曲線曲面的插值與擬合方法次課PPT教案

1、曲線曲面的插值與擬合方法次課曲線曲面的插值與擬合方法次課 (2.3457)=？第1頁(yè)/共43頁(yè)第2頁(yè)/共43頁(yè)106*40原始圖像：原始圖像：左邊：左邊：最近鄰插值最近鄰插值放大放大450%右邊：右邊：雙三次插值雙三次插值放大放大450%第3頁(yè)/共43頁(yè)第4頁(yè)/共43頁(yè)分段線性插值：分段線性插值：用直線用直線(線性線性)連接數(shù)據(jù)點(diǎn)列上相鄰的兩點(diǎn)。連接數(shù)據(jù)點(diǎn)列上相鄰的兩點(diǎn)。比如比如在兩點(diǎn)在兩點(diǎn)xi-1,xi上線性插值函數(shù)為上線性插值函數(shù)為11111( ),0,1,2,.,iiiiiiiiiixxxxq xyyxxxxxxxin拉格朗日插值：拉格朗日插值：用用n次拉格朗日插值多項(xiàng)式次拉格朗日插值多

2、項(xiàng)式0()()nnkkkLxylx連接數(shù)據(jù)點(diǎn)列上相鄰的連接數(shù)據(jù)點(diǎn)列上相鄰的n+1個(gè)點(diǎn)。個(gè)點(diǎn)。Pszjs71第5頁(yè)/共43頁(yè)2200011221220010202110120122021()()()()()() ()()() ()() ()() ()() ()() ()kkkLxylxylxy lxylxxxxxLxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxx第6頁(yè)/共43頁(yè)第7頁(yè)/共43頁(yè)第8頁(yè)/共43頁(yè)q1q2x0 x1x2第9頁(yè)/共43頁(yè)interps syntaxOne-dimensional r times longer data interpolation y = interp(y

3、,r)題例題例 在原始數(shù)據(jù)點(diǎn)中增倍插值在原始數(shù)據(jù)點(diǎn)中增倍插值x=0:0.001:1; y=sin(2*pi*30*x)+sin(2*pi*60*x); yi=interp(y,4);subplot(1,2,1); stem(y(1:30); title(Original Points);subplot(1,2,2); stem(yi(1:120); title(Interpolated Points);第10頁(yè)/共43頁(yè)interp1s syntaxOne-dimensional data interpolation yi = interp1(x,y,xi,method)nearest Nea

4、rest neighbor interpolationlinear Linear interpolation (default)spline Cubic spline interpolationcubic Piecewise cubic Hermite interpolation題例題例 在一天在一天24小時(shí)內(nèi)小時(shí)內(nèi),從零點(diǎn)開(kāi)始每間隔從零點(diǎn)開(kāi)始每間隔2小時(shí)測(cè)小時(shí)測(cè)得的環(huán)境溫度，推測(cè)在得的環(huán)境溫度，推測(cè)在15點(diǎn)點(diǎn)6分的的溫度分的的溫度x=0:2:24; y=12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13;plot(x,y,-ro); hold on; xi=15.1;

5、yi=interp1(x,y,xi,spline),xi=0:1/3600:24; yi=interp1(x,y,xi,spline); plot(xi,yi,b-);第11頁(yè)/共43頁(yè)interp2s syntaxTwo-dimensional data interpolation ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)nearest Nearest neighbor interpolationlinear Bilinear interpolation (default)spline Cubic spline interpolationcubic Bicubuc i

6、nterpolation第12頁(yè)/共43頁(yè)動(dòng)畫(huà)展示：三維空間中的曲面等距格點(diǎn)動(dòng)畫(huà)展示：三維空間中的曲面等距格點(diǎn)第13頁(yè)/共43頁(yè)題例題例 粗糙山頂曲面的平滑處理粗糙山頂曲面的平滑處理(等距情形等距情形)load mountain.mat %載入山頂?shù)匦螖?shù)據(jù)載入山頂?shù)匦螖?shù)據(jù)mesh(x,y,z) %繪制原始山頂?shù)匦螆D繪制原始山頂?shù)匦螆Dxi=linspace(0,5,50); yi=linspace(0,6,80); xii,yii=meshgrid(xi,yi); zii=interp2(x,y,z,xii,yii,spline); %三次樣條插值三次樣條插值figure;surf(xii,yi

7、i,zii) %繪制平滑處理后的山頂曲面繪制平滑處理后的山頂曲面hold on;xx,yy=meshgrid(x,y);plot3(xx,yy,z+0.1,ob);第14頁(yè)/共43頁(yè)題例題例 粗糙山頂曲面的平滑處理粗糙山頂曲面的平滑處理(等距情形等距情形)第15頁(yè)/共43頁(yè)griddatas syntaxData interpolation for scattered points ZI = griddata(x,y,z,XI,YI)XI,YI,ZI = griddata(x,y,z,xi,yi). = griddata(.,method)linear Triangle-based linea

8、r interpolationcubic Triangle-based cubic (default) nearest Nearest neighbor v4 MATLAB 4 griddata methodMATLAB二維插值函數(shù)二維插值函數(shù)griddata，可以將平面或曲面上的可以將平面或曲面上的散亂點(diǎn)散亂點(diǎn)插值為插值為規(guī)則網(wǎng)格規(guī)則網(wǎng)格第16頁(yè)/共43頁(yè)題例題例 粗糙山頂曲面的平滑處理粗糙山頂曲面的平滑處理( (散亂情形散亂情形) )rand(seed,0)x = rand(100,1)*4-2; y = rand(100,1)*4-2;z = x.*exp(-x.2-y.2);plot3

9、(x,y,z,o);hold onti = -2:.25:2; XI,YI = meshgrid(ti,ti);ZI = griddata(x,y,z,XI,YI);mesh(XI,YI,ZI);第17頁(yè)/共43頁(yè)題例題例 墨西哥草帽的平滑處理墨西哥草帽的平滑處理( (散亂情形散亂情形) ) x = rand(100,1)*16 - 8;y = rand(100,1)*16 - 8;r = sqrt(x.2 + y.2) + eps;z = sin(r)./r;plot3(x,y,z,.,MarkerSize,15)hold onxlin = linspace(min(x),max(x),33

10、);ylin = linspace(min(y),max(y),33);X,Y = meshgrid(xlin,ylin);Z = griddata(x,y,z,X,Y,cubic);mesh(X,Y,Z); axis tight; 第18頁(yè)/共43頁(yè)第19頁(yè)/共43頁(yè)第20頁(yè)/共43頁(yè)通用程序通用程序tbp69.m可近似計(jì)算時(shí)間段內(nèi)的用水量可近似計(jì)算時(shí)間段內(nèi)的用水量格式為：格式為：tbp69(ts,tf) 其中其中ts為起點(diǎn)時(shí)間，為起點(diǎn)時(shí)間，tf為終點(diǎn)時(shí)間為終點(diǎn)時(shí)間第21頁(yè)/共43頁(yè)第22頁(yè)/共43頁(yè)第23頁(yè)/共43頁(yè)第24頁(yè)/共43頁(yè)第25頁(yè)/共43頁(yè)t=1:16;c=4 6.4 8 8.

11、4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6;plot(t,c,-ro)第26頁(yè)/共43頁(yè)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)形式：經(jīng)驗(yàn)函數(shù)形式：已經(jīng)擬定為多項(xiàng)式函數(shù)：已經(jīng)擬定為多項(xiàng)式函數(shù)：y= at2 +bt+ c剩下的工作是確定擬合原則：剩下的工作是確定擬合原則：可選的法則很多，其中最常用的是最小二乘法則可選的法則很多，其中最常用的是最小二乘法則(method of Least Squares)，即，即各點(diǎn)偏差平方和最小各點(diǎn)偏差平方和最小高斯和勒讓德關(guān)于最小二乘法的發(fā)明權(quán)第27頁(yè)/共43頁(yè)第28頁(yè)/共43頁(yè)第29頁(yè)/共43頁(yè)第30頁(yè)/共43

12、頁(yè)由質(zhì)量守恒考察由質(zhì)量守恒考察 t,t+t 時(shí)間段時(shí)間段B向向A中滲透物質(zhì)：中滲透物質(zhì)：VA*CA(t+t)-VA*CA(t) = SKCB(t)-CA(t)t 推出推出dCA(t)/dt = SK/VA*CB(t)-CA(t) 兩邊除以兩邊除以t, 令令t0又由質(zhì)量守恒考察整個(gè)容器中物質(zhì)總量始終不變：又由質(zhì)量守恒考察整個(gè)容器中物質(zhì)總量始終不變：VA*CA(t)+VB*CB(t) = VA*aA+VB*aB 推出推出CA(t) = aA+VB/VA*aB-VB/VA*CB(t) 代入上式代入上式2 推出推出dCB(t)/dt = -SK(1/VA+1/VB)CB(t)+SK(aA/VB+aB/

13、VA)CB(0)=aB 初值條件初值條件 此帶初值微分方程可由此帶初值微分方程可由dsolve求解求解在上式中，已知的包括在上式中，已知的包括VA，VB，S以及一組以及一組t和和CB(t)值值未知的包括未知的包括aA，aB，K，下面通過(guò)數(shù)據(jù)擬合確定滲透率，下面通過(guò)數(shù)據(jù)擬合確定滲透率K第31頁(yè)/共43頁(yè)在上式中，代入已知值在上式中，代入已知值VA=VB=1000cm3，S=10cm2令令a=(aA*VA+aB*VB)/(VA+VB)，b=VA(aB-aA)/(VA+VB)簡(jiǎn)化之后的表達(dá)式為：簡(jiǎn)化之后的表達(dá)式為：CB(t)=a+b*exp(-0.02*k*t)編寫(xiě)被調(diào)編寫(xiě)被調(diào)M文件文件 tbp79

14、.m function CB=tbp79(x,t)CB=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*t);編寫(xiě)主調(diào)編寫(xiě)主調(diào)M文件文件 fittbp79.m（片段）（片段）x=curvefit(tbp79,x0,t,CB) %curvefit擬合及圖像擬合及圖像x=lsqcurvefit(tbp79,x0,t,CB) %lsqcurvefit擬合及圖像擬合及圖像求解結(jié)果：求解結(jié)果：a=x(1)=0.0070; b=x(2)=-0.0030; k=x(3)=0.1012進(jìn)一步求解：進(jìn)一步求解：aA=0.01；aB=0.004最終數(shù)學(xué)模型：最終數(shù)學(xué)模型：CB(t)=0.007-0.003*ex

15、p(-0.002*t)第32頁(yè)/共43頁(yè)第33頁(yè)/共43頁(yè)同名升級(jí)同名升級(jí)換名升級(jí)換名升級(jí)第34頁(yè)/共43頁(yè)第35頁(yè)/共43頁(yè)下面還是以引例的采樣數(shù)據(jù)為例，進(jìn)行演示：下面還是以引例的采樣數(shù)據(jù)為例，進(jìn)行演示：t=1:16;y=4 6.4 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6;cftool導(dǎo)入數(shù)據(jù)導(dǎo)入數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)繪制散點(diǎn)圖圖第36頁(yè)/共43頁(yè)進(jìn)行擬合進(jìn)行擬合擬合方法擬合方法結(jié)果和誤差分析結(jié)果和誤差分析 這里可供選擇的這里可供選擇的擬合類型擬合類型和和可選參數(shù)可選參數(shù)比較多比較多,包括多項(xiàng)式函數(shù)包括多項(xiàng)式函

16、數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),冪函數(shù)等冪函數(shù)等,如何確定如何確定最優(yōu)的方案最優(yōu)的方案？第37頁(yè)/共43頁(yè)SSE - The sum of squares due to error. This statistic measures the deviation of the responses from the fitted values of the responses. A value closer to 0 indicates a better fit. R-square - The coefficient of multiple determination. This statistic meas

17、ures how successful the fit is in explaining the variation of the data. A value closer to 1 indicates a better fit. Adjusted R-square - The degree of freedom adjusted R-square. A value closer to 1 indicates a better fit. It is generally the best indicator of the fit quality when you add additional coefficients to your model. RMSE - The root mean squared error. A value closer to 0 indicates a better fit. 第38頁(yè)/共43頁(yè)分析數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù) 這里可以計(jì)算擬合函數(shù)在采樣點(diǎn)的一階二階導(dǎo)函數(shù)值，并繪制相應(yīng)的函數(shù)圖像這里可以計(jì)算擬合函數(shù)在采樣點(diǎn)的一階二階導(dǎo)