北京數(shù)學(xué)高考大題匯編(含答案)

1、第一部分第一部分三角函數(shù)三角函數(shù)1. 1.( 2013( 2013 北京高考理科北京高考理科) )在abc 中，a=3，b=26，b=2a.(i)求 cosa 的值；(ii)求 c 的值.解：(1)因為 a3，b26，b2a，326所以在abc 中，由正弦定理得.sin asin 2a2sin acos a26所以.sin a3故 cos a6.363，所以 sin a 1cos2a.33(2)由(1)知 cos a1又因為b2a，所以 cos b2cos2a1 .322所以 sin b 1cos2b.353在abc 中，sin csin(ab)sin acosbcos asin b.9a s

2、in c所以 c5.sin a2 2( 2014( 2014 北京高考理科北京高考理科) )如圖，在abc中，b 3, ab 8，點d在bc邊17上，且cd 2,cosadc （1）求sinbad（2）求bd, ac的長解： （i）在adc中，因為cosadc sinadc 4 3。71，所以7所以sin bad sin(adc b) sinadccosbcosadcsin b。（）在abd中，由正弦定理得3 3absinbad14 3，bd sinadb4 378在abc中，由余弦定理得ac2 ab2 bc22abbc cos b82522851 492所以ac 73.3. ( 2015 (

3、 2015 北京高考理科北京高考理科) )xxx已知函數(shù)f (x) 2sincos2sin2222() 求f (x)的最小正周期；() 求f (x)在區(qū)間 ，0上的最小值試題解析：()f(x) 2 sinx2cosx22 sin2x22 1sinx22 1 cosx22222sinxcosx sin(x)222422 2；1(1)f(x)的最小正周期為t(2)x 0, 33x，當(dāng)x ,x 時，f(x)取得最小444424值為：1 224 4( 2016( 2016 海淀期中海淀期中) )已知函數(shù)f (x) 3sin(2x3)cos(2x3).（）求f (6)的值；（）求函數(shù)f (x)的最小正周

4、期和單調(diào)遞增區(qū)間.解：（）因為f (x) 3sin(2x)cos(2x33),所以f () 3sin(2 663)cos(263),3sin(23)cos(23) 32121.-（）因為f (x) 3sin(2x3)cos(2x3),所以f ( x) 2 32s i nx(2132)cx os (32) 2 c o6ss ix n (23)6s i nxco3s ( 2) 2sin(2x3)6 2sin(2x2) 2cos 2x,所以周期t 2|=22 .令2k 2x 2k，解得k2 x k，k z z，所 以f (x)的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 為(k2,k),k z z.c法 二 ：f (

5、x )3 s ix n (32 ) xc o3s,( 2)所以f (x) 3(sin2xcos3cos2 xsin3) (cos2 xcos3sin2 xsin3)-7分為因1313cos2x)( cos2x sin2x)3(sin2x 2222 2cos 2x-9分所以周期 .t 22= -11分|2令2k 2x 2k，-12分 x k，k z z,2所以f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k,k),k z z.-13分2解得k5 5( 2016( 2016 海淀期中海淀期中) )如圖，在四邊形abcd中，ab 8,bc 3,cd 5,a（）求bd的長；（）求證：abc adc .解：a1,cosa

6、db .37dcb（）因為f (x) 3sin(2x)cos(2x),33所以f ( ) 3sin(2 6)cos(2),63633sin(2231)cos() 1.-4分3322（）因為f (x) 3sin(2x)cos(2x),333所以f ( x) 2 2 2 c o s1s i nx(2 )32cx o s ( 2) 3-6分6s ix n ( 2 336)s i nxc o s ( 2) 63-7分 2sin(2x) 2sin(2x) 2cos 2x,-9分所以周期t 222= .-11分|2令2k 2x 2k，-12分解得k x k，k z z，2所以f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k

7、,k),k z z.-13分23所以f (x) 3(sin2xcoscos2 xsin ) (cos2 xcossin2 xsin )-7分3333法二：因為f (x) 3sin(2x ) cos(2x ),31313cos2x)( cos2x sin2x)3(sin2x 2222 2cos 2x-9分所以周期 .t 22= -11分|2令2k 2x 2k，-12分 x k，k z z,2所以f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k,k),k z z.-13分2解得k6. ( 20166. ( 2016 海淀期末海淀期末) )已知函數(shù)f (x) 2 2cosxsin(x)1.（）求函數(shù)f (x)的最小正

8、周期；4， 上的最大值與最小值的和.126解： （）因為f (x) 2 2cosxsin(x)14（）求函數(shù)f (x)在區(qū)間 2 2cosx2(sinx cosx)1.1 分2 2cos x(sinxcosx)1 2cosxsinx2cos2x1.5 分（兩個倍角公式，每個各2 分） sin2x cos2x2sin(2x).6 分4所以函數(shù)f (x)的最小正周期t 2 .7 分|， ，所以2x ， ，所以(2x)，.8 分1264121263當(dāng)2x 時，函數(shù)f (x)取得最小值2sin();.10 分12412當(dāng)2x時，函數(shù)f (x)取得最大值2sin,.12 分41212因為2sin()2s

9、in() 0,1212所以函數(shù)f (x)在區(qū)間， 上的最大值與最小值的和為0.13 分126（）因為x7. ( 20167. ( 2016 海淀一模海淀一模) )如圖，在abc中，點d在邊ab上,且ad1. 記acd ,bcd .db3cacsin（）求證:；bc3sin（）若，ab 19,求bc的長.62abd解： （）在acd中，由正弦定理,有在bcd中，由正弦定理,有acad2 分sinadcsinbcbd4 分sinbdcsin因為adc bdc ,所以sinadc sinbdc6 分因為ad1acsin, 所以7 分db3bc3sin（）因為，,62ac239 分由（）得sinbc3

10、sin26設(shè)ac 2k,bc 3k,k 0,由余弦定理,ab2 ac2 bc2 2ac bc cosacb代入,得到19 4k2 9k2 22k 3k cos23,解得k 1,所以bc 3.8. ( 20168. ( 2016 海淀二模海淀二模) )已知函數(shù)f (x) 2sin x cos2 x.（）比較f ()，f (46)的大??；（）求函數(shù)f (x)的最大值.解： （）因為f (x) 2sin x cos2 x所以f () 2sin4cos2 44 2f (36) 2sin6cos2 6 2因為 2 32,所以f (4) f (6)（）因為f (x) 2sin x (12sin2x) 2s

11、in2x 2sin x 1 2(sin x 132)22令t sin x,t1,1， 所以y 2(t 1)2322,因為對稱軸t 12,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)t 1時，函數(shù)取得最大值311 分13 分2 分4 分6 分9 分11 分13 分9 9 （20162016 西城期末）西城期末）已知函數(shù)f (x) cosx(sin x 3cosx) 32，x r r.（）求f (x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（）設(shè) 0，若函數(shù)g(x) f (x )為奇函數(shù)，求的最小值.解解：f (x) cosx(sin x 3cosx) 32 sin xcosx 32(2cos2x 1)12sin2x 32cos2

12、xsin(2x)，3所以函數(shù)f (x)的最小正周期t 22=.由2k22x32k+2，kz z，得k512xk+12，所以函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k512,k+12，kz z.（注：或者寫成單調(diào)遞增區(qū)間為(k 512,k+12)，kz z. ）（）解解：由題意，得g(x) f (x) sin(2x23)，因為函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，且x r r，所以g(0) 0，即sin(23) 0，所以23 k，kz z，解得k26，kz z，驗證知其符合題意.又因為 0，所以的最小值為3.1010 （20162016 西城一模）西城一模）4 分6 分7 分9 分11 分13 分在abc中，角 a，b，

13、c 所對的邊分別為 a，b，c. 設(shè)a，sin b 3sin c.3（）若a 7，求b的值；（）求tanc的值.（）解解：因為sin b 3sin c，由正弦定理asin absin bcsinc，得b 3c.由余弦定理a2b2c22bccosa及a 3，a 7，得7 b2c2bc，所以b2(b3)2b23 7，解得b 3.（）解解：由a 23，得b 3c.所以sin(23c) 3sin c.即312cosc 2sinc 3sin c，所以32cosc 52sinc，所以tanc 35.1111 （20162016 西城二模）西城二模）已知函數(shù)f (x) (1 3tanx)cos2x.（）若是

14、第二象限角，且sin63，求f ()的值；（）求函數(shù)f (x)的定義域和值域.（）解解：因為是第二象限角，且sin63，所以cos 1sin2 33.所以tansincos 2，所以f () (132)(32163) 3.（）解解：函數(shù)f (x)的定義域為x | xr r，且x k 2,k z z.3 分5 分7 分8 分11 分13 分2 分4 分6 分8 分化簡，得f (x) (1 3tanx)cos2xsin x2 (13)cos xcosx2 cos x3sin xcos x1cos2x3sin2x10 分221 sin(2x 6)2，12 分因為xr r，且x k 所以2x ，kz

15、z，27 2k ，66所以1sin(2x )1.61 3所以函數(shù)f (x)的值域為, .13 分2 2（注：或許有人會認(rèn)為“因為x k ，所以f (x) 0” ，其實不然，因為f () 0.）26第二部分第二部分 概率與統(tǒng)計概率與統(tǒng)計1. 1.( 2013( 2013 北京高考理科北京高考理科) )下圖是某市 3 月 1 日至 14 日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖， 空氣質(zhì)量指數(shù)小于 100 表示空氣質(zhì)量優(yōu)良， 空氣質(zhì)量指數(shù)大于 200 表示空氣重度污染，某人隨機選擇3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到達該市，并停留2天.（）求此人到達當(dāng)日空氣重度污染的概率;（）設(shè) x 是此人停留期間空氣質(zhì)

16、量優(yōu)良的天數(shù)，求x 的分布列與數(shù)學(xué)期望;（）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）解：設(shè) ai表示事件“此人于 3 月 i 日到達該市”(i1，2，13)1根據(jù)題意，p(ai)，且 aiaj (ij)13(1)設(shè) b 為事件“此人到達當(dāng)日空氣重度污染” ，則 ba5a8.2所以 p(b)p(a5a8)p(a5)p(a8).13(2)由題意可知，x 的所有可能取值為 0，1，2，且4p(x1)p(a3a6a7a11)p(a3)p(a6)p(a7)p(a11)，13p(x2)p(a1a2a12a13)p(a1)p(a2)p(a12)p(a13)4，135p(x0)1p

17、(x1)p(x2).13所以 x 的分布列為xp05131413241354412故 x 的期望 e(x)012.13131313(3)從 3 月 5 日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大2. 2.(2014(2014 北京高考理科）北京高考理科）李明在 10 場籃球比賽中的投籃情況如下（假設(shè)各場比賽互相獨立） ：（1）從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率.（2）從上述比賽中選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率.（3）記x是表中 10 個命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機選擇一場，記x為李明在這比賽中的命中次數(shù)，比較

18、e(x)與x的大小（只需寫出結(jié)論）所以在隨機選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過 0.6 的概率是 05.（）設(shè)事件 a 為“在隨機選擇的一場主場比賽中李明的投籃命中率超過 0.6” ，事件 b 為“在隨機選擇的一場客場比賽中李明的投籃命中率超過 0.6” ，事件 c 為“在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過 0.6，一場不超過 0.6” 。則 c=abab，a,b 獨立。32根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，p(a) ,p(b) .55p(c) p(ab) p(ab)332255551325所以，在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過 0.6，一場13不超過 0.

19、6 的概率為.25（）ex x.3. 3.（20152015 北京高考理科）北京高考理科）a，b兩組各有 7 位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間（單位：天）記錄如下：a組：10，11，12，13，14，15，16b組：12，13，15，16，17，14，a假設(shè)所有病人的康復(fù)時間互相獨立，從a，b兩組隨機各選 1 人，a組選出的人記為甲，b組選出的人記為乙() 求甲的康復(fù)時間不少于14 天的概率；() 如果a 25，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；() 當(dāng)a為何值時，a，b兩組病人康復(fù)時間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）【答案】 （1）310， （2）， （3）a 11或187494. 4

20、. （20162016 海淀期末）海淀期末）已知某種動物服用某種藥物一次后當(dāng)天出現(xiàn)a 癥狀的概率為. 為了研究連續(xù)服用該藥物后出現(xiàn) a 癥狀的情況，做藥物試驗.試驗設(shè)計為每天用藥一次，連續(xù)用藥四天為一個用藥周期. 假設(shè)每次用藥后當(dāng)天是否出現(xiàn)a 癥狀的出現(xiàn)與上次用藥無關(guān).（）如果出現(xiàn) a 癥狀即停止試驗” ，求試驗至多持續(xù)一個用藥周期的概率；（）如果在一個用藥周期內(nèi)出現(xiàn) 3 次或 4 次 a 癥狀，則這個用藥周期結(jié)束后終止試驗，試驗至多持續(xù)兩個周期. 設(shè)藥物試驗持續(xù)的用藥周期數(shù)為，求的期望.解：（）設(shè)持續(xù)i天為事件ai,i 1,2,3,4，用藥持續(xù)最多一個周期為事件b， .1 分13121233

21、3365則p(b) p(a1） p(a2) p(a3) p(a4) .6 分81所以p(a1) ，p(a2) ，p(a3) ( )2，p(a4) ( )3，.5 分法二：設(shè)用藥持續(xù)最多一個周期為事件b，則b為用藥超過一個周期，.1 分131 23 316,.3 分81265所以p(b) 1( )4.6 分381所以p(b) ( )4（）隨機變量可以取1,2，.7 分231214118( ) ,p( 2) 1,.11 分3339991817所以e12.13 分9993所以p(1)c4( )35. 5. （20162016 海淀一模）海淀一模）2004 年世界衛(wèi)生組織、 聯(lián)合國兒童基金會等權(quán)威機構(gòu)

22、將青蒿素作為一線抗瘧藥品推廣.2015 年 12 月10 日，我國科學(xué)家屠呦呦教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法上的貢獻獲得諾貝爾醫(yī)學(xué)獎. 目前，國內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展迅速.某農(nóng)科所為了深入研究海拔因素對青蒿素產(chǎn)量的影響，在山上和山下的試驗田中分別種植了 100 株青蒿進行對比試驗. 現(xiàn)在從山上和山下的試驗田中各隨機選取了 4 株青蒿作為樣本, 每株提取的青蒿素產(chǎn)量（單位：克）如下表所示：編號位置5.03.63.84.43.64.43.63.6山 上山 下（）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計山下試驗田青蒿素的總產(chǎn)量；（）記山上與山下兩塊試驗田單株青蒿素產(chǎn)量的方差分別為s12，s22，根據(jù)樣本數(shù)據(jù), 試估計

23、s12與s22的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論） ；（）從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機選取1 株，記這 2 株的產(chǎn)量總和為， 求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解: (i)由山下試驗田 4 株青蒿樣本青蒿素產(chǎn)量數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù)x 3.64.44.43.6 42 分4則山下試驗田100株青蒿的青蒿素產(chǎn)量s估算為s 100 x 400g3 分（）比較山上、山下單株青蒿素青蒿素產(chǎn)量方差s1和s2，結(jié)果為s1 s2.6 分（）依題意，隨機變量可以取7.2， 7.4，8 8.2，8.6，9.4，7 分2222p( 7.2) 11,p( 7.4) 48p( 8) 11,p( 8.2) 4811,p( 9.4) 9 分

24、88p( 8.6) 隨機變量的分布列為8.28.69.47.27.48p11111148488811 分隨機變量的期望e() 7.21111117.4+8+8.2+8.6+9.4=8.48488813 分6. 6. （20162016 海淀二模）海淀二模）某家電專賣店試銷a、b、c三種新型空調(diào)，銷售情況如下表所示：第一周111015第二周10128第三周151312第四周第五周a型數(shù)量（臺）b型數(shù)量（臺）c型數(shù)量（臺）a4b4c4a5b5c5()求a型空調(diào)前三周的平均周銷售量 ；()根據(jù)c型空調(diào)連續(xù) 3 周銷售情況，預(yù)估c型空調(diào)連續(xù) 5 周的平均周銷量為 10 臺.請問：當(dāng)c型空調(diào)周銷售量的方

25、差最小時， 求c4，c5的值；2(注：方差s 1(x1 x)2(x2 x)2n(xn x)2，其中x為x1，x2，xn的平均數(shù))（）為跟蹤調(diào)查空調(diào)的使用情況，根據(jù)銷售記錄，從該家電專賣店第二周和第三周售出的空調(diào)中分別隨機抽取一臺，求抽取的兩臺空調(diào)中a型空調(diào)臺數(shù)x的分布列和數(shù)學(xué)期望.解: (i)a型空調(diào)前三周的平均銷售量x 11101512臺2 分5（）因為c型空調(diào)平均周銷售量為10臺，所以c4 c510515812 154 分又s 21(1510)2(810)2(1210)2(c410)2(c510)252化簡得到s 115912(c4)25 分5222因為c4n n，所以當(dāng)c4 7或c48時

26、，s取得最小值所以當(dāng)c4 7c4 82或時，s取得最小值7 分c5 8c5 7（）依題意，隨機變量x的可能取值為0,1,2，8 分p(x 0) 20 255,30 401210 2520 1511+=,30 4030 402410 151,11 分30 408p(x 1)p(x 2) 隨機變量x的分布列為隨機變量x的期望e(x) 07 7 （20162016 西城期末）西城期末）xp01251211241851111712.13 分1224824甲、乙兩人進行射擊比賽， 各射擊 4 局，每局射擊 10 次，射擊命中目標(biāo)得 1 分，未命中目標(biāo)得 0 分. 兩人 4 局的得分情況如下：甲乙6769

27、99yx（）若從甲的 4 局比賽中，隨機選取2 局，求這 2 局的得分恰好相等的概率；（）如果x y 7，從甲、乙兩人的4 局比賽中隨機各選取1 局，記這2 局的得分和為x，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）在 4 局比賽中，若甲、乙兩人的平均得分相同，且乙的發(fā)揮更穩(wěn)定，寫出x的所有可能取值.（結(jié)論不要求證明）（）解解：記 “從甲的 4 局比賽中，隨機選取 2 局，且這 2 局的得分恰好相等”為事件a，1 分由題意，得p(a) 21，c2341所以從甲的 4 局比賽中，隨機選取2 局，且這 2 局得分恰好相等的概率為. 4 分3（）解解：由題意，x的所有可能取值為13，15，16，18，5 分313

28、1且p(x 13) ，p(x 15) ，p(x 16) ，p(x 18) ，7 分8888所以x的分布列為：xp1315161838183818 8 分3131所以e(x ) 1315161815.888810 分（）解解：x的可能取值為6，7，8.13 分8 8 （20162016 西城一模）西城一模）某校高一年級學(xué)生全部參加了體育科目的達標(biāo)測試， 現(xiàn)從中隨機抽取 40 名學(xué)生的測試成績，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100進行分組，假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，則得到體育成績的折線圖（如下）.各分?jǐn)?shù)段人數(shù)14

29、12108642o455565758595體育成績（）體育成績大于或等于 70 分的學(xué)生常被稱為“體育良好”. 已知該校高一年級有 1000 名學(xué)生，試估計高一全年級中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；（） 為分析學(xué)生平時的體育活動情況， 現(xiàn)從體育成績在60,70)和80,90)的樣本學(xué)生中隨機抽取2人，求在抽取的 2 名學(xué)生中，至少有 1 人體育成績在60,70)的概率；（）假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績分別為a，b，c，且分別在70,80)，80,90)，90,100三組中，其中a，b，cn n當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最小時，寫出a，b，c的值.（結(jié)論不要求證明）1222（注：s (x1 x) (x

30、2 x) n(xn x)2，其中x為數(shù)據(jù)x1, x2,xn的平均數(shù)）（）解解：由折線圖，知樣本中體育成績大于或等于70 分的學(xué)生有30人，2 分所以該校高一年級學(xué)生中， “體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約有100030 750人. 4 分40（）解解：設(shè) “至少有 1 人體育成績在60,70)”為事件a，5 分2c337由題意，得p(a) 121，c51010因此至少有 1 人體育成績在60,70)的概率是7.9 分10（）解解：a,b,c的值分別是為79,84,90；或79,85,90.13 分9 9 （20162016 西城二模）西城二模）某中學(xué)有初中學(xué)生 1800 人，高中學(xué)生 1200 人.

31、為了解學(xué)生本學(xué)期課外閱讀時間，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100 名學(xué)生，先統(tǒng)計了他們課外閱讀時間，然后按“初中學(xué)生 ”和“高中學(xué)0,10)，10,20)，20,30)，30,40)，40,50，生”分為兩組， 再將每組學(xué)生的閱讀時間 （單位： 小時） 分為 5 組：并分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.a頻率組距頻率組距0.0400.0350.0300.025（）寫出a的值；0.0200.005時間(小時)o10 20 30 40 50初中生組0.005o10 20 30 40 50高中生組時間(小時)（）試估計該校所有學(xué)生中，閱讀時間不小于30 個小時的學(xué)生人數(shù)；（）從閱讀時間

32、不足10 個小時的樣本學(xué)生中隨機抽取3 人，并用x 表示其中初中生的人數(shù)，求x 的分布列和數(shù)學(xué)期望.（）解解：a 0.03.3 分（）解解：由分層抽樣，知抽取的初中生有60 名，高中生有 40 名.4 分因為初中生中，閱讀時間不小于30 個小時的學(xué)生頻率為(0.020.005)10 0.25，所以所有的初中生中，閱讀時間不小于30 個小時的學(xué)生約有0.251800 450人，6 分同理，高中生中，閱讀時間不小于 30 個小時的學(xué)生頻率為(0.030.005)10 0.35，學(xué)生人數(shù)約有0.351200 420人.所以該校所有學(xué)生中，閱讀時間不小于30 個小時的學(xué)生人數(shù)約有450420 870人

33、.8 分（）解解：初中生中，閱讀時間不足10 個小時的學(xué)生頻率為0.00510 0.05，樣本人數(shù)為0.0560 3人.同理，高中生中，閱讀時間不足10 個小時的學(xué)生樣本人數(shù)為(0.00510)40 2人.故 x 的可能取值為 1，2，3.9 分22c1c3c1c33313c223p(x 2) p(x 3)則p(x 1).，c310c35c310555所以x的分布列為：xp12331035110 12 分所以e(x) 13319 23.13 分105105第三部分第三部分 立體幾何立體幾何1. (20131. (2013 北京高考理科北京高考理科) )如圖，在三棱柱 abca1b1c1中，aa

34、1c1c 是邊長為 4 的正方形，平面 abc平面 aa1c1c，ab=3，bc=5.（）求證：aa1平面 abc；（）求二面角 a1bc1b1的余弦值；（）證明：在線段 bc1存在點 d，使得 ada1b，并求bd的值.bc1解：(1)證明：因為 aa1c1c 為正方形，所以 aa1ac因為平面 abc平面 aa1c1c，且 aa1垂直于這兩個平面的交線ac，所以 aa1平面 abc(2)由(1)知 aa1ac，aa1ab由題知 ab3，bc5，ac4，所以 abac如圖所示，以 a 為原點建立空間直角坐標(biāo)系axyz，則b(0，3，0)，a1(0，0，4)，b1(0，3，4)，c1(4，0，

35、4)設(shè)平面 a1bc1的一個法向量為(x，y，z)，則a1b0，a1c10.n n3y4z0，即4x0.令 z3，則 x0，y4，所以(0，4，3)同理可得，平面 b1bc1的一個法向量為(3，4，0)nnm m16所以 cos， .|n|m|n|m|25由題知二面角 a1bc1b1為銳角，16所以二面角 a1bc1b1的余弦值為.25(3)設(shè) d(x，y，z)是直線 bc1上一點，且bdbc1.所以(x，y3，z)(4，3，4)解得 x4，y33，z4.所以ad(4，33，4) 由ada1b0，即 9250，9解得 .259因為0，1，所以在線段 bc1上存在點 d，使得 ada1b25bd

36、9此時，.bc1252. (20142. (2014 北京高考理科）北京高考理科）如圖，正方形amde的邊長為 2，b,c分別為am ,md的中點，在五棱錐p abcde中，f為棱pe的中點，平面abf與棱pd,pc分別交于點g,h.（1）求證：ab / fg；（2）若pa 底面abcde，且af pe，求直線bc與平面abf所成角的大小，并求線段ph的長.解： （i）在正方形中，因為 b 是 am 的中點，所以abde。又因為ab 平面 pde，所以ab平面 pde，因為ab 平面 abf，且平面abf平面pdf fg，所以abfg。（）因為pa 底面 abcde,所以pa ab，pa ae

37、.如圖建立空間直角坐標(biāo)系axyz，則a(0,0,0)，b(1,0,0),c(2,1,0),p(0,0, 2),f(0,1,1),bc (1,1,0).設(shè)平面 abf 的法向量為n (x, y,z)，則n ab 0,即n af 0,x 0,y z 0.令z 1,， 則y 1。 所 以n ( 0 ,1,，1設(shè) 直 線 bc 與 平 面 abf 所 成 角 為sina cos n,bcnbcn bc12。a, 則設(shè)點 h 的坐標(biāo)為(u,v,w).。因為點 h 在棱 pc 上，所以可設(shè)ph pc(01),，即(u,v,w2) (2,1,2).。所以u 2,v ,w 22。因為n是平面 abf 的法向量

38、，所以nab 0，即(0,1,1)(2,2 2) 0。解得24 2 2，所以點 h 的坐標(biāo)為( , ).。33 3 3424所以ph ( )2( )2( )2 23333. 3.（20152015 北京高考理科）北京高考理科）如圖，在四棱錐a efcb中，aef為等邊三角形，平面aef 平面efcb，efbc，bc 4，ef 2a，ebc fcb 60，o為ef的中點() 求證：ao be；() 求二面角f ae b的余弦值；() 若be 平面aoc，求a的值afcoeb【答案】(1)證明見解析， （2）【解析】試題分析：證明線線垂直可尋求線面垂直，利用題目提供的面面垂直平面aef 平面efc

39、b，借助性45， （3）a35質(zhì)定理證明ao平面 efcb，進而得出線線垂直，第二步建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，平面 aef 的法向量易得，只需求平面aeb 的法向量，設(shè)平面 aeb 的法向量，利用線線垂直，數(shù)量積為零，列方程求出法向量， 再根據(jù)二面角公式求出法向量的余弦值； 第三步由于ao be，要想be 平面aoc，只需beoc，利用向量be、oc的坐標(biāo)，借助數(shù)量積為零，求出a的值，根據(jù)實際問題予以取舍.試題解析： ()由于平面aef 平面efcb，aef為等邊三角形，o為ef的中點， 則aoef，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，所以ao平面 efcb，又be平面efcb，則ao be.(

40、)取 cb 的中點 d，連接 od,以 o 為原點，分別以oe、od、oa為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，a(0,0 3a)，e(a,0,0),b(2,2 3 3a,0),ae (a,0, 3a)，eb (2 a,2 3 3a,0)，由于平面aef與y軸垂直，則設(shè)平面aef的法向量為n1 (0,1,0)，設(shè)平面aeb的法向量n2 (x,y,1)，n2ae,ax- 3a 0,x3，n2eb,(2 a)x(2 3 3a)y 0,y 1，則n2( 3,1,1)，二面角f ae b的余弦值cosn1,n2 n1n2n1n215 5，由二面角5f ae b為鈍二面角，所以二面角f ae b的余弦值為5

41、.5（） 有 （1） 知ao平面 efcb， 則ao be， 若be 平面aoc， 只需beoc，eb (2 a,2(2 a) (2 3 3a) 0，2 3 3a,0)，又oc (2,2 3 3a,0)，beoc 2解得a 2或a44，由于a 2，則a.33考點：1.線線垂直的證明；2.利用法向量求二面角；3.利用數(shù)量積解決垂直問題.4. 4. （20162016 海淀期末）海淀期末）如圖，在四棱錐p abcd中，pb 底面abcd，底面abcd為梯形，adbc，ad ab，且pb ab ad 3, bc 1.pf1（）若點f為pd上一點且pf pd，3證明：cf平面pab；abd（）求二面角

42、bpd a的大??；（）在線段pd上是否存在一點m，使得cm pa?若存在，求出pm的長；若不存在，說明理由.解：（）過點f作fh因為pf 又fhcad，交pa于h,連接bh,11pd，所以hf ad bc.1 分33bc，所以hfbc.2 分bh.3 分ad，ad所以bcfh為平行四邊形, 所以cf又bh 平面pab，cf 平面pab,.4 分（一個都沒寫的，則這1 分不給）所以cf平面pad.5 分（）因為梯形abcd中，adbc，ad ab, 所以bc ab.因為pb 平面abcd，所以pb ab，pb bc,如圖，以b為原點，bc,ba,bp所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,.6

43、 分所以c(1,0,0),d(3,3,0),a(0,3,0),p(0,0,3).設(shè)平面bpd的一個法向量為n (x, y,z)，平面apd的一個法向量為azpfydm (a,b,c),因為pd (3,3,3),bp (0,0,3),bcx3x3y 3z 0pdn 0所以，即，.7 分3z 0bpn 0取x 1得到n (1,1,0),.8 分同理可得m (0,1,1),.9 分所以cos n,m nm1 ,.10 分2|n|m|因為二面角bpd a為銳角，所以二面角bpd a為.11 分3（）假設(shè)存在點m，設(shè)pm pd (3,3,3)，所以cm cppm (13,3,3 3),.12 分所以pa

44、cm 93(33) 0，解得1,.13 分2所以存在點m，且pm 5. 5. （20162016 海淀一模）海淀一模）13 3.14 分pd 22如圖，在四棱錐p abcd中，pa平面abcd，四邊形abcd為正方形，點m,n分別為線段pb,pc上的點，mn pb.（）求證：bc 平面pab；（）求證：當(dāng)點m不與點p,b重合時，m,n,d,a四個點在同一個平面內(nèi)；mpnda（）當(dāng)pa ab 2，二面角c an d大小為為時，求pn的長.3解:bc（）證明：在正方形abcd中，ab bc,1 分因為pa平面abcd，bc 平面abcd， 所以pa bc.2 分因為abpa a，且ab，pa平面p

45、ab，所以bc 平面pab4 分（）證明：因為bc 平面pab，pb平面pab,所以bc pb5 分在pbc中，bc pb，mn pb，所以mnbc.6 分在正方形abcd中，adbc, 所以mnad，7 分所以mn ，ad可以確定一個平面，記為所以m,n,d,a四個點在同一個平面內(nèi)8 分（）因為pa平面abcd，ab,ad 平面abcd，所以pa ab,pa ad.又ab ad, 如 圖 ， 以a為 原 點 ，ab,ad,ap所 在 直 線 為x, y,z軸 建 立 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系a xyz,9 分所以c(2,2,0), d(0,2,0), b(2,0,0), p(0,0,2).

46、設(shè)平面dan的一個法向量為n (x, y,z)，平面can的一個法向量為m (a,b,c),設(shè)pn pc,0,1，因為pc (2,2, 2)，所以an (2,2,2 2)，bxmzpndacy2x2y (22)z 0an n 0又ad (0,2,0)，所以，即，10 分2y 0adn 0取z 1,得到n (1,0,1),11 分因為ap (0,0,2)，ac (2,2,0)2c 0apm 0所以，即，2a2b 0ac m 0取a 1得, 到m (1,1,0),12 分因為二面c an d大小為 1, 所以|cos m,n |cos,332所以|cos m,n |mn|m|n |112122 (

47、) 1解得1, 所以pn 314 分26. 6. （20162016 海淀二模）海淀二模）如圖，等腰梯形abcd中，abcd，de ab于e，cf ab于f， 且a eb f e f 2，de cf 2.將aed和bfc分別沿de、cf折起，使a、b兩點重合 ，記為點m，得 到一個四 棱錐am cdef，點g，n，h分別是mc,md,ef的中點.（）求證：gh平面dem；（）求證：em cn；（）求直線gh與平面nfc所成的角的大小.解:（）證明：連結(jié)ng，ne.在mcd中，因為n,g分別是所在邊的中點，所以ng12cd，又eh12cd, 所以ngeh,所以nehg是平行四邊形，所以engh,

48、又en 平面dem，gh 平面dem,所以gh平面dem.（）證明：方法一：在平面efcd內(nèi)，過點h作de的平行線hp，因為de em,de ef,emef e,所以de 平面efm,所以hp 平面efm，所以hp ef.又在emf中，因為em mf ef，所以mh ef.以h為原點，hm,hf,hp分別為x, y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系所以e(0,1,0),m( 3,0,0), c(0,1,2), n(32,12,1)所以em ( 3,1,0),cn (32,32,1)，所以em cn 0，所以em cn.方法二：取em中點k，連接nk,fk.又nk為emd的中位線，所以nkdedcefbd

49、cngehfm1 分2 分3 分4 分5 分6 分7 分8 分9 分又decf，所以nkcf，所以nkfc在一個平面中.6 分因為emf是等邊三角形，所以em fk,又de em，所以nk em,7 分且nkfk k，所以em 平面nkfc，8 分而cn 平面nkfc,所以em cn.9 分（）因為cf (0,0,2), 所以em cf 0, 即em cf,又cfcn c, 所以em 平面nfc，所以em就是平面nfc的法向量.11 分3 1,1)，設(shè)gh與平面nfc所成的角為，2231hgem222則有sin|cos hg,em |13 分22 2| hg | em |又hg (所以gh與平

50、面nfc所成的角為7 7 （20162016 西城期末）西城期末）如圖，在四棱錐p abcd中，底面abcd是平行四邊形，bcd 135，側(cè)面pab 底面abcd，bap90,ab ac pa 2,e,f分別為bc,ad的中點，點m在線段pd上.14 分4（）求證：ef 平面pac；（）若m為pd的中點，求證：me /平面pab；（）如果直線me與平面pbc所成的角和直線me與平面abcd所成的角相等，求（） 證明證明： 在平行四邊形abcd中， 因為ab ac，bcd135，所以ab ac.由e,f分別為bc,ad的中點，得ef/ab，pm的值.pdpmabedfc所以ef ac.1 分因為

51、側(cè)面pab底面abcd，且bap90，所以pa底面abcd.2 分又因為ef 底面abcd，所以pa ef.3 分又因為paac a，pa平面pac，ac 平面pac，所以ef 平面pac.4 分（）證明證明：因為m為pd的中點，f分別為ad的中點，所以mf/pa，又因為mf 平面pab，pa平面pab，所以mf/平面pab.5 分同理，得ef/平面pab.又因為mfzpmadef=f，mf 平面mef，ef 平面mef，fcy所以平面mef/平面pab.7 分又因為me 平面mef，所以me/平面pab.9 分xbe（）解解：因為pa底面abcd，ab ac，所以ap, ab, ac兩兩垂直

52、，故以ab, ac, ap分別為x軸、y軸和z軸，如上圖建立空間直角坐標(biāo)系，則a(0,0,0), b(2,0,0), c(0,2,0), p(0,0,2), d(2,2,0), e(1,1,0)，所以pb(2,0,2)，pd(2,2,2)，bc (2,2,0)，10 分設(shè)pm(0,1)，則pm (2,2,2)，pd所以m(2,2,2 2)，me(12,12,22)，易得平面abcd的法向量m m (0,0,1).11 分設(shè)平面pbc的法向量為n n (x, y,z)，2x2y 0,由n nbc 0，n npb0，得2x2z 0,令x 1, 得n n (1,1,1).12 分因為直線me與平面p

53、bc所成的角和此直線與平面abcd所成的角相等，|mem m|men n|，13 分所以|cos me,m m | |cos me,n n|，即|me|m m|me|n n|所以|22|解得8 8 （20162016 西城一模）西城一模）如圖， 四邊形abcd是梯形，ad/bc，bad 90， 四邊形cc1d1d為矩形， 已知ab bc1，ad 4，ab 2，bc 1.2|，33333，或（舍）.14 分22（）求證：bc1/平面add1；（）若dd12，求平面ac1d1與平面add1所成的銳二面角的余弦值；（）設(shè)p為線段c1d上的一個動點（端點除外） ，判斷直線bc1與直線cp能否垂直？并說

54、明理由.（）證明：由cc1d1d為矩形，得cc1/dd1，又因為dd1平面add1，cc1平面add1，所以cc1/平面add1， 2 分同理bc /平面add1，又因為bcbcac1dd1cc1 c，所以平面bcc1/平面add1, 3 分又因為bc1平面bcc1，所以bc1/平面add1. 4 分（）解解：由平面abcd中，ad /bc，bad 90，得ab bc，又因為ab bc1，bcbc1 b，所以ab平面bcc1，所以abcc1，又因為四邊形cc1d1d為矩形，且底面abcd中ab與cd相交一點，所以cc1平面abcd，因為cc1/dd1，所以dd1平面abcd.過d在底面abcd

55、中作dm ad，所以da, dm,dd1兩兩垂直，以da, dm,dd1分別為x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 6 分則d(0,0,0)，a(4,0,0)，b(4, 2,0)，c(3,2,0)，c1(3,2,2)，d1(0,0, 2)，所以ac1 (1,2,2),ad1 (4,0, 2).設(shè)平面ac1d1的一個法向量為m m (x, y, z)，x2y2z 0,由m m ac1 0，m m ad1 0，得4x2z 0,令x 2，得m m (2, 3, 4). 8 分易得平面add1的法向量n n (0,1,0).所以cos m m,n n xazd1c1pdm m n n3 29.

56、| m m | n n |29bcy即平面ac1d1與平面add1所成的銳二面角的余弦值為3 29.10 分29（）結(jié)論結(jié)論：直線bc1與cp不可能垂直.11 分證明：證明：設(shè)dd1 m(m 0)，dpdc1(0,1)，由b(4,2,0)，c(3,2,0)，c1(3,2, m)，d(0,0,0)，得bc1 (1,0,m)，dc1 (3,2,m)，dp dc1 (3,2,m)，cd (3,2,0)，cp cd dp (33,22,m).12 分若bc1 cp，則bc1cp (33)m2 0，即(m23) 3，因為 0，所以m2 330，解得1，這與0 1矛盾.所以直線bc1與cp不可能垂直.14

57、 分9 9 （20162016 西城二模）西城二模）如圖，正方形abcd的邊長為 4，e,f分別為bc,da的中點. 將正方形abcd沿著線段ef折起，使得dfa 60. 設(shè)g為af的中點.（）求證：dg ef；（）求直線ga與平面bcf所成角的正弦值；（）設(shè)p,q分別為線段dg,cf上一點，且pq/平面abef，求線段pq長度的最小值.ab（）證明證明：因為正方形abcd中，e,f分別為bc,da的中點，所以ef fd，ef fa，又因為fdfedccdcfegabfa f，所以ef平面dfa.2 分又因為dg平面dfa，所以dg ef.4 分（）解解：因為dfa 60，df fa，ag g

58、f，所以dfa為等邊三角形，且dg fa.又因為dg ef，effa f，所以dg 平面abef.5 分設(shè)be的中點為h，連接gh，則ga,gh,gd兩兩垂直，故以ga,gh,gd分別為 x 軸、y 軸和 z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則g(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,4,0)，c(0,4,3)，f(1,0,0)，所以ga (1,0,0),bc (1,0,3)，bf (2,4,0).6 分設(shè)平面bcf的一個法向量為m m (x, y, z)，由m m bc 0，m m bf 0，得x3z 0,2x4y 0,zdcfe令z 2，得m m (23,3, 2).7 分設(shè)直線ga與平面bc

59、f所成角為，則sin| cos m m,ga | m m ga | m m | ga |2 5719.xghaby即直線ga與平面bcf所成角的正弦值為2 5719.9 分（）由題意，可設(shè)p(0,0, k)(0k 3)，fq fc (01)，由fc (1,4, 3)，得fq (,4,3)，所以q(1,4, 3)，pq(1,4,3k).10 分由（） ，得gd(0,0,3)為平面abef的法向量.因為pq/平面abef，所以pqgd 0，即3 k 0.11 分所以| pq |222(1)2(4)2( 3k)2= (1) (4) 1721，12 分又因為1722117(117117117)2161

60、7，所以當(dāng)時，| pq|min4 1717.所以當(dāng)，k 317時，線段pq長度有最小值4 1717.14 分第四部分第四部分導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1. 1.（20132013 北京）北京）設(shè) l 為曲線 c：y ln x在點(1，0)處的切線.x(i)求 l 的方程；(ii)證明：除切點(1，0)之外，曲線 c 在直線 l 的下方.1ln xln x解：(1)設(shè) f(x)，則 f(x).xx2所以 f(1)1.所以 l 的方程為 yx1.(2)令 g(x)x1f(x)，則除切點之外，曲線c 在直線 l 的下方等價于x21ln xg(x)0(x0，x1)g(x)滿足 g(1)0，且 g(x)1f(x)