專題95：解析幾何應(yīng)用題

1、專題9.5:解析幾何應(yīng)用題【拓展探究】1.某人欲設(shè)計(jì)一個(gè)如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”其中AC, BD是過拋物線焦點(diǎn) F且互相垂直的兩條弦，該拋物線的對稱軸為EF ,通徑長為4.記EFA為銳角.(通徑：經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦)(1)用表示AF的長;(2)試建立“蝴蝶形圖案”的面積S關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計(jì)的大小，使“蝴蝶形圖案”的面積最小.【解】(1)由拋物線的定義知,AF AF cos(2)據(jù)(1)同理可得BF1 sin 'cosCF1 cos n21 cosDF1 cos21 sin所以“蝴蝶形圖案”的面積S 1-2 1 cos 1 sin12 1 cos 1 s

2、in4 1 sin cossin22 cosn0,2 .2，即S的最小值為8.令t1，則S 4 t2 t ,t 2, ，所以當(dāng)tsin cos答：當(dāng) 上時(shí)，可使“蝴蝶形圖案”的面積最小.42. 如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀.(1) 若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬I是多少？(2) 若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬I，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最小？(半個(gè)橢圓的面積公式為S -lh )4【解】(1)如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)2 2P(11,4.5)，橢圓方程為 篤 爲(wèi) 1a2b

3、2將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a心，此時(shí)丨72a邑Z 33.3.因此隧道的拱寬約為33.32x(2 )由橢圓方程飛a2 y b2112得聳a4.52b21.4.52b22 11 即 ab 99,且abl 2a,h 6所以S沙ab2堂.當(dāng)S取最小值時(shí)，有驚2a24.521得a "簽晉此時(shí)丨 2a 22 . 231.1,hb 6.4故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時(shí)，土方工程量最小.0A，OB，AB (其中 A，3. 如圖所示，有兩條道路OM與ON , MON 600,現(xiàn)要鋪設(shè)三條下水管道B分別在0M , ON上)，若下水管道的總長度為 3km，設(shè)OA a(km), O

4、B b(km).(1)求b關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，并指出 a的取值范圍;(2)已知點(diǎn)P處有一個(gè)污水總管的接口，點(diǎn)P到0M的距離PH為 km，到點(diǎn)O的距離PO為 4丄km，問下水管道AB能否經(jīng)過污水總管的接口4邊界為北方向立一個(gè)到該圓點(diǎn)P ?若能，求出a的值，若不能，請說明理由.5. 如圖，為了保護(hù)河上古橋 0A,規(guī)劃建一座新橋 BC,同時(shí)設(shè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的 圓心M在線段0A上并與BC相切的圓.且古橋兩端 0和A上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m.經(jīng)測量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正460m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)0正東方向170m處(OC為河岸),tan BCO .3(1) 求新橋BC的

5、長；(2) 當(dāng)OM多長時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？【解法探究】(1)解法1:(兩角差的正切)連結(jié)AC，由題意知tan ACO，則由兩角差的正切公式可得:17tan ACB tan( BCO ACO)2，故 BC cos3ACB AC150 m答：新橋BC的長度為150 m.解法2：(解析法)由題意可知A(0,60), B(170,0) ； 由tan BCO4-可知直線BC的斜率k3直線BC所在直線的方程為 y43(x；又由ABBC可知,AB所在的直線方程為4，則33x 60 ；4y聯(lián)立方程組4尹 170)3x 604，解得 x 80, y 120 ；即點(diǎn)B(80,120)，那么BC,(80 17

6、0)2 1202150.答:新橋BC的長度為150m.解法3:(初中解法)延長CB交OA所在直線于點(diǎn)G，,4由tan BCO 可得OG3BG cos CGO勾股定理得CG680 CG 8503 ，3 ，AG 400，在 OCG 中,3850 ，故 BC 150 m3AG 500，3cosCGO sin GCO答：新橋BC的長度為150 m.(2)解法1 :(解析法)由題意設(shè)M (0,a) (0 a60)，圓M的方程為x2(y a)22r ，且由題意可680 3a5又古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m，那么a 80(60 a) 80，解得10a 35 ；由函數(shù)r680 3a5為區(qū)

7、間10,35上的減函數(shù)，故當(dāng)a 10時(shí)，半徑取到最大值為 130.綜上可知，當(dāng) OM 10m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大，且最大值為16900解法2:（初中解法）設(shè) BC與圓切于點(diǎn)N，連接MN，過點(diǎn)A作AH /BC交MN于點(diǎn)H .設(shè)OM a，則AM 60 a，由古橋兩端 O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，那么a 80(60 a) 80，解得10a 35 由 tan AMHtan OCN -，可得 MH -(60 a)，由(1)35北解法3可得AB 100，所以MN100 -(60 x)53x 136，故MN即圓的半徑的最大值為 130，5當(dāng)且僅當(dāng)a 10時(shí)取得半徑的最大值.綜上可知，當(dāng)

8、OM 10m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大6. 如圖，O為總信號源點(diǎn)，A，B，C是三個(gè)居民區(qū)，已知 A，B都在O的正東方向上，OA = 10 km，OB = 20 km，C 在 O 的北偏西 45。方向上，CO = 5 2 km .（1）求居民區(qū)A與C的距離；（2） 現(xiàn)要經(jīng)過點(diǎn) O鋪設(shè)一條總光纜直線 EF （E在直線OA的上方），并從A, B, C分別鋪設(shè)三條最短分光纜連接到總光纜 EF 假設(shè)鋪設(shè)每條分光纜的費(fèi)用與其長度的平方成正比，比例系數(shù)為 m（m為常數(shù)）.設(shè)/ AOE = 0 （0< 0< n）,鋪設(shè)三條分光纜的總費(fèi)用為 w （元）. 求w關(guān)于0的函數(shù)表達(dá)式； 求w的最小值及此時(shí)tan的值.1012分風(fēng)為尸(心八)a狗*上所以