組合透鏡成像

1、1 1 1+ =1萍透鏡成像公式是：11 u f式中f、U、 “的正負(fù)仍遵循“實正.虛負(fù)”的法則。2.組合透錢成像如果由焦距分別為/1和fl的力、B兩片薄透鏡構(gòu) 成一個透鏡組（共主軸）將一個點光源S放在主軸上 距透鏡處，在透鏡另一側(cè)距透鏡#處成一像S'（圖1-5-4）所示。對這一成像結(jié)果，可以從以下兩個不圖1-5-4 同的角度來考慮。因為久B都是萍透鏡，所以互相靠攏地放在一起仍可看成一個薄透鏡。設(shè) 這個組合透鏡的焦距是元 則應(yīng)有1 11I=it u f另一個考慮角度可認(rèn)為s'是S經(jīng)/1、3兩個透鏡依次成像的結(jié)果。如S經(jīng)力后成像S|,設(shè)®位于力右側(cè)距力為5處，應(yīng)有1 1

2、 1I="q /;因為，位于透鏡B右側(cè)5處，對B為一虛物，物距為"，再經(jīng)B成像 所以1 1+ 11U U/1由、可解得1 11ufl比較、兩式可知丄+丄=丄+1H f fl如果A. B中有凹透鏡，只要取負(fù)的人或A代入即可。3 光學(xué)儀器的放大率實像光學(xué)儀器的放大率 幻燈下、照相機(jī)都是常見的實像光學(xué)儀器。由于此類儀器獲得的是物體的實像，因而放大率一般是指所有成實像的長度放大率, 即 v=muQ如果有一幻燈機(jī)，當(dāng)幻燈片與銀幕相距時，可在銀幕上得到放大率為24的 像：若想得到放大率為40的像，那么，假設(shè)幻燈片不動，鏡頭和銀幕應(yīng)分別移 動多少根據(jù)第一次放映可知J"+q =

3、2.5= mu = 24«,可解得f = 0.096/?第二次放映1 I 1“24 f= ？屛仃=40zg 厶J 厶可解得 z/2 = 0 0984m , 5 = 3.94/z?比較心和"2,可知鏡頭縮回；比較"和5,可知銀幕應(yīng)移遠(yuǎn)。虛像光學(xué)儀器的放大率 望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡是常見的虛像光學(xué)儀器。由于此類儀器得到的是物體的虛像，目的是擴(kuò)大觀察的視角，因此放大率刃一般是指視角放大率。如果直接觀察物體的視角為a ,用儀器觀察物體的視角為B ,那么先看顯微鏡的放大率。如果 有一臺顯微鏡，物鏡焦距為人，目 鏡焦距為幾，鏡筒長厶若最后的 像成在離目鏡d處，試證明顯微鏡Ldm =的

4、放大率 /厲。顯微鏡的光路如圖1-5-5所 示，AB經(jīng)物鏡I成一放大實像Ad,物鏡的長度放大率m - -1 AB BO】因人、厶相對厶都較小，而且B很靠近人，所以BlOl a L，BO a fAd位于目鏡II的焦點內(nèi)，經(jīng)目鏡成一放大的虛像人2禺（通常讓兒禺成在觀察者的明視距離d上）。因為都是近軸光線，所以此時觀察者從目鏡中看到生伏的視角3為P = tan P =_ AB,ABxd BQ 人若觀察者不用顯微鏡，直接觀看力3的視角a為ABa = tana = d則顯微鏡的放大率刃a f2dxABLd7Z不難看出目鏡的長度放大率為所以有下面再看天文望遠(yuǎn)鏡的放犬率，如果天文 望遠(yuǎn)鏡的物鏡焦距為久，目鏡

5、焦距為九，試證 明天文望遠(yuǎn)鏡的放大率m =。望遠(yuǎn)鏡成像光路如圖1-5-6所示，遠(yuǎn)處物體S3由物鏡I成像然后再由目鏡II在遠(yuǎn)處成一虛像生禺（圖中未畫出），觀察者觀察生雖的視角即為圖中的b ,卩= ABi仇。若不用望遠(yuǎn)鏡，觀察者直接觀察距望遠(yuǎn)鏡S遠(yuǎn)處的物體S3的視角，近似為圖中的aaAB/S = AlB/f2因此望遠(yuǎn)鏡的放大率刃為丄=辿丄丄a fifi4.常見的光學(xué)儀器投彩儀器電影機(jī)、幻燈機(jī)、印 相放大機(jī)以及繪圖用的投影儀等，都 屬于投影儀器，它的主要部分是一個 會聚的投影鏡頭，將畫片成放大的實 像于屏幕上，如圖1-5-7o由于物距 略大于焦距f,畫片總在物方焦平面 附近，像距u»f,放

6、大率= 它與像距#成正比。圖 1-5-8圖 1-5-9一光學(xué)系統(tǒng)如圖1-5-8所示，力為物平面.垂直于光軸，厶為會聚透鏡，M 與光軸成45°角的平而鏡。P為像而，垂直于經(jīng)平面鏡反射后的光軸。設(shè)物為1 而上的一個“上”字，試在圖1-5-9中實像而P上畫出像的形狀。圖 1-5-10眼睛 眼睛是一個相當(dāng)復(fù)雜的天然光學(xué)儀器。從結(jié)構(gòu)上看，類似于照像機(jī), 圖1-5-10為眼球在水平方向的剖面圖。其中布滿視覺神經(jīng)的網(wǎng)膜，相當(dāng)于照像 機(jī)中的感光底片，虹膜相當(dāng)于照像機(jī)中的可變光闌，它中間的圓孔稱為瞳孔。眼 球中的晶狀體是一個折射率不均勻的 透鏡，包在眼球外而的堅韌的膜，最前 而的透明部分稱為角膜，其余

7、部分為鞏 膜。角膜與晶狀體之間的部分稱為前 房，其中充滿水狀液。晶狀體與網(wǎng)膜之 間眼球的內(nèi)腔，稱為后房，其中充滿玻 璃狀液。所以，眼睛是一個物、像方介質(zhì)折射率不等的例子。聚焦光無窮遠(yuǎn)時,物焦距 十，像方焦距 住。眼睛是通過改變晶狀體的曲率（焦距）來調(diào)節(jié)聚焦的 距離。眼睛肌肉完全松弛和最緊張時所能清楚看到的點，分別稱為它調(diào)節(jié)范圍的 遠(yuǎn)點和近點。正常眼睛的遠(yuǎn)點在無窮遠(yuǎn)。近視眼的眼球過長，無窮遠(yuǎn)的物體成像 在網(wǎng)膜之前，它的遠(yuǎn)點在有限遠(yuǎn)的位置。遠(yuǎn)視眼的眼球過短，無窮遠(yuǎn)的物體成像在網(wǎng)膜之后（虛物點）。矯正近視眼和遠(yuǎn)視的眼鏡應(yīng)分別是凹透鏡和凸透鏡。所謂散光，是由于眼球在不0 =同方向的平而內(nèi)曲率不同引起的

8、，它需要非球而透鏡 來矯正Q視角.視角放大 物體的兩端對人眼光心所張的 角度叫做視角，視角的大小跟物體的尺寸及物體到人眼的距離有關(guān)。當(dāng)兩物點（或 同一物體上的兩點）對人眼視角大小廠（約29xlO_M）時，才能被人眼區(qū)分。在看小物體時，為了增大視角就要縮短物眼間距離，但當(dāng)其小于人眼近點 距離時，視網(wǎng)膜上所成的像反而模糊不清。為此，必須使用光學(xué)儀器來增大視角。圖1-5-11是人眼（E）通過放大鏡觀察物體AB的像AfBf,當(dāng)人眼靠近光心時視角。(pr = ZAfOBf =AfBfABBO若物體很靠近焦點，且成像于明視距離，則:圖 1-5-12A®ABT若不用放大鏡將物體置于明視距離，如圖1

9、-5-12, 88-25cm,則視角：(p = ZAEB =AB25cm把用光學(xué)儀器觀察虛像所得視角0"與將物體放在虛像位置上直接觀察的視角e的比值叫做光學(xué)儀器的視角放大率。用B表示視角放大率，即有"詩ABfAB25cm對于放大鏡，有25cm顯微鏡 圖1-5-13是顯微鏡成像原理圖。被觀察物體處置于物鏡厶|焦點外很靠近焦點處，(Mi «/>), 成放大實像AE 于目鏡乙焦點內(nèi)靠近焦點處(“2眼睛靠近目鏡厶2的光心可觀察到位于明視圖 1-5-13距離的虛像顯微鏡的物鏡視角放大率AfBf 43© AB AB /L L0未在圖中畫出。目鏡放大率：A&qu

10、ot;B" ££nf2 _25cwPi -(p： - A'B' - A'B' f：25 25cm血未在圖中畫出。顯微鏡的視角放大率:25LT7i式中厶是鏡筒長度。由于« L,因此在計算放大率時用厶代表物鏡像距。 通常顯微鏡焦距人很小，多為 呦數(shù)量級，明鏡焦距稍長，但一般也在2m以內(nèi)。望遠(yuǎn)鏡 望遠(yuǎn)鏡用于觀察大而遠(yuǎn)的物體，如圖1-5-14,圖1-5-15分別表示開普勒望遠(yuǎn)鏡和伽利略望 遠(yuǎn)鏡的光路圖。兩種望遠(yuǎn)鏡都是用焦 距較長的凸透鏡做物鏡。遠(yuǎn) 處物體從同點發(fā)出的光線可近似為平行光，因此將在 物鏡的焦平而上成一實像 A'

11、F。開普勒望遠(yuǎn)鏡的目鏡 也是凸透鏡，其焦距較短，物方焦平面和物鏡的像方圖 1-5-15焦平而幾乎重合。結(jié)果，以A'F為物，在無窮遠(yuǎn)處得到虛像而伽利略望遠(yuǎn)鏡的目鏡則是凹透鏡，當(dāng) 它的物方焦平而（在右側(cè)）與物鏡的像方焦平而重合時，實像A'F卻成了虛物， 經(jīng)凹透鏡折射成像于無窮遠(yuǎn)處。由圖中看出伽利略望遠(yuǎn)鏡觀察到的像是正立的，可用于觀察地而物體，而 開普勒望遠(yuǎn)鏡觀察到的像是倒立的，只適合作為天文望遠(yuǎn)鏡。從圖中的幾何關(guān)系 還可看出兩種望遠(yuǎn)鏡的視角放大率均為：0 =亙fi還有一類望遠(yuǎn)鏡的物鏡是凹而鏡，稱為反射式望遠(yuǎn)鏡。大型的天文望遠(yuǎn)鏡 都是反射式望遠(yuǎn)鏡。例4.焦距均為f的二凸透鏡厶.厶2與

12、兩個圓形平而反射鏡My放置如圖1-5-22o二圖 1-5-22透鏡共軸，透鏡的主軸與 二平而鏡垂直，并通過二平而鏡的中心，四鏡的直徑相同，在主軸上有一點光源Oo1. 畫出由光源向右的一條光線0A （如圖1-5-22所示）在此光學(xué)系統(tǒng)中的 光路。2、分別說出由光源向右發(fā)出的光線和向左發(fā)出的光線各在哪些位置（0點 除外）形成光源0的能看到的像， 哪些是實像哪些 是虛像。22圖 1-5-233. 現(xiàn)在用不 透明板把厶和厶2的下半部（包括透鏡中心）都遮住，說出這些像有什么變化。解：J 光線少的第一次往返光路如圖1-5-23所示。當(dāng)光線由圖中左方返回經(jīng)0點后，將繼續(xù)向右下方進(jìn)行，作第二次往返。第二次往返

13、的光路在圖中未 畫出，可按圖中光路對稱于主軸畫出。以后，光線重復(fù)以上兩種往返光路。2、向右發(fā)出的光線：尺處成實像，右方無限遠(yuǎn)處成虛像：人處成實像；P/處(Mi左方2處主軸上)成虛像。向左發(fā)出的光線：件處成實像；左方無限遠(yuǎn)處成虛像：尺處成實像：0處L(M?右方2處主軸上)成虛像。3、向右發(fā)出的光線只在尺處成實像。向左發(fā)出的光線只在林處成實像。兩 像均比未遮住時暗。rH1F.F2 f圖 1-5-24例5、一平凸透鏡焦距為 /，其平面上鍍了銀，現(xiàn)在其凸 而一側(cè)距它2f處，垂直于主 軸放置一高為/的物，其下端 在透鏡的主軸上(圖1-5-24)。(1) 用作圖法畫出物經(jīng)鍍銀透鏡所成的像，并標(biāo)明該像是虛.

14、是實。(2) 用計算法求出此像的位置和大小。分析：這道題實質(zhì)是一個凸透鏡與一緊密接合的平面鏡的組合成像問題。雖然我們畫不出光線經(jīng)透鏡折射后射向平而鏡的光路，但光路仍然遵守凸透鏡與L M平而鏡成像規(guī)律，這是我們在 具體分析光路時必須牢牢抓 住的一點。成像的計算也是遵 守凸透鏡與平面鏡的成像計 算方法的。解：(1)用作圖法求圖 1-5-25得物AP的像A'P及所用各條光線的光路如圖1 -5-25所示。說明：平凸透鏡平面上鍍銀后構(gòu)成一個由會聚透鏡厶和與它密接的平而鏡 組合 如圖1 -5-25所示。圖中0為厶的光心，AOF為主軸，F(xiàn)和F'為Z.的 兩個焦點，/4P為物。作圖時利用了下列

15、三條特征光線： 由P射向。的入射光線，它通過Q后方向不變，沿原方向射向平面鏡風(fēng) 然后被反射，反射光線與主光軸的夾角等于入射角，均為a。反射線射入透鏡 時通過光心0,故由透鏡射出時方向與上述反射線相同，即圖中的0P。 由P發(fā)出且通過Z.左方焦點F的入射光線7?,它經(jīng)過厶折射E的出射線 與主軸平行，垂直射向平而鏡饑 然后被反射，反射光線平行于厶的主軸，并 向左射入厶 經(jīng)厶折射后的出射線通過焦點F,即為圖個中 由P發(fā)出的平行于主軸的入射光線P0,它經(jīng)過厶折射后的出射線將射向 厶的焦點F,即沿圖中的°F方向射向平面鏡，然后被庚射，反射線指向與F 對稱的F點，即沿0F方向。此反射線經(jīng)Z.折射E

16、的出射線可用下法畫出：通過0 作平行于0F輔助線SOS , S'OS通過光心，其方向保持不變，與焦而相交于T 點。由于入射平行光線經(jīng)透鏡后相交于焦而上的同一點，故0F經(jīng)厶折射后的出 射線也通過7點，圖中的07即為0F經(jīng)Z.折射后的出射光線。上列三條出射光線的交點P即為ZJ/組合所成的P點的像，對應(yīng)的A'即A 的像點。由圖可判明，像A'P是倒立實像，只要采取此三條光線中任意兩條即可 得A'P,即為正確的答案。(2)按陸續(xù)成像計算物SP經(jīng)ZJ/組合所成像的位置、大小。物臚經(jīng)透鏡Z.成的像為第一像，取5 =2/,由成像公式可得像距q =2/ , 即像在平而鏡E距離2f

17、處，像的大小與原物相同，H' = H。第一像作為物經(jīng)反射鏡成的像為第二像。第一像在反射鏡后處，對 來說是虛物，成實像于前2f處。像的大小/T也與原物相同，Hn = Hf = H Q第二像作為物，再經(jīng)透鏡厶而成的像為第三像。這是因為光線由厶右方入射。且物（第二像）位于L左方，故為虛物，取物距劃=-2/ ,由透鏡公式(x-25)2 +b =52上述結(jié)果表明，第三像，即本題所求的像的位置在透鏡左方距離3 處，像的大小可由FTHn1彳求得，即£像高為物高的3 o例6、如圖1-5-26所示，凸透鏡焦距 Q5cm, 0075cm.以C為圓心.r5cm為半徑的發(fā)光圓環(huán)與主軸共而。試求出該圓

18、環(huán)通過透鏡折射后所成的像。分析：先考慮發(fā)光圓環(huán)上任意一點P經(jīng)透鏡所成之像，當(dāng)P點繞圓環(huán)一周時， 對應(yīng)的像點的集合就構(gòu)成整個發(fā)光圓環(huán)圖 1-5-26通過透鏡所成的像。因此可用解析幾何的方法討論本題。解：如圖1-5-27所示，以0點為直角坐標(biāo)系原點建立坐標(biāo)系/和x，oyf o 考慮發(fā)光圓環(huán)上任一點Px, y）,則有發(fā)光點Px, y）的像為及放大率關(guān)系可有根據(jù)透鏡成像公式P圖 1-5-27y_y x聯(lián)立、式解得15#X =疋一 15將.式代入式中并整理得(45)2),2(W式即為所需求的圓環(huán)之像。這是一個對稱中心位于光心45沏處，以主光 軸為長軸的橢圓。討論 如果把發(fā)光圓環(huán)用一球売取代，則根據(jù)對稱性

19、，球売的像是以圓環(huán) 的像繞主軸旋轉(zhuǎn)一周行成的一橢圓。點評曲線形線狀物通過透鏡所成的像也是一定曲線狀，至于是什么樣的 曲線，要視具體情況而定。例如本題中的發(fā)光圓環(huán)所成的像變?yōu)橐粰E圓環(huán)就是一 例。本題的關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)奈锓胶拖穹阶鴺?biāo)系來球解問題。例7、照相機(jī)鏡頭厶前處的物體被清晰地成像在鏡頭后面處的最相膠片P上, 兩而平行的玻璃平板插入鏡頭與膠片之間，與光軸垂直，位置如圖1-3-29所示。設(shè)照相機(jī)鏡頭可看作一個簡單薄凸透鏡，光線為近軸光線。1.求插入玻璃板后，像的新位置。1/P、AB 圖 1-3-292、如果保持鏡頭、玻璃板、膠片三者間距離不變，若 要求物體仍然清晰地成像于膠片上，則物體應(yīng)放在何

20、處解：解法11、折射率為n,厚度為d兩而平行的玻璃板，對于會 聚在像點P的傍軸光束的折射作用可如下方法求出：如圖 1-3-30,取任一指向P點的傍軸光線CP 此光線經(jīng)平行玻璃板折射的光路為圖 1-3-30CDEPn,在平板第一面的入射角/與折射角廠均為 小角度，反向延長FP"交。點處的法線于F,容易 看出，DEP" P'為平行四邊形，則PP = DF = b/ tan/-/?/tanz平行板厚度為d =Z?/tan/得P'P" = (1 tan/ tan /)因為/與廠都很小，所以tan/tan / a sin/sin / a / n故得以上結(jié)果對

21、任何會聚于P點的傍軸光線均成立，所以向軸上P點會聚的傍 軸光束經(jīng)平行玻璃板折射后會聚于軸上戸點。在這種情形下，平行玻璃板的作 用是使像點向遠(yuǎn)離平板方向移動距離P P 由題給數(shù)據(jù)得PP = 0.9x(1-171.5)= O3(c肋故像成在鏡頭后而+二(cm)處。2、設(shè)照像機(jī)鏡頭焦距為f,不放玻璃板時有1/228+1/2=1/f,可得f二。插入玻璃板時，若要像仍成在離鏡頭12m處的膠片上，應(yīng)改變物距使不放玻璃板吋成像在鏡頭后而#處，即設(shè)這時物距為S則得E即：物體置于鏡頭前吋，插入玻3希板后，仍可在膠片上得到清晰的像。解法21、對于玻璃板第一面上的折射，其物距為AP = -8.9tvw, 5 = 1

22、 ° , n = 1.5根據(jù)公式 AP«/AP=_n/,o (見a 1-5-3D可得 AP =-APn/n0 = (-8.9)(-!.5/1.0) = 13.35(c/h)對于?，敯宓诙系恼凵?，(見圖1-3-32)其物距為BP、= 一(A片 一 AB) = 1245c加 又根據(jù)BPJBP =-,1/11.可得71 = 1.5B 幾Pi圖 1-5-32BP2 (-n/n0)BP = (-1.071.5)(-12.45) = 8.3(cw/)故像成在鏡頭后面的像距為u = 3+0.9 + 8.3 = 12.3（咖比原像向后移動4叫即u = 12.3-12 = O.3（c7）

23、2、設(shè)照像機(jī)鏡頭焦距為f,不插入玻璃板時，1/Q/228+1/12,得f=o要使放上玻璃板后，像還成在離鏡頭12m處的膠片上，可采用個光路可逆性原 理從已知像卩2的位置，求此物體應(yīng)在的位置。對于玻璃板第二而上的折射：已知：像距BP2=3cm f n = 1.50, «o = 10,設(shè)與之相應(yīng)的物為片,則可得BP】（一幵/n0） BP】=-12c/?/對于?，敯宓谝欢系恼凵洌阂阎合窬郃£=12.9c”，” = 1.5, 5=1°，設(shè)與之相應(yīng)的物為P,則可 得AP =（一料/心）佔= （-1.0/1.5）xl 2.9 = 一86（勁?）對于凸透鏡，像距為 尸+二（

24、切，則此時物距為s則有1/u+i/n/,LTo即物體應(yīng)放在照相機(jī)鏡頭前處，才能在膠片上得到清晰的像。例8、有兩個焦距分別為人和人的凸透鏡。如果把這兩個透鏡做適當(dāng)?shù)呐渲?，則可使一垂直于光軸的小物體在原位置成一等大、倒立的像，如圖1-5-33 所示。試求出滿足上述要求的配置方案中各 透鏡的位置。物-1L2.像凸透鏡而成像于題目所要求的位置。反回去考慮，光線經(jīng)過第2個透鏡后將繼續(xù)向右傳播,所以最后成的像必為虛像才能滿分析：首先，我們應(yīng)根據(jù)題目給出的 條件，分析得出物經(jīng)透鏡厶、厶2所成像的虛.足題設(shè)要求。由此判定，作為透鏡2的“物”必在其左側(cè)，物距“2小于透鏡2 的焦距并且是倒立的。再考慮到透鏡2的&

25、quot;物”應(yīng)該是透鏡1對給定的傍軸 物體所成的像（中間像），它只能是給定物的倒立實像，必然成像在透鏡1的右 側(cè)。（由于最后的像與原物同樣大小，還可以肯定中間像一定是縮小的。）以上分 析表明，光線系統(tǒng)的配置如圖1-5-28所示。根據(jù)圖上標(biāo)明的兩透鏡位置和物距、像距，有1 11+ =“ u /1因最后像為虛像，則1 1 _ 1d -u d +u f2又因物、像大小相等，則U _ " + u d - u由得ndu =2ii + d代入并經(jīng)過化簡可得d = 2 麗,"一、匡因題圖中要求">0,故必須fi > /i o由以上分析可知，要取焦距較小的透 鏡（即

26、如Jc V fb ,取透鏡a,反則反之）作透鏡厶，放在物右方距離“處，而把 焦距較大的透鏡作為厶2透鏡放在透鏡厶右方距離d處，就得到題所要求的配置 方案。例9、焦距為20m的薄凸透鏡和焦距為18c的薄凹透鏡，應(yīng)如何放置，才 能使平行光通過組合透鏡E成為1、平行光束；2、會聚光束；3、發(fā)散光束：（所有可能的情況均繪圖表示）。解：設(shè)凸透鏡主焦點為仟，殲；凹透鏡主焦點為耳，尸2。1.平行光束（1）凸透鏡在前時，Q2cm、d為兩透鏡間距離（見圖1-5-34）o圖 1-5-34圖 1-5-37圖 1-5-39(2)凹透鏡在前時，W2c叫 根據(jù)光路可逆性原理，這相當(dāng)于把前而的系統(tǒng)反過來。2、會聚光束。(1

27、)凸透鏡在前時，2Qcm>cf>2cm （圖1-5-35）。（2）凹透鏡在前時d>2cm （圖1-5-36）。3、發(fā)散光束（1）凸透鏡在前時，力>2m（圖1-5-37）（2）凸透鏡在前時，2Qcm>cf>2cm （圖 1-5-38）凹透鏡在前時，2Qcm>d>2cm （圖1 -5-39）10.焦距f的數(shù)值均相同的三個薄透鏡厶、厶2與 厶，依次為凸透鏡、凹 透鏡與凸透鏡，它們構(gòu)成一個共軸光學(xué)系統(tǒng)，相鄰?fù)哥R間的距離均為d,各透鏡的光心分別為。如圖1-5-40所示，在透鏡厶左方，位于主光軸上的物點P,經(jīng)過此光學(xué)系統(tǒng)最終成像于透鏡厶右方的Q點若距離P&#

28、176;2 =°1Q，則圖 1-5-40物點P與透鏡厶的距離應(yīng)為多少分析：此題按陸續(xù)成像考慮，一個一個透鏡 做下去也能得出式的解，但列式子時容易出錯, 不如考慮對稱性的解法，有清晰的物理圖像，求圖 1-5-41代入凸透鏡厶的物像公式1'7解主動。此題的式的解也以用“P經(jīng)厶成像°”的思路解出最為簡明，但能這樣想必須以“透鏡成像時，若物距為零則像距也為零”作為已知結(jié)論才行。解：（1）該系統(tǒng)對凹透鏡厶2而言是一左右對稱的光學(xué)系統(tǒng)。依題意，物點 P與像點Q處于對稱的位置上，即對凹透鏡僉而言，物點及經(jīng)它成像后的像點應(yīng) 分居°2的兩側(cè)，且物距“2與像距4相等。即

29、71;2 = 4代入凹透鏡厶2的物像公式111“2 Sf解得 U2 =U2= -2/ <0物距與像距均為負(fù)值表明：物點P經(jīng)透鏡厶成像后，作為凹透鏡厶2的物點P2 位于它的右側(cè)，因而是虛物，經(jīng)凹透鏡厶2成像于它的左側(cè)，為一虛像，虛像點£ 與虛像點©的凹透鏡厶2位于對稱位置（圖1-5-41）（2）由式，凹透鏡厶2的像距可表示為圖 1-5-42解出當(dāng)物點B由右向左逐漸趨近于°2時，即物距"2由負(fù)值逐漸增大而趨于零 時，像距4亦由負(fù)值逐漸增大趨于零，即像點Q由左向右亦趨近于°2。即“2 T° 時，ST。當(dāng) =°時，4=0,即對

30、凸透鏡厶而言，像距，參見圖1-5-42, 代入式1111= 妁df解得:fd此結(jié)果表明，當(dāng)物點P經(jīng)過透鏡厶后恰成像于透鏡厶2的光心°2上，由系統(tǒng) 的對稱性，可知經(jīng)透鏡厶后，將成像于對稱點Q。像距°數(shù)值為由此可知式與式均為所求的解，但對式的結(jié)果，透鏡間距d必須滿足 條件>/O這也可以從另一角度來考慮，當(dāng)P通過厶成像正好在厶的光心處時，它經(jīng) 過°2的像仍在原處，即“2=4=0。這樣也可得到上面的結(jié)呆。例11> 一束平行光沿薄平凸透鏡的主光軸入射，經(jīng)透鏡折射會聚于透 鏡后仁48cm處，透鏡的折射率n二。若將此透鏡的凸而鍍銀，物置于平而前12cm處，求最后所成

31、像的位置。分析：平凸透鏡的凸面鍍銀后將成為凹而鏡，我們可根據(jù)平凸透鏡平行光匯聚的幾何關(guān)系求出凸球而的曲率半徑R,即求出凹而鏡的焦距，根據(jù)平而折射成 像及凹而鏡成像的規(guī)律可進(jìn)一步求出罠后所成像的位置。解：(1)先求凸球而的曲率求徑R。平行于主光軸的光線與平而垂直，不發(fā)生折射，它在球而上發(fā)生折射，交主光軸于F點，如圖1-5-43所示，C點為球 而的球心，cd = R9由正弦定理可得R + f _ sin r由折射定律知R sin(r-Z)sinz _ 1 sin r n當(dāng) i. r 很小時，sina 廣，sin(r-z)r-z sin/z 由 以上兩式得丄=1+丄幵一1一 1所以R = S_1)/

32、(2)凸而鍍銀后將成為半徑1-5-44所示令P表示物所在的位置,成像于P,根據(jù)折射定律可推出P'嚴(yán)P'c P90丿< AY2c(t的凹而鏡，如圖P點經(jīng)平而折射圖 1-5-44由于這是一個薄透鏡，p與凹而鏡的距離可認(rèn)為等于帀，設(shè)反射后成像于P則由球面鏡成像公式可得因此可解得P'O = 36an,可知P位于平而的左方，對平面折射來說，是一個虛物，經(jīng)平而折射后，成實像于點。帀1PV n10 = 24(6772)最后所成實像在透鏡左方24cm處。例12、在很高的圓柱形容器的上口平放一個焦距為90mm的凸透鏡，在透鏡下方中軸線上距透鏡100mm處平放一個圓而形光源(如圖1-

33、5-45)解：1.設(shè)u, v,f分別為物距、像距和焦距，由成像公式I1 11圖 1 -5-45I=“ U f得U =/(" - /)代入 u=100mm,仁90mm,得v = 900/呦又從放大率公式知光源的半徑b為b = ubf/u = 5mm2、注入水當(dāng)水面高于光源h (mm)時，由于水面的折射作用，使光源等效于上浮一段距離，等效光源在距水圖 1-5-46 而川處。設(shè)i,r分別為入射角和折射角，則/oCCOt/, heccoti （圖1 -5-46）, 對近軸光線/?7/? = tan / / tan / = tan/sin / = n/ nf. =3/4故原來的物距u在注入水后

34、變成等效物距/if =“一/? + /r = u-h/4于是像距為/ =-f）=U - 7- /k 4丿I 4丿本小題中，h=100mm, u=100mm,故得t/ = 1170mm實像在透鏡上方1170mm處。3、當(dāng)水注滿而又恰好不碰上透鏡時，仍可用上面的公式，但此時h=100mm, u' =/- = 15mm4等效光源已在焦距之內(nèi)，此吋像的半徑為b' = bv lu = bf/（u - f ） = -30mm此時所成像是一半徑為30mm的正立虛像，位于透鏡下方。例13、有一個由單個凸透鏡構(gòu)成的焦距為12cm,暗箱的最大伸長為20cm的 照相機(jī)，要用這個照相機(jī)拍攝距鏡頭15c

35、m處的物體，需要在鏡頭上附如焦距為 多少的一個薄透鏡，使暗箱最大伸長時，像能清晰地呈現(xiàn)在底片上（假設(shè)兩個薄 透鏡緊貼著，其間距離可以忽略不計）分析：這是一個組合透鏡成像的問題，可以從兩個不同角度來考慮求解。（1） 依照成像先后順序，物體經(jīng)前一個透鏡成的像視為后一透鏡成像之物，重復(fù)運用 透鏡成像公式來求解：（2）把組合透鏡視為一個透鏡整體來處理，再根據(jù)組合透鏡的總焦距與各分透鏡之間的關(guān)系式來求解。解法一：將附加薄透鏡加在鏡頭的前面，照相機(jī)鏡頭焦距為12cm,暗箱最 大伸長為20cm,設(shè)它能拍攝的物體的最近距離為uo以f二12cm, v二20cm代入透鏡成像公式，可以求得u。u = J =空竺=3

36、0如 «-/ 20-12設(shè)附加鏡頭的焦距為廠，它的作用是使距鏡頭15cm的物體成像在30cm處。以u二15cm, v二-30cm代入透鏡成像公式，可以求得廠。1 1 1T=u + o=15><(-30)=U + U 15+ (-30)圖 1-5-47所以廣= 30。？，是凸透鏡，光路圖如圖1-5-47 所示。圖1-5-47 (a)表示附加薄透鏡的作用是將距鏡頭15cm的物體在30cm處造 成的虛像A8。圖1 -5-47 (b)表示以A'B'為物,經(jīng)主透鏡成像于鏡后20cm處 底板上成實像圖1-5-47 (c)表示附加透鏡加在主透鏡的前面，距透鏡 15cm的

37、物體AB,其所發(fā)的光線經(jīng)附加透鏡和主透鏡折射總在另一側(cè)20cm處得一 實像ATBn o解法二：將附加薄透鏡加在鏡頭后面。無附加透鏡時，物距u=15cm,焦距f=12cm,像距為v。1 1 1I= 由u u f得7擊®設(shè)附加鏡頭的焦距為廣，上述像即附加透鏡中的虛物，此時物距為u = -60cvw ,像距為"=20cm。1 1 1-U =由 “ U'廣 得宀將g 光路圖如圖1 -5-48所示。圖1-5-48 (a)表示距主透鏡15cm的物體，在主透鏡另一側(cè)成一距透鏡60cm的實像AfBro圖1-5-48 (b)表示附加透鏡附于主透鏡之后，光線因通過光心方向不變，由物體射

38、出之光線，經(jīng)主 透鏡折射后其中的光線再經(jīng)附加透鏡的折 射，改變方向為光線因而成像于處。圖1 -5-48 (c)表示距透鏡15cm的物體，經(jīng)主透 鏡、附加透鏡折射后成像于另一側(cè)20cm處。解法三：照相機(jī)鏡頭焦距f二12cm,附加薄凸透 鏡焦距為廣，相當(dāng)于一個焦距為F的凸透鏡，且有1 1 1=+F f f因為圖 1-5-48u = 5cm v = 20cm廠 uu 15x2060 z 、F = (cm)所以u + u 15 + 207把求得的F值代入式1 1 160 "12 /T則廣=30(6722)即為所求附加薄透鏡焦距。點評：透鏡與透鏡、透鏡與平面鏡、棱鏡、球面鏡等一個或多個光學(xué)元件

39、構(gòu) 成一個光學(xué)系統(tǒng)的成像問題是一類典型的問題，對于這類問題，一方面要注意不 同的光學(xué)元件各自的成像規(guī)律，另一方面要注意成像的先E順序以及像與物的相 對性。即前一光學(xué)元件的像視為后一光學(xué)元件之物。例14、長度為4mm的物體AB由圖1 -5-49所示的光學(xué)系統(tǒng)成像，光學(xué)系統(tǒng)由 一個直角棱鏡、一個會聚透鏡和一個發(fā)散透鏡組成，各有關(guān)參數(shù)和幾何尺寸均示 于圖中。求：fi=-20cm f2=_10cm圖 1-5-491、像的位置；2、像的大小，并作圖說明是實像還 是虛像，是正立還是倒立的。解：解法11、分析和等效處理根據(jù)棱鏡玻璃的折射率，棱鏡斜面上的全反射臨界角為ac = arc sin = 42

40、6; n注意到物長為4mm,由光路可估i b6cm.5cm 科算.進(jìn)入棱鏡的近軸光線在斜而上的/6cmL、L2N=g1Onm|入射角大多在459左右，大于臨界角，發(fā)生全反射，所以對這些光線而圖1-5-50言，棱鏡斜面可看成是反射鏡，本題光路可按反射鏡成像的考慮方法，把光路“拉 直”，如圖4-3-34的示?，F(xiàn)在，問題轉(zhuǎn)化為正立物體經(jīng)過一塊垂直于光軸、厚度為6cm的平玻璃板及其后的會聚透鏡.發(fā)散透鏡成像的問題。2、求像的位置厚平玻璃板將使的近軸光線產(chǎn)生一個向右側(cè)移動一定距離的像，它成為光學(xué)系統(tǒng)后而部分光路的物，故可稱為側(cè)移的物。利用沿光軸的光線和與光軸成"角的光線來討論就 可求出這個移動

41、的距離。設(shè)軸上物點為B,由于厚度平玻璃板的作用而 形成的像點（即側(cè)像的物點）為B'（圖1-5-51 ）o 圖1-5-51 畫出厚平?，敯鍖饩€的折射，由圖可知/ = J(cotcr)而d = £)(tana 一 tan 0)所以Sna, 當(dāng)口為小角度時tan psill f31=tanasin a n故得A/ = D 1 -丄=2cm n）這也就是物AB與它通過厚平玻璃板所成的像之間的距離。這個像對透鏡厶來說就是物，而物距"i = （6 - 2） + 6 + 10c7?z = 20cm可見，物證好在的左方焦平而上，像距即為再考慮透鏡厶2,這是平行光線入射情況

42、1;2 = Q0所以必成像于這個發(fā)散透鏡厶2左側(cè)焦平而上（虛像）。= f? = _10c2整個光路的最后成像位置就是在 的左側(cè)10cm處。3. 求像的大小和虛、實.正、倒情況可用作圖法求解，如圖1-5-52所示（為 了圖示清楚，圖中把物高如大了）。連接并延長，便得到發(fā)自“的光線 經(jīng)A'后的平行光線的方向。過厶2的光心Q作的平行線，它與厶交于C點，則4C即 為從/V出發(fā)經(jīng)過厶折射又通過厶2光心的光 線。反向延長QC與厶2左側(cè)焦而的交點"就是A由厶經(jīng)厶2所成的像點。令厶左 側(cè)焦面與光軸的焦點為刃，A”歹就是A3'的像。這是一個正立的虛像。由圖可A = |/2|tanZArBf = f、tan/而與AB等高，所以像的大小為滯畔麗=2,“,”解法2關(guān)于物體經(jīng)棱鏡（折射、反射、再折射）后，所成像的位置及大小可采用視深法處理。圖 1-5-53如圖1-5-53所示，AB發(fā)出的與PQ面近乎垂直的小光束 經(jīng)PQ面折射后成像于兒目這是視深問題，人"】與PQ