費(fèi)馬猜想證明艱難歷程的概述

1、費(fèi)馬猜想證明艱難歷程的概述王德忱黑龍江省農(nóng)業(yè)科學(xué)院 黑河分院）一、費(fèi)馬猜想費(fèi)馬猜想：又稱費(fèi)馬大定理，是世界最著名的數(shù)論難題之一，即當(dāng) n 是一個大 于2的正整數(shù)時不定方程zn=xn+ yn為正整數(shù)等式不成立，也就是沒有zxy工的正 整數(shù)解。幾何學(xué)中被譽(yù)為兩大寶藏之一的“勾股定理”（另一為“黃金分割”）自史以 來非常受人們重視， 它的正整數(shù)解被稱為“勾股弦數(shù)”。 大約在公元前 1900 年到公 元前 l600 年之間古巴比倫人就掌握了多組勾股弦數(shù)，公元前 12 世紀(jì)我國周髀算 經(jīng)也記載了“勾三股四弦五”的重大發(fā)現(xiàn)。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（330246 年）給出了勾股弦數(shù)a + b2 = C基本組解公

2、式：a = 2mn、b = m2 n2、c = m2+ n2 （m > n）。這些數(shù)學(xué)的輝煌成果是人類歷史上杰出智慧的結(jié)晶。于是數(shù)學(xué)家們要找到 a3+ b3 = c3的正整數(shù)解，乃至要找到 a + bn = cn的正整數(shù)解。數(shù)論，閃爍著神秘 的光環(huán)，皇冠上璀璨的明珠！費(fèi)馬， 1601年 1665 年生于法國。他職業(yè)最初是律師，后來為圖盧茲議會議 員。他博覽群書，精通數(shù)國文字，掌握多門自然科學(xué)，近三十歲時鉆研數(shù)學(xué)，成果 累累，在數(shù)論、解析幾何學(xué)、概率論等方面都有重大貢獻(xiàn)，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之 王。他提出了許多數(shù)學(xué)定理， 特別是 1637 年在巴契校訂的希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的算 術(shù)第 2 卷第

3、8 命題“把一個平方數(shù)分為兩個平方數(shù)”旁邊寫道： “把一個立方數(shù) 分為兩個立方數(shù)，一個四次幕分為兩個四次幕，或一般地把一個高于二次的幕分為 兩個同次的幕是不可能的。關(guān)于這一點(diǎn)，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法，可惜這 里空白的地方太小，寫不下”。從此zn = x n + yn沒有正整數(shù)解的“美妙的證法” 吸引了許多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家及成千上萬數(shù)學(xué)愛好者的癡勞尋覓。所有巨大的辛苦與付出 都沒能達(dá)到目的，這個問題就成了數(shù)學(xué)史上一個最深奧的謎。為推進(jìn)費(fèi)馬猜想的證明，布魯塞爾和巴黎科學(xué)院數(shù)次設(shè)獎，1908年哥廷根皇家科學(xué)會懸賞10萬馬克（當(dāng)時值200萬美元）期限定為100年（至2007 年） 征求對費(fèi)馬猜想的證明

4、。僅1909 - 1911年三年間發(fā)表錯誤的證明論文就多達(dá)1,000余篇，由此數(shù)學(xué)刊物不再審理這方面投稿。又有著名數(shù)學(xué)家論文已發(fā)表 才被發(fā)現(xiàn)錯誤。后來就自然形成一個約定：費(fèi)馬猜想的證明，必須由世界至少 5個著名數(shù)學(xué)家承認(rèn)正確推薦的論文才能發(fā)表。二、費(fèi)馬猜想證明的重大意自費(fèi)馬猜想提出以來370多年里，不少數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)愛好者艱苦不屑地努力試 圖證明或否定它。當(dāng)然還是希望證明它，尤其興趣能夠找到費(fèi)馬猜想的那個“美妙 證法”。1676年，數(shù)學(xué)家們根據(jù)費(fèi)馬的少量提示用“無窮遞降法”證明了4時的情形，這一證法被公認(rèn)為是費(fèi)馬自己的證明。1678年德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲證明了 n=4時費(fèi)馬猜想成立。1738年瑞士

5、數(shù)學(xué)家歐拉也給出了4的證明。1770年，歐拉證明了 n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。1823年和1825年，法國數(shù)學(xué)家勒讓德和德國數(shù)學(xué)家狄利克雷先后證明了n = 5。1832年，狄利克雷試圖證明n = 7,卻只證明了 14。1839年法國數(shù)學(xué)家拉梅 證明了 n = 7,隨后得到法國數(shù)學(xué)家勒貝格的簡化。1857年，德國數(shù)學(xué)家?guī)禧湢栆虻谝淮螌σ淮笈笖?shù)n證明了費(fèi)馬猜想，是19世紀(jì)貢獻(xiàn)最大的，獲得巴黎科學(xué)院的金質(zhì)獎?wù)?。他?844年起花費(fèi)20多年時間創(chuàng)立了理想數(shù)論，證明當(dāng)nv 100除37、59、67三數(shù)所有奇素數(shù)費(fèi)馬猜想成立。1901年，德國數(shù)學(xué)家林德曼發(fā)表了一篇 17頁的論文，但他的證明很

6、快被人們 指出了錯誤。他在1882年成功地證明了 n是超越數(shù)，從而徹底解決了困惑數(shù)學(xué)家19072000多年的“化圓為方”問題。此后林德曼信心大增，夸口要解決費(fèi)馬猜想。 年他又發(fā)表了一篇長達(dá)63頁的證明，后又被推翻。1926年，美國數(shù)學(xué)家范狄維爾證明了當(dāng) nv 211的奇素數(shù)時費(fèi)馬猜想成立。此后數(shù)學(xué)家們證明奇素數(shù)n的值不斷擴(kuò)大：1954年nv2521、1955年nv4001、，法國數(shù)學(xué)家勒貝格提交了一個證明，但因有漏洞被否決。世界著名數(shù)學(xué)家 高斯、柯西、阿貝爾等等都付出了極大的努力研究費(fèi)馬猜想，但沒有結(jié)果。19世紀(jì)和20世紀(jì)初最具影響力的德國數(shù)學(xué)家希爾伯特也研究過，但沒有進(jìn)展。他說：“費(fèi)馬猜想是

7、一只會下金蛋的雞”，因為費(fèi)馬猜想地研究促進(jìn)了數(shù)學(xué)發(fā)展。1955年，日本數(shù)學(xué)家谷山豐猜測及韋依和志村五郎進(jìn)一步精確化而形成了所謂 “谷山-志村猜想”，這個猜想使費(fèi)馬猜想的證明又向前邁進(jìn)了一步。1976年，德國數(shù)學(xué)家瓦格斯塔夫用大型計算機(jī)證明了nv 125000,更加推進(jìn)了證明速度。1983年，德國數(shù)學(xué)家法爾廷斯證明了一條重要猜想一一“莫代爾猜想”，即x2 +y2 = 1這樣的方程至多有有限個有理數(shù)解。由于這一貢獻(xiàn)，他獲得了被 譽(yù)為數(shù)學(xué)諾貝爾獎的菲爾茲獎。1985年，美國數(shù)學(xué)家羅瑟用大型計算機(jī)證明了 n v 41000000。1985年，德國數(shù)學(xué)家弗雷指出了 “谷山-志村猜想”與費(fèi)馬猜想之間的關(guān)

8、系；他提出了一個“假定費(fèi)馬猜想不成立”的命題，這一命題與“谷山-志村 猜想”矛盾，如果同時證明了這兩個命題，就證明了費(fèi)馬猜想。1986年，美國數(shù)學(xué)家里貝特證明了弗雷“假定費(fèi)馬猜想不成立”的命題。于 是為要證明費(fèi)馬猜想只需證明“谷山-志村猜想”成立，由此否定“假定費(fèi)馬猜想 不成立”的命題，從而證明費(fèi)馬猜想成立。1993年6月，英國數(shù)學(xué)家懷爾斯于一次學(xué)術(shù)講演后宣告：他證明了費(fèi)馬猜 想，紐約時報在頭版以終于歡呼“我發(fā)現(xiàn)了 ！”，久遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)之謎獲解 為題報道了費(fèi)馬猜想被證明的消息。一夜之間，懷爾斯成為了二十世紀(jì)世界上 最偉大的數(shù)學(xué)家，甚至是唯一的一個數(shù)學(xué)家，榮耀得無人能及。人物雜志將懷爾斯與戴安娜王妃

9、一起列為“本年度25位最具魅力者”，許多大學(xué)都舉行狂歡和游行，在芝加哥甚至出動了警察上街維持秩序的局面。但經(jīng)6個數(shù)學(xué)教授對他的證明審察發(fā)現(xiàn)有漏洞。懷爾斯又經(jīng)過一年多的拼搏，于1994年9月完成了證明。1995年一本數(shù)學(xué)年刊篇幅長達(dá) 130頁刊登了他的論文，著名數(shù)學(xué) 家評價說這是人類智力活動的一曲凱歌。他獲得了九項國際數(shù)學(xué)大獎：1、菲爾茲數(shù)學(xué)獎（特別貢獻(xiàn)獎）；2、美國國家科學(xué)院數(shù)學(xué)獎（100萬美元）；3、沃爾夫獎；4、 瑞典科學(xué)院舍克獎；5、法國費(fèi)馬獎；6、美國數(shù)學(xué)會科爾獎；7、歐洲奧斯特洛夫斯 基獎；8、邵逸夫獎（100萬美元）；9、哥廷根皇家科學(xué)會100年期限的10萬馬克 懸賞（領(lǐng)獎時貶值到

10、5萬美元）。但是，懷爾斯的論文深奧難懂，僅僅使幾個數(shù)學(xué) 家能夠看明白，當(dāng)然不是費(fèi)馬猜想的美妙證法。據(jù)資料介紹：一位法國著名的哲學(xué)家說，費(fèi)馬大定理是人類思維的極限，是人 類的思維能力不能解決的。有人嘆言：費(fèi)馬寫的那個非常美妙的證法是怎樣的，將 成為所遺下的一個迷！甚至一些數(shù)學(xué)家懷疑：費(fèi)馬當(dāng)年根本就沒有美妙的證法，即 使可能有個“證法”也一定是錯誤的，他憑直覺做出的猜想當(dāng)然結(jié)論是正確的。但 也有一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為，費(fèi)馬可能真的得出了一個“非常美妙的證法”，必定是以17世紀(jì)的人們所掌握的數(shù)學(xué)技巧為基礎(chǔ)的，也就是初等數(shù)學(xué)方法的證明。美國數(shù)學(xué)家 阿米爾艾克賽爾所著費(fèi)馬大定理解開一個古代數(shù)學(xué)難題的秘密中在闡述

11、懷爾斯證明難度之后說：不能因為（懷爾斯）這一證明復(fù)雜與先進(jìn)，就表示不可能 有一個簡單的證明。所以這些數(shù)學(xué)家們相信，只要能夠找到費(fèi)馬原來的證明，那么 仍然可以獲得聲名與榮譽(yù)。在幾百年研究費(fèi)馬猜想的過程中，數(shù)學(xué)家的有關(guān)工作豐富了數(shù)論的內(nèi)容，不少 新的數(shù)學(xué)分支和新的工具被發(fā)明和推廣 （如代數(shù)數(shù)論等），為數(shù)學(xué)增加不少活力?，F(xiàn) 在，仍然有大量的數(shù)學(xué)愛好者在為費(fèi)馬猜想美妙的證法而百折不撓地艱辛探索，實(shí) 現(xiàn)費(fèi)馬猜想的美妙證法才是真正奏響人類偉大智慧完美的凱歌。三、筆者研究費(fèi)馬猜想的經(jīng)過王德忱：職業(yè)會計師，業(yè)余時間自學(xué)、研究數(shù)學(xué)一些問題。1980年前后經(jīng)常為社會青年、高考青年、高初中學(xué)生等做數(shù)學(xué)輔導(dǎo)。在講課過

12、程中有學(xué)員提出勾股定 理正整數(shù)解公式是怎樣得到的？經(jīng)查資料，被譽(yù)為“代數(shù)學(xué)鼻祖”的古希臘數(shù)學(xué)家 丟番圖發(fā)現(xiàn)了 x2 + y2 = z2勾股數(shù)組解的公式是x = 2ab、y = a2 b2、z = a2 + b2，然而 究竟是如何得到這組代數(shù)式子的，人們無從知曉。也就是說這個求解勾股弦數(shù)公式是怎么得到的千百年來還是一個謎。為講明這一問題筆者經(jīng)認(rèn)真探索發(fā)現(xiàn):z x z x（v-+ v=1由此設(shè)互為倒數(shù)分?jǐn)?shù)能夠解出勾股弦數(shù)公式。于是聯(lián)想到費(fèi)馬猜想，如果用這種方 法n>2時將其轉(zhuǎn)化為一元方程形式，可能或者一定能由某些規(guī)律發(fā)現(xiàn)費(fèi)馬猜想的“美妙證明”。從此開始了探索費(fèi)馬猜想艱難而漫長的里程。1987

13、年證明完成了一稿。在向各大學(xué)院校和數(shù)學(xué)刊物寄發(fā)100余封稿件中得到了東北數(shù)學(xué)編輯部總編的重視，已通知補(bǔ)寫了英文摘要，結(jié)果最后沒能成功。 總編復(fù)信寫道：象這類稿件我們是不會給審閱的，但一看你的證明方法獨(dú)特，我們 才組織了專家鑒定。1999年11月費(fèi)馬猜想研究又成一稿。這時查詢有關(guān)信息才知 道費(fèi)馬猜想已被英國數(shù)學(xué)家懷爾斯用高等數(shù)學(xué)證明了。但是，懷爾斯的證明絕不是 費(fèi)馬的美妙證法。所以，費(fèi)馬猜想“美妙證明”必須繼續(xù)向前推進(jìn)！2005年8月關(guān)于xn + yn = zn問題的初等數(shù)學(xué)證明于中國數(shù)學(xué)在線 數(shù)學(xué) 愛好者論壇網(wǎng)站刊出，隨即發(fā)布懸賞 10,000元人民幣 否定一個數(shù)學(xué)證題的 文告，三年包括多家網(wǎng)站轉(zhuǎn)帖網(wǎng)友（也有講師、教授等數(shù)學(xué)專業(yè)工作者）總計點(diǎn)擊 數(shù)20,000余次，有意義的學(xué)術(shù)回帖400多條，經(jīng)過復(fù)雜激烈地深入研討沒有能否定 這一證明者，同時在爭論中發(fā)現(xiàn)不完善之處又不斷地進(jìn)行了無數(shù)次修改。2008年12月30日最后定稿再次通過各數(shù)學(xué)及有關(guān)網(wǎng)站發(fā)文，懸賞10,000元人民幣否定費(fèi)馬猜想“美妙證明”。2010年懸賞增至20,000元人民幣，且鄭重向全世界宣告：費(fèi) 馬猜想“美妙證明”存在！為論述更確