2002數(shù)一數(shù)三考研數(shù)學(xué)真題及解析

1、數(shù)學(xué) (一)試題第1頁(共13頁)2002 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題 (本題共 5 小題 ,每小題 3 分,滿分 15 分.把答案填在題中橫線上.)( 1)exxdx2ln=.( 2) 已知函數(shù)( )yy x由方程0162xxyey確定 ,則(0)y=. ( 3) 微分方程02yyy滿足初始條件0011,2xxyy的特解是.( 4) 已 知 實 二 次 型323121232221321444)(),(xxxxxxxxxaxxxf經(jīng) 正 交 變 換xpy可化成標準型216yf,則a=. ( 5) 設(shè)隨機變量x服從正態(tài)分布2( ,)(0)n,且二次方程042xyy無實根的概

2、率為12,則. 二、選擇題 ( 本題共 5 小題 ,每小題 3 分,滿分 15 分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求 ,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)( 1) 考慮二元函數(shù)),(yxf的下面 4 條性質(zhì) : ),(yxf在點),(00yx處連續(xù) ;),(yxf在點),(00yx處的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);),(yxf在點),(00yx處可微 ; ),(yxf在點),(00yx處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在若用“pq”表示可由性質(zhì)p推出性質(zhì)q,則有( a) . ( b) .( c) . ( d) .( 2) 設(shè)0(1,2,3,)nunl,且lim1nnnu,則級數(shù)11111( 1)()nnnnuu

3、( a) 發(fā)散 .( b) 絕對收斂 . ( c) 條件收斂 .( d) 收斂性根據(jù)所給條件不能判定. 數(shù)學(xué) (一)試題第2頁(共13頁)( 3) 設(shè)函數(shù)( )yf x在(0,)內(nèi)有界且可導(dǎo),則( a) 當(dāng)0)(limxfx時,必有0)(limxfx. ( b) 當(dāng))(limxfx存在時 ,必有0)(limxfx.( c) 當(dāng)0lim( )0 xfx時,必有0lim( )0 xfx. ( d) 當(dāng)0lim( )xfx存在時 ,必有0lim( )0 xfx. ( 4) 設(shè)有三張不同平面的方程123iiiia xa ya zb,3 ,2, 1i,它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為,

4、則這三張平面可能的位置關(guān)系為( 5) 設(shè)1x和2x是任意兩個相互獨立的連續(xù)型隨機變量,它們的概率密度分別為1( )fx和2( )fx,分布函數(shù)分別為1( )f x和2( )fx,則( a) 1( )f x2( )fx必為某一隨機變量的概率密度.( b) 1( )f x2( )fx必為某一隨機變量的概率密度. ( c) 1( )f x2( )fx必為某一隨機變量的分布函數(shù).( d) 1( )f x2( )fx必為某一隨機變量的分布函數(shù). 三、 (本題滿分6 分) 設(shè) 函 數(shù))(xf在0 x的 某 鄰 域 內(nèi) 具 有 一 階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) , 且(0)0,(0)0ff, 若( )(2 )(0)a

5、f hbfhf在0h時是比h高階的無窮小,試確定ba,的值 . 數(shù)學(xué) (一)試題第3頁(共13頁)四、 (本題滿分7 分)已知兩曲線)(xfy與xtdteyarctan02在點(0,0)處的切線相同,寫出此切線方程,并求極限)2(limnnfn. 五、 (本題滿分7 分) 計算二重積分dxdyedyx,max22,其中 10, 10|),(yxyxd. 六、 (本題滿分8 分) 設(shè)函數(shù))(xf在(,)內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),l是上半平面(y 0) 內(nèi)的有向分段光滑曲線,其起點為 (ba,) ,終點為 (dc,) .記22211()()1,lxiy f xy dxy f xydyyy( 1) 證明曲

6、線積分i與路徑l無關(guān) ; ( 2) 當(dāng)cdab時,求i的值 . 七、 (本題滿分7 分) ( 1) 驗 證 函 數(shù)333369( )1()3!6!9!(3 )!nxxy xxnll滿 足 微 分 方 程xeyyy; ( 2) 利用 ( 1) 的結(jié)果求冪級數(shù)30(3 )!nnxn的和函數(shù) . 八、 (本題滿分7 分) 設(shè)有一小山 ,取它的底面所在的平面為xoy坐標面 ,其底部所占的區(qū)域為2( , ) |dx yx275yxy,小山的高度函數(shù)為),(yxhxyyx2275. ( 1) 設(shè)),(00yxm為區(qū)域d上一點 ,問),(yxh在該點沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大? 數(shù)學(xué) (一)試題第4頁(

7、共13頁)若記此方向?qū)?shù)的最大值為),(00yxg,試寫出),(00yxg的表達式 . ( 2) 現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動,為此需要在山腳下尋找一上山坡最大的點作為攀登的起點.也就是說 ,要在d的邊界線2275xyxy上找出使 ( 1) 中),(yxg達到最大值的點.試確定攀登起點的位置 . 九、 (本題滿分6 分) 已知四階方陣),(4321a,4321,均為4維列向量,其中432,線性無關(guān),3212,如果4321,求線性方程組ax的通解 . 十、 (本題滿分8 分) 設(shè),a b為同階方陣 , ( 1) 若,a b相似 ,證明,a b的特征多項式相等. ( 2) 舉一個二階方陣的例子說明(

8、 1) 的逆命題不成立. ( 3) 當(dāng),a b均為實對稱矩陣時,證明 ( 1) 的逆命題成立 . 十一、 (本題滿分7 分) 設(shè)維隨機變量x的概率密度為10,cos ,( )220,xxf x其他.對x獨立地重復(fù)觀察次,用y表示觀察值大于3的次數(shù) ,求2y的數(shù)學(xué)期望 . 十二、 (本題滿分7 分) 設(shè)總體x的概率分布為x0 1 2 3 p2)1(2221其中1(0)2是未知參數(shù) ,利用總體x的如下樣本值數(shù)學(xué) (一)試題第5頁(共13頁)3,1,3,0,3,1,2,3,求的矩估計值和最大似然估計值. 2002 年考研數(shù)學(xué)一試題答案與解析一、填空題( 1) 【分析 】原式2ln11.lnlneed

9、xxx( 2) 【分析 】方程兩邊對x兩次求導(dǎo)得 6620,ye yxyyx26 12 20.yye ye yxyy以0 x代 入 原 方 程 得0y,以0 xy代 入 得0,y,再 以0 xyy代 入 得( 0)2.y( 3) 【分析 】這是二階的可降階微分方程.令( )yp y( 以y為自變量 ) ,則.dydpdpypdxdxdy代入方程得20dpyppdy,即0dpypdy( 或0p,但其不滿足初始條件012xy) .分離變量得0,dpdypy積分得lnln,pyc即1cpy(0p對應(yīng)10c) ;由0 x時11,2ypy得11.2c于是數(shù)學(xué) (一)試題第6頁(共13頁)1,2,2ypy

10、dydxy積分得22yxc.又由01xy得21,c所求特解為1.yx( 4) 【分析 】因為二次型tx ax經(jīng)正交變換化為標準型時,標準形中平方項的系數(shù)就是二次型矩陣a的特征值 ,所以6,0,0是a的特征值 .又因iiia,故600,2.aaaa( 5) 【分析 】設(shè)事件a表示“二次方程042xyy無實根” ,則1640axx4.依題意 ,有1()4.2p ap x而44141(),p xp x即4141 41(),(),0.4.22二、選擇題( 1) 【分析 】這是討論函數(shù)( ,)fx y的連續(xù)性 , 可偏導(dǎo)性 , 可微性及偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系. 我們知道 ,( , )f x y的兩個偏

11、導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件, 若( , )f x y可微則必連續(xù), 故選 ( a). ( 2) 【分析 】由1lim101nnunn充分大時即,n nn時10nu,且1lim0,nnu不妨認為,0,nn u因而所考慮級數(shù)是交錯級數(shù),但不能保證1nu的單調(diào)性 . 按定義考察部分和111111111111( 1)()( 1)( 1)nnnkkknkkkkkkksuuuu數(shù)學(xué) (一)試題第7頁(共13頁)1111111( 1)11( 1)1( 1)(),knnnlklklnnuuuuu原級數(shù)收斂 . 再考察取絕對值后的級數(shù)1111()nnnuu.注意111112,11nnnnuunnnuunn11nn

12、發(fā)散1111()nnnuu發(fā)散 .因此選 ( c).( 3) 【分析 】證明 ( b) 對:反證法 . 假設(shè)lim( )0 xfxa,則由拉格朗日中值定理,(2 )( )( )()fxf xfxx( 當(dāng)x時 ,因為2xx) ;但這與(2 )( )(2 )( )2fxf xfxf xm矛盾( ).f xm( 4) 【分析 】因為( )( )23r ar a,說明方程組有無窮多解,所以三個平面有公共交點且不唯一,因此應(yīng)選 ( b). ( a) 表示方程組有唯一解,其充要條件是( )()3.r ar a( c) 中三個平面沒有公共交點,即方程組無解 ,又因三個平面中任兩個都不行,故()2r a和(

13、)3r a,且a中任兩個平行向量都線性無關(guān).類似地 ,(d) 中有兩個平面平行,故()2r a,( )3r a,且a中有兩個平行向量共線.( 5) 【分析 】首先可以否定選項( a) 與(c) ,因121212( )( )( )( )21,()()1 121.f xfx dxfx dxfx dxff數(shù)學(xué) (一)試題第8頁(共13頁)對于選項 (b) ,若121, 21,1,01,( )( )0,0,xxfxfx其他，其他，則對任何(,),x12( )( )0f x fx,12( )( )01,f x fx dx因此也應(yīng)否定(c) ,綜上分析 ,用排除法應(yīng)選( d) .進一步分析可知,若令12m

14、ax(,)xxx,而( ),1,2,iixf x i則x的分布函數(shù)( )f x恰是12( )( ).f x fx1212( )max(,),f xpxxxp xx xx1212 ( )( ).p xx p xxf x fx三、 【解】用洛必達法則.由題設(shè)條件知0lim( )(2 )(0)(1) (0).haf hbfhfabf由于(0)0f,故必有10.ab又由洛必達法則00( )(2 )(0)( )2(2 )limlim1hhaf hbfhfafhbfhh(2 )(0)0,ab f及(0)0f,則有20ab. 綜上 ,得2,1.ab四、 【解】由已知條件得(0)0,f22arctanarct

15、an0020(0)()1,1xxtxxxefedtx故所求切線方程為yx.由導(dǎo)數(shù)定義及數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系可得02( )(0)2( )(0)lim()2lim2lim2(0)2.2nnxfff xfnnffnxn五、 【分析與求解 】d是正方形區(qū)域如圖.因在d上被積函數(shù)分塊表示2222,max,( , ),xxyxyx ydyxy數(shù)學(xué) (一)試題第9頁(共13頁)于是要用分塊積分法,用yx將d分成兩塊 :1212,.dddddyxddyxuiii222212max,max,xyxyddedxdyedxdy2221212xyxddde dxdye dxdye dxdy(d關(guān)于yx對稱 ) 2

16、1002xxdxe dy(選擇積分順序)22110021.xxxe dxee六、 【分析與求解 】(1) 易知pdxqdy原函數(shù) ,2211()()()()()xpdxqdydxyfxy dxxf xy dydyydxxdyf xyydxxdyyyy0()() ()( ).xyxxdf xy d xydf t dtyy在0y上pdxqdy原函數(shù) ,即0( , )( )xyxu x yf t dty.積分i在0y與路徑無關(guān) .( 2) 因找到了原函數(shù),立即可得( ,)( , )( , ).c da bcaiu x ydb七、 【證明 】與書上解答略有不同,參見數(shù)三2002 第七題 ( 1) 因為

17、冪級數(shù)3693( )13!6!9!(3 )!nxxxxy xnll的收斂域是()x,因而可在()x上逐項求導(dǎo)數(shù),得25831( )2!5!8!(31)!nxxxxy xnll,數(shù)學(xué) (一)試題第10頁(共13頁)4732( )4!7!(32)!nxxxyxxnll,所以212!nxxxyyyxenll()x.( 2) 與xyyye相應(yīng)的齊次微分方程為0yyy,其特征方程為210,特征根為1,21322i.因此齊次微分方程的通解為21233(cossin)22xyecxcx.設(shè)非齊次微分方程的特解為xyae,將y代入方程xyyye可得13a,即有13xye.于是 ,方程通解為212331(cos

18、sin)223xxyyyecxcxe.當(dāng)0 x時,有112121(0)1,23,0.3131(0)0.223ycccycc于是冪級數(shù)30(3 )!nnxn的和函數(shù)為2231( )cos323xxy xexe ()x八、 【分析與求解 】(1) 由梯度向量的重要性質(zhì):函數(shù)),(yxh在點m處沿該點的梯度方向0000(,)(,)0000( , ), 2, 2xyxyhhh x yxyyxxygrad方向?qū)?shù)取最大值即00(,)( , )xyh x ygrad的模 ,22000000(,)(2)(2) .g xyyxxy( 2) 按題意 ,即求( , )g x y求在條件22750 xyxy下的最大

19、值點數(shù)學(xué) (一)試題第11頁(共13頁)22222( , )(2 )(2 )558gx yyxxyxyxy在條件22750 xyxy下的最大值點.這是求解條件最值問題,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函數(shù)2222( , , )558(75),l x yxyxyxyxy則有22108(2)0,108(2)0,750.lxyxyxlyxyxylxyxy解此方程組 :將式與式相加得()(2)0.xyxy或2.若yx,則由式得2375x即5,5.xym若2,由或均得yx,代入式得275x即5 3,5 3.xy于是得可能的條件極值點1234(5, 5),( 5,5),(5 3,53),( 5 3, 5 3)

20、.mmmm現(xiàn)比較222( , )( , )558f x ygx yxyxy在這些點的函數(shù)值:1234()()450,()()150.f mf mf mf m因為實際問題存在最大值, 而最大值又只可能在1234,mmmm中取到 .因此2( ,)gx y在12,mm取到在d的邊界上的最大值,即12,mm可作為攀登的起點.九、 【解】由432,線性無關(guān)及3212知 ,向量組的秩1234(,)3r,即矩陣a的秩為3.因此0ax的基礎(chǔ)解系中只包含一個向量.那么由123412312(,)2010數(shù)學(xué) (一)試題第12頁(共13頁)知,0ax的基礎(chǔ)解系是(1, 2,1,0) .t再由123412341111(,)1111a知 ,(1,1,1,1)t是ax的一個特解.故ax的通解是1121,1