2002數(shù)一數(shù)三考研數(shù)學(xué)真題及解析

1、數(shù)學(xué) (一)試題第1頁(yè)(共13頁(yè))2002 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題 (本題共 5 小題 ,每小題 3 分,滿分 15 分.把答案填在題中橫線上.)( 1)exxdx2ln=.( 2) 已知函數(shù)( )yy x由方程0162xxyey確定 ,則(0)y=. ( 3) 微分方程02yyy滿足初始條件0011,2xxyy的特解是.( 4) 已 知 實(shí) 二 次 型323121232221321444)(),(xxxxxxxxxaxxxf經(jīng) 正 交 變 換xpy可化成標(biāo)準(zhǔn)型216yf,則a=. ( 5) 設(shè)隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布2( ,)(0)n,且二次方程042xyy無(wú)實(shí)根的概

2、率為12,則. 二、選擇題 ( 本題共 5 小題 ,每小題 3 分,滿分 15 分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求 ,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)( 1) 考慮二元函數(shù)),(yxf的下面 4 條性質(zhì) : ),(yxf在點(diǎn)),(00yx處連續(xù) ;),(yxf在點(diǎn)),(00yx處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);),(yxf在點(diǎn)),(00yx處可微 ; ),(yxf在點(diǎn)),(00yx處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在若用“pq”表示可由性質(zhì)p推出性質(zhì)q,則有( a) . ( b) .( c) . ( d) .( 2) 設(shè)0(1,2,3,)nunl,且lim1nnnu,則級(jí)數(shù)11111( 1)()nnnnuu

3、( a) 發(fā)散 .( b) 絕對(duì)收斂 . ( c) 條件收斂 .( d) 收斂性根據(jù)所給條件不能判定. 數(shù)學(xué) (一)試題第2頁(yè)(共13頁(yè))( 3) 設(shè)函數(shù)( )yf x在(0,)內(nèi)有界且可導(dǎo),則( a) 當(dāng)0)(limxfx時(shí),必有0)(limxfx. ( b) 當(dāng))(limxfx存在時(shí) ,必有0)(limxfx.( c) 當(dāng)0lim( )0 xfx時(shí),必有0lim( )0 xfx. ( d) 當(dāng)0lim( )xfx存在時(shí) ,必有0lim( )0 xfx. ( 4) 設(shè)有三張不同平面的方程123iiiia xa ya zb,3 ,2, 1i,它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為,

4、則這三張平面可能的位置關(guān)系為( 5) 設(shè)1x和2x是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量,它們的概率密度分別為1( )fx和2( )fx,分布函數(shù)分別為1( )f x和2( )fx,則( a) 1( )f x2( )fx必為某一隨機(jī)變量的概率密度.( b) 1( )f x2( )fx必為某一隨機(jī)變量的概率密度. ( c) 1( )f x2( )fx必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).( d) 1( )f x2( )fx必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù). 三、 (本題滿分6 分) 設(shè) 函 數(shù))(xf在0 x的 某 鄰 域 內(nèi) 具 有 一 階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) , 且(0)0,(0)0ff, 若( )(2 )(0)a

5、f hbfhf在0h時(shí)是比h高階的無(wú)窮小,試確定ba,的值 . 數(shù)學(xué) (一)試題第3頁(yè)(共13頁(yè))四、 (本題滿分7 分)已知兩曲線)(xfy與xtdteyarctan02在點(diǎn)(0,0)處的切線相同,寫出此切線方程,并求極限)2(limnnfn. 五、 (本題滿分7 分) 計(jì)算二重積分dxdyedyx,max22,其中 10, 10|),(yxyxd. 六、 (本題滿分8 分) 設(shè)函數(shù))(xf在(,)內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),l是上半平面(y 0) 內(nèi)的有向分段光滑曲線,其起點(diǎn)為 (ba,) ,終點(diǎn)為 (dc,) .記22211()()1,lxiy f xy dxy f xydyyy( 1) 證明曲

6、線積分i與路徑l無(wú)關(guān) ; ( 2) 當(dāng)cdab時(shí),求i的值 . 七、 (本題滿分7 分) ( 1) 驗(yàn) 證 函 數(shù)333369( )1()3!6!9!(3 )!nxxy xxnll滿 足 微 分 方 程xeyyy; ( 2) 利用 ( 1) 的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)30(3 )!nnxn的和函數(shù) . 八、 (本題滿分7 分) 設(shè)有一小山 ,取它的底面所在的平面為xoy坐標(biāo)面 ,其底部所占的區(qū)域?yàn)?( , ) |dx yx275yxy,小山的高度函數(shù)為),(yxhxyyx2275. ( 1) 設(shè)),(00yxm為區(qū)域d上一點(diǎn) ,問(wèn)),(yxh在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大? 數(shù)學(xué) (一)試題第4頁(yè)(

7、共13頁(yè))若記此方向?qū)?shù)的最大值為),(00yxg,試寫出),(00yxg的表達(dá)式 . ( 2) 現(xiàn)欲利用此小山開(kāi)展攀巖活動(dòng),為此需要在山腳下尋找一上山坡最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).也就是說(shuō) ,要在d的邊界線2275xyxy上找出使 ( 1) 中),(yxg達(dá)到最大值的點(diǎn).試確定攀登起點(diǎn)的位置 . 九、 (本題滿分6 分) 已知四階方陣),(4321a,4321,均為4維列向量,其中432,線性無(wú)關(guān),3212,如果4321,求線性方程組ax的通解 . 十、 (本題滿分8 分) 設(shè),a b為同階方陣 , ( 1) 若,a b相似 ,證明,a b的特征多項(xiàng)式相等. ( 2) 舉一個(gè)二階方陣的例子說(shuō)明(

8、 1) 的逆命題不成立. ( 3) 當(dāng),a b均為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí),證明 ( 1) 的逆命題成立 . 十一、 (本題滿分7 分) 設(shè)維隨機(jī)變量x的概率密度為10,cos ,( )220,xxf x其他.對(duì)x獨(dú)立地重復(fù)觀察次,用y表示觀察值大于3的次數(shù) ,求2y的數(shù)學(xué)期望 . 十二、 (本題滿分7 分) 設(shè)總體x的概率分布為x0 1 2 3 p2)1(2221其中1(0)2是未知參數(shù) ,利用總體x的如下樣本值數(shù)學(xué) (一)試題第5頁(yè)(共13頁(yè))3,1,3,0,3,1,2,3,求的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值. 2002 年考研數(shù)學(xué)一試題答案與解析一、填空題( 1) 【分析 】原式2ln11.lnlneed

9、xxx( 2) 【分析 】方程兩邊對(duì)x兩次求導(dǎo)得 6620,ye yxyyx26 12 20.yye ye yxyy以0 x代 入 原 方 程 得0y,以0 xy代 入 得0,y,再 以0 xyy代 入 得( 0)2.y( 3) 【分析 】這是二階的可降階微分方程.令( )yp y( 以y為自變量 ) ,則.dydpdpypdxdxdy代入方程得20dpyppdy,即0dpypdy( 或0p,但其不滿足初始條件012xy) .分離變量得0,dpdypy積分得lnln,pyc即1cpy(0p對(duì)應(yīng)10c) ;由0 x時(shí)11,2ypy得11.2c于是數(shù)學(xué) (一)試題第6頁(yè)(共13頁(yè))1,2,2ypy

10、dydxy積分得22yxc.又由01xy得21,c所求特解為1.yx( 4) 【分析 】因?yàn)槎涡蛅x ax經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)就是二次型矩陣a的特征值 ,所以6,0,0是a的特征值 .又因iiia,故600,2.aaaa( 5) 【分析 】設(shè)事件a表示“二次方程042xyy無(wú)實(shí)根” ,則1640axx4.依題意 ,有1()4.2p ap x而44141(),p xp x即4141 41(),(),0.4.22二、選擇題( 1) 【分析 】這是討論函數(shù)( ,)fx y的連續(xù)性 , 可偏導(dǎo)性 , 可微性及偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系. 我們知道 ,( , )f x y的兩個(gè)偏

11、導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件, 若( , )f x y可微則必連續(xù), 故選 ( a). ( 2) 【分析 】由1lim101nnunn充分大時(shí)即,n nn時(shí)10nu,且1lim0,nnu不妨認(rèn)為,0,nn u因而所考慮級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù),但不能保證1nu的單調(diào)性 . 按定義考察部分和111111111111( 1)()( 1)( 1)nnnkkknkkkkkkksuuuu數(shù)學(xué) (一)試題第7頁(yè)(共13頁(yè))1111111( 1)11( 1)1( 1)(),knnnlklklnnuuuuu原級(jí)數(shù)收斂 . 再考察取絕對(duì)值后的級(jí)數(shù)1111()nnnuu.注意111112,11nnnnuunnnuunn11nn

12、發(fā)散1111()nnnuu發(fā)散 .因此選 ( c).( 3) 【分析 】證明 ( b) 對(duì):反證法 . 假設(shè)lim( )0 xfxa,則由拉格朗日中值定理,(2 )( )( )()fxf xfxx( 當(dāng)x時(shí) ,因?yàn)?xx) ;但這與(2 )( )(2 )( )2fxf xfxf xm矛盾( ).f xm( 4) 【分析 】因?yàn)? )( )23r ar a,說(shuō)明方程組有無(wú)窮多解,所以三個(gè)平面有公共交點(diǎn)且不唯一,因此應(yīng)選 ( b). ( a) 表示方程組有唯一解,其充要條件是( )()3.r ar a( c) 中三個(gè)平面沒(méi)有公共交點(diǎn),即方程組無(wú)解 ,又因三個(gè)平面中任兩個(gè)都不行,故()2r a和(

13、)3r a,且a中任兩個(gè)平行向量都線性無(wú)關(guān).類似地 ,(d) 中有兩個(gè)平面平行,故()2r a,( )3r a,且a中有兩個(gè)平行向量共線.( 5) 【分析 】首先可以否定選項(xiàng)( a) 與(c) ,因121212( )( )( )( )21,()()1 121.f xfx dxfx dxfx dxff數(shù)學(xué) (一)試題第8頁(yè)(共13頁(yè))對(duì)于選項(xiàng) (b) ,若121, 21,1,01,( )( )0,0,xxfxfx其他，其他，則對(duì)任何(,),x12( )( )0f x fx,12( )( )01,f x fx dx因此也應(yīng)否定(c) ,綜上分析 ,用排除法應(yīng)選( d) .進(jìn)一步分析可知,若令12m

14、ax(,)xxx,而( ),1,2,iixf x i則x的分布函數(shù)( )f x恰是12( )( ).f x fx1212( )max(,),f xpxxxp xx xx1212 ( )( ).p xx p xxf x fx三、 【解】用洛必達(dá)法則.由題設(shè)條件知0lim( )(2 )(0)(1) (0).haf hbfhfabf由于(0)0f,故必有10.ab又由洛必達(dá)法則00( )(2 )(0)( )2(2 )limlim1hhaf hbfhfafhbfhh(2 )(0)0,ab f及(0)0f,則有20ab. 綜上 ,得2,1.ab四、 【解】由已知條件得(0)0,f22arctanarct

15、an0020(0)()1,1xxtxxxefedtx故所求切線方程為yx.由導(dǎo)數(shù)定義及數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系可得02( )(0)2( )(0)lim()2lim2lim2(0)2.2nnxfff xfnnffnxn五、 【分析與求解 】d是正方形區(qū)域如圖.因在d上被積函數(shù)分塊表示2222,max,( , ),xxyxyx ydyxy數(shù)學(xué) (一)試題第9頁(yè)(共13頁(yè))于是要用分塊積分法,用yx將d分成兩塊 :1212,.dddddyxddyxuiii222212max,max,xyxyddedxdyedxdy2221212xyxddde dxdye dxdye dxdy(d關(guān)于yx對(duì)稱 ) 2

16、1002xxdxe dy(選擇積分順序)22110021.xxxe dxee六、 【分析與求解 】(1) 易知pdxqdy原函數(shù) ,2211()()()()()xpdxqdydxyfxy dxxf xy dydyydxxdyf xyydxxdyyyy0()() ()( ).xyxxdf xy d xydf t dtyy在0y上pdxqdy原函數(shù) ,即0( , )( )xyxu x yf t dty.積分i在0y與路徑無(wú)關(guān) .( 2) 因找到了原函數(shù),立即可得( ,)( , )( , ).c da bcaiu x ydb七、 【證明 】與書上解答略有不同,參見(jiàn)數(shù)三2002 第七題 ( 1) 因?yàn)?/p>

17、冪級(jí)數(shù)3693( )13!6!9!(3 )!nxxxxy xnll的收斂域是()x,因而可在()x上逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù),得25831( )2!5!8!(31)!nxxxxy xnll,數(shù)學(xué) (一)試題第10頁(yè)(共13頁(yè))4732( )4!7!(32)!nxxxyxxnll,所以212!nxxxyyyxenll()x.( 2) 與xyyye相應(yīng)的齊次微分方程為0yyy,其特征方程為210,特征根為1,21322i.因此齊次微分方程的通解為21233(cossin)22xyecxcx.設(shè)非齊次微分方程的特解為xyae,將y代入方程xyyye可得13a,即有13xye.于是 ,方程通解為212331(cos

18、sin)223xxyyyecxcxe.當(dāng)0 x時(shí),有112121(0)1,23,0.3131(0)0.223ycccycc于是冪級(jí)數(shù)30(3 )!nnxn的和函數(shù)為2231( )cos323xxy xexe ()x八、 【分析與求解 】(1) 由梯度向量的重要性質(zhì):函數(shù)),(yxh在點(diǎn)m處沿該點(diǎn)的梯度方向0000(,)(,)0000( , ), 2, 2xyxyhhh x yxyyxxygrad方向?qū)?shù)取最大值即00(,)( , )xyh x ygrad的模 ,22000000(,)(2)(2) .g xyyxxy( 2) 按題意 ,即求( , )g x y求在條件22750 xyxy下的最大

19、值點(diǎn)數(shù)學(xué) (一)試題第11頁(yè)(共13頁(yè))22222( , )(2 )(2 )558gx yyxxyxyxy在條件22750 xyxy下的最大值點(diǎn).這是求解條件最值問(wèn)題,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函數(shù)2222( , , )558(75),l x yxyxyxyxy則有22108(2)0,108(2)0,750.lxyxyxlyxyxylxyxy解此方程組 :將式與式相加得()(2)0.xyxy或2.若yx,則由式得2375x即5,5.xym若2,由或均得yx,代入式得275x即5 3,5 3.xy于是得可能的條件極值點(diǎn)1234(5, 5),( 5,5),(5 3,53),( 5 3, 5 3)

20、.mmmm現(xiàn)比較222( , )( , )558f x ygx yxyxy在這些點(diǎn)的函數(shù)值:1234()()450,()()150.f mf mf mf m因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題存在最大值, 而最大值又只可能在1234,mmmm中取到 .因此2( ,)gx y在12,mm取到在d的邊界上的最大值,即12,mm可作為攀登的起點(diǎn).九、 【解】由432,線性無(wú)關(guān)及3212知 ,向量組的秩1234(,)3r,即矩陣a的秩為3.因此0ax的基礎(chǔ)解系中只包含一個(gè)向量.那么由123412312(,)2010數(shù)學(xué) (一)試題第12頁(yè)(共13頁(yè))知,0ax的基礎(chǔ)解系是(1, 2,1,0) .t再由123412341111(,)1111a知 ,(1,1,1,1)t是ax的一個(gè)特解.故ax的通解是1121,1