驟(8)中提取的小波系數(shù)進(jìn)行arnold復(fù)原，對(duì)復(fù)原結(jié)果進(jìn)行小波逆 變換，完成對(duì)圖像的第二次解密。解密過(guò)程流程圖如圖2所示。圖2解密流程圖下

15、載原圖3算法實(shí)現(xiàn)與結(jié)果分析實(shí)驗(yàn)在聯(lián)想y470、2. 40ghz的cpu、windows764位操作系統(tǒng)上進(jìn)行，選用matlab 7. 11軟件對(duì)算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。為檢驗(yàn)論文提出的圖像加密算法的有效性，選用尺寸為512x512的lena圖像作 為實(shí)驗(yàn)樣本圖像。實(shí)驗(yàn)1算法的有效性實(shí)驗(yàn)。(1) 實(shí)驗(yàn)圖像小波變換后得到圖像的低頻、水平、垂直、對(duì)角系數(shù)，如圖3。各 分量系數(shù)arnold置亂結(jié)果如圖4。(2) 對(duì)步驟(1)結(jié)果做小波逆運(yùn)算重構(gòu)得到一次加密后的圖像，如圖5。一維 logistic映射的混沌序列與圖5所示的加密圖像做異或運(yùn)算得到二次加密圖像, 如圖6o圖7原始圖像下載原圖圖5 次加密圖下載原圖圖6

16、二次加密圖下載原圖(3) 把步驟(2)的結(jié)果應(yīng)用一維logistic映射生成的混沌序列解密，實(shí)現(xiàn)一 次解密，如圖8 (a)。一次解密圖像小波變換的分量圖如圖8 (b) (e)。圖8 一次解密圖及各分量系數(shù)解密圖下載原圖對(duì)步驟(3)計(jì)算得到的小波系數(shù)進(jìn)行arnold復(fù)原，重構(gòu)圖像的分量圖以 及解密圖，如圖9。圖9小波系數(shù)解密及解密圖下載原圖 從圖5-圖7對(duì)比一次加密、二次加密后的圖像和原始圖像可以發(fā)現(xiàn)，二次加密 后得到的是一幅更加雜亂無(wú)章的圖像，無(wú)明顯的紋理特征，而且從中無(wú)法識(shí)別 岀與原圖像相關(guān)的信息，這說(shuō)明加密效果比較好。分析圖9 (e)與圖7可以看 擊，解密結(jié)果好，很好的還原了圖像的原始信息

17、。實(shí)驗(yàn)2密鑰靈敏度試驗(yàn)。為了測(cè)試二次加密后的圖像對(duì)密鑰的敏感度，選用lena 圖像，研究logistic映射的參數(shù)p和初值&的數(shù)值與解密的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)中密 鑰正確值為 ，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1、圖10所示。表1密鑰靈敏度測(cè)試 下載原表圖1 0密鑰靈敏度測(cè)試下載原圖分析以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)解密密鑰正確時(shí)（），為圖10中（1）圖，圖像可以正確解密;保持u值大小不變，只對(duì)&進(jìn)行少許改動(dòng)，即當(dāng)時(shí)，得到圖10中的（2）圖，圖像因密鑰錯(cuò)誤不能夠被解密;保持x】大小不變，只對(duì)u值進(jìn)行少許改動(dòng)，即當(dāng) 時(shí)，得到圖10屮的（3）圖，圖像因密鑰錯(cuò)誤不能夠被解密；同時(shí)改變卩和&的大小時(shí)，即當(dāng) 時(shí)，

18、同樣因 為密鑰錯(cuò)誤而不能解密，得到圖10屮的（4）圖;依照表1屮（5） - （10）屮數(shù) 據(jù)，依次增大錯(cuò)課密鑰與正確密鑰的差別，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)錯(cuò)謀密鑰仍然無(wú) 法正確解密。從圖10結(jié)果發(fā)現(xiàn)輸入錯(cuò)誤的解密密鑰時(shí)，無(wú)法解密出正確的圖像，這說(shuō)明對(duì)圖 像經(jīng)過(guò)二次加密后，有效地抵抗了錯(cuò)誤密鑰的攻擊。繪制圖像加密前后的灰度直方圖，如圖11。圖屮橫坐標(biāo)表示的是圖像的灰度值, 縱坐標(biāo)表示在某一灰度值下像素的個(gè)數(shù)。從圖11可以發(fā)現(xiàn)，原始圖像的灰度值 分布參差不齊，不同灰度值下像素的個(gè)數(shù)相差較大;而經(jīng)過(guò)二次加密后，得到的 灰度直方圖分布非常均勻，不同灰度值下像素的個(gè)數(shù)幾乎相同，這使得原始圖 像信息的隱蔽性增強(qiáng)。觀(guān)

19、察解密后的灰度直方圖，它與原始圖像的灰度直方圖相 比較，二者變化趨勢(shì)勢(shì)一致，成功地進(jìn)行了解密。4小結(jié)論文提岀了一種有效的基于空間域和小波域的圖像加密方案。通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究，說(shuō) 明了論文提出的基于一維logistic混沌映射與小波變換的圖像加密方法有效、 可靠。算法改善了加密效果，加大了加密強(qiáng)度，能夠有效抵抗錯(cuò)誤密鑰的攻擊， 提高了數(shù)據(jù)的傳輸速度，具有較高的安全性和實(shí)用性。參考文獻(xiàn)1 fridrich j. symmetric ciphers based on twodimensional chaotic mapsjintcrnational journal of bifurcation and chaos, 199& 8(6) :1259-1290.2 陳果，廖曉峰一種基于混沌映射的圖像加密算法j.計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2005, 25:121-123.3 孫鑫，易開(kāi)祥，孫優(yōu)賢基于混沌系統(tǒng)的圖像加密算法j 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) 與圖像學(xué)報(bào)，2002, 14 (2) : 136-139.4 朱從旭，胡玉平，孫克輝基于超混沌系統(tǒng)和密文交錯(cuò)擴(kuò)散的圖像加密新算 法j 電子與信息學(xué)報(bào)，2012, 34