初中數(shù)學(xué)八年級上冊第十五章《整式的乘除與因式分解》簡介

1、新課標(biāo)人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊第十五章整式的乘除與因式分解簡介人教版 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書?數(shù)學(xué) 第十五章是 “整式的乘除與因式分解”。本章的主要內(nèi)容是整式的乘除運算、乘法公式以及因式分解。本章內(nèi)容建立在已經(jīng)學(xué)習(xí)了的有理數(shù)運算、列簡單的代數(shù)式、一次方程及不等式、整式的加減運算等知識的基礎(chǔ)上。整式的乘除運算和因式分解是基本而重要的代數(shù)初步知識，這些知識是以后學(xué)習(xí)分式和根式運算、函數(shù)等知識的基礎(chǔ)，在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要意義，同時， 這些知識也是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等學(xué)科及其他科學(xué)技術(shù)不可缺少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識. 本章共安排了4 個小節(jié)，教學(xué)時間約需13 課時（供參考）：15.1 整式的乘法 4 課

2、時15.2 乘法公式 2 課時15.3 整式的除法 2 課時15.4 因式分解 3 課時數(shù)學(xué)活動小結(jié)2 課時一、教科書內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)（一）本章知識結(jié)構(gòu)框圖（二）教科書內(nèi)容本章共包括4 節(jié)15.1 整式的乘法整式的乘法是整式四則運算的重要組成部分。本節(jié)分為四個小節(jié)，主要內(nèi)容是整式的乘法，這些內(nèi)容是在學(xué)生掌握了有理數(shù)運算、整式加減運算等知識的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。其中，冪的運算性質(zhì)， 即同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是整式乘法的基礎(chǔ)，教科書把它們依次安排在前三個小節(jié)中，教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)復(fù)習(xí)冪、指數(shù)、 底數(shù)等概念， 特別要弄清正整數(shù)指數(shù)冪的意義。在學(xué)生掌握了冪的運算性質(zhì)后，作為它們的一個直接應(yīng)用，教科書

3、在第四小節(jié)安排一般整式乘法的教學(xué)內(nèi)容。首先是單項式與單項式相乘，由于進行單項式與多項式、多項式與多項式相乘的前提是熟練地進行單項式與單項式相乘，因此，對于單項式與單項式相乘的教學(xué)應(yīng)該予以充分重視。在學(xué)生掌握了單項式與單項式相乘的基礎(chǔ)上，教科書利用分配律等進一步引入單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘，這樣使整式乘法運算的教學(xué)從簡到繁，由易到難，層層遞進。15.2乘法公式本節(jié)分為兩個小節(jié)，分別介紹平方差公式與完全平方公式。乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在學(xué)習(xí)了一般的整式乘法知識的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，運用乘法公式能簡化一些特定類型的整式相乘的運算問題，教科書在本節(jié)開始首先指出了這一點。 接著，在第一

4、小節(jié)安排了平方差公式的教學(xué)，教科書首先安排了下一個“探究” 欄目，安排了 3 個題目，讓學(xué)生通過計算，總結(jié)三個題目結(jié)果的共同點，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。接著，教科書推證了平方差公式，并進一步借助于幾何圖形對公式作了直觀解釋，讓學(xué)生能更好地理解此公式。 最后， 舉例說明運用平方差公式進行有關(guān)的計算。第二小節(jié)教科書設(shè)計了與第一小節(jié)類似的教學(xué)過程，引進了乘法的完全平方公式。為了滿足整式運算的需要，在本小節(jié)引進了添括號法則，這也是很重要的整式運算知識。15.3整式的除法整式的除法也是整式四則運算的重要組成部分。本節(jié)也分為兩個小節(jié)。同底數(shù)冪的除法是學(xué)習(xí)整式除法的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，因此教科書在第一小節(jié)中首先介紹同底數(shù)冪

5、除法的性質(zhì)。對于同底數(shù)冪除法， 這里只先討論所得商仍是整式的情形，對于所得商是分式的情形將在后續(xù)內(nèi)容引入負整數(shù)指數(shù)冪的概念以后再討論。能熟練地進行單項式除以單項式的除法是進行多項式除以單項式等一般的整式除法的前提。在第二小節(jié)，教科書根據(jù)乘、除互為逆運算的關(guān)系，并以分配律、同底數(shù)冪的除法為依據(jù)， 由計算具體的實例得到單項式除以單項式的除法法則。同樣地， 對于單項式除以單項式的除法，討論的問題也都在被除式中字母的指數(shù)大于或等于除式中字母的指數(shù)的限制條件范圍內(nèi)。對于多項式除以單項式，教科書是從計算來導(dǎo)出運算法則的，根據(jù)是乘除法互為逆運算以及分配律?？梢钥闯?， 法則的基本點是把多項式除以單項式轉(zhuǎn)化為單

6、項式的除法，而單項式除法是已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了的。在本章中，不討論多項式除以多項式等一般性的問題。15.4因式分解因式分解是解析式的一種恒等變形，因式分解不但在解方程等問題中極其重要，在數(shù)學(xué)科學(xué)其他問題和一般科學(xué)研究中也具有廣泛應(yīng)用，是重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識。因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法、待定系數(shù)法等。本教科書安排了多項式因式分解比較基本的知識和方法，它包括因式分解的有關(guān)概念，整式乘法與因式分解的區(qū)別與聯(lián)系， 因式分解的兩種基本方法，即提公因式法和公式法。兩種方法分別安排在第1 和第 2 小節(jié)。（三）課程學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本章教學(xué)要求達到以下的教學(xué)目標(biāo)：1. 使學(xué)生掌握正

7、整數(shù)冪的乘、除運算性質(zhì)，能用代數(shù)式和文字語言正確地表述這些性質(zhì)，并能運用它們熟練地進行運算。使學(xué)生掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算。2. 使學(xué)生會推導(dǎo)乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算。3. 使學(xué)生掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算。4. 使學(xué)生理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運算，掌握提公因式法和公式法（直接運用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多

8、項式的因式分解。二、本章編寫特點（一）強調(diào)重要數(shù)學(xué)思想方法的滲透根據(jù)數(shù)與式之間的聯(lián)系，教材通過類比的思想方法，由數(shù)的運算引出式的運算規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識間具體與抽象的內(nèi)在聯(lián)系和數(shù)學(xué)的內(nèi)在統(tǒng)一性。對于整式乘法法則的教學(xué)，教科書注意滲透“轉(zhuǎn)化”的思想方法。例如，多項式與多項式相乘的法則， 第一步是轉(zhuǎn)化為多項式與單項式相乘，第二步則是轉(zhuǎn)化為單項式與單項式相乘，而單項式與單項式相乘則轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的乘法與同底數(shù)冪的乘法。在整式除法的教學(xué)中教科書也注意滲透“轉(zhuǎn)化” 的思想方法， 多項式與單項式相除第一步是轉(zhuǎn)化為單項式與單項式相除，第二步是轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的除法與同底數(shù)冪的除法。由上可知， 整式的乘、除法教學(xué)要

9、循序漸進，打好各項知識的基礎(chǔ)，并運用好轉(zhuǎn)化的思想方法，就能夠很好地完成后面的教學(xué)內(nèi)容，取得較好的教學(xué)效果。此外， 本章教材注意了代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想和方法，如在整式乘法和乘法公式部分，借助于幾何圖形對運算法則及公式作了直觀解釋，體現(xiàn)了代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系和統(tǒng)一，能讓學(xué)生更好地理解有關(guān)知識。（二）充分體現(xiàn)從具體到抽象再到具體的認知過程從具體的實際問題出發(fā)，歸納出相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，或抽象出隱含在具體問題中的數(shù)學(xué)思想和規(guī)律， 這是本章的一個突出特點。密切聯(lián)系實際，體現(xiàn)知識的形成和應(yīng)用過程，這是本章編寫中很重視的一個問題。以第 15.1 節(jié)為例，無論同底數(shù)冪相乘、冪的乘

10、方還是積的乘方，都是從具體、簡單題目的運算出發(fā)， 最后歸納出運算性質(zhì)，然后再用歸納得出的結(jié)果進一步指導(dǎo)比較復(fù)雜的實際問題。 而整式的乘、 除法也是從具體的問題出發(fā)，歸納出運算法則，再進一步用于解決實際問題。 這種從具體到抽象，再由抽象到具體的編排方式，可以循序漸進地向?qū)W生呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，有助于學(xué)生的理解和掌握，符合現(xiàn)階段學(xué)生的認知水平。（三）根據(jù)數(shù)學(xué)知識的邏輯關(guān)系循序漸進安排教學(xué)內(nèi)容本章所涉及的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之間不僅具有密切的聯(lián)系，且具有很強的邏輯關(guān)系。整式的乘法與除法是互為逆運算，乘法公式是具有特殊形式的整式乘法問題，整式的乘法與因式分解是方向相反的恒等變形，在涉及的這些內(nèi)容中，整式的乘法是引入

11、后續(xù)內(nèi)容教學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)好一般整式乘法的知識是進一步學(xué)習(xí)本章其他知識的前提。本章根據(jù)知識之間的這種邏輯關(guān)系， 把教學(xué)重點放在整式乘法的教學(xué)上，符合邏輯、 循序漸進地安排了單項式與單項式相乘、多項式與單項式相乘、多項式與多項式相乘、乘法公式的教學(xué)內(nèi)容。再如，根據(jù)數(shù)與式之間的聯(lián)系， 教科書通過類比的思想方法，由數(shù)的運算引出式的運算規(guī)律；引入乘法公式時，指出研究的是某些特殊形式的多項式相乘問題；根據(jù)整式乘法與整式除法的關(guān)系導(dǎo)出整式除法法則。 在本章的教學(xué)中也應(yīng)該注意本章知識之間的這種邏輯關(guān)系，使學(xué)生能從整體上把握本章知識。三、本章教學(xué)中幾個值得關(guān)注的問題1.重視運算性質(zhì)和公式的發(fā)生和歸納過程的教學(xué)本章

12、整式乘法運算性質(zhì)、除法運算性質(zhì)、 乘法公式的得出過程，教科書是從某些具體的數(shù)與式計算， 歸納得到一般的式的運算法則，是一個由特殊到一般，從具體到抽象的歸納過程。在性質(zhì)和公式的教學(xué)中，要重視上述歸納過程的教學(xué)，使學(xué)生在這個過程中理解和掌握性質(zhì)和公式， 并能用代數(shù)式和文字語言正確地表述這些性質(zhì)，運用它們熟練地進行運算。應(yīng)使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上加以記憶，在運用、練習(xí)的過程中進一步加以鞏固，并加深理解。另外，教科書在得到某些運算法則的過程中在邏輯上看也并不具備嚴(yán)密性，在教學(xué)中則應(yīng)該考慮學(xué)生思維能力發(fā)展的年齡特點，把握好邏輯的適度嚴(yán)密性。2重視發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性充分信任學(xué)生，努力發(fā)揮他們的主觀能動性，讓

13、他們通過觀察、思考、探究、討論、歸納，主動地進行學(xué)習(xí)。勤于思考，善于思考，是學(xué)好數(shù)學(xué)的先決條件。在本章中，教材安排了大量的“探究”和“思考”欄目。通過“探究”欄目讓學(xué)生體驗研究問題，解決問題，最后得出一般結(jié)論的過程，加深學(xué)生對問題的理解，使其既知其然，又知其所以然。 本章共安排了9 個“探究”欄目，許多重要結(jié)論或概念都是通過這個欄目歸納和總結(jié)出來的。在教學(xué)過程中應(yīng)該充分發(fā)揮“探究”欄目的作用。通過這個欄目，學(xué)生一方面可以體驗獲得結(jié)論的過程，另一方面可以獲得成功的喜悅。課程改革的目的之一是促進學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，加強學(xué)習(xí)的主動性和探究性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和自學(xué)意識，而“思考” 欄目的安排也是為實現(xiàn)

14、上述的目標(biāo)所做的設(shè)計之一。例如，在 15.2.1節(jié)，通過對面積的討論，可以發(fā)現(xiàn)平方差公式與面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，進而感受到幾何與代數(shù)內(nèi)在的統(tǒng)一性。又如，在15.3.2節(jié)，通過“思考”欄目，讓學(xué)生在思考具體問題的基礎(chǔ)上自己歸納出單項式相除的法則?？傊?，通過“思考”欄目，學(xué)生們可以開動腦筋，加強發(fā)現(xiàn)探索，培養(yǎng)探究精神。在本章的教學(xué)中，還要有意識地鼓勵學(xué)生尋找“富有挑戰(zhàn)性”的學(xué)習(xí)材料，適當(dāng)?shù)剡M行數(shù)學(xué)活動和交流，在探究、討論、思考的過程中獲得知識，培養(yǎng)能力。在本章的“數(shù)學(xué)活動”和“拓廣探索” 欄目中都設(shè)計了一些探究性的問題，老師們應(yīng)該適當(dāng)?shù)匕才胚@些問題，鼓勵學(xué)生積極思維，努力探索，提高數(shù)學(xué)思維水平。3注

15、意把握教學(xué)要求根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，本章要求學(xué)生會進行簡單的整式乘法（其中的多項式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘）運算和除法運算。會推導(dǎo)平方差公式和完全平方公式，并了解公式的幾何背景， 能利用公式進行簡單的計算。會用提公因式法和公式法進行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）。應(yīng)該看到，本章的內(nèi)容都是重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，應(yīng)用極其廣泛，對于后續(xù)學(xué)習(xí)影響很大。 所以，一方面， 要重視本章知識的教學(xué)，把教學(xué)要求落到實處。另一方面也應(yīng)該看到，本章的教學(xué)內(nèi)容與傳統(tǒng)的教學(xué)比較，在教學(xué)要求上有了一些降低，如對于整式乘除運算的教學(xué)要求， 乘法公式的教學(xué)要求，對于因式分解的介紹等，都在一定程度上降低了內(nèi)容的廣度和深度。 教

16、學(xué)中， 老師們可能會受到教學(xué)傳統(tǒng)習(xí)慣和思想的影響，不自覺地拓寬教學(xué)內(nèi)容范圍、提高教學(xué)要求。老師們要認真學(xué)習(xí)領(lǐng)會課程標(biāo)準(zhǔn)的思想，貫徹教科書的編寫意圖，在教學(xué)中按照教科書的要求組織教學(xué)，努力克服教學(xué)傳統(tǒng)觀念的影響。例如，對于因式分解，教科書只要求學(xué)生會靈活地運用提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）兩種分解方法， 對分組分解法和十字相乘法則不做要求。對于其他因式分解方法，教科書只在選學(xué)欄目中給出了一種，即型式子的因式分解（十字相乘法），供學(xué)有余力的同學(xué)參考。教學(xué)中就應(yīng)該把握好這樣的教學(xué)要求。4抓住教學(xué)重點和關(guān)鍵，突破教學(xué)難點本章的教學(xué)重點之一是整式的乘除，包括乘法公式。從整式乘除的地位和作

17、用可知，如果不掌握好這部分內(nèi)容，會給以后的學(xué)習(xí)帶來極大的困難。因此要有針對性地加強練習(xí)，務(wù)必使學(xué)生對整式的乘除運算，包括其中運用乘法公式進行計算達到熟練的程度。在整式的乘除中，單項式的乘除是關(guān)鍵。這是因為其他乘除都要轉(zhuǎn)化為單項式的乘除。實際上， 單項式的乘除進行的是冪的運算與有理數(shù)的運算，因此冪的運算是學(xué)好整式乘除的基石。乘法公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義學(xué)生不易掌握，運用時容易混淆，因此乘法公式的靈活運用是本部分的難點。在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生分析公式的結(jié)構(gòu)特征，并在練習(xí)中與所運用公式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)系起來，對所發(fā)生的錯誤多做具體分析，以加深學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)特征的理解。添括號時，括號內(nèi)符號的確定

18、是本部分的另一個難點。掌握添括號法則的關(guān)鍵是要把添上括號后括號內(nèi)的多項式與括號前面的符號看成統(tǒng)一體，對于這一點學(xué)生不易理解，要結(jié)合例題進行分析。學(xué)生在學(xué)習(xí)添括號時，感覺添括號比去括號要難，括號前是“”號比括號前是“ +”號要難。遇到括號前是“”號時，學(xué)生容易漏掉括號內(nèi)一部分項的變號，在講解例題時要強調(diào)法則中“各項”的含義。因式分解一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點，原因在于分解因式的方法很多，變化技巧較高， 且沒有一種一般有效的方法。教學(xué)中要注意把握教學(xué)要求，防止隨意拓寬內(nèi)容和加深題目的難度。 教科書對于因式分解這部分內(nèi)容要求僅限于因式分解的兩種基本方法，即提公因式法和公式法，教學(xué)中則應(yīng)讓學(xué)生牢固地掌握。5注意安排學(xué)生對選學(xué)內(nèi)