高等數(shù)學(xué)課件：11.7 多元函數(shù)的極值與最值

1、11.7 多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值1 極值的概念極值的概念定義定義 設(shè)設(shè) z = f (x , y) , 若存在若存在 P0 = (x0 , y0) 的某的某 y,xfyxf)(),(00 鄰域鄰域 N( P0 , ) , 使對(duì)任意的使對(duì)任意的 x N( P0 , ) , 有有 ( 或或 ) y,xfyxf)(),(00 則稱則稱 f (x0 , y0) 為為 f (x , y) 的一個(gè)的一個(gè)局部極小值局部極小值 ( 或或局部極大值局部極大值 ) , 稱稱 P0 = (x0 , y0) 為為 f 的的局部極小值局部極小值 點(diǎn)點(diǎn) ( 或或局部極大值點(diǎn)局部極大值點(diǎn) )說(shuō)明說(shuō)明: 若

2、上面的不等號(hào)若上面的不等號(hào) ( 或或 ) 換成換成 ( 或或 )則稱為則稱為非嚴(yán)格的極值非嚴(yán)格的極值和和極值點(diǎn)極值點(diǎn)2 局部極值的計(jì)算局部極值的計(jì)算首先研究極值點(diǎn)的特征首先研究極值點(diǎn)的特征 , 即研究必要條件即研究必要條件設(shè)設(shè) P0 = (x0 , y0) 是是 z = f (x , y) 的局部極小值點(diǎn)的局部極小值點(diǎn) , z = f (x , y) 在在 P0 處可微處可微 對(duì)任意的對(duì)任意的 x N( P0 , ) 則根據(jù)定義則根據(jù)定義 , 存在存在 N( P0 , ) , 使使 y,xfyxf)(),(00 xy00 x0y若令若令),()(, ),()(yxfyg yxfxh00 ),(

3、),(,)()( 000PNyx xhxh ),(),(,)()( 000PNyx ygyg 則有則有 x = x0 是是 h(x) 的局部極小值點(diǎn)的局部極小值點(diǎn)y = y0 是是 g(y) 的局部極小值點(diǎn)的局部極小值點(diǎn)由由 f (x , y) 在在 P0 處可微處可微 h(x) 在在 x = x0 處可導(dǎo)處可導(dǎo) g(y) 在在 y = y0 處可導(dǎo)處可導(dǎo)于是在于是在 P0 點(diǎn)處成立點(diǎn)處成立0000 ),()( yxfxhx0000 ),()( yxfygy000 y,xf )(定理定理 ( 可微函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件可微函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件 )設(shè)設(shè) z = f (x , y) 在在 P0 =

4、(x0 , y0) 處可微處可微 , P0 是是 f (x , y) 的極值點(diǎn)的極值點(diǎn) , 則有則有 000 y,xf )(說(shuō)明說(shuō)明:(1) 使使 的點(diǎn)稱為的點(diǎn)稱為 f (x , y) 的的 000 y,xf )(穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn) ( 或駐點(diǎn)或駐點(diǎn) )(2) 可微函數(shù)的極值點(diǎn)必為可微函數(shù)的極值點(diǎn)必為 f (x , y) 的穩(wěn)定點(diǎn)的穩(wěn)定點(diǎn) , 即為使梯度為零的點(diǎn)即為使梯度為零的點(diǎn)例例討論下列函數(shù)的極值討論下列函數(shù)的極值2231yxz (1) 22yxz (2) 22yxz (3) 解解(1) 在在 R2 上可微上可微 2231yxz 062 ,)(y x y,xf 穩(wěn)定點(diǎn)為穩(wěn)定點(diǎn)為 (0 , 0)又

5、又1003122 ),(),(fyxyxf (0 , 0) 是是 f (x , y) 的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn) 極小值極小值: f (0 , 0) = 1(2) 在在 R2 上可微上可微 22yxz 022 ,)(y x y,xf 穩(wěn)定點(diǎn)為穩(wěn)定點(diǎn)為 (0 , 0)又在點(diǎn)又在點(diǎn) (a , 0) 處處 : Ra a fa ,af ,),()(000002在點(diǎn)在點(diǎn) (0 , b) 處處: Rb b fb b ,f ,),()(000002 在在 (0 , 0) 點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)點(diǎn)的任意鄰域內(nèi) , 都有大于都有大于 f (0 , 0) = 0及小于及小于 f (0 , 0) = 0 的點(diǎn)的點(diǎn) , 所以所以

6、(0 , 0) 不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)(3),(),(,)(0002222 yx yxy yxx y,xf f (x , y) 無(wú)穩(wěn)定點(diǎn)無(wú)穩(wěn)定點(diǎn)又注意到又注意到),()(00022fyx y,xf (0 , 0) 是是 f (x , y) 的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn) , 極小值極小值 f (0 , 0) = 0說(shuō)明說(shuō)明: 上例說(shuō)明上例說(shuō)明(2) 偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能為極值點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能為極值點(diǎn)臨界點(diǎn)臨界點(diǎn): 滿足滿足 的點(diǎn)或者偏導(dǎo)數(shù)不的點(diǎn)或者偏導(dǎo)數(shù)不 0 y,xf )(存在的點(diǎn)稱為存在的點(diǎn)稱為臨界點(diǎn)臨界點(diǎn)定理定理 ( 極值點(diǎn)的必要條件極值點(diǎn)的必要條件)極值點(diǎn)必是函數(shù)的臨界點(diǎn)極值點(diǎn)必是函數(shù)的

7、臨界點(diǎn) (即梯度為零的點(diǎn)即梯度為零的點(diǎn)或者偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)或者偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn))說(shuō)明說(shuō)明: (1) 臨界點(diǎn)未必一定是極值點(diǎn)臨界點(diǎn)未必一定是極值點(diǎn) , 僅是必要條件僅是必要條件(2) 不是極值點(diǎn)的臨界點(diǎn)稱為不是極值點(diǎn)的臨界點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)(1) 穩(wěn)定點(diǎn)未必一定是極值點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)未必一定是極值點(diǎn)定理定理 ( 二階充分條件二階充分條件)設(shè)設(shè) z = f (x , y)在臨界點(diǎn)在臨界點(diǎn) P0 = (x0 , y0) 的某鄰域的某鄰域 N( P0 , ) 內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 則有則有(1) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) , P0 為為 f 的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn)0000 ),(,yxf Hxx(2) 當(dāng)

8、當(dāng) 時(shí)時(shí) , P0 為為 f 的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn)0000 ),(,yxf Hxx(3) 當(dāng)當(dāng) H 0 時(shí)時(shí) , f 在在 P4 處取得極大值處取得極大值:273af 當(dāng)當(dāng) a 0 時(shí)時(shí) , f 在在 P4 處取得極小值處取得極小值:273af 2) 若若 a = 0 此時(shí)此時(shí)),(004321 P P P P并且并且 H(0 , 0) = 0 , f (x , y) = xy(x + y)可知可知: 在第一象限上在第一象限上 f (x , y) 0 所以所以 , (0 , 0) 是鞍點(diǎn)是鞍點(diǎn)0824324222 yzxyzyx(3) 這是隱函數(shù)求極值的問(wèn)題這是隱函數(shù)求極值的問(wèn)題將方程兩邊對(duì)將

9、方程兩邊對(duì) x , y 求偏導(dǎo)數(shù)有求偏導(dǎo)數(shù)有0324 xzyzyx)(1)0322 yzyzzxy)(2)令令 yz xz00 ,024 yx022 zxyzyx 2代入原方程有代入原方程有 12 x 1 x 所以使所以使 的點(diǎn)的點(diǎn):0 z),(),(22122121 P , P再將再將 (1) 兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)0334222 xzyz xz)()(3)將將 (2) 兩邊對(duì)兩邊對(duì) y 求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)0324 xzyzyx)(1)0322 yzyzzxy)(2)03322222 yzyz yz yz)()(4)將將 (2) 兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù) 03322 yx

10、zyzxzxz yz)(5)在點(diǎn)在點(diǎn) 處處 , 從從 (3) , (4) , (5) 知知 P),(2211 1122 Pxz2112 Pyxz21122 Pyz0411222221 PPyxzyzxzH )(又又 01122 Pxz P1 是極大值點(diǎn)是極大值點(diǎn) , 極大值極大值 z = 20412222222 PPyxzyzxzH )(又又 01222 Pxz P1 是極小值點(diǎn)是極小值點(diǎn) , 極小值極小值 z = 2),(2212 P在點(diǎn)在點(diǎn) 處處 , (3) , (4) , (5) 知知 1222 Pxz2122 Pyxz21222 Pyz3 最值問(wèn)題最值問(wèn)題 條件極值條件極值最值問(wèn)題最值

11、問(wèn)題設(shè)設(shè) z = f (x , y) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)上連續(xù) , 則則 f 在在D 上可取得最值上可取得最值 ( 最小值及最大值最小值及最大值 )設(shè)設(shè) P D 為為 f 的最值點(diǎn)的最值點(diǎn)(1) 若若 P 在在 D 的內(nèi)部的內(nèi)部 , 則則 P 為為 f 的局部極值點(diǎn)的局部極值點(diǎn) , 從從而可用求局部極值的方法求得而可用求局部極值的方法求得(2) 若若 P D , 若設(shè)若設(shè) D: (x , y) = 0 , 則需解則需解),(.yxf Opt0 ),(.yx ts (6)其中其中 , f (x , y) 稱為稱為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) ; (x , y) = 0 稱為稱為約束條件約束

12、條件 ; 問(wèn)題問(wèn)題 (6) 稱為稱為 f (x , y) 的的條件極值問(wèn)題條件極值問(wèn)題( 或或等式約束極值問(wèn)題等式約束極值問(wèn)題 )所以所以 , 求求 f 在在 D 上的最值問(wèn)題必須求解下面上的最值問(wèn)題必須求解下面的兩個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)問(wèn)題 :(1) 求求 f 在在 D 內(nèi)部的局部極值點(diǎn)內(nèi)部的局部極值點(diǎn) (2) 求求 f 在在 D 上的條件極值點(diǎn)上的條件極值點(diǎn)例例求求 在直線在直線 x + y = 6 , x軸軸 , y軸軸)(yxyxz 42所界閉區(qū)域所界閉區(qū)域 D 上的最大值和最小值上的最大值和最小值解解xy066D(2) 再求再求 f 在在 D 上的最值上的最值0422 yxyx xyzx)(0

13、422 yxyxxzy)(823 yx42 yx12 y x , 穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn) P1 = (2 , 1)41 )(Pf (1) 先求先求 f 在在 D 內(nèi)部的極值點(diǎn)內(nèi)部的極值點(diǎn)1) 在在 x = 0 ( 0 y 6 ) 上上 , f (0 , y ) = 02) 在在 y = 0 ( 0 x 6 ) 上上 , f (x , 0 ) = 03) 在在 x + y = 6 上上 , 即即 y = 6 x)()()(622622 xxxxyx,f024626422 xxxxxfx)( x = 0 , x = 4 在在 x + y = 6 上可能的最值點(diǎn)為上可能的最值點(diǎn)為),(,),(246032 P

14、 P 642406032 ),()(,),()( fPf fPf所以所以 , f 在在 D 上的最大值上的最大值64431 )(,)(Pff Pffminmax說(shuō)明說(shuō)明:以上解條件極值問(wèn)題的方法以上解條件極值問(wèn)題的方法),(.yxf Opt0 ),(.yx ts 從從 (x , y) = 0 確定確定 y = y(x) , 代入代入 f , 解一元問(wèn)題解一元問(wèn)題)(,(.xyxf Optbxa ts .即將二元條件極值問(wèn)題通過(guò)消元化為一元函數(shù)的即將二元條件極值問(wèn)題通過(guò)消元化為一元函數(shù)的極值問(wèn)題來(lái)解極值問(wèn)題來(lái)解問(wèn)題問(wèn)題: 從從 (x , y) = 0 解得解得 y = y(x) 是困難的是困難的

15、拉格朗日提出了一種不解拉格朗日提出了一種不解 y = y(x) 的方法的方法 4 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 ( 乘子法乘子法 )xy0AB (x , y) = 0 及等值線及等值線 f (x , y) = c 如圖所示如圖所示(1) 在在 f (x , y) = c 與與 (x , y) = 0 的交點(diǎn)處的交點(diǎn)處 (非切點(diǎn)非切點(diǎn))f (x , y) 不能取得最優(yōu)值不能取得最優(yōu)值(2) 在在 f (x , y) = c 與與 (x , y) = 0 的切點(diǎn)的切點(diǎn) A , B 處處f (x , y) 取得最優(yōu)值取得最優(yōu)值可以看到可以看到:考慮下面的條件極值問(wèn)題考慮下面的條件極值問(wèn)題),(.yx

16、f Opt0 ),(.yx ts (6) 0 ),(yx cyxf ),(所以所以 , 在最優(yōu)值在最優(yōu)值 A , B 處處 : (x , y) = 0 與某等值線與某等值線 f (x , y) = c 有公共的切線有公共的切線 (x , y) = 0 與與 f (x , y) = c 有公共的法線有公共的法線 ( x , y) 與與 f (x , y) 在在 A , B 處共線處共線 存在存在 R , 使使 BABAyx,yx,f,)()( 0 BAyx,yx,f,)()( (7) 即在最優(yōu)點(diǎn)即在最優(yōu)點(diǎn) (x0 , y0) 處應(yīng)滿足處應(yīng)滿足: 存在存在 0 使使000000 )()(y,xy,

17、xfxx 000000 )()(y,xy,xfyy 000 )(y,x (8)令令 L(x , y , ) = f (x , y) + (x , y) ( 拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù) )則上式可等價(jià)地表示為則上式可等價(jià)地表示為000000000 )()(),(y,xy,xf y,xLxxx 000000000 )()(),(y,xy,xf y,xLyyy 0)y,x() ,y,x(L00000(9)即即 0000 ),( y,xL條件極值的必要條件條件極值的必要條件:如果點(diǎn)如果點(diǎn) (x0 , y0) 是問(wèn)題是問(wèn)題 (6) 的最優(yōu)點(diǎn)的最優(yōu)點(diǎn) , 則存在則存在常數(shù)常數(shù) 0 R 使使0000 ),(

18、y,xL對(duì)于一般的等式約束的極值問(wèn)題對(duì)于一般的等式約束的極值問(wèn)題 ( 或規(guī)劃問(wèn)題或規(guī)劃問(wèn)題 )引入拉格朗日函數(shù)引入拉格朗日函數(shù) : ),(),(nmnx xxf x xxL212121 ),(),(nmmnx xxgx xxg212111 其中其中 R m ,21),(.nx xxf Opt21.ts0211 ),(nx xxg0212 ),(nx xxg021 ),(nmx xxg(10)如果如果 點(diǎn)是問(wèn)題點(diǎn)是問(wèn)題 (10) 的解的解 , ),(nx xxP21 則存在常數(shù)則存在常數(shù) , 使使R m ,2102121 ),(mn x xxL 條件極值條件極值 (10) 的必要條件的必要條件:

19、解解 1 yxxyL 令令 010 0yxLxLyLyx 21,21得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)注注:.還是極小值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)來(lái)判斷駐點(diǎn)是極大值點(diǎn)來(lái)判斷駐點(diǎn)是極大值點(diǎn)不能用不能用yyyxxyxxzzzzH .是是用用來(lái)來(lái)判判斷斷無(wú)無(wú)條條件件極極值值yyyxxyxxzzzzH xyyxxyy 101,得得由由 xxxyz 1xdxdz21 0222 dxzd極大值極大值4121,21 z另解另解: 2221411 xxxxxxyz例例求求 f (x , y , z) = x + y + z 在圓在圓122 yx1 z上的極值上的極值解解構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù))()(),(1122 zyxzyx z

20、yxL 021 xLx (11)01 zL(13)021 yLy (12)01 zL (15)0122 yxL (14) z = 1 = 1 y = x代入代入 (14) 得得122 x22 x 所以所以 , 可能的極值點(diǎn)可能的極值點(diǎn): ),(122221 P ),(122222 P Pf Pf212121 )(,)(注意到注意到 f 在圓在圓 上的最小值上的最小值 , 最大值最大值122 yx1 z此時(shí)即為此時(shí)即為 f 在圓上的極小值在圓上的極小值 , 極大值極大值 , 所以所以 極小值極小值: Pf211 )(極大值極大值: Pf211 )(解解 922222 zyxzyxL 令令 09

21、022 022 021222zyxLzLyLxLyyx 2,2, 1,2,2, 111 MM得得駐駐點(diǎn)點(diǎn) .09,222確確定定由由 zyxyxzz yxzyxu,22 zxzuxx2121 33222,2zxyuzxzuxyxx zyzuyy2222 3222zyzuyy 2,2, 11 M對(duì)對(duì)點(diǎn)點(diǎn)0492212145 H .9,0451為極小值為極小值且且 Muuxx 2,2, 12 M對(duì)對(duì)點(diǎn)點(diǎn)0492212145 H .9,0452為極大值為極大值且且 Muuxx解解例例試求試求 n 個(gè)正數(shù)個(gè)正數(shù) , 在其和為定值在其和為定值 l 的條件下的條件下 , 什么時(shí)候其乘積最大什么時(shí)候其乘積最

22、大 , 并由此證明并由此證明:)(nnnxxxnxxx 21211設(shè)設(shè) n 個(gè)正數(shù)為個(gè)正數(shù)為 , 則問(wèn)題是解則問(wèn)題是解nxxx,21nnxxxxxxf 2121 ),(maxlxxx tsn ,.21構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù):)(lxxxxxxLnn 2121 021 nxxxL0312 nxxxxL01212 nxxxxLlxxxn 21nlxxx n 21由于此點(diǎn)為由于此點(diǎn)為 f 唯一可能的最值點(diǎn)唯一可能的最值點(diǎn) , 且且 f 的最大值的最大值存在存在 . 所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)時(shí) , nlxxxn 21f 取得最大值取得最大值nnlf)(max 即即nnnlxxx )( 21)(nnnxxxnxxx 21211解解例例求旋轉(zhuǎn)橢球面求旋轉(zhuǎn)橢球面 在第一象限在第一象限14222 zyx部分上的一點(diǎn)部分上的一點(diǎn) , 使該點(diǎn)處的切平面在三個(gè)坐標(biāo)使該點(diǎn)處的切平面在三個(gè)坐標(biāo) 軸上的截距平方和最小軸上的截距平方和最小設(shè)設(shè) M = (x , y , z ) ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是橢球是橢球面面 S 上的一點(diǎn)上的一點(diǎn) , 則橢球面在則橢球面在 M 處的法向處的法向, z y x n222 即即, z y x n4 切平面切平面 :04 )()()(z-Z