151曲邊梯形的面積

1、曲邊梯形的面積 一般地一般地, ,如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間在某個(gè)區(qū)間I上的圖象上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線是一條連續(xù)不斷的曲線, ,那么就把它稱為區(qū)間那么就把它稱為區(qū)間I上上的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù). . 1. 1.什么是區(qū)間什么是區(qū)間I I上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù). .aboxyaboxy 2.2.什么叫曲邊梯形什么叫曲邊梯形? ? 在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中, ,我們把由直線我們把由直線 , , ,ax )(babx 和曲線和曲線 所圍成的圖形稱為曲邊梯形所圍成的圖形稱為曲邊梯形. .)(xfy 0yOx y a b y=f (x)x=ax=b 怎樣求這樣的曲邊梯形

2、的面積呢怎樣求這樣的曲邊梯形的面積呢? ?)(xfy Ox y a b y=f (x)x=ax=b 曲邊梯形的面積三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”劉徽當(dāng)邊數(shù)n無限增大時(shí)，正n邊形面積無限逼近圓的面積 曲邊梯形的面積三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”劉徽當(dāng)邊數(shù)n無限增大時(shí)，正n邊形面積無限逼近圓的面積 曲邊梯形的面積“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：劉徽在九章算術(shù)注中講到劉徽當(dāng)邊數(shù)n無限增大時(shí)，正n邊形面積無限逼近圓的面積

3、曲邊梯形的面積將圓分成將圓分成16等份等份 曲邊梯形的面積長(zhǎng)長(zhǎng)(a)(b)寬寬平分平分16等份等份平分平分32等份等份 曲邊梯形的面積rC2 2r r因?yàn)橐驗(yàn)? 長(zhǎng)方形面積長(zhǎng)方形面積 = 長(zhǎng)長(zhǎng) 寬寬所以所以: 圓圓 的的 面面 積積 = r r 22r2 2=r r y = f(x)bax yO A1A A1.用一個(gè)矩形的面積用一個(gè)矩形的面積A A1 1近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A A，得得A A1+ A2用兩個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四個(gè)矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y =

4、 f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A A A1 1+ + A A2 2 + + + + A An n 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩個(gè)小曲邊梯形，并用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積，形的面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯于是曲邊梯形的面積形的面積A A近似為近似為A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,無限逼近無限逼近 自主探究自主探究 圖中的圖形可看圖中的圖形可看成成:x=0,x=1,y=0:x=0,x=1,y=0和和y=xy=x2 2所圍成的曲邊所圍成的曲邊梯形梯形, ,它的面積如何它的面積如何計(jì)算呢計(jì)算呢? ? O n1

5、n2nknnxOy2xy ,1 ,n1n,n2,n1,n1, 0:n,1n1 , 01 個(gè)小區(qū)間分成將它等個(gè)點(diǎn)隔地插入上間在區(qū)間分割.n1n1inix,n, 2 , 1ini,n1ii 其長(zhǎng)度為個(gè)區(qū)間為記第ox1y2xy n1ini軸的個(gè)點(diǎn)作分別過上述x1n.,.,121 niinSSSSsn顯然它們的面積記作如圖個(gè)小曲邊梯形把曲邊梯形分成垂線 直線段近似軸的就是用平行于上看從圖形處的函數(shù)值它近似地等于左端點(diǎn)不妨認(rèn)為似等于一個(gè)常數(shù)近的值變化很小函數(shù)上在區(qū)間時(shí)很小即很大當(dāng)如圖記近似代替xnifnixxfninixnxxf,.11,1,.222 ox1y2xy n1inin1i nix12xy y

6、o., 2 , 1111, ,1,.2ninnixnifSSSSniniiiii 則有以直代曲小范圍內(nèi)即在局部近似地代替用小矩形的面積上在區(qū)間這樣邊地代替小曲邊梯形的曲ox1y2xy n1inin1i nix12xy yo nnixnifSSSnininiinn111,232111 為圖中陰影部分的面積由求和n1n1n102n1n1n2 61n2n1nn13.n211n1131SSSn的近似值從而可得 .61n2n1n1n21222 可以證明可以證明n1i nix12xy yo .312111131lim11limlim,2111131,0,20, , 8 , 41 , 041 nnnifnS

7、SSnnSxnnninnnn從而有趨向于時(shí)趨向于即趨向于無窮大當(dāng)可以看到上圖等份等分成分別將區(qū)間取極限 oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo ?,fni,n1i?31,?S,nifnin, 2 , 1ini,n1ixxf,ii2情況又怎樣情況又怎樣作為近似值作為近似值的函數(shù)值的函數(shù)值處處取任意取任意嗎嗎這個(gè)值也是這個(gè)值也是若能求出若能求出的值嗎的值嗎用這種方法能求出用這種方法能求出處的函數(shù)值處的函數(shù)值點(diǎn)點(diǎn)上的值近似地等于右端上的值近似地等于右端區(qū)間區(qū)間在在如果認(rèn)為函數(shù)如果認(rèn)為函數(shù)中中近似代替近似代替在在探究探究 .31fn1limxflimS,fni,n1ixxf,

8、inn1iinii2 都有作近似值處的值點(diǎn)上任意一在區(qū)間取可以證明.,15.1,值的方法求出其面積值的方法求出其面積似代替、求和、取極似代替、求和、取極也可以采用分割、近也可以采用分割、近我們我們所示的曲邊梯形所示的曲邊梯形對(duì)如圖對(duì)如圖一般地一般地abxy xfy o af bf15.1 圖圖鞏固提高鞏固提高2xn 過每個(gè)分點(diǎn)作過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂軸的垂解解:(1)分割分割:將區(qū)間將區(qū)間0,2n等分等分,則則每個(gè)區(qū)間每個(gè)區(qū)間212,iinn（）的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為線線,將原曲邊梯形分割為將原曲邊梯形分割為n個(gè)小個(gè)小曲邊梯形曲邊梯形;求直線求直線x=0,x=2,y=0與曲線與曲線y=x2所圍成的曲邊

9、梯形的所圍成的曲邊梯形的面積面積 (2)近似替代近似替代 以每個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn)的函數(shù)值為高作以每個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn)的函數(shù)值為高作n個(gè)小矩形個(gè)小矩形,當(dāng)當(dāng)n很大時(shí)很大時(shí),用這用這n個(gè)小矩形的面積和近似替代曲邊梯個(gè)小矩形的面積和近似替代曲邊梯形的面積形的面積S;(3)求和求和22112121212()()221()nnniiniiiSfxfnnnifnn （）（）（）22238123(1) nn 222121121.6nnnn(4)取極限取極限limnnSS即曲邊梯形的面積為即曲邊梯形的面積為83練習(xí)：練習(xí)：p42121lim()lim( )nninniSSSSfx2 ( )2/01tv ttkm hthkm 如汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻 的速度為（單位：），那么它在（單位： ）這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程S（單