北師大版高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)：5.1.2《利用二分法求方程的近似解》教案

1、- 1 - / 4 利用二分法求方程的近似解利用二分法求方程的近似解 【教學(xué)目標(biāo)】【教學(xué)目標(biāo)】 1通過(guò)具體函數(shù)圖像，借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。 2通過(guò)學(xué)習(xí)利用二分法求方程近似解的過(guò)程和方法，提升直觀想像、邏輯推理素養(yǎng)。 【教學(xué)重難點(diǎn)】【教學(xué)重難點(diǎn)】 1根據(jù)具體函數(shù)的圖像，借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解。(重點(diǎn)) 2學(xué)習(xí)利用二分法求方程近似解的過(guò)程和方法。(難點(diǎn)) 【教學(xué)過(guò)程】【教學(xué)過(guò)程】 一、基礎(chǔ)鋪墊 1二分法的概念 對(duì)于圖像在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且滿足 f(a) f(b)0 的函數(shù) yf(x)，每次取區(qū)間的中點(diǎn)，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個(gè)

2、小區(qū)間的方法稱為二分法。 2用二分法求方程的近似解的過(guò)程 在圖中： “初始區(qū)間”是一個(gè)兩端函數(shù)值反號(hào)的區(qū)間； “m”的含義是：取新區(qū)間，一個(gè)端點(diǎn)是原區(qū)間的中點(diǎn)，另一端是原區(qū)間兩端點(diǎn)中的一個(gè)，新區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值反號(hào)； “n”的含義是：方程解滿足要求的精度； - 2 - / 4 “p”的含義是：選取區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)作為方程的近似解。 思考：用二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)應(yīng)滿足哪些條件？ 提示 (1)f(x)在區(qū)間a，b上的圖像連續(xù)； (2)在區(qū)間a，b端點(diǎn)的函數(shù)值 f(a) f(b)0，用計(jì)算器計(jì)算，列表如下： 取值區(qū)間 中點(diǎn)值 中點(diǎn)函數(shù)近似值 區(qū)間長(zhǎng)度 (0，1) 0.5 0.008 1 1

3、 (0.5，1) 0.75 0.280 5 0.5 (0.5，0.75) 0.625 0.147 5 0.25 (0.5，0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125 由于區(qū)間(0.5，0.625)的長(zhǎng)度為 0.1250.2，此時(shí)該區(qū)間中點(diǎn) 0.562 5 與真正零點(diǎn)的誤差不超過(guò) 0.1，所以函數(shù) f(x)的零點(diǎn)近似值為 0.562 5，即方程 lg x12x1 的近似解為 x0.562 5 【教師小結(jié)】用二分法求方程的近似解，首先要選好計(jì)算的初始區(qū)間，這個(gè)區(qū)間既要包含所求的根，又要使其長(zhǎng)度盡量小，其次要依據(jù)給定的精度，及時(shí)檢驗(yàn)所得區(qū)間端點(diǎn)的近似值是否達(dá)到要求 達(dá)到給定的精度 ，以

4、決定是停止計(jì)算還是繼續(xù)計(jì)算。 三、課堂總結(jié) 1二分法就是通過(guò)不斷地將所選區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，直至找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精度，用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn)。 2并非所有函數(shù)都可以用二分法求出其零點(diǎn)，只有滿足： (1)函數(shù)圖像在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷； (2)f(a) f(b)0. 上述兩條的函數(shù)，方可采用二分法求得零點(diǎn)的近似值。 四、課堂檢測(cè) 1思考辨析 (1)任何函數(shù)的零點(diǎn)都可以用二分法求得。( ) (2)用二分法求出的方程的根都是近似解。( ) (3)當(dāng)方程的有解區(qū)間a，b的區(qū)間長(zhǎng)度 ba(精度)時(shí)，區(qū)間(a，b)內(nèi)任意一個(gè)數(shù)都是滿足精度 的近

5、似解。( ) 答案 (1) (2) (3) 2用二分法求函數(shù) f(x)3x7的零點(diǎn)時(shí)，初始區(qū)間可選為( ) a(1，0) b(0，1) - 4 - / 4 c(1，2) d(2，3) c f(1)3171372030， f(0)307171760， f(1)31740， f(2)3279720， 故函數(shù) f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)上，故初始區(qū)間可選為(1，2)。 3若函數(shù) f(x)x3x22x2 的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下： f(1)2 f(1.5)0.625 f(1.25)0.984 f(1.375)0.260 f(1.437 5) 0.162 f(1.406

6、 25) 0.054 那么函數(shù)零點(diǎn)的一個(gè)近似解(精度為 0.1)為( ) a1.25 b1.375 c1.406 25 d1.5 c 根據(jù)題意知函數(shù)的零點(diǎn)在 1.406 25 至 1.437 5 之間，又|1.437 51.406 25|0.031 250.1，故方程的一個(gè)近似解為 1.406 25，故選 c 4用二分法求 2xx4 在區(qū)間1，2內(nèi)的近似解(精度為 0.2)。參考數(shù)據(jù)： x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 解 令 f(x)2xx4，則 f(1)2140. 區(qū)間 區(qū)間中點(diǎn)值 xn f(xn)的值及符號(hào) (1，2) x11.5 f(x1)0.330 (1，