博弈論作業(yè)及答案---浙江財經(jīng)大學(xué)-張老師作業(yè)答案

1、第 1 次作業(yè)1、考慮一個工作申請的博弈。兩個學(xué)生同時向兩家企業(yè)申請工作，每家企業(yè)只有一個工作崗位。 工作申請規(guī)則如下： 每個學(xué)生只能向其中一家企業(yè)申請工作；如果一家企業(yè)只有一個學(xué)生申請，該學(xué)生獲得工作； 如果一家企業(yè)有兩個學(xué)生申請，則每個學(xué)生獲得工作的概率為1/2.現(xiàn)在假定每家企業(yè)的工資滿足：w1/2w22w1，則問：a寫出以上博弈的戰(zhàn)略式描述b求出以上博弈的所有納什均衡(包括混合策略均衡 )2、設(shè)古諾模型中有n家廠商。iq為廠商i的產(chǎn)量，12nqqqq為市場總產(chǎn)量。p為市場出清價格，且已知qaqpp)(（當(dāng)aq時，否則0p） 。 假設(shè)廠商i生產(chǎn)產(chǎn)量iq的總成本為iiiicqqcc)(,也就

2、是說沒有固定成本且各廠的邊際成本都相同，為常數(shù))(acc。假設(shè)各廠同時選擇產(chǎn)量，該模型的納什均衡是什么？當(dāng)趨向于無窮大時博弈分析是否仍然有效？3、兩 個 廠 商 生 產(chǎn) 一種 完 全 同 質(zhì) 的 商 品 ， 該 商 品 的 市 場 需 求 函 數(shù) 為pq100,設(shè)廠商 1 和廠商 2 都沒有固定成本。若他們在相互知道對方邊際成本的情況下，同時作出產(chǎn)量決策是分別生產(chǎn)20 單位和 30 單位.問這兩個廠商的邊際成本各是多少？各自的利潤是多少？4、五戶居民都可以在一個公共的池塘里放養(yǎng)鴨子。每只鴨子的收益v是鴨子總數(shù)n的函數(shù)，并取決于n是否超過某個臨界值n；如果nn，收益nnvv50)(；如果nn時，

3、0)(nv。再假設(shè)每只鴨子的成本為2c元。若所有居民同時決定養(yǎng)鴨的數(shù)量，問該博弈的納什均衡是什么？5、三對夫妻的感情狀態(tài)可以分別用下面三個得益矩陣對應(yīng)的靜態(tài)博弈來表示.問：這三個博弈的納什均衡分別是什么？這三對夫妻的感情狀態(tài)究竟如何? 矩陣 1：妻子丈夫活著死了活著1,1 -1，0 死了0，1 0，0 矩陣 2：妻子丈夫活著死了活著0，0 1，0 死了0,1 0，0 矩陣 3: 妻子丈夫活著死了活著1，1 1，0 死了0，1 0，0 6、兩個個體一起參加某項工程，每個人的努力程度0,1 (1,2)iei,成本為() (1,2)ic ei，該項目的產(chǎn)出為12(,)f e e. 個體的努力程度不影

4、響到項目的分配方法，項目的產(chǎn)出在2 個體之間均分。試回答以下問題：1、如果1212(,)3f e eee，2()(1,2)iic eei，試求此博弈的的nash均衡( 即兩個個體選擇的最優(yōu)努力程度） 。2、如果1212(,)4f e eee，()(1,2)iic ee i，試求此博弈的的nash均衡。第 2 次作業(yè)1、企業(yè)甲和企業(yè)乙都是彩電制造商, 都可以選擇生產(chǎn)低檔產(chǎn)品或高檔產(chǎn)品，每個企業(yè)在四種不同的情況下的利潤如以下得益矩陣所示. 如果企業(yè)甲先于企業(yè)乙進(jìn)行產(chǎn)品選擇并投入生產(chǎn)，即企業(yè)乙在決定產(chǎn)品時已經(jīng)知道企業(yè)甲的選擇, 而且這一點雙方都清楚。（1) 用擴(kuò)展型表示這一博弈 . （2）這一博弈的

5、子博弈完美納什均衡是什么？企業(yè)乙企業(yè)甲高檔低檔高檔500,500 1000,700 低檔700，1000 600,600 2 、 兩 個 寡 頭 企 業(yè) 進(jìn) 行 價 格 競 爭 博 弈 ， 企 業(yè)1的 利 潤 函 數(shù) 是qcaqp21)（, 企業(yè) 2 的利潤函數(shù)是pbq22)（，其中p是企業(yè) 1 的價格，q是企業(yè) 2 的價格 . 求: (1）兩個企業(yè)同時決策的純策略納什均衡；（2）企業(yè) 1 先決策的子博弈完美納什均衡；（3) 企業(yè) 2 先決策的子博弈完美納什均衡；（4）是否存在參數(shù)cba,的特定值或范圍，使兩個企業(yè)都希望自己先決策？3、考慮如下的雙寡頭市場戰(zhàn)略投資模型：企業(yè)1 和企業(yè) 2 目前

6、情況下的生產(chǎn)成本都是2c。 企業(yè) 1 可以引進(jìn)一項新技術(shù)使單位成本降低到1c，該項技術(shù)需要投資f。在企業(yè) 1 作出是否投資的決策（企業(yè)2 可以觀察到）后，兩個企業(yè)同時選擇產(chǎn)量。 假設(shè)市場需求函數(shù)為qqp14)(, 其中p是市場價格，q是兩個企業(yè)的總產(chǎn)量。問上述投資額f處于什么水平時，企業(yè)1 會選擇引進(jìn)新技術(shù)？4、在市場進(jìn)入模型中，市場逆需求函數(shù)為p13q ，進(jìn)入者和在位者生產(chǎn)的邊際成本都為1，固定成本為0，潛在進(jìn)入者的進(jìn)入成本為4。博弈時序為：在位者首先決定產(chǎn)量水平； 潛在進(jìn)入者在觀察到在位者的產(chǎn)量水平之后決定是否進(jìn)入；如果不進(jìn)入，則博弈結(jié)束，如果進(jìn)入，則進(jìn)入者選擇產(chǎn)量水平。求解以上博弈精煉納

7、什均衡。5、在三寡頭的市場中，市場的逆需求函數(shù)為三家產(chǎn)量之和qqap,，每家企業(yè)的不變邊際成本為c, 固定成本為0。如果企業(yè) 1 首先選擇產(chǎn)量，企業(yè)2和企業(yè) 3 觀察到企業(yè) 1 的產(chǎn)量后同時選擇產(chǎn)量，則均衡時的市場價格.第 3 次作業(yè)1、兩個人合作開發(fā)一項產(chǎn)品，能否成功與兩個人的工作態(tài)度有關(guān)，設(shè)成功概率如下：b a 努力偷懶努力9/16 3/8 偷懶3/8 1/4 再假設(shè)成功時每人有4 單位的利益，失敗則雙方都沒有利益, 偷懶本身有 1單位的利益。問該博弈無限次重復(fù)博弈的均衡是什么？ 2、 兩 寡 頭 古 諾 產(chǎn) 量 競 爭 模 型 中 廠 商 的 利 潤 函 數(shù) 為()iiijiq tqq,

8、1,2i。若11t是兩個廠商的共同知識， 而2t則是廠商 2 的私人信息 , 廠商 1 只知道23/ 4t或24/5t，且2t取這兩個值的概率相等。若兩個廠商同時選擇產(chǎn)量，請找出該博弈的純策略貝葉斯均衡。 3、兩個廠商生產(chǎn)相同產(chǎn)品在市場上進(jìn)行競爭性銷售。第 1 個廠商的成本函數(shù)為11qc， 其中1q為廠商 1 的產(chǎn)量。第 2 個廠商的成本函數(shù)為22cqc， 其中2q為廠商 2 的產(chǎn)量，c為其常數(shù)邊際成本。兩個廠商的固定成本都為零。廠商2 的邊際成本c是廠商 2 的“私人信息 ，廠商 1 認(rèn)為c在23,21上呈均勻分布。設(shè)市場需求函數(shù)為214qqp, 其中 p 為價格，兩個廠商都以其產(chǎn)量為純戰(zhàn)略

9、，問純戰(zhàn)略貝葉斯均衡為何?。4、兩個企業(yè)同時決定是否進(jìn)入一個市場，企業(yè) i 的進(jìn)入成本),0i是私人信息，i是服從分布函數(shù))(if的隨機(jī)變量以及分布密度)(if嚴(yán)格大于零，并且1和2兩者獨立。如果只有一個企業(yè)進(jìn)入，進(jìn)入企業(yè)i 的利潤函數(shù)為mi；如果兩個企業(yè)都進(jìn)入，則企業(yè)i 的利潤函數(shù)為id；如果沒有企業(yè)進(jìn)入，利潤為零。假定m和d是共同知識，且md0,試計算此博弈的貝葉斯均衡。博弈論第 1 次作業(yè)答案1、a寫出以上博弈的戰(zhàn)略式描述 b求出以上博弈的所有納什均衡（包括混合策略均衡）存在兩個純戰(zhàn)略納什均衡：分別為（企業(yè)1，企業(yè) 2） ，收益為)2, 1(ww。 （企業(yè) 2, 企業(yè) 1) ，收益為)

10、1,2(ww。存在一個混合策略均衡：令學(xué)生a選擇企業(yè) 1 的概率為p,選擇企業(yè) 2 的概率為p1；學(xué)生 b選擇企業(yè) 1 的概率為q，選擇企業(yè) 2 的概率為q1。當(dāng)學(xué)生 a 以)1 ,(pp的概率選擇時，學(xué)生b選擇企業(yè) 1 的期望收益應(yīng)該與選擇企業(yè)2 的期望收益相等，即：221).1(2.1)1(121.wpwpwpwp解得：21212wwwwp，211221wwwwp同理求出：221).1(2.1)1(121.wqwqwqwq解得：21212wwwwq,211221wwwwq學(xué)生 b 企業(yè) 1 企業(yè) 2 學(xué)生 a 企業(yè) 1 )221, 121(ww)2, 1(ww企業(yè) 2 )1,2(ww) 1

11、21, 221(ww所以，混合策略納什均衡為： 學(xué)生 a、 b均以)21122,21212(wwwwwwww的概率選擇企業(yè) 1, 企業(yè) 2。 2 、 該模型的納什均衡是什么？當(dāng)趨向于無窮大時博弈分析是否仍然有效？各廠商的利潤函數(shù)為：inkkiiiiiiqqcaqcqaqcqqacqpu).().(.).(.1求解：inkkqiqqqcauii).(maxmax1對其求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0, 解得反應(yīng)函數(shù)為：.211121niiiqqqqqcaq納什均衡),.,(*2*1nqqq，必是 n 條反應(yīng)函數(shù)的交點).(21*3*2*1nqqqcaq).(21*3*1*2nqqqcaq。. 。 。 。).(2

12、1*1*1*2*1*niiiqqqqqcaq。 。 。 。 。. ).(21*1*2*1*nnqqqcaq得到: 1.*2*1ncaqqqn，且為唯一的納什均衡。當(dāng)趨向于無窮大時博弈分析無效。01limlim*ncaqnin，此時為完全競爭市場，此時博弈分析無效。 3 、問這兩個廠商的邊際成本各是多少？各自的利潤是多少? 設(shè)：邊際成本不變，為1c，2c。計算得市場出清價格為：)(100100)(21qqqqpp兩個廠商的利潤函數(shù)為：1211111111).(100).(.qqqcqcpqcqpu2212222222).(100).(.qqqcqcpqcqpu求解：12111).(100maxm

13、ax11qqqcuqq22122).(100maxmax22qqqcuqq對其求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0，解得反應(yīng)函數(shù)為：)100(21)(21211qcqrq)100(21)(12122qcqrq納什均衡),(*2*1qq，即(20,30 ）為兩條反應(yīng)函數(shù)的交點)30100(21201c)20100(21302c得到：301c，202c. 此時: 4001u，9002u。4、 若所有居民同時決定養(yǎng)鴨的數(shù)量, 問該博弈的納什均衡是什么？設(shè)居民i選擇的養(yǎng)鴨數(shù)目為in)5 ,4, 3,2, 1(i，則總數(shù)為51iinn. 假設(shè)：nn居民的得益函數(shù)為：iiiiiiinnncvncnvu).48().(.51計

14、算: iiiuiunnuii).48(maxmax51得到反應(yīng)函數(shù)：).(212451121nnnnnrniiii5、反應(yīng)函數(shù)的交點),(*5*4*3*2*1nnnnn是博弈的納什均衡。將),(*5*4*3*2*1nnnnn帶入反應(yīng)函數(shù) , 得：8*5*4*3*2*1nnnnn。此時: 64iu. 此時,40n然后討論下n若40n，則nn, 上述博弈成立 . 若40n，則5nn5、 問:這三個博弈的納什均衡分別是什么？這三對夫妻的感情狀態(tài)究竟如何？矩陣 1: 妻子丈夫活著死了活著1，1 1，0 死了0，-1 0，0 矩陣 2：妻子丈夫活著死了活著0,0 1，0 死了0,1 0，0 矩陣 3：妻

15、子丈夫活著死了活著1，-1 1,0 死了0，1 0，0 用劃線法得出三個矩陣的納什均衡分別為: 矩陣 1：（活著，活著）（死了，死了）可以看出這對夫妻間感情十分深厚. 這對夫妻同生共死，一個死了，則另一個也選擇死去。如果一個死了，一個活著, 那么活著的將生不如死。矩陣 2：（活著 , 活著）（活著，死了 ) (死了，活著）可以看出這對夫妻間感情一般。這對夫妻共同活著沒有收益， 一個死了，對于另一個來說反而更好。矩陣 3：（活著，死了）（死了 , 活著）可以看出這對夫妻間感情很槽糕。 這對夫妻共同活著對雙方來說是生不如死。一個死了，對于另一個來說反而更好。 6 、(1 ）如果1212(,)3f

16、e eee,2( )(1,2)iic eei，試求此博弈的 nash均衡（即兩個個體選擇的最優(yōu)努力程度）。（2)如果1212( ,)4f e eee，()(1,2)iic ee i, 試求此博弈的 nash均衡. （1）收益為：2121121123)(),(21eeeeceefu2221221223)(),(21eeeeceefu得出反應(yīng)函數(shù)為：221143)(eere112243)(eere納什均衡),(*2*1ee為兩條反應(yīng)函數(shù)的交點 , 代入得出：0,0*2*1ee兩個人都不會努力的(2 ）收益為：12112112)(),(21eeeeceefu22122122)(),(21eeeece

17、efu分別求偏導(dǎo)：12211eeu12122eeu此時，兩個人的努力程度都與對方的努力程度有關(guān))21,0ie時, 博弈一方越努力，另一方就選擇努力程度為0，此時納什均衡為（ 0,0）21ie時，雙方收益均達(dá)到最大值，此時納什均衡為)21,21( 1 ,21(ie時，博弈一方越努力，另一方選擇努力程度為1，此時納什均衡為（ 1，1）第 2 次作業(yè)答案1， (1）用擴(kuò)展型表示這一博弈.（2）這一博弈的子博弈完美納什均衡是什么？運用逆向法，由乙先來選擇，在兩個子博弈中, 乙選擇紅色所示的路徑。再由甲選擇，在 ( 高檔, 低檔), （低檔，低檔）之間選擇。甲選擇綠色所示路徑. 最終的子博弈完美納什均衡

18、是（高檔，低檔），雙方的收益為（ 1000，700）2、 （1）兩個企業(yè)同時決策的純策略納什均衡; 同時決策時，兩個企業(yè)都為了各自利潤最大化分別對各自利潤求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為0 0)(21caqpp0)(22bqq解得: bqcaqp，cabb21此時， 兩個企業(yè)同時決策的純策略納什均衡為企業(yè)1， 2 的價格為),(bcaq(2）企業(yè) 1 先決策的子博弈完美納什均衡；企業(yè) 1 先決策 , 則企業(yè) 2 會在知道企業(yè) 1 的決策后，尋求自身利潤最大化所以: 0)(22bqqbq將bq帶入bcabpqcaqp221)（0)(21cabppcabp此時，cabb21，跟同時決策時的納什均衡相同。企業(yè) 1

19、先決策的子博弈完美納什均衡為企業(yè)1，2 的價格為),(bcab（3）企業(yè) 2 先決策的子博弈完美納什均衡; 企業(yè) 2 先決策，則企業(yè) 1 會在知道企業(yè) 2 的決策后，尋求自身利潤最大化所以：0)(22bqqcaqp將caqp帶入caqbqpbq222)（0)(22bqqbaq2此時，cabap22cababa4,2221企業(yè) 2 先決策的子博弈完美納什均衡為企業(yè)1，2 的價格為)4,2(2cababa（4) 是否存在參數(shù)cba,的特定值或范圍，使兩個企業(yè)都希望自己先決策？企業(yè)在先決策時得到的利潤大于后決策時的利潤時，會希望先決策企業(yè) 1 希望先決策：042cabcaba,abca,0企業(yè) 2

20、希望先決策：02bab，2,0aba結(jié)論:2,0aba,abc 3 、(1 ）企業(yè) 1 沒有引入新技術(shù)12111)12()qqqqcp（22122)12()qqqqcp（求兩個企業(yè)的利潤最大化，只要對利潤函數(shù)求偏導(dǎo), 并另偏導(dǎo)為 0 02122111qqq02121222qqq得到: 41q，42q16,1621（2）企業(yè) 1 引入新技術(shù)fqqqfqcp12111)13()（22122)12()qqqqcp（求兩個企業(yè)的利潤最大化，只要對利潤函數(shù)求偏導(dǎo), 并另偏導(dǎo)為 0 02132111qqq02121222qqq得到：3141q，3112q此時，317p引入新技術(shù)使得企業(yè)1 的利潤不少于沒有

21、引入新技術(shù)前的利潤, 所以16)(111fqcp得到952f時, 企業(yè) 1 會選擇引進(jìn)新技術(shù)。 4 、 （1）企業(yè) 1 的產(chǎn)量1q, 企業(yè) 2 以產(chǎn)量2q進(jìn)入市場2113qqp1211)12(qqq4)12(2212qqq企業(yè) 2 后進(jìn)入市場， 則企業(yè) 2 會在知道企業(yè) 1 的決產(chǎn)量后， 尋求自身利潤最大化所以：02122122qqq12216qq將12216qq帶入1211)12(qqq，得0)21612(11111qqqq此時, 61q，32q5,1821（2）企業(yè) 1 的產(chǎn)量1q，企業(yè) 2 以產(chǎn)量2q進(jìn)入市場時利潤為0, 覺得不進(jìn)入市場2113qqp1211)12(qqq4)12(221

22、2qqq企業(yè) 2 后進(jìn)入市場， 則企業(yè) 2 會在知道企業(yè) 1 的決產(chǎn)量后， 尋求自身利潤最大化所以: 02122122qqq12216qq將12216qq帶入04)12(2212qqq, 得（舍去）或1681q321 , 此時, 企業(yè) 2 不進(jìn)入市場 . 5 、三個企業(yè)的利潤函數(shù)為：)3 ,2, 1( ,)()(321iqcqqqaqcpiii企業(yè) 2 和企業(yè) 3 觀察到企業(yè) 1 的產(chǎn)量后同時選擇產(chǎn)量23212)(qcqqqa33213)(qcqqqa企業(yè) 2 和 3 均為了各自利潤最大化選擇產(chǎn)量，求解出各個的反應(yīng)函數(shù)：0232122cqqqaq0232133cqqqaq311312cqaqq

23、qq，將反應(yīng)函數(shù)帶入企業(yè)1 的利潤函數(shù)，得1113211)(31)(qcqaqcqqqa對其求偏導(dǎo)，求解出企業(yè)1 利潤最大時的產(chǎn)量0)2(31111cqaq得到：21caq，632caqq，此時：65)662(cacacacaap第三次作業(yè)答案1、兩個人的得益矩陣如下：b a 努力偷懶努力)49,49()25,23(偷懶)23,25()2,2(一次博弈納什均衡為 (偷懶, 偷懶） ，無法實現(xiàn)帕累托最優(yōu)（努力，努力） 。無限次博弈時，對于a,第一階段選擇努力，（1）若前 t-1 時刻選擇均為努力， t 時刻也選擇努力)1(49).1(49lim2tta（2）t 時刻選擇偷懶，則前面的行為均為偷懶425).(2lim252tta達(dá)到（努力 , 努力）這個均衡，使aa，即21，采取觸發(fā)策略。、均衡為（努力，努力 ) ，合作產(chǎn)生。 2 、假設(shè)：廠商 2 在23