華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)分析歷年考研真題卷珍藏版

1、華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研真題以上是 01 年數(shù)分2003年數(shù)學(xué)分析（綜合卷）1.(16)求下列極限：(1)/1(2) !(limnnn. (2)(xf在 1 ,1上連續(xù)，恒不為 0，求131sin)(1lim30 xxxxf2.(15)設(shè))(xf在, ba上二階可導(dǎo) ,過(guò)點(diǎn))(,(afaa與)(,(bfbb的直線與曲線)(xfy相較于)(,(cfcc,其中bca,證明:在),(ba中至少存在一點(diǎn),使0)(f. 3.(15) 證明:xxnn21ln在 1 ,0(上一致收斂 . 4.(15) 設(shè))(xfn是,ba上的函數(shù)序列 ,滿足對(duì)每一個(gè),bax導(dǎo)函數(shù))(xfn存在), 2, 1(n并且滿足下列

2、條件 :(1)存在某一個(gè),0bax,使)(0 xfn收斂；(2)導(dǎo)函數(shù)列)(xfn在,ba上一致收斂 . 證明: )(xfn在,ba上一致收斂 . 5.(14)設(shè))(xf在,ba上可導(dǎo) ,其導(dǎo)函數(shù))(xf在,ba可積,對(duì)任意的自然數(shù) n.記banindxxfnabnabiaf)()(1, 證明:)()(2limafbfabnnn. 2004年數(shù)學(xué)分析1.求下列極限 (共 50 分,第 1,2 小題各 10 分,第 3,4 小題各 15 分) (1)21sin0lim(cos)xxx(2)11lim123nn1+n(3)74444lim(112)xxxxx(4)1limsin(sin)2nnkk

3、nn2.(15)設(shè))(),(xgxf在,ba上連續(xù) ,在),(ba內(nèi)可導(dǎo) ,若12,x x 是)(xf在區(qū)間,ba上的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：存在 , a b，使得( )( )( )0ffg3.(15)設(shè))(xf在)0(,abba上連續(xù) ,在),(ba內(nèi)可導(dǎo),證明:在),(ba內(nèi)存在,使baff)()(2. 4.(15)設(shè))(xf在,ba上黎曼可積 ,證明:( )f xe在,ba上也是黎曼可積的 . 5.(15)( )(1,2,3,nf x n ） 在, ba上連續(xù) ,函數(shù))(xg在,ba上也連續(xù) ,且對(duì), ba中任意的12,x x 和正整數(shù) n,有1212| ( )( )|nnmf xf xxxn(

4、0m),證明:lim( ). ( )0bnnag x fxdx. 6.(15)設(shè)( )nf x(,2,1n)在,ba上連續(xù) ,且 ( )nf x 在,ba上一致收斂與)(xf.證明: (1)存在0m,使對(duì)任何自然數(shù) n ,有|( )|,| ( )|nf xmf xm及. (2)若)(xf為（，）上連續(xù)函數(shù) ,則( ( )nf f x一致收斂于)(xff. 7.(10)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間 1 ,1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,且0)0(, 1) 1(,0) 1(fff,證明:在) 1 , 1(內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得(3)()3f. 8.(15)函數(shù)),(yxf在點(diǎn)00(,)xy的某個(gè)鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階

5、偏導(dǎo)數(shù),且00000000( ,) 0,( ,) 0,( ,) 0,( ,) 0 xyxxf x yf x yf x yfx y, 證明:由方程),(yxf確定的隱函數(shù)( )yf x在0 x點(diǎn)取得極小值 . 2005年數(shù)學(xué)分析1.求下列極限或指定函數(shù)的值: (1)1!2!3!lim!nnn(10 分) (2)1 3 5(21)lim2 4 62nnnn(10 分) (3)1326lim().12xxxxxex(10 分) (4)設(shè))(xf在0 x的鄰域二階可導(dǎo) ,且130( )lim(1)xxf xxex,求(0),(0),(0)fff的值.(15 分) 2.(15)設(shè)函數(shù))(),(xgxf在

6、,ba上可導(dǎo) ,且在),(ba上( )0gx,證明:存在)( )( )( , )( )( )( )f affa bgg bg(使. 3.(15)設(shè)函數(shù)( )f x在4 ,2上有連續(xù)的一階導(dǎo)函數(shù) ,且(2)(4)0ff,證明：4242max |( ) | |( )|xfxf x dx. 4.(13)設(shè)有方程.sin(01)xmqxq.若0101,.sin ,sin ,nnxmxm qxxm qx證明:nx收斂; 設(shè)limnnxl,再證明l是方程.sinxmqx的唯一解 . 5.(13)證明:函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)11(1) )xnnxenn在任何有窮區(qū)間 , a b上一致收斂 . 6.(13)設(shè)( )f x

7、在 , a b上二階可導(dǎo) ,且( )0fx,證明:1()( )2baabff x dxba. 7.(13)設(shè)12,na aa均為常數(shù) ,證明:函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)101.!xntnnat e dtn在 , a b上一致收斂 . 8.(13)設(shè)( )f x在 , a b上黎曼可積，( )0,f xc用可積準(zhǔn)則證明：函數(shù)ln( )f x在 , a b上黎曼可積 . 9.(10)設(shè)( )f x在 , a b上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù) ,證明:在( , )a b內(nèi)存在,使得31( )()()() .( )224baabf x dxba fbaf2006年數(shù)學(xué)分析1.(30) (1)111sin)1(sinlim121

8、xxexx. (2) 設(shè)xxaxy,求y. (3) dxxxln1lnln. (4)設(shè)yxyxyxfyarcsin)1(),(2,求)1 ,(xfx. (5)dxdyeyxyxd22)(,其中 1),(22yxyxd. (6) 求lydxydyxicossin,其中l(wèi)是從點(diǎn))0 ,0(o到點(diǎn))0,(a的正弦曲線有xysin. 2.(20)設(shè))(xf在( ,)a上可導(dǎo) ,且()fx在( ,)a上有界 ,證明:(1) )(xf在( ,)a上一致連續(xù) . (2)()lim( )lim( )xxaf af xf x存在，但不一定存在. (3)若)(limxfx存在，且)(lim)(limxfxfaxx

9、，則)(xf在( ,)a上至少有一個(gè)零點(diǎn)。3.(20)設(shè))(xf在 1 , 0上連續(xù) ,)1 ()0(ff,(1)證明: 存在010,2x,使得001()()2f xf x. (2)試推測(cè) |:對(duì)任意正整數(shù) n ,是否存在010,nxn,使得001()()f xf xn,并證明你的結(jié)論 . 4.(10)設(shè))(xf在0,)上連續(xù) ,且0)(xf,記00( )()()xxtftdtxftdt, (1)求0lim()xx. (2)證明:( )x在(0,)上是嚴(yán)格單調(diào)遞增 .5.(10)證明: 若1nna絕對(duì)收斂 ,則)(12311nnnaaaa也絕對(duì)收斂 . 6.(15)設(shè))(xf在0, 2上連續(xù)

10、,證明: (1)sin02nx 在 ，上不一致收斂 . (2) sin( )02nxf x（）在 ，上一致收斂的充要條件是()02f. 7.(10)設(shè)),(zyxf為3r上的 n 次齊次函數(shù) :對(duì)),(),(, 0zyxfttztytaftn,且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,( , , )0zfx y z,若方程( , , )0f x y z確定了可微的隱函數(shù)( , )zg x y,證明:( , )zg x y必為一次齊次函數(shù) . 8,(20)設(shè)( , )f x y2在r 上具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),證明: (1)對(duì)2r內(nèi)任意光滑簡(jiǎn)單閉曲線l，總有2222()ldfffdsdxdynxy，其中n為 l 的

11、外法方向，fn是 ( , )f xy 沿n的方向?qū)?shù)， d 是 l 圍成的有界閉區(qū)域 ; (2) ( , )f x y 為2r是的調(diào)和函數(shù)（即22220ffxy）的充要條件是對(duì)2r內(nèi)的任意光滑簡(jiǎn)單閉曲線l，總有0lfdsn. 9.(15)設(shè) n 是正整數(shù) ,給定方程1nxx,證明: (1)此方程僅有惟一的正根(0,1)nx. (2)lim1nnx. 2007年數(shù)學(xué)分析1.(30) 計(jì)算題 : (1)1)1sinsin(ln)1(lnlim230 xxexx. (2) 設(shè)xxxxyln,求y. (3) dxexdxexx02044. (4)設(shè)),(yxf可微,且bfaffyx)1 , 1(,)1

12、 , 1(, 1) 1 , 1 (,令),(),()(xxfxxffxf,求) 1(f. (5)dxdyeyxyxd222)(33)(,其中 1),(22yxyxd. (6) 求lxxydxeydyeicossin,其中l(wèi)是從點(diǎn))0 ,0(o到點(diǎn))0 ,2(a的下半圓周xyx222. 2.(25)設(shè))(xf在),0(上可導(dǎo) ,且)(xfx在),0(上有界 ,證明: (1)(xf在),0(上一致連續(xù) . (2)(lim)0(0 xffx存在.(3)若將條件“)(xfx在), 0(上有界”改為“)(lim0 xfxx和)(limxfxx都存在” ,試問: 還能否推出)(xf在),0(上一致連續(xù) .

13、如果能請(qǐng)證明你的結(jié)論，如果不能請(qǐng)舉反例. 3.(25)設(shè))(xf在),0(內(nèi) 4 階可導(dǎo) , (1) 證明:若)(limxfx和)(limxfx都存在 ,則0)(limxfx. (2) 若)(limxfx和)(lim4xfx）（都存在 ,是否能推出對(duì)任意的正整數(shù)41k,)(limxfkx）（都存在且為0,請(qǐng)證明你的結(jié)論 . 4.(10)設(shè))(xf在0,)上連續(xù) ,且axfx)(lim(a可以為或),試證:xxadttfx0)(1lim.5.(15)設(shè)nkknnasa1,0,證明: 1nna收斂1nnnsa收斂. 6.(15)若na 單調(diào)遞減 ,且0limnna,證明: (1)1cosnnnxa

14、在2,上一致收斂 ,其中0. (2) 1cosnnnxa在2,上一致收斂的充要條件是1nna收斂. 7.(15)設(shè)),(yxuu是由方程組0)()()()(zgzf yxzgzyfzxu所確定的二階連續(xù)可微隱函數(shù),其中g(shù)f ,有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù) ,證明:0)(222222yxuyuxu. 8.(15)設(shè)),(zyxf上3r具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ,證明: (1)對(duì)3r內(nèi)任意光滑簡(jiǎn)單閉曲面s,總有dxdydzzfyfxfdsnfvs)(222222,其中 n為s的外法方向 ,fn是),(zyxf沿n的方向?qū)?shù) ,v是s圍成的有界閉區(qū)域; (2) ),(zyxf為3r是的調(diào)和函數(shù)（即0222222zf

15、yfxf）的充要條件是對(duì)3r內(nèi)的任意光滑簡(jiǎn)單閉曲線s，總有0dsnfs. 2008年數(shù)學(xué)分析1.(36)計(jì)算題 : (1) nnnnnn)12()1(1lim(2) dxdydzzyxttzyxt222222240sin1lim(3) 求曲線積分lyxydxxdy229,其中l(wèi)為平面內(nèi)任意一條不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的正向光滑封閉簡(jiǎn)單曲線.2.(15)設(shè)函數(shù))(xf在),0上具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù) ,且)(limxfx存在有限 ,10, 是一個(gè)常數(shù) ,證明:)(xf在),0上一致連續(xù) .3.(15)設(shè))(xf和)(xg在,ba上連續(xù)且在),(ba內(nèi)可導(dǎo) ,試證:在),(ba內(nèi)存在點(diǎn),使得)()()()()()(f

16、agbggafbf. 4.(20)證明:函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1)(nnxnexf在),0(上收斂 ,但不一致收斂 ,而和函數(shù))(xf在),0(上可以任意次求導(dǎo) .5.(20)證明:方程)sin(2xyyx在原點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以唯一確定隱函數(shù))(xfy,并)0(y計(jì)算的值 . 6.(14)證明:若函數(shù))(xf在,ba上無(wú)界 ,則必存在,ba上的某點(diǎn) ,使得)(xf在該點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)無(wú)界 . 7.(12)設(shè)函數(shù) u 在),0上連續(xù)可微且dxxuxu)()(22,試證:(1)存在),0中的子列1nnx使得當(dāng) n時(shí),nx且0)(nxu(2)存在某常數(shù)0c,使得21022,0)()()(supdxxuxucxux

17、8.(18)設(shè)3r為有界閉區(qū)域 ,且具有光滑邊界t0,.(1) 設(shè)vu,是上具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),試證:dsnuvdxdydzvudxdydzuv,其中222222zuyuxuu,u為 u 的梯度 ,nu為 u 沿區(qū)域的邊界的外法向n的方向?qū)?shù) ;(2) 設(shè)),(tzyxu在),0t上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),試證:), 0,),(),(ttdxdydztzyxtudxdydztzyxudtd; (3)設(shè)),(tzyxu在),0t上具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)且滿足3uutu若u 在),0t上恒為零記2222)()()(zuyuxuu, 試證dxdydzuute)4121()(42在),0t上是減函數(shù) .

18、2009年數(shù)學(xué)分析1.(30)計(jì)算題 : (1)1)1 ()ln1cossin()sin(lim0 xxxx(2) 計(jì)算二重積分dxdyyydsin,其中d是由0, 1,xyxy圍成的區(qū)域 . (3) 求曲線積分cyxdxydyx22)2()1(4)2()1(其中c為平面內(nèi)任意一條不經(jīng)過(guò)點(diǎn))2 ,1 (得正向光滑封閉簡(jiǎn)單曲線2.(12)設(shè)函數(shù))(xf定義在開區(qū)間),(ba內(nèi),若對(duì)任意的),(bac,都有)(limxfcx存在,且)(limxfax和)(limxfbx也存在，則)(xf在開區(qū)間),(ba內(nèi)有界 . 3.(12)證明:含參量反常積分dyxexy0在),上一致收斂)0(,但在),0(

19、內(nèi)不一致收斂 . 4.(20)設(shè)函數(shù))(xf在 1 ,0上連續(xù) ,在)1 ,0(內(nèi)可微 ,且存在0m,使得mxxfxf xx2)()(),1 ,0(,證明: (1) xxf)(在 1 ,0內(nèi)一致連續(xù) . (2)(lim0 xfx存在. 5.(20)證明下面結(jié)論 : (1)若)(xf在 1 ,0上連續(xù) ,則100)(limdxxfxnx. (2)若)(xf在 1 ,0上連續(xù)可微 ,則10)1 ()(limfdxxfxnnn. 6.(18)設(shè)0,00,sin),(222222222yxyxyxyxyxyxf,討論),(yxf在原點(diǎn))0,0(處的連續(xù)性 ,偏導(dǎo)的存在性以及可微性 . 7.(20)設(shè)函

20、數(shù)列)(xfn中的每一項(xiàng)函數(shù))(xfn都是,ba上的單調(diào)函數(shù) ,試證明 :(1)若1)(nnaf和1)(nnbf都絕對(duì)收斂 ,則1)(nnxf在,ba上一致收斂 . (2)若每一項(xiàng)函數(shù))(xfn的單調(diào)性相同 ,且1)(nnaf和1)(nnbf都收斂，則在上一致收斂. 8.(18)設(shè)f連續(xù),證明:(1)證明:vdxxxfdxdydzzf112)1)()(,其中1:222zyxv.(2)記函數(shù)dxdydzczbyaxfcbafv)(),(,其中1:222zyxv,證明: 球面1222cba為函數(shù)),(cbaf的等值面 ,即),(cbaf在球面1222cba上恒為常數(shù) ,并求出此常數(shù) . 2010年數(shù)學(xué)分析1.(30)計(jì)算題 : (1)設(shè)函數(shù))(xf定義在),(上,滿足:1)0()(lim,cos)()2(0fxfxxfxfx,求)(xf. (2) 設(shè)40tanxdxann,求)(121nnnaan的值. (3) 求曲線積分dzyxdyxzdxzyl)()()(,其中l(wèi)為平面0zyx與球面1222zyx相交的交線 ,方向從 z 軸正向看是逆時(shí)針的 . 2.(12)設(shè)0,)(x