一階微分方程解題方法指導(dǎo)

1、一階微分方程解題方法指導(dǎo)劉兵軍在高數(shù)下刖中，微分方程一章是獨(dú)立性很強(qiáng)的內(nèi)容，和積分與級數(shù)這些內(nèi)容沒冇什么聯(lián) 系，故可以靈活安排講授時間，即使在講多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)之前講授本章內(nèi)容也是可以的.所謂微分方程就是山未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的等式.方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高 階叫作微分方程的階.如果方程的解中含冇任意常數(shù)尺英個數(shù)與方程階數(shù)相同，則稱這樣的 解為微分方程的通解.滿足確定任意常數(shù)初始條件的解為特解.求解微分方程就是求其通 解或進(jìn)一步求滿足某條件的特解.木文主要討論一階微分方程空=f(x,y)的求解問題.dx一、可分離變量的方程一個一階微分方程能變形為如下形式：g(y)dy = fmdx(1)則稱

2、其為可分離變量的方程.假定方程(1)中g(shù)(y)和/(兀)是連續(xù)的，則在(1)兩邊積分可得方程的解.經(jīng)過變形把方程變?yōu)?1)的形式，是解題的關(guān)鍵所在.例1求微分方程dy_2xy的通解.dx _解：分離變量得dy _2xdxy兩邊積分得-ixdx即in y 二= x2+c,mw =%令 c = ec可得 y =cly =-dx"1 宀1ln(r l) = ln(/+l) + lnc例2.求微分方程的通解(£心-ex)dx + (ex+y-ey)dy = o.解：分離變量得兩邊積分得bp得二、齊次方程("_1)0+1) = c若一階微分方程冬=f(x, y)中的/(x,

3、y)可寫為丄的函數(shù)°(丄)，則稱其為齊次方dxxx程令 u=即 y = ux , xdydxdudx從而得出分離變量得u + x dx0(u)du _ dx(p(u)-u x按分離變量法解得方程解，再把"還原為-即得原來方程的通解. 例3.求微分方程(x2 + y2)dx一xydy = 0的通解.解：變形得虬3=皿dx xya y zndydu令 u=得 y = ux ,=u + xxdxdx2“du 1 + u 1原方不上變?yōu)?it + x = udx u udu 1即分離變量得兩邊積分得將u還原得x=dx uudu = dxx=lnx + lnc.2iy2 =x2 ln

4、(c!2x2) = x2ln(cx2)其中 c = c例4.求解微分方程dx= yln的通解.x解：變形得dx x x令2上得xy - ux ,dydu=w + x dxdx則方程變?yōu)閐uu + x dx=u in u分離變雖:得du-/yw(ln w 一cia1)x兩邊積分得ln(lnw 一1) = lnx + lnc即in w -1 =:cx把m還原得ln-l =cx),=d 1三、一階線性微分方程形如豉+ p（x）y = g（x）的微分方程稱為階線性微分方程. dx若qs）三0,則稱z為齊次的，否則稱為非齊次的.對于一階線性齊次微分方程- + p（x）y = 0 ,用分離變量法，易得其通

5、解為 dxy = cex）（lx,再用常數(shù)變界法可得相應(yīng)非齊次方程的通解為上式右端第一項(xiàng)為對應(yīng)齊次方程通解，第二項(xiàng)為非齊次方程的一個特解.即一階非齊次 線性微分方程的通解等于對應(yīng)齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和.上述求解公式的推導(dǎo)過程稱為常數(shù)變界法，各類高等數(shù)學(xué)教科帖中都有此方法的詳細(xì)過程，在此不再重復(fù).只需把（3） 當(dāng)作一個公式套用即可.具體使用（3）求解一階線性微分方程時，應(yīng)該注意把方程變?yōu)椋?）的標(biāo)準(zhǔn)形式，否則 容易出錯.例5.求方程乞=2匚+ （兀+ 1卩的通解.dx x +12解：本方程是一階線性非齊次微分方程，可用（3）式來求解，但應(yīng)注意x + 1 把方程變形得 一一 y

6、=（兀+ 1）2dx x + 1/ pm =, q(x) = (x + 1)2x + 1得尸/卩皿(似兀)>"仏+ 0 之十知(jg + i)訂卜®n + c)=嚴(yán)叭"兀+ 1/嚴(yán)小+c)2 -=(“1)2&+i)2+c'例6.求解方程2丄=的通解.dx 3x + 2y解：本方程并不是一個一階線性微分方程，但經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃魏螅勺優(yōu)橐粋€以兀為函 數(shù)y為自變量的一階線性微分方程.變形得=2(3x + 2 刃 dydx廠力6x = 4ydy代入(3)得尸円恥(似必悶怙+ c)= "(j4)j®+c)二嚴(yán)(j4wfy + c)91= e6y(-ye-6y-e-6y +c)3971=yf ce6y3'9以上6道例題基本展示了一階微分方程求解過程和注意事項(xiàng).在求解一階線性微分方程時, 學(xué)員應(yīng)首先分清方程的類型，即可分離