第2章 2.7.1　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊講義

1、1 / 10 2.7 拋物線及其方程 2.7.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1理解拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程(重點) 2掌握拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用(難點) 1通過拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng) 2借助于標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，提升邏輯推理，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng) 在某電視劇中敵我雙方都曾使用一種單兵便攜式火炮擊炮，擊炮是一種曲射炮，發(fā)射后炮彈先飛向空中，飛過一個拋物線形的彈道后再砸向地面，很難防，地面上要防擊炮的工事就必須是有頂蓋的對于躲在戰(zhàn)壕中的敵人，擊炮的密集發(fā)射無疑是一場災(zāi)難因此研究拋物線是很有必要的，這節(jié)課我們就要“走入”拋物線看一看

2、追擊炮的彈道曲線 1拋物線的定義 思考 1：平面內(nèi)到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡是拋物線2 / 10 嗎？ 提示 不一定當(dāng)直線 l 經(jīng)過點 f時，點的軌跡是過定點 f且垂直于定直線 l 的一條直線；l 不經(jīng)過點 f時，點的軌跡是拋物線 2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點坐標(biāo) 準(zhǔn)線方程 y22px(p0) p2，0 xp2 y22px(p0) p2，0 xp2 x22py(p0) 0，p2 yp2 x22py(p0) 0，p2 yp2 思考 2：確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，一般需要確定幾個量？ 提示：確定兩個量，一個是 p，另一個是一次項系數(shù)的正負(fù) 思考 3：已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，

3、怎樣確定拋物線的焦點位置和開口方向？ 提示 一次項變量為 x(或 y)，則焦點在 x 軸(或 y 軸)上；若系數(shù)為正，則焦點在正半軸上；系數(shù)為負(fù)，則焦點在負(fù)半軸上焦點確定，開口方向也隨之確定 1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)標(biāo)準(zhǔn)方程 y22px(p0)中的 p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離 ( ) (2)拋物線的焦點位置由一次項及一次項系數(shù)的正負(fù)決定 ( ) 3 / 10 (3)平面內(nèi)到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡是拋物線 ( ) 答案 (1) (2) (3) 提示 (1) 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中 p(p0)即為焦點到準(zhǔn)線的距離 (2) 一次項決定焦點所在的坐標(biāo)軸，一次項

4、系數(shù)的正負(fù)決定焦點是在正半軸還是負(fù)半軸上 (3) 當(dāng)定點在直線上時，不表示拋物線 2拋物線 yax2的準(zhǔn)線方程是 y2，則實數(shù) a的值為( ) a18 b18 c8 d8 b 由 yax2，得 x21ay，14a2，a18 3拋物線 y216x的焦點坐標(biāo)為( ) a(4,0) b(4,0) c(0,4) d(0，4) a y216x，p8，p24，開口方向向左， 焦點坐標(biāo)為(4,0) 4拋物線 x216y的準(zhǔn)線方程為 y4 拋物線的焦點在 y 軸上，開口方向向上，故準(zhǔn)線方程為 yp2，且 2p16，p24，準(zhǔn)線方程為 y4 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【例 1】 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1

5、)過點 m(6,6)； (2)焦點 f在直線 l：3x2y60上 思路探究 解 (1)由于點 m(6,6)在第二象限， 4 / 10 過 m的拋物線開口向左或開口向上 若拋物線開口向左，焦點在 x軸上， 設(shè)其方程為 y22px(p0)， 將點 m(6,6)代入，可得 362p(6)， p3 拋物線的方程為 y26x 若拋物線開口向上，焦點在 y軸上，設(shè)其方程為 x22py(p0)， 將點 m(6,6)代入可得，362p6，p3， 拋物線的方程為 x26y 綜上所述，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y26x或 x26y (2)直線 l 與 x軸的交點為(2,0)， 拋物線的焦點是 f(2,0)， p22，p

6、4， 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y28x 直線 l 與 y軸的交點為(0，3)， 即拋物線的焦點是 f(0，3)， p23，p6， 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x212y 綜上所述，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y28x或 x212y 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程主要利用待定系數(shù)法，其步驟為： (1)依據(jù)條件設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型； (2)求參數(shù) p的值； (3)確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 提醒：當(dāng)焦點位置不確定時，應(yīng)分類討論，也可以設(shè) y2ax 或 x2ay(a0)的形式，以簡化討論過程. 跟進(jìn)訓(xùn)練 5 / 10 1已知拋物線頂點在原點，對稱軸是 x 軸，點 p(5,2 5)到焦點的距離為6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 設(shè)焦

7、點 f(a,0)，|pf|(a5)2206， 即 a210a90，解得 a1，或 a9 當(dāng)焦點為 f(1,0)時，p2，拋物線的開口向左，其方程為 y24x；當(dāng)焦點為 f(9,0)時，p18，拋物線開口向左，其方程為 y236x 拋物線定義的應(yīng)用 探究問題 1拋物線定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”，這句話的含義是什么？ 提示 拋物線定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”，一個動點，設(shè)為 m；一個定點 f，即拋物線的焦點；一條定直線 l，即為拋物線的準(zhǔn)線；一個定值，即點 m 與點 f 的距離和 m 到 l 的距離之比等于 1定點 f 不能在直線上，否則，動點 m的軌跡就不是拋物線 2如何看待拋物線中焦點和

8、準(zhǔn)線的位置？ 提示 焦點在拋物線開口方向的內(nèi)部，而準(zhǔn)線在外部，即“懷抱焦點，背著準(zhǔn)線” 3拋物線方程中參數(shù) p的幾何意義是什么？ 提示 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù) p 的幾何意義是：拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離(即焦準(zhǔn)距)，所以 p 的值永遠(yuǎn)大于 0.當(dāng)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項的系數(shù)為負(fù)值時，不要出現(xiàn) p0的錯誤 【例 2】 若位于 y軸右側(cè)的動點 m到 f12，0 的距離比它到 y軸的距離大12求點 m的軌跡方程 思路探究 把|mf|比 m到 y軸的距離大12，轉(zhuǎn)化為|mf|與點 m 到 x12的距離相等，從而利用拋物線定義求解 解 由于位于 y 軸右側(cè)的動點 m 到 f12，0 的距離比它到 y 軸

9、的距離大12，所以動點 m到 f12，0 的距離與它到直線 l：x12的距離相等 由拋物線的定義知動點 m 的軌跡是以 f 為焦點，l 為準(zhǔn)線的拋物線(不包含6 / 10 原點)，其方程應(yīng)為 y22px(p0)的形式，而p212， 所以 p1,2p2，故點 m的軌跡方程為 y22x(x0) 1(變換條件、改變問法)若本例中點 m 所在軌跡上一點 n 到點 f 的距離為 2，求點 n 的坐標(biāo) 解 設(shè)點 n 的坐標(biāo)為(x0，y0)，則|nf|2，即x0122y204 ，又由例題的解析知點 m的軌跡方程為 y22x(x0)，故 y202x0 ， 由可得 x032，y0 3，或 x032，y0 3，

10、故點 n 的坐標(biāo)為32， 3 或32， 3 2(變換條件、改變問法)若本例中增加一點 a(3,2)，其他條件不變，求|ma|mf|的最小值，并求出點 m的坐標(biāo) 解 如圖，由于點 m 在拋物線上，所以|mf|等于點 m 到其準(zhǔn)線 l 的距離|mn|，于是|ma|mf|ma|mn|，所以當(dāng) a、m、n 三點共線時，|ma|mn|取最小值，亦即|ma|mf|取最小值， 最小值為 31272 這時點 m的縱坐標(biāo)為 2，可設(shè) m(x0,2)， 代入拋物線方程得 x02，即 m(2,2) 拋物線定義的兩種應(yīng)用 (1)實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋

11、物線定義可以實現(xiàn)點點距與點線距的相互轉(zhuǎn)7 / 10 化，從而簡化某些問題 (2)解決最值問題，在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題 拋物線的實際應(yīng)用 【例 3】 (1)探照燈反光鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源在拋物線的焦點處，已知燈口直徑是 60 cm，燈深 40 cm，則光源到反光鏡頂點的距離是( ) a1125 cm b5625 cm c20 cm d10 cm (2)某拋物線形拱橋跨度是 20米，拱橋高度是 4米，在建橋時，每 4米需用一根支柱支撐，求其中最長支柱的長 (1)b 如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程是 y

12、22px(p0)a(40,30)在拋物線上， 3022p40，p454， 光源到反光鏡頂點的距離為 p245424585625(cm) (2)解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為 x22py(p0)依題意知，點 p(10，4)在拋物線上， 1002p(4)，2p25 即拋物線方程為 x225y 8 / 10 每 4米需用一根支柱支撐， 支柱橫坐標(biāo)分別為6，2,2,6 由圖知，ab是最長的支柱之一 設(shè)點 b的坐標(biāo)為(2，yb)，解得 yb425，點 a的坐標(biāo)為(2，4)，|ab|yb(4)4254384， 最長支柱的長為 384米 求拋物線實際應(yīng)用的五個步驟 (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 (2)設(shè)

13、出合適的拋物線方程 (3)通過計算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (4)求出需要求出的量 (5)還原到實際問題中，從而解決實際問題 跟進(jìn)訓(xùn)練 2河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂 5 m 時，水面寬為 8 m，一小船寬 4 m，高 2 m，載貨后船露出水面上的部分高 075 m，則水面上漲到與拋物線形拱橋頂相距多少米時，小船開始不能通航？ 解 如圖所示，以拱橋的拱頂為原點， 以過拱頂且平行于水面的直線為 x軸，建立平面直角坐標(biāo)系 設(shè)拋物線方程為 x22py(p0)，由題意可知點 b(4，5)在拋物線上，故 p85，得 x2165y 當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時，船不能通航， 設(shè)此時船面寬為 aa，則 a(

14、2，ya)， 9 / 10 由 22165ya，得 ya54 又知船面露出水面上的部分高為 075 m， 所以 h|ya|0752(m) 所以水面上漲到與拋物線形拱橋頂相距 2 m 時，小船開始不能通航 1拋物線的定義中不要忽略條件：點 f不在直線 l 上 2確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從形式上看，只需求一個參數(shù) p，但由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類型，因此，還應(yīng)確定開口方向，當(dāng)開口方向不確定時，應(yīng)進(jìn)行分類討論有時也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式，避免討論，如焦點在 x 軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為 y22mx(m0)，焦點在 y 軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為 x22my(m0) 1拋物線 y24x上的點 m(4，y0)到其焦點 f 的距離為( ) a3 b4 c5 d6 c 由拋物線 y24x，得 f(1,0)，如圖，|fm|4p2415 2拋物線的準(zhǔn)線方程為 x4，則拋物線方程為( ) ax216y bx28y cy216x dy28x c 拋物線的準(zhǔn)線為 x4，易知拋物線是開口向右的拋物線設(shè)方程為y22px(p0)，則p24，p8，拋物線方程為 y216x 10 / 10 3若拋物線 y22px(p0)的焦點與橢圓x26y221