試析分塊周期三對(duì)角矩陣逆矩陣的新算法

1、    試析分塊周期三對(duì)角矩陣逆矩陣的新算法    李明偉 李永芳o(jì)241.6 a 2095-3089（2018）08-0151-011.問(wèn)題的提出在研究矩陣的求解、特征值等方面，分塊周期三對(duì)角矩陣具有其特殊性，對(duì)計(jì)算機(jī)及相關(guān)工程發(fā)展有重要意義。因此，本文提出了利用sheman-morrison-woodbury公式來(lái)獲得分塊周期三對(duì)角矩陣逆矩陣的新算法。本文研究型如矩陣a的分塊周期三對(duì)角矩陣的逆矩陣算法：a=a1 b1 0 0 tc2 a2 b2 0 00 c3 a3 0 00 0 0 ？噎 an-1 bn-1s 0 0 ？噎 cn an其中a的元素a

2、i，bi，ci，s，t均為m階方陣，根據(jù)s，t，m的取值不同，其分別稱為矩陣a的不同形式。2.預(yù)備知識(shí)為了研究型如矩陣a的逆矩陣算法，通過(guò)以下引理作為理論基礎(chǔ)進(jìn)行分析。引理 1：假設(shè)c為分塊三對(duì)角矩陣，根據(jù)lu、ul對(duì)矩陣進(jìn)行分解，分解結(jié)果如下：c=l1u1=il1 i l2 i ？塤 ？塤 ln-1 iu1 b1 u2 b2 u ？塤 ？塤 bn-1 un=u2l2=1 b 2 b21 3 ？塤 ？塤 bn-1 ni1 i 2 i ？塤 ？塤 n-1 i其中序列l(wèi)i，ui，ii可以按照u1=a1，li-1=ciui-1-1，ui=ai-li-1bi-1，其中i=2，3，n。引理2：設(shè)b為n階

3、可逆方陣，x，y是n維列向量，當(dāng)且僅當(dāng)1+ytb-1x0時(shí)，b+xyt為可逆的，并得出等式（1）（b+xyt）-1=b-1- （1）引理3：設(shè)b為n階的可方陣，x，y均為nm×m矩陣，則當(dāng)且僅當(dāng)im+ytb-1x可逆時(shí)，b+xyt為可逆的，并得出等式（2）（b+xyt）-1=b-1-b-1x（im+ytb-1x）-1ytb-1 （2）3.新算法的構(gòu)建那么結(jié)合引理，給定m階可逆方陣p1，q1，令qn=pt，pn=qs，那么可以構(gòu)造向量：p=p100pn，qt=（q1，0，0，qn）那么分塊周期三對(duì)角矩陣b表示為：b=d+pqt，根據(jù)引理3等式（2）可以將矩陣bd的關(guān)系表述為：b-1=（

4、d+pqt）-1=d-1-d-1p（im+qtd-1x）-1qtd-1那么如果矩陣b為型如a的矩陣，那么假設(shè)矩陣d為可逆的，則矩陣b需要滿足im+qtd-1p是可逆的，并可以通過(guò)下列算法獲得矩陣b？鄄1的元素。給定任意p1，q1，qn=p1-1t，pn=q1-1s，u1=a1-p1q1，li-1=ciui-1-1，ui=ai-li-1bi-1，其中i=2，3，n，an=n-pnqn，i=i+1-1ci+1，i=ai-bii，其中i=n-1，n-2，1給定g1=im，x1=im，將hi，gi，xi，yi帶入上式，則有h1=1-1，hi=-bi-1hi-11-1，其中i=2，3，n，gn=（unhn）-1，gi=-bihi+1ui-1，其中i=n-1，n-2，1y1=1-1，yi=-i-1yi-1，其中i=2，3，nxn=（unhn）-1，xi=-lixi+1，其中i=n-1，n-2，1那么有=im+（q1g1h1+qnynx1）p1+（q1g1hn+qnynxn）pn=-1（