數(shù)學建模概率模型課件

1、數(shù)學建模概率模型 數(shù) 學 建 模 之 概 率 模 型 主講人主講人： Email: 數(shù)學建模概率模型 現(xiàn)實世界的變化受著眾多因素的影響，包括現(xiàn)實世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機的。如果從建模的背景、目的和手確定的和隨機的。如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素是確定的，隨機因素可以忽略，段看，主要因素是確定的，隨機因素可以忽略，或者隨機因素的影響可以簡單地以平均值的作用或者隨機因素的影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機因出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機因素對研究對象的影響必須考慮，就應建立隨機模素對研究對象的影響必須考慮，就應建立隨機模型

2、。本章討論如何用隨機變量和概率分布描述隨型。本章討論如何用隨機變量和概率分布描述隨機因素的影響，建立隨機模型機因素的影響，建立隨機模型概率模型概率模型。概率模型概率模型數(shù)學建模概率模型確定性因素和隨機性因素確定性因素和隨機性因素隨機因素可以忽略隨機因素可以忽略隨機因素影響可以簡單隨機因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)地以平均值的作用出現(xiàn)隨機因素影響必須考慮隨機因素影響必須考慮概率模型概率模型統(tǒng)計回歸模型統(tǒng)計回歸模型馬氏鏈模型馬氏鏈模型隨機模型隨機模型確定性模型確定性模型隨機性模型隨機性模型數(shù)學建模概率模型概率模型概率模型一、概率論基本知識一、概率論基本知識二、概率模型的典型案例二、概率模型的

3、典型案例數(shù)學建模概率模型一、概率論基礎知識一、概率論基礎知識1、古典概型、古典概型)()()|(BPABPBAP例：現(xiàn)有例：現(xiàn)有100100個零件，其中個零件，其中9595個長度合格，個長度合格，9494個直徑和格，個直徑和格，9292個兩個尺寸都合格。任取一個，發(fā)現(xiàn)長度合格，問直徑個兩個尺寸都合格。任取一個，發(fā)現(xiàn)長度合格，問直徑合格的概率。合格的概率。設設A=A=長度合格長度合格，B=B=直徑合直徑合格格9592)()()|( APABPABP10092)(,10095)( ABPAP條件概率條件概率：在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率數(shù)學建模概率模型全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝

4、葉斯公式 設設B B1 1,B,B2 2,B,Bn n為樣本空間為樣本空間S S的一個劃分，且有的一個劃分，且有P(BP(Bi i)0)0， i=1,2,n,i=1,2,n,則對則對E E的任一事件的任一事件A A，有，有: : niiiBAPBPAP1)()()(niBPBAPBPBAPAPABPABPnjjjiiii, 2 , 1,)()()()()()()(1貝葉斯公式貝葉斯公式全概率公式全概率公式數(shù)學建模概率模型例：某電子設備制造廠所用的某種晶體管是由三家元件制造廠例：某電子設備制造廠所用的某種晶體管是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)

5、據(jù)：元件制造廠元件制造廠次品率次品率 提供份額提供份額甲廠甲廠0.020.020.150.15乙廠乙廠0.010.010.800.80丙廠丙廠0.030.030.050.05設這三家的產品在倉庫中是均勻混合的設這三家的產品在倉庫中是均勻混合的, ,且無區(qū)別的標志?，F(xiàn)在倉庫中隨機地抽且無區(qū)別的標志?，F(xiàn)在倉庫中隨機地抽取一只晶體管取一只晶體管, (1), (1)求它是次品的概率；求它是次品的概率；(2)(2)若已知取到的是次品若已知取到的是次品, ,問此次品是哪個廠生產的可能性更大？問此次品是哪個廠生產的可能性更大？設設A=“A=“取到的是一只次品取到的是一只次品”,B”,Bi i=“=“所取產品

6、由第所取產品由第i i廠提供廠提供”, ,易知易知B B1 1,B,B2 2,B,B3 3是樣本空間的一個劃分。是樣本空間的一個劃分。解解(1)(1)由全概率公式由全概率公式: :=0.15=0.150.02+0.800.02+0.800.01+0.050.01+0.050.03=0.01250.03=0.0125(2)(2)由貝葉斯公式由貝葉斯公式: :24. 00125. 015. 002. 0)()()()(111 APBPBAP|ABP 31)()()(iiiBAPBPAp同理同理 P(BP(B2 2|A)=0.64, P(B|A)=0.64, P(B3 3|A)=0.12 .|A)=

7、0.12 .以上結果表明，這只次品來自以上結果表明，這只次品來自乙廠乙廠的可能性最大。的可能性最大。數(shù)學建模概率模型貝努利試驗貝努利試驗: 設隨機試驗設隨機試驗E只有兩種可能的結果只有兩種可能的結果:A及及 ,且且P(A)=p,（0p1), 將試驗將試驗E獨立地重復進行獨立地重復進行n次次, 簡稱簡稱n重重貝努貝努利試驗利試驗(Bernoulli)。 n重貝努利試驗中事件重貝努利試驗中事件A A出現(xiàn)的次數(shù)服從出現(xiàn)的次數(shù)服從二項分布二項分布AnkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1( 二項分布二項分布2、隨機變量及其分布、隨機變量及其分布泊松分布泊松分布n重貝努利試驗中重貝努利試驗中小概率

8、事件小概率事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.)0,.,2 , 1 , 0( ,!為為常常數(shù)數(shù) kekkXPk數(shù)學建模概率模型為為常常數(shù)數(shù)）0(0, 00,)( xxexfx指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命，指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命， 動物的壽命，電話問題中的通話時間，服務時間等動物的壽命，電話問題中的通話時間，服務時間等. .如如：同齡人的身高同齡人的身高、體重、考試分數(shù)、某地區(qū)年降水量等。、體重、考試分數(shù)、某地區(qū)年降水量等。如果決定試驗結果如果決定試驗結果X的是的是大量隨機因素的總和大量隨機因素的總和，假設，假設各個因素之間近似各個

9、因素之間近似獨立獨立，并且每個因素的單獨作用，并且每個因素的單獨作用相對均勻相對均勻地小，地小，那么那么X的分布近似正態(tài)分布。的分布近似正態(tài)分布。,21)(222)( xexf)2 ，（記記為為NX數(shù)學建模概率模型描述了隨機變量的描述了隨機變量的概率取值中心概率取值中心均值均值數(shù)學期望數(shù)學期望3、數(shù)學期望的概念和計算、數(shù)學期望的概念和計算 1)(kkkpxXE dxxxfXE)()( dxxfxgXgEYE)()()()( 1)()(kkkpxgXgEYE XgY 數(shù)學建模概率模型4、MATLAB中相關的的概率命令中相關的的概率命令數(shù)學建模概率模型MATLAB工具箱對每一種分布都提供工具箱對每

10、一種分布都提供5 5類函數(shù)，其命令字符為：類函數(shù)，其命令字符為：概率密度：概率密度：pdf 概率分布：概率分布：cdf逆概率分布：逆概率分布：inv 均值與方差：均值與方差：stat隨機數(shù)生成：隨機數(shù)生成：rnd 當需要一種分布的某一類函數(shù)時，將以上所列的分布當需要一種分布的某一類函數(shù)時，將以上所列的分布命令字符與函數(shù)命令字符接起來，并輸入自變量（可以是命令字符與函數(shù)命令字符接起來，并輸入自變量（可以是標量、數(shù)組或矩陣）和參數(shù)即可標量、數(shù)組或矩陣）和參數(shù)即可. .數(shù)學建模概率模型在在MATLAB中輸入以下命令：中輸入以下命令：x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normp

11、df(x,0,2);plot(x,y,x,z)1密度函數(shù)：密度函數(shù)：p=normpdf(x,mu,sigma) (當當mu=0,sigma=1時可缺省時可缺省)如對均值為如對均值為mumu、標準差為、標準差為sigmasigma的正態(tài)分布，舉例如下：的正態(tài)分布，舉例如下：數(shù)學建模概率模型3逆概率分布：逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma). 即求出即求出x ，使得，使得PX b(購進價購進價) c(退回價退回價)售出一份賺售出一份賺 a-b；退回一份賠；退回一份賠 b-c 每天購進多少份可使收入最大？每天購進多少份可使收入最大？分分析析購進太多購進太多賣不完退回賣不完退回賠錢賠

12、錢購進太少購進太少不夠銷售不夠銷售賺錢少賺錢少應根據(jù)需求確定購進量應根據(jù)需求確定購進量每天需求量是隨機的每天需求量是隨機的優(yōu)化問題的目標函數(shù)應是長期的日平均收入優(yōu)化問題的目標函數(shù)應是長期的日平均收入每天收入是隨機的每天收入是隨機的存在一個合存在一個合適的購進量適的購進量等于每天收入的期望等于每天收入的期望數(shù)學建模概率模型建建模模 設每天購進設每天購進 n 份，份，日平均收入為日平均收入為 G(n)調查需求量的隨機規(guī)律調查需求量的隨機規(guī)律每天每天需求量為需求量為 r 的概率的概率 f(r), r=0,1,2準準備備)()(rncbrnrbarnr賠退回賺售出nbannr)( 賺售出nrnrrnf

13、barfrncbrbanG01)()()()()()(求求 n 使使 G(n) 最大最大 已知售出一份賺已知售出一份賺 a-b；退回一份賠；退回一份賠 b-c數(shù)學建模概率模型nndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()()()(dndG求解求解將將r視為連續(xù)變量視為連續(xù)變量( )( )f rp r0dndGcbbadrrpdrrpnn)()(0nndrrpbadrrpcb0)()()()(ndrrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba0)()()()( (概率密度概率密度) )數(shù)學建模概率模型cbbadrrpdrrpnn)()(0結果解釋結果解釋nnPdrrp

14、Pdrrp201)(,)(nP1P2cbbaPP21取取n使使 a-b 售出一份賺的錢售出一份賺的錢 b-c 退回一份賠的錢退回一份賠的錢ncbnba)(,)(0rp數(shù)學建模概率模型9.3 隨機存貯策略隨機存貯策略問問題題以周為時間單位；一周的商品銷售量為隨機；以周為時間單位；一周的商品銷售量為隨機；周末根據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。周末根據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。（s, S) 存貯策略存貯策略制訂下界制訂下界s, 上界上界S，當周末庫存小于，當周末庫存小于s 時訂貨，時訂貨，使下周初的庫存達到使下周初的庫存達到S; 否則，不訂貨。否則，不訂貨。考慮訂貨費、存貯費、缺貨費、購進費，制

15、訂考慮訂貨費、存貯費、缺貨費、購進費，制訂（s, S) 存貯策略存貯策略, ,使使( (平均意義下平均意義下) )總費用最小總費用最小數(shù)學建模概率模型模型假設模型假設 每次訂貨費每次訂貨費c0, 每件商品購進價每件商品購進價c1,每件商品每件商品一周貯存費一周貯存費c2,每件商品缺貨損失費每件商品缺貨損失費c3 (c1c3) 每周銷售量每周銷售量 r 隨機、連續(xù)，概率密度隨機、連續(xù)，概率密度 p(r) 周末庫存量周末庫存量x, 訂貨量訂貨量 u, 周初庫存量周初庫存量 x+u 每周貯存量按每周貯存量按 x+u-r 計計 數(shù)學建模概率模型0)(0),()(10uxLuuxLuccuJxxdrrp

16、xrcdrrprxcxL032)()()()()(建模與求解建模與求解（s, S) 存貯策略存貯策略0usx確定確定(s, S), 使目標函數(shù)使目標函數(shù)每周總費用的平均值最小每周總費用的平均值最小平均平均費用費用 訂貨費訂貨費c0, 購進價購進價c1, 貯存費貯存費c2, 缺貨費缺貨費c3, 銷售量銷售量 r Suxusx, 0s 訂貨點，訂貨點， S 訂貨值訂貨值數(shù)學建模概率模型12130)()(ccccdrrpdrrpSSuxuxdrrpcdrrpccdudJ0321)()(建模與求解建模與求解1）設）設 xs, 求求 u 使使 J(u) 最小，確定最小，確定SSSdrrpccdrrpcc

17、01321)()()()(Sux01)(drrp0dudJScSc23,建模與求解建模與求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJSP1P20rp21PP數(shù)學建模概率模型2）對庫存）對庫存 x，確定訂貨點確定訂貨點s)()(101SLxSccJ若訂貨若訂貨u, u+x=S, 總費用為總費用為 )(2xLJ 若不訂貨若不訂貨, u=0, 總費用為總費用為 12JJ )()(1xIxLxc記)()(0SIcxI訂貨點訂貨點 s 是是的最小正根的最小正根建模與求解建模與求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()(

18、)(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()()(10SLxSccxL不訂貨不訂貨)()(101SLSccxLxc)()(0SIcxI數(shù)學建模概率模型)()(0SIcxI最小正根的最小正根的圖解法圖解法J(u)在在u+x=S處達到最小處達到最小 x I(x) 0 S I(S) s I(S)+c0I(x)在在x=S處達到最小值處達到最小值I(S)I(x)圖形圖形建模與求解建模與求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()(1xLxcxIJ(u)與與I(x)相似相似I(S)()(0SIcxI的最小正根的最小正根

19、s數(shù)學建模概率模型9.4 軋鋼中的浪費軋鋼中的浪費軋制鋼材軋制鋼材兩道工序兩道工序 粗軋粗軋(熱軋熱軋) 形成鋼材的雛形形成鋼材的雛形 精軋精軋(冷軋冷軋) 得到鋼材規(guī)定的長度得到鋼材規(guī)定的長度粗軋粗軋鋼材長度正態(tài)分布鋼材長度正態(tài)分布均值可以由軋機調整均值可以由軋機調整方差由設備精度確定方差由設備精度確定粗軋鋼材長粗軋鋼材長度大于規(guī)定度大于規(guī)定切掉多余切掉多余 部分部分粗軋鋼材長粗軋鋼材長度小于規(guī)定度小于規(guī)定整根報廢整根報廢隨機因隨機因素影響素影響精軋精軋問題：如何調整粗軋的均值，使精軋的浪費最小問題：如何調整粗軋的均值，使精軋的浪費最小背背景景數(shù)學建模概率模型分析分析設已知精軋后鋼材的規(guī)定長

20、度為設已知精軋后鋼材的規(guī)定長度為 l， 粗軋后鋼材長度的均方差為粗軋后鋼材長度的均方差為 記粗軋時可以調整的均值為記粗軋時可以調整的均值為 m，則粗軋得到的，則粗軋得到的鋼材長度鋼材長度x為正態(tài)隨機變量，記作為正態(tài)隨機變量，記作 xN(m, 2)切掉多余部切掉多余部分的概率分的概率)(lxPP整根報廢整根報廢的概率的概率)(lxPPPPm,存在最佳的存在最佳的m使總的浪費最小使總的浪費最小lPPPm,0p(概率密度概率密度)mxP mPP 數(shù)學建模概率模型lldxxxpdxxplxW)()()(ldxxlpdxxxp)()(建模建模選擇合適的目標函數(shù)選擇合適的目標函數(shù)切掉多余部分切掉多余部分的

21、浪費的浪費整根報廢整根報廢的浪費的浪費總浪費總浪費 =+lPm粗軋一根鋼材平均浪費長度粗軋一根鋼材平均浪費長度粗軋粗軋N根根成品材成品材 PN根根成品材長度成品材長度l PN總長度總長度mNNlPNmN lPm共浪費長度共浪費長度 mN-lPN數(shù)學建模概率模型lPmPNlPNmN)()(mPmmJ記222)(21)(,)()(mxlexpdxxpmP選擇合適的目標函數(shù)選擇合適的目標函數(shù)粗軋一根鋼材平均浪費長度粗軋一根鋼材平均浪費長度lPmNlPNmN得到一根成品材平均浪費長度得到一根成品材平均浪費長度更合適的目標函數(shù)更合適的目標函數(shù)優(yōu)化模型：求優(yōu)化模型：求m 使使J(m) 最?。ㄒ阎钚。ㄒ阎?/p>

22、l , ）建模建模粗軋粗軋N根得成品材根得成品材 PN根根實際上，實際上，J（m）恰好是平均每得到一根成品材所需鋼材的長度恰好是平均每得到一根成品材所需鋼材的長度22()212x mlmedx數(shù)學建模概率模型,mxylm,)()(J2221)()()(yzeydyyz)()(mPmmJ222)(21)()()(mxlexpdxxpmPz)()()(zzzJ)()(J求解求解求求 z 使使J(z) 最?。ㄒ阎钚。ㄒ阎?） 數(shù)學建模概率模型求解求解微分法求極值微分法求極值)()()(zzzJ0)()()(zzz)(/ )(zzz)()(zz0dzdJ2221)()()(yzeydyyz)(/ )

23、()()(zzzFzzF數(shù)學建模概率模型簡表)()()(zzzFz*z例例設設l=2(米米), =20(厘米厘米)，求求 m 使浪費最小。使浪費最小。 =l/ =10z*=-1.78 *= -z*=11.78m*= * =2.36(米米)求解求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)zzF)(1.02.00-1.0-2.0105F(z)z算出 再代入 即得到 的最優(yōu)值zm數(shù)學建模概率模型9.5 隨機人口模型隨機人口

24、模型背景背景 一個人的出生和死亡是隨機事件一個人的出生和死亡是隨機事件一個國家或地區(qū)一個國家或地區(qū)平均生育率平均生育率平均死亡率平均死亡率確定性模型確定性模型一個家族或村落一個家族或村落出生概率出生概率死亡概率死亡概率隨機性模型隨機性模型對象對象X(t) 時刻時刻 t 的人口的人口, 隨機變量隨機變量.Pn(t) 概率概率P(X(t)=n), n=0,1,2,研究研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到的變化規(guī)律；得到X(t)的期望和方差的期望和方差數(shù)學建模概率模型若若X(t)=n, 對對t到到t+ t的出生和死亡概率作以下假設的出生和死亡概率作以下假設1)出生一人的概率與出生一人的概率與 t成正比，記

25、成正比，記bn t ;出生二人及二人以上的概率為出生二人及二人以上的概率為o( t).2)死亡一人的概率與死亡一人的概率與 t成正比，記成正比，記dn t ;死亡二人及二人以上的概率為死亡二人及二人以上的概率為o( t).3)出生和死亡是相互獨立的隨機事件。出生和死亡是相互獨立的隨機事件。bn與與n成正比，記成正比，記bn= n , 出生概率出生概率；dn與與n成正比，記成正比，記dn= n， 死亡概率死亡概率。進一步假設進一步假設模型假設模型假設數(shù)學建模概率模型)()1)()()()(1111totdtbtPtdtPtbtPttPnnnnnnnn建模建模為得到為得到Pn(t)=P(X(t)=n),的變化規(guī)律，的變化規(guī)