《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》答案

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一章 緒論1- 1 研究誤差的意義是什么簡(jiǎn)述誤差理論的主要內(nèi)容。答： 研究誤差的意義為：(1) 正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因，以消除或減小誤差；(2) 正確處理測(cè)量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果，以便在一定條件下得到更接近于真 值的數(shù)據(jù)；(3) 正確組織實(shí)驗(yàn)過(guò)程，合理設(shè)計(jì)儀器或選用儀器和測(cè)量方法，以便在最經(jīng)濟(jì)條件下， 得到理想的結(jié)果。誤差理論的主要內(nèi)容：誤差定義、誤差來(lái)源及誤差分類等。1- 2 試述測(cè)量誤差的定義及分類，不同種類誤差的特點(diǎn)是什么 答：測(cè)量誤差就是測(cè)的值與被測(cè)量的真值之間的差；按照誤差的特點(diǎn)和性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤 差、隨機(jī)誤差、粗大誤差。系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是

2、在所處測(cè)量條件下， 誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持恒定， 或遵循一定的規(guī) 律變化(大小和符號(hào)都按一定規(guī)律變化) ；隨機(jī)誤差的特點(diǎn)是在所處測(cè)量條件下，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化； 粗大誤差的特點(diǎn)是可取性。1- 3 試述誤差的絕對(duì)值和絕對(duì)誤差有何異同，并舉例說(shuō)明。答：(1) 誤差的絕對(duì)值都是正數(shù)， 只是說(shuō)實(shí)際尺寸和標(biāo)準(zhǔn)尺寸差別的大小數(shù)量， 不反映是 “大了” 還是“小 了”，只是差別量；+多少表明大了多少， - 多少絕對(duì)誤差即可能是正值也可能是負(fù)值，指的是實(shí)際尺寸和標(biāo)準(zhǔn)尺寸的差值。 表示小了多少。(2) 就測(cè)量而言 , 前者是指系統(tǒng)的誤差未定但標(biāo)準(zhǔn)值確定的，后者是指系統(tǒng)本身標(biāo)準(zhǔn)值未定15 測(cè)得某

3、三角塊的三個(gè)角度之和為 180o00'02”, 試求測(cè)量的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差 解： 絕對(duì)誤差等于：180o0002 180o 2相對(duì)誤差等于： 2 2 21- 6 在萬(wàn)能測(cè)長(zhǎng)2儀o上，測(cè)量2某一被測(cè)件的2長(zhǎng)度為0.0 05000m03m，08已64知1 其0最.00大0絕03對(duì)1%誤差為 1 m，試 1問(wèn)-6該被在測(cè)萬(wàn)件能的測(cè)真1長(zhǎng)實(shí)8儀0長(zhǎng)o上度，1為8測(cè)0多量少6某0一6被0 測(cè)件64的80長(zhǎng)00度為0.0 05000m03m，08已64知1 其0最.00大0絕03對(duì)1%誤差為 1m，試解： 絕對(duì)誤差測(cè)得值真值，即： LLL0 已知： L50，L1m0.001mm， 測(cè)件的真實(shí)長(zhǎng)度

4、 0L L500.001 49.999 (mm)1- 7 用二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量某壓力得 100.2Pa ，該壓力用更準(zhǔn)確的辦法測(cè)得為 100.5Pa， 問(wèn)二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量值的誤差為多少 解：在實(shí)際檢定中，常把高一等級(jí)精度的儀器所測(cè)得的量值當(dāng)作實(shí)際值故二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量值的誤差測(cè)得值實(shí)際值，即：100.2 100.5 0.3 ( Pa)1- 8 在測(cè)量某一長(zhǎng)度時(shí)，讀數(shù)值為 2.31m，其最大絕對(duì)誤差為 20 m ，試求其最大相對(duì)誤差1- 9 、解：22T2由g 4 2(h12 h2)，得對(duì) g 4 (h12 h2) 進(jìn)行全微分，令 h h1 h2 從而 g h 2 T 的最大相對(duì)誤

5、差為：g h T0.00005 0.0005= 21.04230 2.0480=5.3625 10 4%并令 g ， h ， T 代替 dg ， dh ， dT 得2由g 4 (Th12 h2) ，所以由g maxhmaxg), ABS T ( hmin gmax )2 Tmax ，有 Tmax max ABS T h T 21-10 檢定 2.5 級(jí)（即引用誤差為 2.5%）的全量程為 100V 的電壓表，發(fā)現(xiàn) 50V刻度點(diǎn)的示值 誤差 2V 為最大誤差，問(wèn)該電壓表是否合格該電壓表合格1-11 為什么在使用微安表等各種表時(shí)，總希望指針在全量程的 2/3 范圍內(nèi)使用 xmax xm s%即 :

6、所以A當(dāng)0真值一A0定的情況下，xmaxx m答：當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，測(cè)量的最大相對(duì)誤差max xAm s%所選用的A0儀表的量程越小，相對(duì)誤差越小，測(cè)量越準(zhǔn)確。因此我 們選擇的量程應(yīng)靠近真值，所以在測(cè)量時(shí)應(yīng)盡量使指針靠近滿度范圍的三分之二以上1-12 用兩種方法分別測(cè)量 L1=50mm，L2=80mm。測(cè)得值各為 50.004mm， 80.006mm。試評(píng)定兩 種方法測(cè)量精度的高低。相對(duì)誤差L1:50mm50.004 50I1100% 0.008%1 50L2:80mmI 2 80.006 80 100% 0.0075%2 80I 1 I2所以 L2=80mm方法測(cè)量精度高。113 多級(jí)彈導(dǎo)火

7、箭的射程為 10000km時(shí)，其射擊偏離預(yù)定點(diǎn)不超過(guò) 0.lkm ，優(yōu)秀射手能在 距離 50m遠(yuǎn)處準(zhǔn)確地射中直徑為 2cm的靶心，試評(píng)述哪一個(gè)射擊精度高 ?解：多級(jí)火箭的相對(duì)誤差為：0.1射手的相對(duì)誤差為：1cm 0.10.01m0.00001 0.001%多級(jí)火箭的射擊精度1高cm。1000.001m 0.0002 0.02%50m 50m1-14 若用兩種測(cè)量方法測(cè)量某零件的長(zhǎng)度 L1=110mm，其測(cè)量誤差分別為 11 m 和 9 m ；而用第三種測(cè)量方法測(cè)量另一零件的長(zhǎng)度 L2=150mm。其測(cè)量誤差為 12 m ，試比較三種測(cè) 量方法精度的高低。相對(duì)誤差I(lǐng) 3 I2 I1 第三種方法

8、的測(cè)量精度最高第二章 誤差的基本性質(zhì)與處理2- 1 試述標(biāo)準(zhǔn)差 、平均誤差和或然誤差的幾何意義。 答：從幾何學(xué)的角度出發(fā)，標(biāo)準(zhǔn)差可以理解為一個(gè)從 N 維空間的一個(gè)點(diǎn)到一條直線的距離 的函數(shù)；從幾何學(xué)的角度出發(fā)，平均誤差可以理解為 N 條線段的平均長(zhǎng)度；2- 2 試述單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 ，兩者物理意義及實(shí)際用途有何不同。2- 3 試分析求服從正態(tài)分布、反正弦分布、均勻分布誤差落在中的概率2- 4 測(cè)量某物體重量共 8次，測(cè)的數(shù)據(jù) （單位為 g）為 236.45 ， 236.37， 236.51 ，236.34 ，236.39 ， 236.48 ， 236.47 ，236.40

9、 ，是求算術(shù)平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差。2- 5 用別捷爾斯法、極差法和最大誤差法計(jì)算 2-4 ，并比較2- 6 測(cè)量某電路電流共 5 次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為 mA）為 168.41 ，168.54 ，168.59 ，168.40 ， 168.50 。試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和平均誤差?；蛉徽`差：R 0.6745 x 0.6745 0.037 0.025(mA)平均誤差：T 0.7979 x 0.7979 0.037 0.030( mA)2- 7 在立式測(cè)長(zhǎng)儀上測(cè)量某校對(duì)量具，重量測(cè)量 5 次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為 mm）為 20.0015 ，20.0016 ，20.0018 ，20.0015 ，2

10、0.0011 。若測(cè)量值服從正態(tài)分布，試以 99%的置信概率確定20.0015 20.0016 20.0018 20.0015 20.0011測(cè)量結(jié)果。 x5正態(tài)分布 p=99% 時(shí)， t 2.58測(cè)量結(jié)果： X x lim x （20.0015 0.0003）mm 27 在立式測(cè)長(zhǎng)儀上測(cè)量某校對(duì)量具，重復(fù)測(cè)量 5 次，測(cè)得數(shù)據(jù) （單位為 mm為） 200015，20.0016 ，20.0018 ，20.0015，20.0011。若測(cè)量值服從正態(tài)分布，試以 99的置信概率確 定測(cè)量結(jié)果。解：求算術(shù)平均值求單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 確定測(cè)量的極限誤差nnlix i 1 vi220.

11、0015mm 8 ni 1vi26 10 8in1 142.55 10 4 mm因 n 5 較小，算術(shù)平均值的極限誤差應(yīng)按 t 分布處理現(xiàn)自由度為： n14； 10.990.01 ， 查 t 分布表有： ta 4.60寫出最后測(cè)量結(jié)果極限誤差為L(zhǎng) x lim x 20.0015 5.24 10 4 mm0.004mm，若要求測(cè)2-9 用某儀器測(cè)量工件尺寸，在排除系統(tǒng)誤差的條件下，其標(biāo)準(zhǔn)差 量結(jié)果的置信限為 0.005mm，當(dāng)置信概率為 99%時(shí)，試求必要的測(cè)量次數(shù)正態(tài)分布 p=99% 時(shí)， t 2.58210 用某儀器測(cè)量工件尺寸，已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差 0.001mm，若要求測(cè)量的允許極限 誤差

12、為± 0.0015mm，而置信概率 P 為 0.95 時(shí)，應(yīng)測(cè)量多少次解：根據(jù)極限誤差的意義，有根據(jù)題目給定得已知條件，有查教材附錄表 3 有若 n5，v4， 0.05 ，有 t 2.78 ，若 n4，v3， 0.05 ，有 t 3.18 ，即要達(dá)題意要求，必須至少測(cè)量 5 次。2-12 某時(shí)某地由氣壓表得到的讀數(shù)(單位為 Pa)為 102523.85，102391.30 ，102257.97， 102124.65，101991.33 ，101858.01，101724.69，101591.36，其權(quán)各為 1，3，5，7，8，6， 4，2，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。2-13 測(cè)量

13、某角度共兩次，測(cè)得值為 1 24 1336 ， 2 24 13'24'' ，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為1 3.1 , 2 13.8 ，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。2-14 甲、乙兩測(cè)量者用正弦尺對(duì)一錐體的錐角 各重復(fù)測(cè)量 5 次，測(cè)得值如下： 試求其測(cè)量結(jié)果。乙： x乙 72' 25" 25" 20" 50" 45" 7 2'33"5甲：x甲 7 2'20" 60" 35" 20" 15"57 2'30"2-15 試證明 n 個(gè)相

14、等精度測(cè)得值的平均值的權(quán)為 n 乘以任一個(gè)測(cè)量值的權(quán)。 證明：解：因?yàn)?n 個(gè)測(cè)量值屬于等精度測(cè)量，因此具有相同的標(biāo)準(zhǔn)偏差：n 個(gè)測(cè)量值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：已知權(quán)與方差成反比，設(shè)單次測(cè)量的權(quán)為x P1，n算術(shù)平均值的權(quán)為 P2，則 2-16 重力加速度的 20次測(cè)量具有平均值為 9.811m / s2 、標(biāo)準(zhǔn)差為 0.014m / s2 。另外 30 次測(cè) 量具有平均值為 9.802m / s2 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 0.022m/s2。假設(shè)這兩組測(cè)量屬于同一正態(tài)總體。試 求此 50 次測(cè)量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。2-17 對(duì)某量進(jìn)行 10 次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為 14.7 ，15.0 ，15.2 ，14.8

15、 ，15.5 ，14.6 ，14.9 ，14.8 ，15.1 ，15.0 ，試判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差。 x 14.96 按貝塞爾公式 1 0.263310vi按別捷爾斯法 2 1.253 i 1 0.26422 10(10 1)由 2 1 u1得 u 2 1 0.003412u 2 0.67 所以測(cè)量列中無(wú)系差存在。 n12-18 對(duì)一線圈電感測(cè)量 10次，前 4次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后 6次是和另一個(gè)標(biāo) 準(zhǔn)線圈比較得到的，測(cè)得結(jié)果如下(單位為 mH)：50.82 ， 50.83 ，50.87 ，50.89 ；50.78 ， 50.78 ，50.75 ，50.85 ， 50.8

16、2 ，50.81 。 試判斷前 4 次與后 6 次測(cè)量中是否存在系統(tǒng)誤差。使用秩和檢驗(yàn)法：排序：序號(hào)12345第一組第二組50.50.50.50.50.7578788182序號(hào)678910第一組50.50.50.50.82838789第二組50.85T=5.5+7+9+10=31.5 查表 T 14 T 30T T 所以兩組間存在系差2-19 對(duì)某量進(jìn)行 10 次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為 14.7 ，15.0 ，15.2 ，14.8 ，15.5 ，14.6 ，14.9 ，14.8 ，15.1 ，15.0 ，試判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差。 x 14.96按貝塞爾公式 1 0.263310 vi 按別

17、捷爾斯法 2 1.253 i 1 0.26422 10(10 1)由 u 2 0.67 所以測(cè)量列中無(wú)系差存在。n12-20 對(duì)某量進(jìn)行 12 次測(cè)量，測(cè)的數(shù)據(jù)為 20.06 ，20.07 ，20.06 ， 20.08 ，20.10 ， 20.12 ， 20.11 ，20.14 ，20.18 ，20.18 ，20.21 ，20.19，試用兩種方法判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng) 誤差。解：(1) 殘余誤差校核法 1 u 得 u 2 1 0.003411因?yàn)? 0.065 0.055 0.065 0.045 0.025 0.005) ( 0.015 0.015 0.055 0.055 0.085 0.

18、065) 0.54顯著不為 0，存在系統(tǒng)誤差。(2)殘余誤差觀察法 殘余誤差符號(hào)由負(fù)變正，數(shù)值由大到小，在變大，因此繪制殘余誤差曲線，可見(jiàn)存在線形系 統(tǒng)誤差。3)所以不存在系統(tǒng)誤差2-22第三章 誤差的合成與分配3- 1 相對(duì)測(cè)量時(shí)需用 54.255mm的量塊組做標(biāo)準(zhǔn)件，量塊組由四塊量塊研合而成，它們的基本尺寸為 l1 40mm， l2 12mm，l3 1.25mm， l4 1.005mm。經(jīng)測(cè)量，它們的尺寸偏差及 其測(cè)量極限誤差分別為 l1 0.7 m, l2 0.5 m, l3 0.3 m,l4 0.1 m, liml1 0.35 m, liml2 0.25 m, liml3 0.20 m

19、, liml4 0.20 m 。試求量塊 組按基本尺寸使用時(shí)的修正值及給相對(duì)測(cè)量帶來(lái)的測(cè)量誤差。修正值 = ( l1 l2l3 l4)= ( 0.7 0.5 0.3 0.1)=0.4 ( m)測(cè)量誤差:l = lim l1lim l2lim l3lim l 4=(0.35) 2 (0.25) 2 (0.20)2 (0.20)2 = 0.51( m)3- 2 為求長(zhǎng)方體體積 V ，直接測(cè)量其各邊長(zhǎng)為 a 161.6mm，b 44.5mm, c 11.2mm已知測(cè)量的系統(tǒng)誤 差為 a 1.2mm， b 0.8mm ， c 0.5mm，測(cè)量的極限誤差為a0.8mm ，b 0.5mm ， c 0.5m

20、m， 試求立方體的體積及其體積的極限誤差體積 V 系統(tǒng)誤差 V 為：立方體體積實(shí)際大小為： V V0 V 77795.70(mm3)測(cè)量體積最后結(jié)果表示為 :3 3 長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)分別為 1，2, 3 測(cè)量時(shí)：標(biāo)準(zhǔn)差均為 ；標(biāo)準(zhǔn)差各為 1、2、 3 。試求體積的標(biāo)準(zhǔn)差。解：長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式為： V a1 a2 a3體積的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為：( aV ) 2 22 a2( aV3 )現(xiàn)可求出：VVVa2 a3 ；a1 a3 ；a1 a2a1a2a3若： 1V 2 2( aV1)2 12有( aV )2 22 ( aV )2 32 a2a3(a2a3)2 (a1a3)2 (a1a2 )2若： 1 2 3

21、則有： V (a2a3 )2 12 (a1a3)2 22 (a1a2 )2 323- 4 測(cè)量某電路的電流 I 22.5mA ，電壓 U 12.6V ，測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差分別為 I 0.5mA，U 0.1V ，求所耗功率 P UI 及其標(biāo)準(zhǔn)差 P 。 P UI 12.6 22.5 283.5(mw)P f(U,I) U、I 成線性關(guān)系UI 13- 9 測(cè)量某電路電阻 R兩端的電壓 U，按式 I= U/R計(jì)算出電路電流，若需保證電流的誤差 為 0.04A，試求電阻 R和電壓 U 的測(cè)量誤差為多少解 ：在 I=U/R 式中，電流 I 與電壓 U 是線性關(guān)系，若需要保證電流誤差不大于 0.04A，則要保證

22、電壓的誤差也不大于 0.04×R。3 12 按公式 V=r2h 求圓柱體體積，若已知 r 約為 2cm，h 約為 20cm，要使體積的相對(duì) 誤差等于 1，試問(wèn) r 和 h 測(cè)量時(shí)誤差應(yīng)為多少 ?解：若不考慮測(cè)量誤差，圓柱體積為 根據(jù)題意，體積測(cè)量的相對(duì)誤差為 1，即測(cè)定體積的相對(duì)誤差為： 即 V 1% 251.2 1% 2.51現(xiàn)按等作用原則分配誤差，可以求出測(cè)定 r 的誤差應(yīng)為：測(cè)定 h 的誤差應(yīng)為：3- 14 對(duì)某一質(zhì)量進(jìn)行 4 次重復(fù)測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù) ( 單位 g)為 428.6 ， 429.2 ，426.5 ， 430.8 。示。若各誤差均服從正態(tài)分布，試求該質(zhì)量的最可信賴值及

23、其極限誤差最可序號(hào)極限誤差 g誤差傳遞系數(shù)信賴值隨機(jī)誤差未定系統(tǒng)誤差12.1121.5131.0140.5154.5162.21.471.02.281.81x x 428.8 2.6 431.4(g)測(cè)量結(jié)果表示為 : x x x (431.4 4.9)g第四章 測(cè)量不確定度4 1 某圓球的半徑為 r，若重復(fù) 10 次測(cè)量得 r ±r =（3.132 ±0.005）cm，試求該圓球最 大截面的圓周和面積及圓球體積的測(cè)量不確定度，置信概率P=99。解：求圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為： D 2 ru其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：2 2 r24 3.1415

24、9 2 0.005 2 0.0314cm 確定包含因子。查 t 分布表 t 0.01（9） 3.25 ，及 K3.25 故圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度為：UKu 3.25 × 0.0314 0.102 求圓球的體積的測(cè)量不確定度 圓球體積為： V 4 r33 其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：u Vr24 r 2 2 r2 16 3.14159 2 3.132 4 0.0052 0.616r確定包含因子。查 t 分布表 t 0.01（9） 3.25 ，及 K3.25 最后確定的圓球的體積的測(cè)量不確定度為UKu3.25 ×0.616 2.0024- 2 望遠(yuǎn)鏡的放大率 D=f1/f2

25、 ，已測(cè)得物鏡主焦距 f1 ±1=(19.8±0.10 )cm，目鏡的主 焦距 f2 ±2=(0.800±0.005)cm，求放大率測(cè)量中由 f1 、f2 引起的不確定度分量和放大 率 D 的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。4- 3 測(cè)量某電路電阻 R兩端的電壓 U，由公式 I=U/R 計(jì)算出電路電流 I，若測(cè)得 U±u=(16.50 ±0.05)V，R±R=(4.26±0.02)、相關(guān)系數(shù)UR=-0.36,試求電流 I 的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。4- 4某校準(zhǔn)證書說(shuō)明，標(biāo)稱值 10 的標(biāo)準(zhǔn)電阻器的電阻 R在 20 C 時(shí)為10.000742

26、 129(P=99%)，求該電阻器的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，并說(shuō)明屬于哪一類評(píng)定的不確定度。 由校準(zhǔn)證書說(shuō)明給定屬于 B 類評(píng)定的不確定度R在10.000742 -129 ，10.000742 +129 范圍內(nèi)概率為 99%，不為 100% 不屬于均勻分布，屬于正態(tài)分布a 129當(dāng) p=99%時(shí)， K p 2.584- 5 在光學(xué)計(jì)上用 52.5mm的量塊組作為標(biāo)準(zhǔn)件測(cè)量圓柱體直徑，量塊組由三塊量塊研合而 成，其尺寸分別是： l1 40mm， l2 10mm，l3 2.5mm ，量塊按“級(jí)”使用，經(jīng)查手冊(cè) 得其研合誤差分別不超過(guò) 0.45 m 、 0.30 m 、 0.25 m(取置信概率 P=99.7

27、3%的正態(tài)分 布 )， 求 該 量 塊 組 引 起 的 測(cè) 量 不 確 定 度 。 L 52.5mm l1 40mml2 10mm l3 2.5mm第五章線性參數(shù)的最小二乘法處理3x y 2.95-1 測(cè)量方程為 x 2y 0.9 試求2x 3y 1.9x 、y 的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。誤差方程為v1 2.9 (3x y) v2 0.9 (x 2y) v3 1.9 (2x 3y)列正規(guī)方程nai1ai1xai1ai2yai1liin1i 1 i 1 代入數(shù)據(jù)得nai2ai1xi1i 1 i 1 nn ai2ai2 yai2lii 1 i 114x 5y 13.4 解得5x 14y 4.6x 0.962 y 0.015v1 2.9 (3 0.962 0.015) 0.001將 x、y 代入誤差方程式 v2 0.9 (0.962 2 0.015) 0.032v3 1.9 (2 0.962 3 0.015) 0.021求解不定乘數(shù)d11d21測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為d1214d11 5d12 15d11 14d12 0d2214d 21 5d 22 05d 21