2022屆高考數(shù)學(xué)解題方法微專(zhuān)題（11）含exlnx與x的組合函數(shù)的解題策略

1、- 1 - / 5 微專(zhuān)題微專(zhuān)題(十一十一) 含含 ex，ln x 與與 x 的組合函數(shù)的解題策略的組合函數(shù)的解題策略 近幾年高考?jí)狠S題常以 x 與 ex，ln x 組合的函數(shù)為基礎(chǔ)來(lái)命制，將基本初等函數(shù)的概念，圖象與性質(zhì)糅合在一起，發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、證明相關(guān)不等式(或比較大小)、求參數(shù)的取值范圍(或最值)預(yù)計(jì)今后高考試題除了延續(xù)往年的命題形式，還會(huì)更著眼于知識(shí)點(diǎn)的巧妙組合，注重對(duì)函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)整合和數(shù)形結(jié)合等思想的靈活運(yùn)用，突出對(duì)數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查 策略一 分離參數(shù)，設(shè)而不求 例 1 已知函數(shù) f(x)ln x，h(x)ax(ar) (1)

2、若函數(shù) f(x)的圖象與 h(x)的圖象無(wú)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù) m，使得對(duì)任意的 x12， ，都有 yf(x)mx的圖象在 g(x)exx的圖象下方？若存在，請(qǐng)求出整數(shù) m的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解析：(1)函數(shù) f(x)的圖象與 h(x)的圖象無(wú)公共點(diǎn)，等價(jià)于方程ln xxa 在(0，)上無(wú)解， 令 t(x)ln xx，則 t(x)1ln xx2，令 t(x)0，得 xe. 隨著 x 的變化，t(x)，t(x)的變化如下表所示 x (0，e) e (e，) t(x) 0 t(x) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 因?yàn)?xe 是函數(shù) t(x)唯一的極值點(diǎn)，所

3、以 t(x)maxt(e)1e，故要使方程ln xxa 在(0，)上無(wú)解，需滿(mǎn)足 a1e，故實(shí)數(shù) a 的取值范圍為1e， . (2)假設(shè)存在實(shí)數(shù) m滿(mǎn)足題意，則不等式 ln xmxexx對(duì)任意的 x12， 恒成立， 即 mexxln x 對(duì)任意的 x12， 恒成立 令 v(x)exxln x，則 v(x)exln x1， 令 (x)exln x1，則 (x)ex1x. 易知 (x)在12， 上單調(diào)遞增，1212e20 且 (x)的圖象在12，1 上連續(xù)， 所以存在唯一的 x012，1 ，使得 (x0)0，即0ex1x00，則 x0ln x0. 當(dāng) x12，x0時(shí)，(x)單調(diào)遞減； 當(dāng) x(x0

4、，)時(shí)，(x)單調(diào)遞增 則 (x)在 xx0處取得最小值，且最小值為 (x0)0exln x011x0 x012x01x0110， 所以 v(x)0，即 v(x)在12， 上單調(diào)遞增， 所以 m12e12ln1212e12ln 21.995 29， - 2 - / 5 故存在整數(shù) m滿(mǎn)足題意，且 m的最大值為 1. 名師點(diǎn)評(píng) 本題分離參數(shù)后導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求，且不能通過(guò)觀察得到，此時(shí)往往可以采用設(shè)而不求的方法在第(2)小問(wèn)中，通過(guò)虛設(shè)零點(diǎn) x0得到 x0ln x0，將0exln x01 轉(zhuǎn)化為普通代數(shù)式1x0 x01，然后使用基本不等式求出最值，同時(shí)消掉 x0，即借助 (x0)0 作整體代換，采取

5、設(shè)而不求的方法，達(dá)到化簡(jiǎn)并求解的目的 變式練 1 證明 exln x2. 策略二 分離 ln x 與 ex 例 2 已知函數(shù) f(x)ax2xln x. (1)若函數(shù) f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a的取值范圍； (2)若 ae，證明：當(dāng) x0 時(shí)，f(x)0 時(shí)，f(x)0，即 2aln x1x恒成立 令 g(x)ln x1x(x0)，則 g(x)ln xx2， 易知 g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，則 g(x)maxg(1)1， 所以 2a1，即 a12. 故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是12， . (2)證明：若 ae，要證 f(x)xex1e， 只需證 exln

6、xex1ex，即 exex0)，則 h(x)ex1ex2， 易知 h(x)在0，1e上單調(diào)遞減，在1e， 上單調(diào)遞增，則 h(x)minh1e0， 所以 ln x1ex0. - 3 - / 5 再令 (x)exex，則 (x)eex， 易知 (x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減， 則 (x)max(1)0，所以 exex0. 因?yàn)?h(x)與 (x)不同時(shí)為 0，所以 exex1 時(shí)，不等式f(x)e12ex1(x1)(xex1). 策略三 借助 exx1和 ln xx1 進(jìn)行放縮 例 3 已知函數(shù) f(x)exa. (1)若函數(shù) f(x)的圖象與直線 l：yx1 相切，求 a的

7、值； (2)若 f(x)ln x0 恒成立，求整數(shù) a 的最大值 解析：(1)f(x)ex，因?yàn)楹瘮?shù) f(x)的圖象與直線 yx1 相切， 所以令 f(x)1，即 ex1，得 x0，即 f(0)1， 解得 a2. (2)現(xiàn)證明 exx1，設(shè) f(x)exx1， 則 f(x)ex1，令 f(x)0，則 x0， 當(dāng) x(0，)時(shí)，f(x)0，當(dāng) x(，0)時(shí)，f(x)ln x， 當(dāng) a2 時(shí)，ln x0 恒成立 當(dāng) a3 時(shí)，存在 x，使 exaln x 不恒成立 綜上，整數(shù) a 的最大值為 2. 名師點(diǎn)評(píng) 利用 exx1，ln xx1 可將超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，有效地降低了試題的難度 變式練

8、3 已知函數(shù) f(x)ex，g(x)ln(xa)b. (1)若函數(shù) f(x)與 g(x)的圖象在點(diǎn)(0,1)處有相同的切線，求 a，b 的值； (2)當(dāng) b0 時(shí)，f(x)g(x)0 恒成立，求整數(shù) a 的最大值 - 4 - / 5 微專(zhuān)題微專(zhuān)題(十一十一) 變式練 1 證明：設(shè) f(x)exln x(x0)，則 f(x)ex1x， 令 h(x)f(x)，h(x)ex1x20， f(x)在(0，)上是增函數(shù)， 又 f12 e20， 函數(shù) f(x)在12，1 上存在極小值點(diǎn) x0且0ex01x，即 x0ln0 x. f(x0)01x0 x2， 故 f(x)2，即 exln x2. 變式練 2 解

9、析：(1)f(x)1aln xx2， 曲線 yf(x)在點(diǎn)(e，f(e)處的切線斜率為ae2. 又切線與直線 e2xye0 垂直， 可得 f(e)1e2，所以ae21e2， a1，所以 f(x)1ln xx， f(x)ln xx2(x0)， 當(dāng) 0 x0，f(x)為增函數(shù)； 當(dāng) x1 時(shí)，f(x)0，f(x)為減函數(shù) 所以 x1 是函數(shù) f(x)的極大值點(diǎn) 又 f(x)在(m，m1)上存在極值， 所以 m1m1，即 0m2ex1(x1)(xex1)變形為1e1(x1)(ln x1)x2ex1xex1分別構(gòu)造函數(shù) g(x)(x1)(ln x1)x和 h(x)2ex1xex1， 則 g(x)xln xx2，令 (x)xln x， 則 (x)11xx1x. 因?yàn)?x1，所以 (x)0，所以 (x)在(1，)上是增函數(shù)，所以 (x)(1)10，所以 g(x)0，所以 g(x)在(1，)上是增函數(shù)，所以 x1 時(shí)，g(x)g(1)2，故g(x)e12e1，h(x)2ex1(1ex)(xex1)2，x1，1ex0.h(x)1- 5 - / 5 時(shí)，h(x)h(x)，即f(x)e12ex1(x1)(xex1). 變式練 3 解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù) f(x)和 g(x)的圖象在點(diǎn)(0,1)處有相同的切線， 所以 f(