計算固體力學5_本構模型

1、非線性有限元非線性有限元第第5 5章章 本構模型本構模型 計算固體力學計算固體力學第第5 5章章 本構模型本構模型 引言引言應力應力- -應變曲線應變曲線 一維彈性一維彈性 非線性彈性（超彈性）非線性彈性（超彈性）一維塑性一維塑性 多軸塑性多軸塑性超彈塑性模型超彈塑性模型粘彈性粘彈性 應力更新算法應力更新算法連續(xù)介質力學與本構模型連續(xù)介質力學與本構模型1 1 引言引言 本構方程率形式的積分算法稱為應力更新算法（也稱為本構更新本構方程率形式的積分算法稱為應力更新算法（也稱為本構更新算法），包括：算法），包括：徑向返回算法的一類圖形返回算法，徑向返回算法的一類圖形返回算法，算法模量與基本應力更新方

2、案一致的概念，算法模量與基本應力更新方案一致的概念，大變形問題的增量客觀應力更新方案，大變形問題的增量客觀應力更新方案，基于彈性響應的應力更新方案，自動滿足客觀性的超彈性勢能。基于彈性響應的應力更新方案，自動滿足客觀性的超彈性勢能。 為了進行分析，選擇材料模型是很重要，往往又不是很明確，為了進行分析，選擇材料模型是很重要，往往又不是很明確，僅有的信息可能是一般性的知識和經(jīng)驗，即可能是材料行為的幾條僅有的信息可能是一般性的知識和經(jīng)驗，即可能是材料行為的幾條應力應變曲線。應力應變曲線。 在有限元軟件庫中選擇合適的本構模型，如果沒有合適的本構在有限元軟件庫中選擇合適的本構模型，如果沒有合適的本構模型

3、，要開發(fā)用戶材料子程序。重要的是理解本構模型的關鍵特征，模型，要開發(fā)用戶材料子程序。重要的是理解本構模型的關鍵特征，創(chuàng)建模型的假設，材料、荷載和變形域、以及程序中的數(shù)值問題是創(chuàng)建模型的假設，材料、荷載和變形域、以及程序中的數(shù)值問題是否適合模型。否適合模型。2 應力應力-應變曲線應變曲線 材料應力應變行為的許多基本特征可以從一維應力狀態(tài)(單軸應力或者剪切)的一組應力-應變曲線中獲得，多軸狀態(tài)的本構方程常常基于在試驗中觀察到的一維行為而簡單生成。 載荷位移曲線載荷位移曲線 0LLx名義應力（工程應力）給出為名義應力（工程應力）給出為 定義伸長定義伸長 0ATpx工程應變定義為工程應變定義為 100

4、0 xxLLLL2 2 應力應力- -應變曲線應變曲線 CauchyCauchy（或者真實）應力（或者真實）應力表示為表示為 以以每單位當前長度應變的增量每單位當前長度應變的增量隨長度隨長度的變化得到另一種應變度量的變化得到另一種應變度量 xLLxLLLdLeln)ln(00對數(shù)應變（也稱為真實應變）對數(shù)應變（也稱為真實應變） xxxxDe對材料時間求導，表達式為對材料時間求導，表達式為一維情況，上式為變形率一維情況，上式為變形率 當前面積的表達式給出為當前面積的表達式給出為xAJLLAJA000 xxxxpJJATAT10真實應力應變曲線 工程應力應變曲線2 2 應力應力- -應變曲線應變曲

5、線 考慮一種不可壓縮材料考慮一種不可壓縮材料( (J J1)1)，名義應力和工程應變的，名義應力和工程應變的關系為關系為真實應力真實應力( (對于不可壓縮材料對于不可壓縮材料) )(0 xxsp1000 xxLLLL)()(0 xxxxss) 1()(0 xxxss說明了對于本構行為應用不同泛函表達式的區(qū)別，對于同樣材說明了對于本構行為應用不同泛函表達式的區(qū)別，對于同樣材料取決于采用何種應力和變形的度量。料取決于采用何種應力和變形的度量。 應力應變曲線的顯著特征之一是非線性的度。材料線彈性行應力應變曲線的顯著特征之一是非線性的度。材料線彈性行為的范圍小于應變的百分之幾，就可以采用小應變理論描述

6、。為的范圍小于應變的百分之幾，就可以采用小應變理論描述。2 2 應力應力- -應變曲線應變曲線 應力應變反應與變形率無關的材料稱為應力應變反應與變形率無關的材料稱為率無關率無關；否則，；否則，稱為稱為率相關率相關。名義應變率定義為。名義應變率定義為 率無關和率相關材料的一維反應0Lx LxLLL00因為 和即名義應變率等于伸長率，例如即名義應變率等于伸長率，例如 xx 可以看出，對于可以看出，對于率無關材料的應力應率無關材料的應力應變曲線是應變率獨立的，變曲線是應變率獨立的，而對于率相關材料的應而對于率相關材料的應力應變曲線，力應變曲線，當應變當應變率提高時是上升的率提高時是上升的；而；而當溫

7、度升高時是下降的。當溫度升高時是下降的。2 2 應力應力- -應變曲線應變曲線 對于彈性材料，應力應變的對于彈性材料，應力應變的卸載曲線簡單地沿加載曲線返回，卸載曲線簡單地沿加載曲線返回，直到完全卸載，材料返回到了它的直到完全卸載，材料返回到了它的初始未伸長狀態(tài)。然而，對于彈初始未伸長狀態(tài)。然而，對于彈塑性材料，卸載曲線區(qū)別于加載曲塑性材料，卸載曲線區(qū)別于加載曲線，卸載曲線的斜率是典型的應力線，卸載曲線的斜率是典型的應力應變彈性（初始）段的斜率，卸應變彈性（初始）段的斜率，卸載后產(chǎn)生永久應變。其它材料的行載后產(chǎn)生永久應變。其它材料的行為介于這兩種極端之間。由于在加為介于這兩種極端之間。由于在加

8、載過程中微裂紋的形成材料已經(jīng)損載過程中微裂紋的形成材料已經(jīng)損傷，脆性材料的卸載行為，當荷載傷，脆性材料的卸載行為，當荷載移去后微裂紋閉合，彈性應變得到移去后微裂紋閉合，彈性應變得到恢復。卸載曲線的初始斜率給出形恢復。卸載曲線的初始斜率給出形成微裂紋損傷程度的信息。成微裂紋損傷程度的信息。(a)彈性,(b)彈-塑性,(c)彈性含損傷 3 3 一維彈性一維彈性 彈性材料的基本性能是應力僅依賴于應變的當前水平。這意彈性材料的基本性能是應力僅依賴于應變的當前水平。這意味著加載和卸載的應力味著加載和卸載的應力- -應變曲線是一致的，當卸載結束時材料恢應變曲線是一致的，當卸載結束時材料恢復到初始狀態(tài)。稱這

9、種應變是復到初始狀態(tài)。稱這種應變是可逆的可逆的。而且，彈性材料是率無關。而且，彈性材料是率無關的的( (與應變率無關與應變率無關) )。彈性材料的應力和應變是一一對應的。彈性材料的應力和應變是一一對應的。小應變小應變 可逆和路徑無關默認在變形中沒有能量耗散可逆和路徑無關默認在變形中沒有能量耗散，在彈性材料中，在彈性材料中，儲存在物體中的能量全部消耗在變形中，卸載后材料恢復。儲存在物體中的能量全部消耗在變形中，卸載后材料恢復。 對于一維彈性材料，對于一維彈性材料，可逆、路徑無關、無能量耗散可逆、路徑無關、無能量耗散是等價的特征。是等價的特征。對于二維和三維彈性，以及超彈性材料，也類似。對于二維和

10、三維彈性，以及超彈性材料，也類似。)(xxsxxxdwx0)(對于任意應變，不管如何達到應變值，上式給出唯一應力值。對于任意應變，不管如何達到應變值，上式給出唯一應力值。 3 3 一維彈性一維彈性 應變能一般是應變的凸函數(shù)，例如，應變能一般是應變的凸函數(shù)，例如， (a)凸應變能函數(shù) (b)應力應變曲線 0)()(2121xxxxww21xx當當 公式的等號成立。公式的等號成立。 凸應變能函數(shù)的一個例子如圖所示。在這種情況下，函數(shù)凸應變能函數(shù)的一個例子如圖所示。在這種情況下，函數(shù)是單調遞增的，如果是單調遞增的，如果w 是非凸函數(shù)，則是非凸函數(shù)，則 s 先增后減，材料應變先增后減，材料應變軟化，這

11、是非穩(wěn)定的材料反應，軟化，這是非穩(wěn)定的材料反應， 如右下圖。如右下圖。0 xdds(a)非凸應變能函數(shù)(b)相應的應力應變曲線 大應變大應變 從彈性推廣到大應變，只要選擇應變度量和定義應力（功共從彈性推廣到大應變，只要選擇應變度量和定義應力（功共軛）的軛）的彈性勢能彈性勢能。勢能的存在是默認了可逆、路徑無關和無能量勢能的存在是默認了可逆、路徑無關和無能量耗散耗散。如。如 3 3 一維彈性一維彈性 xxEwS 在彈性應力在彈性應力- -應變關系中，從應變的勢函數(shù)可以獲得應力為應變關系中，從應變的勢函數(shù)可以獲得應力為超彈性。如一維大應變問題，以超彈性。如一維大應變問題，以GreenGreen應變的

12、二次函數(shù)表示應變的二次函數(shù)表示221xSEEEw xSExEES 對于小應變問題，即為胡克定律。對于小應變問題，即為胡克定律。大應變大應變 一種材料的一種材料的CauchyCauchy應力率與變形率相關，稱為應力率與變形率相關，稱為次彈性次彈性。這。這種關系一般是非線性的，給出為種關系一般是非線性的，給出為 3 3 一維彈性一維彈性 一個特殊的線性次彈性關系給出為一個特殊的線性次彈性關系給出為 這是與路徑無關的超彈性關系。對于多軸問題，一般次彈性這是與路徑無關的超彈性關系。對于多軸問題，一般次彈性關系不能轉換到超彈性，它僅在一維情況下是嚴格路徑無關的。關系不能轉換到超彈性，它僅在一維情況下是嚴

13、格路徑無關的。然而，如果是彈性小應變，其行為足以接近路徑無關的彈性行為。然而，如果是彈性小應變，其行為足以接近路徑無關的彈性行為。因為次彈性的簡單性，公式因為次彈性的簡單性，公式(5.3.11)(5.3.11)的多軸一般形式常常應用在的多軸一般形式常常應用在有限元軟件中，以模擬大應變彈塑性的彈性反應。有限元軟件中，以模擬大應變彈塑性的彈性反應。),(xxxDfxxxxEED對上式的關系積分，得到對上式的關系積分，得到xxElnxxxxxdEdd1ln4 4 非線性彈性非線性彈性 對于有限應變有許多不同的應力和變形度量，同樣的本構對于有限應變有許多不同的應力和變形度量，同樣的本構關系可以寫成幾種

14、不同的形式，總是可能從一種形式的本構關關系可以寫成幾種不同的形式，總是可能從一種形式的本構關系轉換到另一種形式。系轉換到另一種形式。 大應變彈性本構模型首先表述成大應變彈性本構模型首先表述成KirchhoffKirchhoff材料的一種特殊材料的一種特殊形式，由線彈性直接生成到大變形。滿足路徑無關、可逆和無形式，由線彈性直接生成到大變形。滿足路徑無關、可逆和無能量耗散。因此，路徑無關的程度可以視為材料模型彈性的度能量耗散。因此，路徑無關的程度可以視為材料模型彈性的度量。量。 次彈性材料是路徑無關程度最弱的材料，遵從次彈性材料是路徑無關程度最弱的材料，遵從CauchyCauchy彈性，彈性，其應

15、力是路徑無關的，但是其能量不是路徑無關的。其應力是路徑無關的，但是其能量不是路徑無關的。 超彈性材料或者超彈性材料或者GreenGreen彈性，它是路徑無關和完全可逆的，彈性，它是路徑無關和完全可逆的，應力由應變勢能導出。應力由應變勢能導出。4 4 非線性彈性非線性彈性 小應變和大轉動小應變和大轉動 E:CS klijklijECS式中式中 C C 為彈性模量為彈性模量( (切線模量切線模量) )的四階張量，對的四階張量，對KirchhoffKirchhoff材料是材料是常數(shù)，代表了應力和應變的多軸狀態(tài)。它可以完全反映材料的各常數(shù)，代表了應力和應變的多軸狀態(tài)。它可以完全反映材料的各向異性。向異

16、性。 許多工程應用包括許多工程應用包括小應變和大轉動小應變和大轉動。在這些問題中，大變形。在這些問題中，大變形的效果主要來自于大轉動，如直升機旋翼、船上升降器或者釣魚的效果主要來自于大轉動，如直升機旋翼、船上升降器或者釣魚桿的彎曲。由線彈性定律的簡單擴展即可以模擬材料的反應，但桿的彎曲。由線彈性定律的簡單擴展即可以模擬材料的反應，但要以要以PK2PK2應力代替其中的應力和以應力代替其中的應力和以GreenGreen應變代替線性應變，這稱應變代替線性應變，這稱為為Saint-Venant- KirchhoffSaint-Venant- Kirchhoff材料，或者簡稱為材料，或者簡稱為Kirch

17、hoffKirchhoff材料。材料。最一般的最一般的KirchhoffKirchhoff模型為模型為4 4 非線性彈性非線性彈性 E:CS klijklijECS式中式中C C為彈性模量的四階張量，有為彈性模量的四階張量，有8181個常數(shù)。利用對稱性可以顯個常數(shù)。利用對稱性可以顯著地減少常數(shù)。著地減少常數(shù)。 一般的四階張量有一般的四階張量有3 34 48181個獨立常數(shù)，與全應力張量的個獨立常數(shù)，與全應力張量的9 9個個分量和全應變張量的分量和全應變張量的9 9個分量有關。個分量有關。 如次彈性本構方程如次彈性本構方程這樣這樣C C為對稱矩陣（為對稱矩陣（主對稱性主對稱性），在），在8181

18、個常數(shù)中有個常數(shù)中有4545個是獨立的。個是獨立的。成為上三角或下三角矩陣。成為上三角或下三角矩陣。 4 4 非線性彈性非線性彈性 利用勢能表示的應力應變關系和利用勢能表示的應力應變關系和GreenGreen公式，公式， ijklklijEEWEEW22ijijEWS故有故有 ijklklijESES應力張量和應變張量均為對稱張量（應力張量和應變張量均為對稱張量（次對稱性次對稱性），即），即 jiijjiijEESS,4 4 非線性彈性非線性彈性 應力張量和應變張量均為對稱張量（應力張量和應變張量均為對稱張量（次對稱性次對稱性），即），即 jiijjiijEESS,ijlkjiklklijij

19、klCCCC再利用模量的主對稱性使獨立彈性常數(shù)的數(shù)目減少，再利用模量的主對稱性使獨立彈性常數(shù)的數(shù)目減少，由由3636個常數(shù)減少為個常數(shù)減少為2121個，為個，為各向異性材料各向異性材料。 應力和應變張量的對稱性要求應力的應力和應變張量的對稱性要求應力的6 6個獨立分量僅與應變個獨立分量僅與應變的的6 6個獨立分量有關，由彈性模量的局部對稱結果，獨立常數(shù)的個獨立分量有關，由彈性模量的局部對稱結果，獨立常數(shù)的數(shù)目減少到數(shù)目減少到3636個。個。 4 4 非線性彈性非線性彈性 寫成矩陣形式為（可以是上或下三角矩陣）寫成矩陣形式為（可以是上或下三角矩陣） 對于正交各向異性，具有正交的三個彈性對稱面，當

20、坐標變號，對于正交各向異性，具有正交的三個彈性對稱面，當坐標變號，為使應變能密度不變，有為使應變能密度不變，有 045353425241514CCCCCCC這樣由這樣由2121個常數(shù)減少為個常數(shù)減少為1414個，為個，為正交各向異性材料正交各向異性材料。 若材料對稱坐標平面，當沿軸平面反射時，彈性模量不變，若材料對稱坐標平面，當沿軸平面反射時，彈性模量不變，固為固為正交各向異性體正交各向異性體，有，有 05646362616CCCCC121323332211665655464544363534332625242322161514131211121323332211222EEEEEECCCSym

21、CCCCCCCCCCCCCCCCCCSSSSSS 對于一個由三個彼此正交的對稱平面組成的正交材料對于一個由三個彼此正交的對稱平面組成的正交材料( (如木如木材或纖維增強的復合材料材或纖維增強的復合材料) )，僅有，僅有9 9個獨立彈性常數(shù)，個獨立彈性常數(shù)，KirchhoffKirchhoff應力應變關系為材料對稱坐標平面，為應力應變關系為材料對稱坐標平面，為正交各向異性體正交各向異性體4 4 非線性彈性非線性彈性 對于對于各向同性材料各向同性材料，僅有，僅有3 3個常數(shù)個常數(shù) 366554423123211332211CCCCCCCCCCCC4 4 非線性彈性非線性彈性 小應變和大轉動小應變和

22、大轉動 klijklijijkkijECEES2E:CEIES2)(trace對于各向同性的對于各向同性的Kirchhoff材料，其應力應變關系可以寫成為材料，其應力應變關系可以寫成為式中式中Lam常數(shù)，體積模量常數(shù)，體積模量K，楊氏模量，楊氏模量 E和泊松比和泊松比)1 (2E)21)(1 (E32K的關系為的關系為 材料對稱的一個重要的例子是各向同性。一個各向同性材料材料對稱的一個重要的例子是各向同性。一個各向同性材料沒有方位或者方向的選擇，因此，當以任何直角坐標系表示的應沒有方位或者方向的選擇，因此，當以任何直角坐標系表示的應力應變關系是等同的。對于小應變的許多材料力應變關系是等同的。對

23、于小應變的許多材料( (如金屬和陶瓷如金屬和陶瓷) )可以作為各向同性進行模擬。張量可以作為各向同性進行模擬。張量C C是各向同性的。在任何坐標是各向同性的。在任何坐標系統(tǒng)中，一個各向同性張量有相同的分量。系統(tǒng)中，一個各向同性張量有相同的分量。(克羅內(nèi)克)符號構成的一個線性組合： 4 4 非線性彈性非線性彈性 不可壓縮性不可壓縮性 在變形的過程中，不可壓縮材料的體積不變，密度保持常數(shù)。在變形的過程中，不可壓縮材料的體積不變，密度保持常數(shù)。不可壓縮材料的運動稱為等體積運動。不可壓縮材料的運動稱為等體積運動。 1detFJ總體變形總體變形 等體積約束運動的率形式等體積約束運動的率形式 0)(Dvt

24、racediv 將應力和應變率度量寫成偏量和靜水（體積的）部分的和，將應力和應變率度量寫成偏量和靜水（體積的）部分的和，對于不可壓縮材料，靜水部分也稱為張量的球形部分，分解式為：對于不可壓縮材料，靜水部分也稱為張量的球形部分，分解式為： hyddev voldevDDD 對于不可壓縮材料，壓力不能從本構方程確定，而是從動量對于不可壓縮材料，壓力不能從本構方程確定，而是從動量方程確定。方程確定。 4 非線性彈性非線性彈性 Kirchhoff應力應力 JTFSF由由Jacobian行列式放大，稱它為權重行列式放大，稱它為權重Cauchy應力。對于應力。對于等體積等體積運動運動，它等同于，它等同于C

25、auchy應力。應力。 次彈性次彈性次彈性材料規(guī)律聯(lián)系應力率和變形率。次彈性材料規(guī)律聯(lián)系應力率和變形率。 D:C上式是率無關、線性增加和可逆的。對于有限變形狀態(tài)的微小增量，應力和應變的增量是線性關系，當卸載后可以恢復。然而，對于大變形能量不一定必須守恒，并且在閉合變形軌跡上作的功不一定必須為零。次彈性規(guī)律主要用來代表在彈-塑性規(guī)律中的彈性反應，小變形彈性，且耗能效果也小。 4 非線性彈性非線性彈性 切線模量之間的關系切線模量之間的關系 對于各向同性材料對于各向同性材料Jaumann率的切線模量為率的切線模量為 某些次彈性本構關系共同應用的形式為某些次彈性本構關系共同應用的形式為DC:JJDC:

26、TTDC:GG)(jkiljlikklijJijklC對于同一種材料，切線模量不同，材料反應的率形式不同，如對于同一種材料，切線模量不同，材料反應的率形式不同，如 *CCICCCJJTJCTC如果如果是常數(shù)，是常數(shù)，不是常數(shù)。不是常數(shù)。 切線模量切線模量證明見第證明見第5.4.5節(jié)，推導復雜節(jié)，推導復雜4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 平衡方程是以物體中應力的形式建立的，應力來源于變形，如應變。如果本構行為僅是變形的當前狀態(tài)的函數(shù)，為與時間無關的彈性本構。而對于接近不可壓縮的材料，僅依賴變形（應變）不一定能夠得到應力。 儲存在材料中的能量（功）僅取決于變形的初始和最終狀態(tài)，并且是

27、獨立于變形（或荷載）路徑，稱這種彈性材料為超彈性（hyper-elastic）材料，或者為Green彈性，例如常用的工業(yè)橡膠。動物的肌肉也具有超彈性的力學性質。這里主要討論橡膠材料的超彈性力學行為。4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 EECCS)()(2w 對于功獨立于荷載路徑的彈性材料稱之為超彈性（對于功獨立于荷載路徑的彈性材料稱之為超彈性（Green彈彈性）材料。超彈性材料的特征是存在一個潛在（或應變）能量性）材料。超彈性材料的特征是存在一個潛在（或應變）能量函數(shù)，它是應力的勢能：函數(shù)，它是應力的勢能： 通過適當轉換獲得了對于不同應力度量的表達式通過適當轉換獲得了對于不同應力度

28、量的表達式 TTTwJFEEFFCCFFSF)()(2PFST 由于變形梯度張量由于變形梯度張量F是不對稱的，因此名義應力張量是不對稱的，因此名義應力張量P的的9個個分量是不對稱的。分量是不對稱的。 在橡膠大變形中應用在橡膠大變形中應用多項式模型多項式模型和和Ogden指數(shù)模型指數(shù)模型。4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 目前，世界半數(shù)以上的橡膠是合成橡膠。合成橡膠的種類很目前，世界半數(shù)以上的橡膠是合成橡膠。合成橡膠的種類很多，例如，制造輪胎使用的丁苯橡膠（苯乙烯和丁二烯的共聚多，例如，制造輪胎使用的丁苯橡膠（苯乙烯和丁二烯的共聚物）或乙丙烯橡膠（物）或乙丙烯橡膠（ERP）；用于汽

29、車配件的有）；用于汽車配件的有氯丁橡膠氯丁橡膠及另及另一種具有天然橡膠各種性能的異戊橡膠。一種具有天然橡膠各種性能的異戊橡膠。 在眾多的合成橡膠中，在眾多的合成橡膠中，硅橡膠硅橡膠是其中的佼佼者。它具有無味是其中的佼佼者。它具有無味無毒，不怕高溫和嚴寒的特點，在攝氏無毒，不怕高溫和嚴寒的特點，在攝氏300度和零下度和零下90度時能夠度時能夠“泰然自若泰然自若”、“面不改色面不改色”，仍不失原有的強度和彈性。例，仍不失原有的強度和彈性。例如生物材料。如生物材料。 橡膠是提取橡膠樹、橡膠草等植物的膠乳，加工后制成的具橡膠是提取橡膠樹、橡膠草等植物的膠乳，加工后制成的具有彈性、絕緣性、不透水和空氣的

30、材料。在半個世紀前，有彈性、絕緣性、不透水和空氣的材料。在半個世紀前，“橡橡膠膠”一詞是專指生橡膠，它是從熱帶植物巴西三葉膠的膠乳提一詞是專指生橡膠，它是從熱帶植物巴西三葉膠的膠乳提煉出來的。煉出來的。4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 1839年，年，Charle Goodyear發(fā)明了橡膠的硫化方法，其姓發(fā)明了橡膠的硫化方法，其姓氏現(xiàn)在已經(jīng)成為國際上著名橡膠輪胎的商標。氏現(xiàn)在已經(jīng)成為國際上著名橡膠輪胎的商標。 從從19世紀中葉起橡膠就成為一種重要的工程材料。然而，世紀中葉起橡膠就成為一種重要的工程材料。然而，橡膠材料的行為復雜，不同于金屬材料僅需要幾個參數(shù)就可橡膠材料的行為復雜

31、，不同于金屬材料僅需要幾個參數(shù)就可以描述材料特性。橡膠材料受力以后，變形是伴隨著大位移以描述材料特性。橡膠材料受力以后，變形是伴隨著大位移和大應變，其本構關系是非線性的，并且在變形過程中體積和大應變，其本構關系是非線性的，并且在變形過程中體積幾乎保持不變。幾乎保持不變。 橡膠具有許多特殊的性能，例如電絕緣性、耐氧老化性、耐橡膠具有許多特殊的性能，例如電絕緣性、耐氧老化性、耐光老化性、防霉性、化學穩(wěn)定性等。光老化性、防霉性、化學穩(wěn)定性等。4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 由于計算機以及有限元數(shù)值分析的飛速發(fā)展，我們可以借助由于計算機以及有限元數(shù)值分析的飛速發(fā)展，我們可以借助計算機來

32、對超彈性材料的工程應用進行深入研究以及優(yōu)化設計。計算機來對超彈性材料的工程應用進行深入研究以及優(yōu)化設計。可以用有限元等數(shù)值方法來計算分析橡膠元件的力學性能，包可以用有限元等數(shù)值方法來計算分析橡膠元件的力學性能，包括選取和擬合橡膠的本構模型，以及用有限元建模和處理計算括選取和擬合橡膠的本構模型，以及用有限元建模和處理計算結果等。結果等。 橡膠是一種彈性聚合物，其特點是有很強的非線性粘彈性行橡膠是一種彈性聚合物，其特點是有很強的非線性粘彈性行為。它的力學行為對溫度、環(huán)境、應變歷史、加載速率都非為。它的力學行為對溫度、環(huán)境、應變歷史、加載速率都非常敏感，這樣使得描述橡膠的行為變得非常復雜。橡膠的制常

33、敏感，這樣使得描述橡膠的行為變得非常復雜。橡膠的制造工藝和成分也對橡膠的力學性能有著顯著的影響。造工藝和成分也對橡膠的力學性能有著顯著的影響。固體橡膠材料的拉伸試驗曲線與材料演化模型固體橡膠材料的拉伸試驗曲線與材料演化模型 固體橡膠是幾乎不可壓縮的，其泊松比接近于固體橡膠是幾乎不可壓縮的，其泊松比接近于0.5?？赡?，可逆，大應變。大應變。初始各向同性，應變增加后分子定向排列。初始各向同性，應變增加后分子定向排列。4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 常用的橡膠性態(tài)可分為常用的橡膠性態(tài)可分為固體橡膠固體橡膠和和泡沫橡膠泡沫橡膠。4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 一般將多孔

34、橡膠或彈性泡沫材料統(tǒng)稱為泡沫材料。彈性泡一般將多孔橡膠或彈性泡沫材料統(tǒng)稱為泡沫材料。彈性泡沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海綿、包裝材料等。沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海綿、包裝材料等。 泡沫橡膠是由橡膠制成的彈性泡沫材料，能夠滿足非常大泡沫橡膠是由橡膠制成的彈性泡沫材料，能夠滿足非常大的彈性應變要求，拉伸時的應變可以達到的彈性應變要求，拉伸時的應變可以達到500或更大，壓縮或更大，壓縮時的應變可以達到時的應變可以達到90或更小。與固體橡膠的幾乎不可壓縮性或更小。與固體橡膠的幾乎不可壓縮性相比，泡沫材料的多孔性則允許非常大的體積縮小變形，因此相比，泡沫材料的多孔性則允許非常大的體積縮小變形

35、，因此具有良好的能量吸收性。具有良好的能量吸收性。泡沫橡膠材料的多面體微元模型泡沫橡膠材料的多面體微元模型 a) 開放腔室，開放腔室，b) 封閉腔室封閉腔室4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 泡沫橡膠材料的應力泡沫橡膠材料的應力-應變曲線應變曲線 a)壓縮壓縮 b)拉伸拉伸小應變小應變 5%，線彈性，泊松比為，線彈性，泊松比為0.3 。大應變，壓縮時，泊松比為大應變，壓縮時，泊松比為0.0； 拉伸時，泊松比大于拉伸時，泊松比大于0.0。100%典型固體橡膠材料單軸拉伸應力典型固體橡膠材料單軸拉伸應力-應變曲線應變曲線 橡膠本構模型橡膠本構模型 4 非線性彈性非線性彈性 小變形小變形

36、 以多項式形式本構模型為例，其應變能密度表達式為以多項式形式本構模型為例，其應變能密度表達式為NiiiNjijiijJDIICU12121) 1(1)3()3(31I32I1J21201110) 1(1)3()3(JDICICU忽略二階及二階以上小量，變?yōu)楹雎远A及二階以上小量，變?yōu)閺椥猿?shù)為彈性常數(shù)為 101102),(2DKCCGGKGKGKKGE262339K5 . 0,3GE當當 橡膠本構模型橡膠本構模型 4 非線性彈性非線性彈性 3211)(AI1332212)(AI3213)(AI0LLx定義伸長定義伸長 工程應變定義為工程應變定義為 10 xxL1xx二階張量基本不變量二階張量基

37、本不變量 31I32I小變形，有小變形，有 13I小變形小變形 橡膠本構模型橡膠本構模型 4 非線性彈性非線性彈性 例題例題 在超彈性計算中，橡膠使用三次減縮多項式應變能本構模型，在超彈性計算中，橡膠使用三次減縮多項式應變能本構模型，應變能密度表達式為應變能密度表達式為3110)3(iiiICU100 461312C = .200 01752C= . 53010818.=C若取若取（單位為（單位為MPa），求材料彈性常數(shù)。），求材料彈性常數(shù)。 利用公式利用公式解：解：101102),(2DKCCGGKGKGKKGE2623,39解出橡膠的彈性常數(shù)為解出橡膠的彈性常數(shù)為 ， E=1.384MPa

38、，= 0.5 小變形小變形 橡膠本構模型橡膠本構模型 4 非線性彈性非線性彈性 K 常用的橡膠力學性能描述方法主要分為兩類，一類是基于常用的橡膠力學性能描述方法主要分為兩類，一類是基于熱力學統(tǒng)計熱力學統(tǒng)計的方法，另一類是基于橡膠為連續(xù)介質的的方法，另一類是基于橡膠為連續(xù)介質的唯象學唯象學描描述方法。述方法。 熱力學統(tǒng)計方法的基礎為觀察到橡膠中的彈性恢復力主要熱力學統(tǒng)計方法的基礎為觀察到橡膠中的彈性恢復力主要來自熵的減少。橡膠在承受荷載時分子結構無序，熵的減少是來自熵的減少。橡膠在承受荷載時分子結構無序，熵的減少是由于橡膠伸長使得橡膠結構由高度無序變得有序。由對橡膠中由于橡膠伸長使得橡膠結構由高

39、度無序變得有序。由對橡膠中分子鏈的長度、方向以及結構的統(tǒng)計得到本構關系。分子鏈的長度、方向以及結構的統(tǒng)計得到本構關系。橡膠本構模型橡膠本構模型 唯象學描述方法假設在未變形狀態(tài)下橡膠為各向同性材料，唯象學描述方法假設在未變形狀態(tài)下橡膠為各向同性材料，即長分子鏈方向在橡膠中是隨機分布的。這種各向同性的假設即長分子鏈方向在橡膠中是隨機分布的。這種各向同性的假設是用單位體積（彈性）應變能函數(shù)（是用單位體積（彈性）應變能函數(shù)（U）來描述橡膠特性的基）來描述橡膠特性的基礎，其本構模型為多項式形式模型和礎，其本構模型為多項式形式模型和Ogden形式模型。形式模型。NiiiNjijiijJDIICU12121

40、) 1(1)3()3(典型的典型的本構模型本構模型為多項式形式，其應變能密度表達式為為多項式形式，其應變能密度表達式為特殊形式可以由設定某些參數(shù)為特殊形式可以由設定某些參數(shù)為0來得到。如果所有來得到。如果所有 0ijC0j則得到減縮多項式模型則得到減縮多項式模型 iNiNiiiiJDICU21010) 1(1) 3(21201110) 1(1)3()3(JDICICU對于完全多項式對于完全多項式，如果，如果N1, 則只有線性部分的應變能量，則只有線性部分的應變能量，即即Mooney-Rivlin形式形式橡膠本構模型橡膠本構模型 ，則得到，則得到Neo-Hookean形式形式 對于減縮多項式對于

41、減縮多項式，如果，如果 N121110) 1(1)3(JDICU100%100%Mooney-Rivlin形式和形式和Neo-Hooken形式本構模型形式本構模型（后者是將（后者是將Hooke定律擴展至大變形）定律擴展至大變形）橡膠本構模型橡膠本構模型 Yeoh形式本構模型是形式本構模型是 N3時減縮多項式的特殊形式時減縮多項式的特殊形式 iiiiiiJDICU2313010) 1(1) 3(100%典型的典型的S形橡膠應力形橡膠應力-應變曲線應變曲線 ，C10正值，在小變形時為切線模量；正值，在小變形時為切線模量；C20為負值，中等變形時軟化；為負值，中等變形時軟化；C30正值，大變形時硬化

42、。正值，大變形時硬化。橡膠本構模型橡膠本構模型 Ogden形式本構模型形式本構模型 Arruda-Boyce形式本構模型形式本構模型 Van der Waals模型模型 JJDIUmln2112332)1ln()3(2232JJDICUiiiimiln211)3(251122212321121(3)(1)iiiNNiiiiiiUJD橡膠本構模型橡膠本構模型 其他形式的本構模型有：其他形式的本構模型有：試驗擬合本構模型系數(shù)試驗擬合本構模型系數(shù) 橡膠類材料的本構關系除具有超彈性、大變形的特征外，橡膠類材料的本構關系除具有超彈性、大變形的特征外，其本構關系與生產(chǎn)加工過程有直接關系，如橡膠配方和硫化工

43、其本構關系與生產(chǎn)加工過程有直接關系，如橡膠配方和硫化工藝。確定每一批新加工出來的橡膠的本構關系，都要依賴于精藝。確定每一批新加工出來的橡膠的本構關系，都要依賴于精確和充分的橡膠試驗。確和充分的橡膠試驗。 通常在試驗中應該測得在幾種不同荷載模式下的應力通常在試驗中應該測得在幾種不同荷載模式下的應力-應變曲線，應變曲線，這樣可以選擇出最合適的本構模型以及描述這種模型的參數(shù)。這樣可以選擇出最合適的本構模型以及描述這種模型的參數(shù)。 同一種橡膠材料的三種拉伸變形狀態(tài)的應力同一種橡膠材料的三種拉伸變形狀態(tài)的應力-應變曲線圖，應變曲線圖，對比試驗曲線，由最小二乘法擬合多項式本構模型中的系數(shù)。對比試驗曲線，由

44、最小二乘法擬合多項式本構模型中的系數(shù)。試驗擬合本構模型系數(shù)試驗擬合本構模型系數(shù)試驗擬合本構模型系數(shù)試驗擬合本構模型系數(shù) 給出實驗數(shù)據(jù)，應力表達式的系數(shù)通過最小二乘法擬合確給出實驗數(shù)據(jù)，應力表達式的系數(shù)通過最小二乘法擬合確定，這樣可以使得誤差最小。即對于定，這樣可以使得誤差最小。即對于n 組應力組應力-應變的試驗數(shù)應變的試驗數(shù)據(jù)，取相對誤差據(jù)，取相對誤差E 的最小值，擬合應力表達式中的系數(shù)，得的最小值，擬合應力表達式中的系數(shù)，得到理論本構模型。到理論本構模型。2thtest11niiiETT按照本構關系與伸長率對應的應力表達式按照本構關系與伸長率對應的應力表達式 實驗數(shù)據(jù)中的應力值實驗數(shù)據(jù)中的應

45、力值 確定材料常數(shù)的經(jīng)驗公式確定材料常數(shù)的經(jīng)驗公式 試驗擬合本構模型系數(shù)試驗擬合本構模型系數(shù)0rlog0.01840.4575EH010010110230.05EGCCCC 對于已經(jīng)成型的橡膠元件，通常不容易通過上述試驗來確定對于已經(jīng)成型的橡膠元件，通常不容易通過上述試驗來確定其材料常數(shù)。經(jīng)驗公式是通過橡膠的其材料常數(shù)。經(jīng)驗公式是通過橡膠的IRHD硬度指標來確定材料硬度指標來確定材料的彈性模量和切變模量，再由材料常數(shù)和彈性模量的關系來確的彈性模量和切變模量，再由材料常數(shù)和彈性模量的關系來確定材料常數(shù)?；竟綖椋ㄐ儣l件）定材料常數(shù)?；竟綖椋ㄐ儣l件）將得到的材料常數(shù)代入將得到的材料常

46、數(shù)代入Mooney-Rivlin模型進行計算。模型進行計算。 例子例子 采用氫化丁腈橡膠采用氫化丁腈橡膠H-NBR75，硬度為，硬度為75MPa，解得，解得 08.366MPaE 101.328MPaC010.0664MPaC 由于大型有限元軟件的迅速發(fā)展，使得復雜的超彈性模型計由于大型有限元軟件的迅速發(fā)展，使得復雜的超彈性模型計算過程由計算機程序完成，在算過程由計算機程序完成，在ABAQUS等商用軟件中給出了具體等商用軟件中給出了具體的計算。用戶要熟悉如何輸入數(shù)據(jù)文件，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)擬合和選的計算。用戶要熟悉如何輸入數(shù)據(jù)文件，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)擬合和選用合適的本構模型，如何處理輸出結果并檢驗其是否正

47、確。對于用合適的本構模型，如何處理輸出結果并檢驗其是否正確。對于初學者來說，商用軟件是一個初學者來說，商用軟件是一個“黑匣子黑匣子”，因此，掌握超彈性材，因此，掌握超彈性材料模型理論和計算方法是取得仿真成功的關鍵。料模型理論和計算方法是取得仿真成功的關鍵。結論與討論結論與討論 需要注意的是，對于不可壓縮材料的平面問題，無論是解析需要注意的是，對于不可壓縮材料的平面問題，無論是解析解還是數(shù)值解，均不能采用平面應變解答。因為對于不可壓縮材解還是數(shù)值解，均不能采用平面應變解答。因為對于不可壓縮材料，如果采用平面應變模型，其體積不變，內(nèi)力為不確定量，在料，如果采用平面應變模型，其體積不變，內(nèi)力為不確定

48、量，在有限元中的節(jié)點位移不能反映單元內(nèi)力的變化。有限元中的節(jié)點位移不能反映單元內(nèi)力的變化。對于不可壓縮材對于不可壓縮材料或者接近于不可壓縮材料的平面問題，務必應用平面應力（或料或者接近于不可壓縮材料的平面問題，務必應用平面應力（或者廣義平面應變）解答者廣義平面應變）解答。Part3鋼Part2橡膠 RsPart1鋼Rr b過盈面過盈面橡膠減震軸過盈配合的解析解和有限元解橡膠減震軸過盈配合的解析解和有限元解平面應變和平面應力模型平面應變和平面應力模型過盈量過盈量1.9mm ，應力非常大，應力非常大，原因是平面應變模型原因是平面應變模型 R (mm)r(MPa)020406080-1-0.8-0.

49、6-0.4-0.20TheoreticAbaqus 01020304050607080-700-600-500-400-300-200-1000r(MPa)R(mm) Part3FEA 理論解 理論解 Part2FEA 理論解 Part1FEA橡膠和鋼環(huán)的解析解與橡膠和鋼環(huán)的解析解與FE解的徑向應力比較解的徑向應力比較 廣義平面應變平面應力問題廣義平面應變平面應力問題不發(fā)生體積自鎖不發(fā)生體積自鎖平面應變模型平面應變模型發(fā)生體積自鎖發(fā)生體積自鎖5 5 一維塑性一維塑性 應力保持40MPa的蠕變試驗數(shù)據(jù)與計算結果對比 ),( TtEE 231max 22so3o1omax 123= s5 5 一維

50、塑性一維塑性 omaxmax231max 22so3o1omax123= ss31 ss31n允許應力允許應力 5 5 一維塑性一維塑性 oddvv5 5 一維塑性一維塑性 vvvdvvv21323222161Edv2321621E形狀形狀改變比能與改變比能與體積體積改變比能改變比能體積改變能密度與形狀改變能密度體積改變能密度與形狀改變能密度2 13 32131 321dvvvv5 5 一維塑性一維塑性 123= s213232221d)()()(61Ev2sod31Evs23105 5 一維塑性一維塑性 s213232221)()()(21 ss213232221)()()(21n2sod3

51、1Ev213232221d)()()(61Ev5 5 一維塑性一維塑性 5 一維塑性一維塑性 對于卸載后產(chǎn)生永久應變的材料稱為塑性材料。對于卸載后產(chǎn)生永久應變的材料稱為塑性材料。 應變的每一增量分解成為彈性可逆部分和塑性不可逆部分應變的每一增量分解成為彈性可逆部分和塑性不可逆部分 塑性理論的主要內(nèi)容有：塑性理論的主要內(nèi)容有： peddd),(qf屈服函數(shù)控制塑性變形的突變和連續(xù)，是內(nèi)變量和應力的函數(shù)屈服函數(shù)控制塑性變形的突變和連續(xù)，是內(nèi)變量和應力的函數(shù) 流動法則控制塑性流動，即確定塑性應變增量。流動法則控制塑性流動，即確定塑性應變增量。內(nèi)部變量內(nèi)部變量的演化方程控制屈服函數(shù)的演化，包括應變的演

52、化方程控制屈服函數(shù)的演化，包括應變-硬化關系。硬化關系。 彈彈-塑性定律是路徑相關和耗能的，大部分的功消耗在材料塑性變塑性定律是路徑相關和耗能的，大部分的功消耗在材料塑性變形中，不可逆換成其它形式的能量，特別是熱。應力取決于整個變形中，不可逆換成其它形式的能量，特別是熱。應力取決于整個變形的歷史，不能表示成為應變的單值函數(shù)；而它僅能指定作為應力形的歷史，不能表示成為應變的單值函數(shù)；而它僅能指定作為應力和應變的率之間的關系。和應變的率之間的關系。5 一維塑性一維塑性 一維率無關塑性一維率無關塑性 典型彈典型彈-塑性材料的應力塑性材料的應力-應變曲線應變曲線 應變的增量假設分解成為彈性和塑性部分的

53、和，率形式應變的增量假設分解成為彈性和塑性部分的和，率形式 pe應力增量應力增量( (率率) )總是與彈性模量和彈性應變的增量總是與彈性模量和彈性應變的增量( (率率) )有關有關 eEddeE 非線性彈非線性彈-塑性區(qū)段，應力塑性區(qū)段，應力-應變應變dEEddetan切線模量切線模量 應力應力-應變關系的是應變關系的是率率均勻的。均勻的。如果被任意的如果被任意的時間時間因子縮放，本因子縮放，本構關系保持不變。因此，材料構關系保持不變。因此，材料反應是反應是率無關率無關的。的。 5 一維塑性一維塑性 一維率無關塑性一維率無關塑性 通過流動法則給出了塑性應變率，常常表示為塑性流動勢能的形式通過流

54、動法則給出了塑性應變率，常常表示為塑性流動勢能的形式p塑性率參數(shù)塑性率參數(shù) 流動勢能的一個例子是流動勢能的一個例子是 )(sign等效應力等效應力 屈服條件為屈服條件為 0)(Yf單軸拉伸的屈服強度單軸拉伸的屈服強度 等效塑性應變等效塑性應變 材料在初始屈服之后屈服強度的增加稱為功硬化或者應變硬化材料在初始屈服之后屈服強度的增加稱為功硬化或者應變硬化( (對應于應變軟化對應于應變軟化) )。硬化行為一般是塑性變形先期歷史的函數(shù)。硬化行為一般是塑性變形先期歷史的函數(shù)。 屈服行為是各向同性硬化；拉伸和壓縮的屈服強度總是相等。屈服行為是各向同性硬化；拉伸和壓縮的屈服強度總是相等。5 一維塑性一維塑性

55、 一維率無關塑性一維率無關塑性 fsignp)(一個特殊的模型，一個特殊的模型， 塑性應變率寫成為塑性應變率寫成為 p)(signff 塑性模型稱為關聯(lián)的，否則，塑性流動是非關聯(lián)的。塑性模型稱為關聯(lián)的，否則，塑性流動是非關聯(lián)的。對于關聯(lián)塑性，塑性流動是沿著屈服面的法線方向。對于關聯(lián)塑性，塑性流動是沿著屈服面的法線方向。 由此看出由此看出僅當滿足屈服條件僅當滿足屈服條件時發(fā)生塑性變形。時發(fā)生塑性變形。 0)(Yf當塑性加載時，應力必須保持在屈服面上，當塑性加載時，應力必須保持在屈服面上， 實現(xiàn)了實現(xiàn)了一致性條件一致性條件 0)(YfHddY)(這給出這給出塑性模量塑性模量 5 一維塑性一維塑性

56、一維率無關塑性一維率無關塑性 ddHY)(典型的硬化曲線，典型的硬化曲線，塑性模量塑性模量對應塑性加載和純彈性加載或卸載，切線模量為對應塑性加載和純彈性加載或卸載，切線模量為 HEEEE2tan塑性轉換參數(shù)塑性轉換參數(shù)塑性加載彈性加或卸載10加載卸載條件還可以寫為加載卸載條件還可以寫為 00f0f一致性條件的率形式一致性條件的率形式 應力狀態(tài)位于塑性表面應力狀態(tài)位于塑性表面 塑性率參數(shù)非負塑性率參數(shù)非負 對于塑性加載對于塑性加載 0必須保持在屈服面上必須保持在屈服面上 其應力狀態(tài)其應力狀態(tài)0f對于彈性加載或者卸載對于彈性加載或者卸載 0沒有塑性流動沒有塑性流動 0f因此因此 材料硬化描述材料硬

57、化描述 (a) Bauschinger效果效果 (b) 屈服面的平移和擴展屈服面的平移和擴展 在循環(huán)加載中，各向同性硬化模型提供了在循環(huán)加載中，各向同性硬化模型提供了金屬金屬應力應變反應的粗應力應變反應的粗糙模型。圖糙模型。圖a為為Bauschinger效果，在拉伸初始屈服之后的壓縮屈服效果，在拉伸初始屈服之后的壓縮屈服強度降低。認識這種行為的方法之一是觀察屈服表面的中心沿著塑性強度降低。認識這種行為的方法之一是觀察屈服表面的中心沿著塑性流動方向移動。圖流動方向移動。圖b為多軸應力狀態(tài)圓環(huán)屈服表面擴張對應于為多軸應力狀態(tài)圓環(huán)屈服表面擴張對應于各向各向同性硬化（冪硬化）同性硬化（冪硬化），它的中

58、心平移對應于，它的中心平移對應于運動硬化運動硬化。 5 一維塑性一維塑性 混合硬化混合硬化 屈服面積改變，屈服中心不變，各向同性硬化；屈服面積改變，屈服中心不變，各向同性硬化；屈服面積不變，屈服中心平移，運動硬化。屈服面積不變，屈服中心平移，運動硬化。背應力的內(nèi)部變量背應力的內(nèi)部變量 Stress-strain curve under cyclic loadsCombined hardening model 混合硬化混合硬化 5 一維塑性一維塑性 屈服面積改變，屈服中心不變，各向同性硬化；屈服面積改變，屈服中心不變，各向同性硬化；屈服面積不變，屈服中心平移，運動硬化。屈服面積不變，屈服中心平移

59、，運動硬化。5 一維塑性一維塑性 運動硬化運動硬化 塑性流動關系塑性流動關系 p背應力背應力的內(nèi)部變量的內(nèi)部變量 屈服條件屈服條件 Yf一維率相關塑性一維率相關塑性 在率相關塑性中，材料的塑性反應取決于加載率在率相關塑性中，材料的塑性反應取決于加載率， 一種方法是過應力模型，等效塑性應變率取決于超過多少屈服應力一種方法是過應力模型，等效塑性應變率取決于超過多少屈服應力 mY10)(等效塑性應變率的一種交換形式等效塑性應變率的一種交換形式 ,粘度粘度 過應力過應力5 一維塑性一維塑性 應變軟化應變軟化 0, 0uF0uF單調凸本構曲線不再成立。應變軟化如何加載？單調凸本構曲線不再成立。應變軟化如

60、何加載？位移加載位移加載6 多軸塑性多軸塑性 Tresca屈服準則屈服準則Mises屈服準則屈服準則在有限元程序中一般應用哪種屈服準則？為什么？在有限元程序中一般應用哪種屈服準則？為什么？摩擦滑移屈服表面摩擦滑移屈服表面 6 多軸塑性多軸塑性 Mohr-Coulomb本構模型本構模型0NQf 滑移方向（塑性流動）是水平的（沿Q 的方向）而不是垂直屈服面。這是非關聯(lián)塑性流動的例子。對于連續(xù)體和多軸應力應變狀態(tài)的行為，M-C準則具有普適性。它應用于模擬土壤和巖石。 c M-C準則是基于這樣的概念，即當任意面上的切應力和平均法準則是基于這樣的概念，即當任意面上的切應力和平均法向應力達到臨界組合時在材